CC BY
9Ja lg7 (j-aHi+z^a) .
f2 7-'a+a2 j__fL_) • ( -1 + I
2 [(1-a)-V a+a2]2
•(i+2^a)
^a2 - (f 2 +
a2]2
va
+ I1 + - —
a
1 + a — a • |1+-) + —-
al 12(a+a2)
• 3•(1 + a
—f
2 (1+2-a)
a-(V a+a2)
+
f2-[-(1+2-a)] 12-(a+a2)2
+
f2
V a+a2
f2-(1+2-a) (Va+a2)
1+a
1+1
a
1 + a —a^ I1 + -) (7)
а
a
2
Таким образом, для определения численных значений а и f необходимо решить систему уравнений:
г dV dW _ "if f = (dV + £W = o
V.da da
(8)
Решение уравнений (4) - (8) проводилось при помощи программного комплекса Mathcad 15. В результате проведенных вычислений установлено, что функция G(x) имеет экстремум в точке x* = 0,01719425 в которой: G(x*) = 1,58810317; а = 0,00030617; f = 0,0565574 (рис. 2).
Рис. 2. График функции G(x)
Таким образом, дальнейший анализ кинетики впитывания проводится для x* = 0,01719425 и G(x*) = 1,58810317, полагая, что значение x* соответствует пористости материала выраженной в относительных единицах, а величина G(x*) равна максимальной высоте подъема жидкости h(^*), выраженной в метрах. При этом высота подъема в зависимости от пористости определяется из уравнения:
h© = (0,0565574 • 0,00030617+J - 0,0565574) (9)
^ 4 0,0003 0617+?2 J
Список литературы 1. Трещалин М.Ю. Исследование процесса капиллярного подъема жидкости в нетканых материалах / М.Ю. Трещалин, В.С. Мандрон, Г.К. Мухамеджанов. - Известия ВУЗов. Технология текстильной промышленности. - 2009, № 4С, с. 24 - 26.
2. Кленов В.Б. Фильтрация жидкости через слой деформируемого текстильного материала: монография / В.Б. Кленов.- М.: Легкая индустрия, 1972.88 с.
3. Браславский В.А. Капиллярные процессы в текстильных материалах. - М.: Легпромбытиздат, 1987. - 112 с.
4. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. - 254 с.
5. Электронный ресурс. - Режим доступа: http://www.sworld.com.ua/konfer27/550.pdf. Боев Ю.А., Сафьянц С.М., Качковский А.Д. Численное исследование динамики капиллярного подъёма жидкости.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КИНЕТИКИ ВПИТЫВАНИЯ ЖИДКОСТИ
ПОРИСТЫМИ СРЕДАМИ
Трещалин Юрий Михайлович
кандидат технических наук, Московский государственный университет, имени М.В. Ломоносова, г. Москва.
MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE KINETICS OF FLUID UPTAKE OF THE POROUS MEDIUM Treschalin Yuri, candidate of technical sciences, Moscow state University, Moscow
АННОТАЦИЯ
В статье производится математический анализ кинетики впитывания жидкости пористыми волокнистыми средами. В результате получены зависимости высоты поднятия жидкости в пористом волокнистом материале от времени.
ABSTRACT
In this paper, a mathematical analysis of the kinetics of absorption of fluid porous fibrous media. As a result, depending on the height of lift produced fluids in a porous fibrous material from time to time.
Ключевые слова: кинетика, впитывание, нетканый материал, время, высота подъема жидкости.
Keywords: kinetics, absorption, nonwoven time, height of the liquid.
Зависимость высоты поднятия жидкости в пористом волокнистом материале от времени, как один из возможных вариантов, может быть выражена следующей функцией:
F(x) = (х - D) • е-а'(х-0) + С, (10)
где: х = т - время насыщения материала;
F(x) = Щт) - высота подъема жидкости в момент времени
т;
Э, а, С - константы, учитывающие способ производства и пористость материала, вид и степень гладкости волокнистого состава.
Функция F(х):
- является унимодальной, т.е. существует единственный экстремум х* > 0, при котором F(x) достигает максимума:
dF
— = е-а (х-0) - а • (х - D) • е-а (х-0) = 0 dx
Из этого уравнения точка экстремума х* и значение функции в этой точке F(x*):
F(x*) = 1 • e-1 + y.
