CC BY
38
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 681.7
А.А. Аршакян, канд. техн. наук, докторант, (487-2)-35-02-19, [email protected], [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ), С.А. Будков, асп., (487-2)-35-02-19, [email protected], [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
Е.В. Ларкин, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (487-2)-35-02-19, [email protected], [email protected] (Россия. Тула. ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ СИГНАЛА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Предложено использовать для моделирования точечных источников сигнала полярную систему координат. Даны двумерные модели точечных источников на основании функций Баттерворта и Гаусса. Получены зависимости для смещенных функций в полярной системе. Показано, что при решении задач аппроксимации применение полярной системы координат позволяет упростить выкладки.
Ключевые слова: точечный источник сигнала, функция Гаусса, функция Баттерворта, полярная система координат, смещенные функции, аппроксимация.
Одним из важных факторов, определяющим трудоемкость исследования и разработки информационно-измерительных систем, является сложность математических моделей, которые используются для их описания [1, 2]. С одной стороны, модель должна быть настолько сложной, чтобы описывать все многообразие исследуемых явлений в их взаимосвязи, а с другой стороны - она должна быть достаточно простой, чтобы операции с моделью не заменяли собой само проводимое исследование. Абстрактное понятие точечного источника сигнала широко применяется в системах пе-
ленгации различного рода: обнаружения и определения координат источника сигнала, пространственной ориентации космических аппаратов, высокоточного оружия, навигации, и т.п. [3, 4].
В реальности точечный источник представляет собой некоторый физический объект конечной площади, излучающий электромагнитный сигнал определенной интенсивности. Под это понятие могут быть разработаны различные математические модели, сложность которых так или иначе влияет на объем проводимых исследовательских и конструкторских работ и результат процесса разработки [5].
Как правило, точечный источник сигнала рассматривается как некоторая функция двух пространственных координат x и y декартовой системы xOy:
u = u (x, y ), (1)
где х и у - координаты пространства, в который помещен точечный источник; u - интенсивность доли излучения из точки пространства с координатами x, y.
Для формирования обобщенной модели точечного источника примем следующие допущения:
центр точечного источника Cps (point source) совпадает с началом
координат О, т.е. (xps,yps )=(0,0);
в центре точечного источника интенсивность излучения достигает максимума u(xps,yps )> u(x,y), - да < x, y < да;
для точечного источника выполняется условие нормирования по величине u (xps, yps )= 1.
В общем случае на вид функции (1) не накладывается никаких других ограничений, поэтому хорошим приближением для них являются функции Баттерворта порядка s (рис. 1 а, б, в)
b 2 s
ub (x, y) =-rB-s, (2)
2s 2 2 s
bB + \x + у J
или функция Гаусса (рис. 1 г)
uG (x У ) = exp
2 + 2 _ x + y
2bG
(3)
где bQ и Ь£ - параметры, определяющие размеры точечного источника.
Представленные на рис. 1 функции обладают круговой симметрией относительно оси Ои и поэтому описываются достаточно просто. Сложность математической модели точечного источника существенно возрастает, если функции не являются осесимметричными. В этом случае для адекватного описания функции необходимо варьировать два аргумента,
что не всегда удобно. Поэтому для описания точечного источника в подобных случаях следует применять полярную системы координат рОу, центр О которой совпадает с началом декартовой системы, угол у отсчиты-вается от оси х против часовой стрелки и
Г~2 2
: д/х + у ; у = агссоз
I
; р > 0; 0 < у < 2л.
(4)
5б>5а
Рис. 1. Функции Баттерворта (а, б, в) и Гаусса (в)
Функция (1) в полярной системе принимает вид
и = ?7(р,у), (5)
а функции Баттерворта и Гаусса, обладающие круговой симметрией относительно оси Он, имеют вид, соответственно
178
~ bBs
(Р' Y) = 2 sß 2 s<y< s = 1,2,3,...; (6)
bß +Р
uG fo Y) = exp
' Р2Л
v 2bG;
; 0 <у< 2 п. (7)
На базе функций Баттерворта и Гаусса могут быть построены модели несимметричных точечных источников, за счет подстановки
bß = fß (y) , (8)
или
bG = fG (y) . (9)
В (8) и (9) fß (y) , fG (y) - функции, обладающие следующими свойствами:
функции fß (y) и fG (y) имеют области определения, задаваемые неравенством 0 < y < 2п ;
на всей области определения функции fß (y) и fG (y) являются непрерывными функциями;
области значений функций fß (y) и fG (y) лежат в интервале
0< fß(y)<w и 0< fG(y)<^;
для функций fß (y) и fG (y) выполняются условия
lim y^ 2п [fß (y)]=fß (0); (10)
HmY^ 2п [fG (y)]= fG (0). (11)
Несимметричные точечные источники с учетом (8) и (9) описываются выражениями:
~ f2s (y)
Mß (^ y) = 2iß, 2s; (12)
fßs (y)+р 2 s
uG (Р, Y) = exp
Р2
(13)
2Я (т).
Задание функций и в и UQ в полярной системе координат в виде и в и UQ позволяет избежать проблем, связанных с определением угла у как арккосинуса или арктангенса выражения, представляющего собой дробь, что существенно упрощает выкладки.
Функции Баттерворта пятого порядка и гауссиан для случая, когда /в (у)= й,(cos3y + 0,1), где а - параметр, имеющий ту же размерность, что и р, приведены на рис. 2.
