Математические модели зависимости финального объема продаж от эффективности рекламы Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

№2(14) 2008

Г.В. Бубнова, Е.А. Сеславина

Математические модели зависимости финального объема продаж от эффективности рекламы

Объемы продаж товара зависят не только от затрат на рекламу, но и от поведения покупателей. В работе предлагается целый спектр математических моделей, позволяющих проводить как численные, так и аналитические расчеты объема продаж в зависимости от частоты рекламы и долевого распределения рынка между продавцами.

В условиях чистой конкуренции для повышения объемов продаж фирмы активно используют различные рычаги, включая рекламу, выделяя на ее организацию существенное финансирование. Вместе с тем число продаж товара любой из фирм определяется не только размерами затрат на проведение рекламных кампаний, но и зависит от поведения каждого покупателя, принимающего решение приобрести товар.

Марковская модель продаж

Допустим, что покупатель в течение некоторого периода времени принимает решение в пользу покупки товара или услуги одной определенной фирмы — А. Если же он примет подряд k раз решение о покупке только у этой фирмы, то в дальнейшем, вне зависимости от рекламы конкурентов, он будет покупать товары фирмы А. В случае принятия покупателем решения в пользу конкурирующей фирмы В далее он игнорирует все свои предыдущие решения и при повторении им k раз такого отбора оконча-

тельно переходит к покупке товаров фирмы В.

Будем полагать, что за период между двумя покупками средний покупатель принимает к сведению а раз рекламу фирмы А и р раз рекламу фирмы В. Обозначим через

p = а , q = Р = 1 - p вероятности при-

а + р а + р нятия покупателем соответствующих решений о покупках на основании частоты этих реклам.

Такой процесс описывается следующей марковской цепью (рис. 1), характеризующей поведение покупателей [1].

Здесь первое состояние характеризуется тем, что решение в пользу товара фирмы А было принято подряд k -1 раз. Второе состояние соответствует тому, что решение в пользу товара фирмы А было принято подряд k - 2 раза и т. д. ^ - 1)-е состояние соответствует единственному решению в пользу товара производителя А. Состояние показывает единственное решение в пользу производителя В. Состояние с номером 2k - 2 показывает, что было принято ^ -1)

Рис. 1. Марковская цепь принятий решения о покупках

118

№2(14) 2008

решение в пользу фирмы В. Конечные состояния: и — постоянная покупка товара фирмы А, № — постоянная покупка товара фирмы В. Этот марковский процесс описывается следующей системой рекуррентных уравнений (1):

и[п +1] = и [л] + рХ1[п] Х1[п +1] = рХ2[п]

Хк _ 2 [п +1] = рХк _1[п]

Хк _1[п +1] = р( Хк [п] + Хк+1 [п]+...+Х2К _ 2[п]) Хк [п +1] = я(Х [п] + Х2[п]+...+Хк_1 [п]) . (1) Хк+1[п +1] = дХк [п]

Х

к+2[п +1] = яХк +1[п]

и = рв1 3 = рвг

Эк _ 2 = рЭк _1

Эк _ = р( Эк + Эк+-,+...+ Э2к _2 ) + р

Бк = я( 3 + Э2 +...+Эк _!) + я . (5)

Эк +1 = яЭк Эк +2 = 9Эк +1

Э2к _ 2 = яЭ2к _ 3

№ = ЦЭ2 к _ 2

Система (5) в отличие от системы (1) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Для ее решения последовательно найдем все состояния

Х2к _ 2 [п + 1] = ЯХ2 к _ з[п] № [п +1] = № [п] + яХ2 к _2[п]

Будем полагать, что фирмы попали на рынок одновременно в нулевой момент времени. Поэтому начальные условия на промежуточные и конечные состояния равны нулю, а вероятности состояний с одной рекламой соответственно равны р и я. Таким образом, начальные условия:

Хк _ [0] = р, Хк [0] = Я, Х( [0] = 0, (2)

при / * к-1,/ * к,№[0] = и[0] = 0.

Свойства параметров процесса:

р + к = 1,р > 0, я > 0, к е N к > 1. (3)

Каждую фирму прежде всего интересуют финальные вероятности объемов продаж. Система (1) характеризует марковский процесс с поглощением. Найдем финальные вероятности этого процесса.

Для этого сделаем следующее преобразование системы (1).