(12)
в диапазоне от 0 до ~ F(x) имеет следующие зна-
чения:
F(x = 0) = 0 и F(x ^ от) = y.
(13)
При проведении математического анализа предполагается, что в точке х* достигается минимум функционала:
12,
/0 [F(x)-f(x)]2dx^min
(14)
где: ^х) - некоторая функция, выбранная из физических соображений, идеально описывающая процесс впитывания вязкой жидкости волокнистым материалом и удовлетворяющая следующим условиям:
ях) = (Х*''0-х<х*
( у, х* < х < ОТ
Совместное расположение функций F(x) и ^х) представлено на рис. 3. Заштрихованная площадь между графиками функций F(x) и ^х) соответствует условиям (14).
X*=1 + D=1+L2;
а а
(11)
11.и
F(x) п-и
f(x)
11.72 11.6 11.40 11.36 11.24 11.12
Fix)
/Г
/ / \ „ f6 0
/ /
/
1
/
/
J.lii 0.24 0.52 1.4 1.40 0.56 0.(4 О И 0 0
X* X
Рис. 3. Графическое изображение функций F(x) и f(x)
Функционал (14) можно записать в виде:
f°[F(x)-f(x)]2dx = A+B = ^
(15)
где: А = /0х р(х) - Г(х)№ В = /х.р(х) - у]^. Из условия (13) выражается система:
Г0 = -Э ■ еаВ + С { у = С ,
которая дает возможность определить уравнение связи параметров: у = Э • еа В
С целью оценки адекватности выбранной функции F(x) исследуемому физическому процессу, проведен анализ влияния коэффициентов D, а, С на поведение функции
F(x), а также значения х*и F(x*). В результате установлено следующее:
1. Численное значение коэффициента С, как следует из уравнения С = Э • еаВ, зависит от величин D и а;
2. При соотношении коэффициентов:
- а << Б - изменяется характер расположения кривой функции F(x) и точка экстремума х* ^ да (рис. 4 а). Если численные значения а и D одного порядка, но а < D, экстремум функции смещается к нулю (рис. 4 б). Соответственно изменяется и величина Р(х)тах;
Рис. 4. Характер расположения кривой функции F(x) при а << D: а. a = 0,001, D = 20 и С = 20,404; б. a = 1,
D = 5 и С = 742,066.
- а >> Б - изменяется численное значение F(х*), но характер расположения кривой функции F(x) остается практически постоянным. Точка экстремума находится в интервале 0 < х* < 1 и, чем больше а
превышает значения D, тем ближе к нулю располагается точка экстремумах* (рис. 5).
а. б.
Рис. 5. Характер расположения кривой функции F(x) при a >> D: а. a = 5, D = 0,5 и С = 6,091;
б. a = 100, D = 0,5 и С = 2,59-1021
3. Равенство коэффициентов D и a оказывает влияние на характер расположения кривой функции F(x): точка экстремума x* с уменьшением D и a смещается к 0, а величина F(x*) возрастает (рис. 6 а, б). Коэффициент С, при
значенияхаи D в интервале 0,0001 т 0,4, приблизительно равен D и а (С = 0,0001 т 0,469), но с увеличением D и а больше 0,5 резко возрастает (например, при D = 1 и а = 1,
С = 2,718; а при 0 = 2 и а = 2, С = 109,196);
0 50 100 130 200 250 300 350 400 450 500
CI s .500,
О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 s .500,
а. б.
Рис. 6. Характер расположения кривой функции F(x) при равенстве коэффициентов D, а и с: а. а = 0,2, D = 0,2 и С
= 0,208; б. а = 0,02, D = 0,02 и С = 0,02.
4. Варьирование одного из коэффициентов (а или D) при фиксированных значениях другого (D или а) не оказывает существенного влияния на характер расположения кривой функции F(x), но точка экстремума смещается по оси абсцисс и F^*) изменяется на несколько порядков;
Проведенный анализ различных сочетаний численных значений коэффициентов пропорциональности в уравнении F(x) = (x — D) • e-a (x-D) + C позволяет сделать вывод о правильности выбранной функции для математического описания кинетики впитывания жидкости волокнистым материалом, что подтверждается экспериментальными данными [1, 2].
