Анализ интенсивности впитывания жидкости пористыми средами часть 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 675.026

Ю. М. Трещалин, Э. А. Хамматова

АНАЛИЗ ИНТЕНСИВНОСТИ ВПИТЫВАНИЯ ЖИДКОСТИ ПОРИСТЫМИ СРЕДАМИ

ЧАСТЬ2

Ключевые слова: нетканое полотно, пористый волокнистый материал, мононити, скорость впитывания, функции.

В работе приводится математический анализ зависимости высоты поднятия жидкости в пористом волокнистом материале от времени. Проводится анализ различных сочетаний численных значений коэффициентов пропорциональности в уравнении F(х), что позволяет сделать вывод о правильности выбранной функции F(x) для математического описания кинетики впитывания жидкости волокнистым материалом.

Tags: nonwoven fabric, porous fibrous material, filaments, absorption rate, the function.

The paper presents a mathematical analysis of the dependence of raising the height of the liquid in the porous fibrous material from time to time). The analysis of various combinations of the numerical values of the coefficients of proportionality in the equation F (x), which leads to the conclusion about the correctness of the chosen function F (x) for the mathematical description of the kinetics of absorption offluid fiber material.

Проведенный анализ исследований [1, 2] показал, что интенсивность самопроизвольного впитывания жидкости нетканым материалом изменяется во времени до тех пор, пока силу поверхностного натяжения не уравновесит сила давления столба поднятой жидкости.

Зависимость высоты поднятия жидкости в пористом волокнистом материале от времени, как один из возможных вариантов, может быть выражена следующей функцией:

Г(а} =(■-□}■ + (1)

где х = т - время насыщения материала; Б(х) = И(т) -высота подъема жидкости в момент времени т; Б, а, С - константы, учитывающие способ производства и пористость материала, вид и степень гладкости волокнистого состава. Функция Р(х):

является унимодальной, т.е. существует единственный экстремум КО, при котором Р (х) достигает максимума, который определяется из необходимого условия существования экстремума:

нр

— - -а- С«" и)" - О

йя

Из этого уравнения точка экстремума х* и значение функции в этой точке Б(х ):

(2)

а. а.

я* = -+-Е =

(3)

- в диапазоне от 0 до ®Р(х) имеет следующие значения:

Г&Е= У) = О и Г(к = у (4)

При проведении математического анализа предполагается, что в точке к * достигается минимум функционала:

{"[РЮ-ФДОЬ^П*! (5)

где Дх) - некоторая функция, выбранная из физических соображений, идеально описывающая процесс впитывания вязкой жидкости волокнистым

материалом и удовлетворяющая следующим условиям:

т=

—, 0 £ X < Xs

Уг

Совместное расположение функций Б(х) и Дх) представлено на рисунке 1. Заштрихованная площадь между графиками функций Б(х) и Дх) соответствует

условиям (5).

п.ад F(x) п-м

f(x)

и.б

11.48 11.36 11.34 11.12 11

F(x)

/f

( / \ , fô 0

/

I

i /

/

/

/

С [.OS ,.0.1» О.М О S3 1.4 1.48 l.ji 0.(4 0 72 0.S

X* X

Рис. 1 - Графическое изображение функций Р(х) и

«х)

Функционал (5) можно записать в виде:

+ В = ¥ (6)

где

Б= ГГрОО-у]^.

Из условия (4) выражается система:

.*■> J. £

fQ= -D- еэ Е + t у= С

которая дает возможность определить уравнение связи параметров: у = О ■ щ3'13.

Проведенный анализ различных сочетаний

численных значений коэффициентов

пропорциональности в уравнении

F ( х) = (х — D) ■ '.^"Е1." £ позволяет сделать

вывод о правильности выбранной функции F(x) для математического описания кинетики впитывания жидкости волокнистым материалом.

В результате, постановка задачи формулируются следующим образом: в диапазоне изменения 0 < х < да значение х = х* имеет место при максимальной высоте впитывания F^) = y, которая остается постоянной F^) = y = const при х = х* (рисунок 1). Фактически, задача сводится к аналитическому определению математических выражений, позволяющих вычислить неизвестные D, y, a.

Для решения (5) необходимо проинтегрировать уравнение (6) и, после чего, определить условия для нахождения искомого минимума функционала.

Первоначально вычисляются вспомогательные неопределенные интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

fx <Га,*с1х= (7)

где

IJ = xjdw = б-й,,*сЬс

Необходимое условие минимума функционала (6) выполняется при решении следующей системы уравнений:

где

7 &

ill ! tf НУ

li 1 lii hl h'.

oP

1-M 1

(lfci)1 ¡'(l"i'D; I

i ij

[L l_i|, f-i+ит, t*i Jj, ,

H rf i1 i i1 Hii [ t'

" 5

iflMj ! ill

t 7 i

J ■ = - Y ■ ~ ^¡r e_<L3f - 5"

где

u = xa;dw =

(8)

Выражения (7) и (8) позволяют произвести интегрирований выражений для В и А в уравнении (6). Применительно к В можно записать:

Е=

[(х- D) ■ -+ У - у] * dx = [;х- D}'■ t-'^ffa

(9)

Первоначально вычисляется производная

W по a: St

Используя соотношение (9) имеем: Б= | [(х-D;*'Ъ- ¿f]l

2-а

В связи с тем, что на бесконечности первообразная равна нулю, получим:

М-Р)а 2

^ 2 а 4 а3 В-аа

С учетом (2), уравнение для определения В

преобразуется к виду:

В

— --я

В = е

/ 1 2 2 \ _

-а

4-аа

Вычисление интеграла А производится в следующей последовательности:

А = J рОО - f(s)]:dx=j [{х- D) ■ е"*^ + у - р ■ х]! dx

в

где: р = г: =

4 8

_ 21 —

я' fhD

При дифференцировании

av л

целесообразно

у = D-

аю

Тогда

учесть уравнение связи справедливо

соотношение:^ = р ■ {1 + 3" О)¿У- Отсюда

следует, что производная имеет вид:

Тогда:

Li Ы

D+D - (1+a D)] - ^ ей D - ■ (1+а ■ D)+а у] - 2 а {е

1 .111 и _ . 2 и" 'i

(Hrt)

fttalf

Нняй : 4-+

И /

['-a1 i

■(HaflbrH . hrf

(lh »)F J ¡Ml

*1T j 1.1 (Hri) I i i

(UtD)1 2-(Hri>) J J-.-tH»»), ' J'(UiD) i'

~ f "i Те i1

(10)

Заключение

Представленный математический анализ зависимости высоты поднятия жидкости в пористом волокнистом материале от времени позволил произвести различные сочетания численных значений коэффициентов пропорциональности в уравнении Р(х), что позволило сделать вывод о правильности выбранной функции Б(х) для математического описания кинетики впитывания жидкости волокнистым материалом.

Литература

1. Трещалин М.Ю. Исследование процесса капиллярного подъема жидкости в нетканых материалах / М.Ю. Трещалин, В.С. Мандрон, Г.К. Мухамеджанов. - Известия ВУЗов. Технология текстильной промышленности. -2009, № 4С, с. 24 - 26.

2. Браславский В.А. Капиллярные процессы в текстильных материалах. - М.: Легпромбытиздат, 1987. — 112 с.

© Ю. М. Трещалин - материаловед-исследователь, mtreschalin@mail.ru; Э. А. Хамматова - доц. каф. дизайна КНИТУ, venerabb@mail.ru.

© Y. M. Treshchalin - a materials researcher, mtreschalin@mail.ru; E. A. Khammatova - associate Professor of Design, KNRTU, venerabb@mail.ru.