Рис. 2. Функции Баттерворта (а) и Гаусса (6), не обладающие круговой симметрией
Смещение функции (5) относительно исходного местоположения сводится к смещению каждой точки функции по оси р на величину а > О, и угла у на величину 0 < а < 2л. Если по условию решаемой задачи требуется определить вид функции, смещение которой а' и а', не укладывается в указанные пределы, то величины а и а могут быть определены по зависимостям:
а
-а : а
а' © я при а' < 0; 2л
а' © 0 при а' > 0, 2л
(14)
где © - знак операции суммирования по модулю 2л. 2л
Смещенная функция и имеет вид
й = и (р - а,у - а). (15)
Если считать, что исходные функции Баттерворта и Гаусса имеют смещение по координате у, равное нулю, то смещенные функции имеют вид
/вЧ У"а)
/в* {у - сс)+ р1 + а1 - 2рясо8(у - а)
ис{ р,у) = ехр
р2 + а2 - 2расоз(у - а) 2/|5(У"а) 180
(16)
(17)
В качестве примера рассмотрим модели точечного источника, имеющего форму круга конечного радиуса а, причем функция (5) в пределах круга имеет постоянное значение. В этом случае моделью источника может служить цилиндр с радиусом а, который определяется зависимостью:
1 при 0 < р < а, 0 < у < 2п;
у)=
0 при р > а, 0 < у < 2п,
если высота цилиндра имеет единичное значение, или
1 [1при0 < р < а, 0 <у<2п;
у)=
(18)
(19)
па2 [0 при р > а, 0 < у < 2п.
если объем цилиндра имеет единичное значение.
Цилиндр (18) может быть аппроксимирован функцией Баттерворта, имеющей вид (6), причем наилучшим приближением является случай, когда а = Ь£, В пределе, при ^ ^ да, функция (6) стремится к функции (18), оставаясь при этом непрерывной, гладкой, дифференцируемой, равномерно убывающей по аргументу р функцией.
Цилиндр (19), нормированный по объему, с условиями нормировки а 2 п 1
в виде |р | —— dydр = 1 может быть аппроксимирован функцией Гаусса,
0 0 па
нормированной по объему
^ У) =
1
2пbG
ехр
р
2bG
, 0 <у <2п.
(—0)
Определим параметр bG, нормированной функции Гаусса, исходя из критерия близости функций (19) и (20), который в полярной системе ко-
ординат имеет вид:
а
0
2 пbG
ехр
2 ^
2bG
па
'2п да
jрdydр + |
а
2 пbG
ехр
2 ^
2bG
'2п
jрdydр. (21)
Эквивалентные преобразования (21) приводят к следующему выра-
жению :
2
8 =
4пbG
2
па
1 - ехр
а
2ь1
+
па
2
^ Ш1П ь-
(22)
где bG - искомый параметр, определяющий ширину функции Гаусса; а -известный радиус цилиндра.
2
Умножая обе части (22) на величину па Ф 0, получим
? 2
па8 =--+ 2 ехр
4
V 181
2
- 1 ^ ш1п ^,
(23)
1
1
1
0
0
1
1
где д = —. о
Минимум функции 7гав достигается, когда
Вид функции (12), а также первой и второй ее производных приведен на рис. 3 а, б, в, соответственно.
Рис. 5. Функция (23) (я), ££ первая (б) и вторая (в) производные
Для расчета оптимального значения д* необходимо решить уравне-
ние
¿/(лаг)
1
2<; * - ехр
(Я*?
0.
(25)
Решение уравнения дает следующие три корня: <;* = = {-1,65; 0; 1,65}. В точке с;* = -^- = 0 имеет место максимум функ-
ции ясте, а в точках
—= ±1.65 - минимум указанной функции, откуда
ЬС
ъс= 0.606а.
Таким образом, применение полярной системы координат позволяет существенно упростить процедуру аппроксимации функций, симмет-
ричных относительно оси значения функций за счет того, что в выражении для интеграла имеется только одна переменная р, вследствие чего упрощается получение аналитического выражения для производной по варьируемому параметру, не содержащего интеграла. Таким образом, применение полярной системы координат при исследовании реальных объектов информационно-измерительных систем существенно упрощает аналитические модели и способствует развитию методов обработки полученных математических моделей.
Список литературы
1. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высшая школа, 1989. 376 с.
2. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике / Под ред. В.И.Алексеева. М.: «Мир», 1971. 496 с.
3. Ларкин Е.В., Аршакян А.А. Определение соотношения сигнал/шум в системах наблюдения // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 168 - 175.
4. Ларкин Е.В., Акименко Т.А., Лучанский О.А. Оценка «смаза» изображения в системе технического зрения мобильного колесного робота // Вестник РГРТУ. Рязань: РИЦ РГРТУ, 2008. С. 77 - 80.
5. Аршакян А.А., Будков С.А. Математические модели точечных источников сигнала // Приборы и управление. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 18 - 24.
А.А. Arshakyan, S.A. Bydkov, E. V. Larkin
MATHEMATICAL MODELS OF POINT SIGNAL SOURCES IN POLAR COORDINATE SYSTEM
Using of polar coordinate system for modeling of point signal sources is proposed. Two-dimension models of point sources based on Butterworth and Gauss functions are given. Dependences for shifted functions in polar coordinate system are obtained. It is shown that use of polar coordinate system permit to simplify computations when approximation task is solved.
Key words: point signal source, Gauss function, Butterworth function, polar coordinate system, shifted function, approximation.
Получено 28.09.12