В результате, постановка задачи формулируются следующим образом: в диапазоне изменения 0 < х < ~ значение х = х* имеет место при максимальной высоте впитывания Ffr) = у, которая остается постоянной Ffr) = y = const при х = х*. Фактически, задача сводится к аналитическому определению математических выражений, позволяющих вычислить неизвестные D, у, а.
Для решения (14) необходимо проинтегрировать уравнение (15) и, после чего, определить условия для нахождения искомого минимума функционала.
Первоначально вычисляются вспомогательные неопределенные интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
Г x • e-axdx = — x - e-ax — 1 - e-ax,
a a2
где: u = x; dw = e-axdx
(16)
Г x2 • e-axdx = — - • e-ax — ^ • e-ax — ^ • e-
J a a2 a3
(17)
где: и = х2; dw = е-а^х^
Выражения (16) и (17) позволяют произвести интегрирований выражений для В и А в уравнении (15). Применительно к В можно записать:
В
= J [(x — D) • e-a (x-D) + y — y]2dx =
x*
га
= J [(x — D)2 • e—2 a (x—D)]2dx.
x*
Используя соотношение (16) имеем:
га
В = J [(x — D)2 • e-2 a (x-D)]2dx = x*
(x — D)2 2 • (x — D)
= [e-
-2 a (x-D) .
(
2
2 •a
4 •a2
)]
8 • а3
В связи с тем, что на бесконечности первообразная равна нулю, получим:
В = е-2 а (х*-в) ■ (-
^ 2-а 4-а2 8 ■ а3
С учетом (11), уравнение для определения В преобразуется к виду:
2 2 \ „5
(x* — D)2 2 • (x* — D) 2
B = e-
(2 - a
0=
e
^2 • a3 4 • a3 8 • a3/ 4 • a3
Вычисление интеграла А производится в следующей последовательности:
где р = X = JLL.
м к x* 1+aD
А = J [F(x) — f(x)]2dx = J [(x — D) • e-a (x-D) + y — в • x]2 dx
А
x
= J [(x —D)
2 . e-2 a (x-D^ „2 _ R2 . v2
+ y2 — в2 • x2 + 2 • y • (x — D) • e
-a-(x-D)
— 2 • y • в • x — 2 • в • x • (x — D)- e-a (x-D)] dx
где: Ai = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + А6-слагаемые в предыдущем интеграле
га
0
0
0
■Ao + ^AQ + Ac
x
Г в2 • x*3 3 • y2 • (1 + a • D) = J [y2 + в2 • x2 — 2 • y • в • x] dx = y2 • x* + ^^--y • в • x*2 = - -J-
A1 = Jx [(x — D)2 • e-2- a -(x-D)]dx =
2-a-fx*-DW (x*-D)2 2-(x*-D)
2 a 4-a
2- D 2 .
4 a2 8a3]
—2s] = e-2 • [—^ —^ —У
8 - a3 L 2 a3 4 a3 8a3J
+ e2
[- —
2 a
A4 = 2 • y • J [(x — D) • e-a(x-D)]dx = 2 - y-[—
(x* — D) - e-a (x*-D) i-e-a (x*-D) D • eaD 1
a D
+
]=
2 e-1 D ea D
= 2 • y • [--+ —
1 • e
a D
A
x x x
= —2 • в • J [x • (x — D) • e-a (x-D)] dx = —2 • в • ea - D • [J [x2 • e-ax] dx — D • J [e-ax] dx]
Разность интегралов равна:
[x2 • e-ax] dx
J[
x
D-J
[e-ax] dx = e-
2 x*
2 D -e-
+ —+ ■
a3
0
2
e
x
2
2
a
a
a
a
0
2
a
0
0
0
2
*
2
x
2
3
a
a
a
a
0
0
В результате получим:
Аб = —2 • в • {e-
_
Т2"
+4+—
a3 a
— D} = —2
a
a- У 1+a • D
{e-
(1+a D) . |_ (1+a -D)2 2-(1+a-
jD)__2_1
a3J
+
2 , D-e-(1+a'D) D, — +----}
a3 a a
2? a2
Необходимое условие минимума функционала (15) выполняется при решении следующей системы уравнений:
Ь=0;
I ^
и=0;
где
2ay . {e-(1+a D) 1+aD
: ^ = A+B = e-2-^+e-2.\—^—^—L5\ + \D2 — 2D—LA-e2-a-D + 2-y\2
4 a3 L 2 a3 4 a3 8a^ 1.2 a 4 a2 8a^ J La2 {e-(1+a D) . \— (1+aD)2 — 2'(1+a'D) — i.1 + Л + D . e-(1+a • D) — D} = \D2__D___!_]
a3 a3 a3 a3 a a 2 a 2 a2 4 a3
a2 2 a D
2 a y
, -eaD—■
2 1+a D
{e-
a3 a3 a -(1+a • D) . |_ (1+a 'D)2 2-(1+a-D) 2
— i-1+.i + D.