Обозначим:

Э = £ Х/ [п], и = £ и, [п], № = £ № [п]. (4)

п=0 п=0 п=0

Просуммировав все уравнения системы (1) от нуля до бесконечности, получим:

Эй , Э2

и

3 =-, Э р

№

и

"р

и

рк

э = Э

к_2 _ „ > °2к_3

№

, Эк

№

и

= р + р(

№

№

Як

Як

+ *) Я

№

и

як

ии

= я + я(- + — +■■■+- К г р р2 рк _1

Преобразовав, получим:

и

,к _1

№

1 _ _р_я

я 1-

1

1_

к _1

1

я 1

№

як

р

1

и

После упрощений найдем вероятности: и1

р

рк

-(1-

як

№

1

)и

119

I

со

I

со

I

иа со С

я я як

Подставим полученные последние равенства в (к _ 1)-е и в к-е уравнения системы (5) и получим систему уже двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(6)

(7)

(8)

Э

к _1

р

р

к _1

р

я

я

№2(14) 2008

Решения этой системы имеют следующий вид:

(1 - qK ^ -1

U = W =

qK-1 + pK-1 - (pq ^-1

(1 - PK ^-1

^-1 + pк-1 - (pq )к-1

(9)

В таблице 1 приведены конкретные виды формул (9) и (10) для частных случаев небольших k, наиболее интересные для практики.

Таблица 1

Формулы расчета объемов продаж и и № каждой из рассматриваемых фирм при 2 < к < 6

I

¡5

СО

съ

0

!

1 си

Л

0

1

А

со

I

! си

и

К §

к и №

2 (1 - q (1 - P

q + p - (pq) q + p - (pq)

3 (1 - q2 (1 - P2

q2 + p2 - (pq )2 q2 + p2 - (pq )2

4 (1 - q3 (1 - p3

q3 + p3 - (pq )3 q3 + p3 - (pq )3

5 (1 - q4 (1 - p4

q4 + p4 - (pq )4 q4 + p4 - (pq )4

6 (1 - q5 (1 - p 6)q5

q5 + p5 - (pq )5 q5 + p5 - (pq )5

Семейства кривых, выражающих зависимости финальных вероятностей покупки товара фирмы А от параметра p, показаны на рис. 2.

Заметим, что из формулы (9) следует, что все характеристики проходят через точку с координатами (0,5, 0,5). Это имеет сле-

0,2 0,4 0,6 0,8 1

Рис. 2. Семейство финальных вероятностей

дующий экономический смысл: при равенстве частот рекламы фирм А и В они получают равное число покупателей.

Из графика видно, что при малых значениях параметра p значение U мало. Это значит, что при малых частотах рекламы количество покупок невелико. При больших же частотах рекламы дальнейшее ее увеличение неэффективно, потому что рынок и так оказался практически целиком захвачен одним из конкурентов.

Полученные зависимости позволяют сделать вывод о том, что при больших значениях kхарактеристики имеют большую производную в точке (0,5, 0,5) и стремятся к релейной характеристике при стремлении k в бесконечность. Это связано с тем, что при высокой неподатливости к рекламе потребителей товара (больших К) на начальном

Таблица 2

Значения функции и(р), рассчитанные по формуле (9), при различных значениях к и р

P U 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

K = 2 0 0,021 0,086 0,194 0,337 0,5 0,663 0,806 0,914 0,979

K = 3 0 0,004 0,03 0,11 0,271 0,5 0,729 0,89 0,97 0,997

K = 4 0 0,0004 0,01 0,057 0,209 0,5 0,791 0,943 0,991 0,9997

K = 5 0 0,00006 0,002 0,027 0,155 0,5 0,845 0,973 0,997 0,99999

K = 6 0 0,0000007 0,0007 0,0013 0,112 0,5 0,888 0,997 0,999 0,99999

120

№2(14) 2008

и на конечном отрезке значений р происходит малое изменение числа покупок. Основной их прирост все более падает на срединный участок значений этого параметра.

Можно доказать, что максимальное значение производной и достигается при р =1/2 и равно

(к _1)2к +1

.

(10)

Вторая производная и(р) положительна от 0 до 0,5 и отрицательна от 0,5 до 1.

Заметим, что для нахождения объемов продаж фирмы А достаточно умножить общее число продаж на рынке на полученную финальную вероятность и. Таким образом, и и № отражают те доли рынка, по которым его окончательно разделят фирмы-конкуренты.

Применение модели (1) возможно лишь в случае, когда известны параметры р и к. Идентификация этих параметров по результатам исследований реального поведения покупателей на рынке является необходимым этапом проведения расчетов.

Вероятность р покупки товара первой фирмы может быть определена с помощью обычного статистического маркетингового исследования частоты покупок. Исходной информацией для расчета величины к может являться значение функции и, которой соответствует некоторое искомое значение к. Эти величины связаны формулой (9). Данная зависимость является нелинейной и трансцендентной. Поэтому следует разработать специальный численный способ решения уравнения (9). Обозначим х = к _ 1. Тогда из уравнения (9) следует равенство:

¡(х) = я_х(и _1) + р_хи _ и + я = 0. (11)

Исследование функции (11) показывает, что на интервале (х0, да) эта функция возрастает, начиная с отрицательных значений до бесконечности, и имеет единственный ноль, которому соответствует искомое значение параметра к. Здесь

Х0 = !од,

и 1п р р (1 _ и )1п я'

(12)

Поэтому может быть предложен вариант метода дихотомии для нахождения корня уравнения (11) на указанном интервале.

Разработанные выше модели могут быть обобщены несколькими способами.

Если одна из фирм долго существовала на рынке, на который в некоторый момент выходит вторая фирма с аналогичным товаром, то исходная модель (1) остается в силе, но меняются начальные условия, которые фигурируют в некоторых правых частях уравнений системы (5).

Решив эту систему, можно получить интересующие нас финальные вероятности.

Если число фирм более чем две, то по аналогии с системой (1) и марковской цепью (рис. 1) может быть записана исходная математическая модель. По этой модели можно получить алгебраическую систему уравнений, аналогичную системе (5). Такую линейную систему несложно решить.

Может быть принята такая модель, когда на каждом этапе принятия решения о покупке рассматривается вариант неизменности состояния марковской цепи с некоторой вероятностью. Этому соответствует случай, когда (р + я < 1). Уравнения такой математической модели несложно получить описанными выше методами.

Если представляет интерес экономическая ситуация, когда покупатель имеет возможность воздержаться от покупки товара, то можно ввести в модель понятие фиктивной фирмы, к услугам которой якобы прибегает покупатель, который отказывается от услуг или товара реальных фирм. В этом случае модель совпадает с одной из описанных выше.

Можно рассмотреть иную логику принятия решения покупателем, когда он определяется с окончательной покупкой после того, как число промежуточных решений в пользу выбора одной из фирм превышает число промежуточных решений в пользу другой фирмы на заданное значение. В этом варианте получается другая марковская цепь, финальные вероятности которой также найдены. В такой ситуации происхо-

£ со

3

со

I

иа со С

121

Нв2(14) 2008

I 8

¡5

и

0

1 &

та к

0

¡5 *

1

и л

чз

0

г

и

1

и

<0 та

I €

1

¡и

дит более быстрая настройка на финальные вероятности.

Все рассмотренные модели обладают свойством устойчивости. Однако эта устойчивость не асимптотическая и конечные значения финальных вероятностей зависят от начальных условий. То есть никакая реклама не может полностью выгнать конкурента с рынка.

Таким образом, предлагается целый спектр математических моделей, позволяющих проводить как численные, так и аналитические расчеты объема продаж на рынке в зависимости от частоты рекламы. Это может позволить конкретным товаропроизводителям определять для себя экономически целесообразный объем финансовых вложений, направляемых на рекламные проекты.

При разделе рынка между компаниями-конкурентами необходимо также учитывать, что покупатели получают информацию по различным каналам: не только из наружной рекламы, рекламы в средствах массовой информации, но и путем общения с другими покупателями, имеющими опыт приобретения и оценки товара соответствующей фирмы. В этом случае возникает новая ситуация, которая требует специальной модели.

Индукционная модель продаж

При проведении маркетинговых исследований фирмы часто интересуются проблемой о долевом распределении рынка между ними. Такое распределение зависит от качества продукции фирм, объемов их рекламы, а также и от действий покупателей, распространяющих информацию о купленном ими товаре. Часто покупатели приобретают товар, основываясь не на рекламе фирмы, а на сведениях о качестве товара, полученных от третьих лиц, уже купивших и опробовавших данный товар. Такое явление будем называть индукционной, или вторичной рекламой. Этот вид рекламы может сильно влиять на распределение долей рынка между конкурентами. Математическая модель такого явления должна объяснять следующие явления:

• внезапный спад интереса покупателей к товару;

• ажиотажный спрос на какой-либо товар;

• возникновение явления «торговой марки» (бренда).