a3 a3 a
-(1+a- D) — £}
, D a. i
+---ea 1
a
D — a2' ea• D]
i|.e-1+2D^.eaD
2
Первоначально вычисляется производная ^ по a:
dW da
= 2 ■ D ■ e2
■D . (D2__D___1_)
2 a 2 a2 4 a3
Z^.\e-1.e-a• D ■ (— -
a D)2
2- y • (1+a • D)2
+ e2
V 2 a2 2 a3 a4
(1+a D)2 2 (1+a D) 2
a2 a2
(1+a D)2
' — 4) + 4 + D' e-a D — D]
a2 a2 e
2 (1+a D)
— -
)—±y+D.eaD.(^ — 2y) + ea- D.^ — ^U
e a3 a a2 a3 a2
2Dy \ 6 d2 e-aD ,D.e-aD .
+a D)2 a3 e e
2) + e-1-e-aD.(11 + ^)] = 0 (18)
dW
При дифференцировании — целесообразно учесть уравнение связи у = Э • еа '. Тогда справедливо соотноше-ние:dy = еа' в • (1 + а • Э^у. Отсюда следует, что производная имеет вид: = еа 'в • (1 + а • Э). Тогда:
— = 2 • a • ea 'd-\D---^--У + ea' D ■ \D — — ■ eaD ■ (1 + a ■ D) + - ■ eaD ■ [y — a ■ y ■ D + D ■ e^
dD 2 a 2 a2 4 a3 a 2 a2 e a2 a
a D
(1 + a • D)] — -2 • ea• D ■ [ea' D • (1 + a • D) + a • y] — 2 • a • {e-
-(1+a D)
\eaD(1+aD)-ay] | 2ay .(—1 + 1. eL (1+a- D)2 J (1+a-D) I a a
-(1+a- D) _ e-(1+a- D)
+
(—
(1+a D)2 2 (1+a D)
a • e
a3
(1+a D)
i — -
(1+a -D)2 a3
2 (1+a D)
2l 2 D + ~ + 1
a3 a3 a 2 (1+a D) 2
M)) =
a3J
-(1+a- D) — D} .
a
+ e-(1+a- D) .
(19)
Список литературы
1. Трещалин М.Ю. Исследование процесса капиллярного подъема жидкости в нетканых материалах / М.Ю. Треща-лин, В.С. Мандрон, Г.К. Мухамеджанов. - Известия ВУЗов. Технология текстильной промышленности. - 2009, № 4С, с. 24 - 26.
2. Браславский В.А. Капиллярные процессы в текстильных материалах. - М.: Легпромбытиздат, 1987. — 112 с.
2
2
x
3
3
3
a
a
a
a
-1
e
e
3
3
a
a
2
2
a
a
3
3
0
2
a
ПОЗИЦИОННЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД МАНИПУЛЯТОРА С ОПТИМАЛЬНЫМ
РЕГУЛЯТОРОМ
Третьякова Марина Николаевна
Кандидат педагогических наук, доцент, Тольяттинский государственный университет, г. Тольятти
Бородин Олег Александрович Студент 5-ого курса, Тольяттинский государственный университет, г. Тольятти
POSITION THE ACTUATOR ARM WITH THE OPTIMAL REGULATOR
Tretyakova Marina Nikolaevna, Candidate of pedagogical Sciences, associate Professor, Togliatti state University, Togliatti Borodin Oleg Aleksandrovich, Student of the 5th course, Togliatti state University, Togliatti АННОТАЦИЯ
Разработана позиционная система электропривода с оптимальным регулятором, обеспечивающая предельное быстродействие и улучшенные показатели качества процесса перемещения каретки портала манипулятора. Приведены структура и расчет параметров оптимального регулятора, а также осциллограммы электромеханических процессов работы системы электропривода.