Пусть две фирмы продают одинаковую продукцию. Покупатель будет приобретать товар у первой фирмы, если увидит рекламу А подряд к раз. Если же он увидит к раз подряд рекламу В, то будет покупать товар второй фирмы. Считаем, что конкуренты находятся в одинаковых условиях. Но на покупателей еще оказывают влияние слухи, распространяемые теми людьми, которые уже приобрели товар у первой либо у второй фирмы. Это влияние проявляется одинаково внутри одного периода покупки. Следовательно, считаем, что переходный процесс колебания покупателя (что купить) перед покупкой протекает много быстрее процесса изменения числа покупателей.

В этом случае можно пользоваться формулами финальных объемов продаж на каждом шаге изменения числа покупателей. Получается система с запаздыванием на такт и с положительной обратной связью (рис. 3).

При этом величина р, которая была постоянной в предыдущей модели, теперь меняется для каждого периода покупки п и составляет рп. Это выражается следующей формулой:

Рп+1 =-

х + вип X + у + Б

(13)

В формуле (13) величина х — объем рекламы фирмы А, у — объем рекламы фирмы В, б — увеличение рекламы товаров

Рис. 3. Структурная схема индукционной модели продаж

122

№2(14) 2008

фирмы А, связанное с потребительской индукцией.

Формула (13) получена из следующих соображений. Частота рекламы товара фирмы А складывается из частоты рекламы, проводимой фирмой, и частоты индукционной рекламы, пропорциональной числу покупок товара этой фирмы в предшествующем периоде покупок. Эта величина равна:

х + вип. (14)

Симметричные рассуждения приводят к тому, что частота рекламы товаров второй фирмы равна:

у + sWn. (15)

Общее число рекламных актов равно сумме выражений (14) и (15):

х + у + в(ип + Wn) = х + у + в. (16)

Из схемы (рис. 3) следует, что имеет место соотношение

' х + вип л ч х + У + в,

Рекуррентное уравнение(17) описывает математическую модель с индукционной рекламой. Уравнение для ее положений имеет следующий вид:

х + ви0

ип+1 = Г( Рр+1) = г

(17)

и = г

(18)

ч х + у + в

Условие устойчивости положения равно весия (17) имеет вид:

ди

< 1.

(19)

В пограничном случае может быть ровно два положения равновесия, одно из которых устойчиво, а второе неустойчиво.

В первом случае ситуация на рынке качественно мало отличается от той, которая описывается первой моделью. Во втором случае зависимость и0(х) имеет петлю гистерезиса. Это означает, что при одном и том же объеме рекламы первой фирмы может устанавливаться различное число продаж ее товара в зависимости от предшествующего числа продаж. Если фирма была еще неизвестна на рынке и постепенно наращивает рекламу, то число ее продаж сначала медленно растет, затем резко увеличивается. Если после этого увеличения снизить объем рекламы, то резкого падения числа продаж не произойдет. Точка режима при этом будет двигаться по верхней части петли гистерезиса. Это означает, что рынок «помнит» хорошие качества товара данной фирмы (явление «бренда»).

Представляет практический интерес нахождение начального значения параметра в, при котором существует гистерезис. В случае когда гистерезис отсутствует, производная функции и0(х) положительна при всех х. Можно показать, что минимум этой производной достигается при р = 1/2. Из этого несложно получить значение граничного коэффициента вгр:

2у

Г '(0,5) -1

Несложно показать, что уравнение (18) имеет хотя бы один корень и е [0,1]. С другой стороны, это уравнение не может иметь более трех корней, потому что вторая производная функции Г унимодальная. Возможны два основных случая:

1) при малых значениях коэффициента обратной связи в имеет ровно одно устойчивое положение равновесия;

2) при больших значениях в имеются три положения равновесия. Два из них устойчивые и одно промежуточное, неустойчивое.

123

£ со

3

со

I

иа со С

(20)

Производную в знаменателе формулы (20) можно найти, пользуясь формулой (10).

При коэффициентах обратной связи больших вгр имеет место явление гистерезиса.

Число в характеризуется, прежде всего, коммуникабельностью покупателей на рынке и может быть определено с помощью обычного маркетингового исследования. Поэтому можно заранее предсказать возможность явления гистерезиса в каждой конкретной ситуации на рынке.

Список литературы

Колмогоров А.Н. К теории цепей Маркова: Избранные труды: В 2 т. Т. 2. М.: Наука, 2005.

гр