Математические модели систем защиты от факторов риска производственных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-9:331.45 Д. В. ГОРЯГА

Л. М. ДОБРЕНКО В. С. СЕРДЮК О. Л. ЦОРИНА

Омский государственный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ ЗАЩИТЫ ОТ ФАКТОРОВ РИСКА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

В работе предлагаются математические модели систем защиты от факторов риска производственных процессов. Предложенные модели могут быть использованы для разработки моделей их эксплуатации в машиностроительной, нефтехимической и других отраслях производства.

Ключевые слова: производственный процесс, факторы риска, математические модели систем защиты.

Общая схема структурирования систем защиты построена авторами в работе [ 1 ].

Пусть некоторый этап производственного процесса обслуживается рабочими местами wv..., для моделирования системы защиты этих рабочих мест выделены независимые факторы риска

Предположим, что без установки моделируемой системы защиты определена на временном промежутке Т карта уровней риска Р данного этапа производственного процесса для этих рабочих мест относительно данной группы факторов риска имеет вид

Ал

в которой р.. вычисляются по формулам р.. = р^^-р.., где р( — оценка вероятности возникновения фактора риска /, дг. — оценка вероятности попадания рабочего места в зону воздействия /. при условии его возникновения, г — оценка вероятностной меры ущерба для работающего на рабочем месте от воздействия /..

Методы построения этих оценок изложены в работе [2].

Рассмотрим подсистему защиты которую определим как совокупность элементов защиты, снижающих вероятности р1Г...( рт возникновения факторов риска ,..., /т на временном промежутке Т. Зафиксируем время Тг) эксплуатации подсистемы защиты причем будем считать, что Тэ = N-Т, то есть Тэ кратно Т.

В качестве основных количественных характеристик подсистемы защиты возьмем неубывающие функции к1 (£),..., кт (£), определенные на промежутке времени [0, Тэ] и принимающие значения из промежутка [0, 1], отражающие динамику роста коэффициентов снижения вероятностей р1,...1 рт соответственно (потеря защитных свойств вследствие износа или старения ее элементов за время ее эксплуатации). Функции &,(£),..., кт(Ц строятся по экс-

пертным оценкам износа или старения элементов Ъ( на [0, Тэ], при этом будем предполагать, что восстановление (частичный или полный ремонт) элементов подсистемы на [0, Тэ] не производится.

Для моделирования карты уровней рисков после установки подсистемы защиты определим на [О, ТД следующие вспомогательные функции (индикаторы соответствующих временных промежутков):

1, при £е[(1с-1)ТДТ] 0,при^[(]с-1)Т,А:Т], к =

Рассмотрим вместо исходных функций кт(Ц кусочно-постоянные функции

где

к=\

к,((к-\)т)+кХкт)

(1)

(2)

и заметим, что при [(к — 1)Т, кТ] значение г,(/)(£) равно среднему арифметическому значений функции ¿Д£) на концах промежутка времени [(к — 1)Т, кТ] (усреднение значений функции £.(£) на этом промежутке).

Теперь установка подсистемы защиты меняет элементы ркарты уровней рисков Р, вследствие того, что вероятности р{ возникновения факторов риска / должны быть заменены на , где высту-

пает как коэффициент снижения р;. Таким образом, р;). становятся переменными на [О, Тэ]. Таким образом, новая карта уровней рисков имеет вид

Р(') =

где =

Рц(0"-Рт(0 РшДО'-'РяшИ

(3)

Согласно формулам (1) и (2), на каждом промежутке [(к- 1)Т, кТ],к= 1.....N3, р^)=г.(к)-р.., то есть

является постоянной величиной, которая меняется лишь от промежутка к промежутку времени Т, другими словами, карта уровнейрисков P(f) — кусочно-постоянна на [О, TJ. Вектор Р, =(P/i,...lP/m), определяющий оценки вероятностей воздействия каждого из факторов риска /,,..., fm на производственный коллектив в целом, так же из постоянного становится кусочно-постоянным на [О, Т ] и имеет вид [2]

где

?f(t) = (^(t),...?tm(t)),

?fi(t) = l-Yl(l-Pij(t)).

7=1

(4)

Вектор Р^ = (Р^ . .гР^п), определяющий оценки уровней рисков каждого из рабочих мест мгп

относительно всей группы факторов рисков /1,...г /т, также из постоянного становится кусочно-постоянным на [О, Тэ] и име-ет вид [2]

где

.....Р WK{t)\

KSt)=\-fl{i-pij(t)).

(5)

И, наконец, оценка общего уровня риска также становится кусочно-постоянной на [О, Тэ] и имеет вид [2]

j=1

(6)

где

ktJ((k-\)T)+UKT)

i= 1,..., m; j— 1,..., л; к= 1 ,...,N3, и отметим, что, как и

среднему арифметическому значений функции к^Ц)

на концах временного интервала [ (к — 1) Т, кТ].

Теперь установка подсистемы защиты Ъы меняет

элементы р карты уровней рисков Р, вследствие того, Ч

что вероятности д;/ становятся равными -д,, , где выступают как коэффициенты снижения д . Таким образом, новая карта уровней рисков имеет вид (3),

где

(8)

Формулы (4), (5), (6) позволяют вычислять основные показатели уровней рисков с учетом действия подсистемы защиты 2/на любом временном промежутке [(к — 1 )Т, кТ], к = 1,...,ЫЭвремени эксплуатации Тэ подсистемы защиты Тг

Рассмотрим подсистему защиты Zfw, которую определим как совокупность элементов защиты, снижающих вероятности д(/ — попадания рабочих мест в зону воздействия факторов риска/. (/ = 1т;) = = 1,..., л) на временном промежутке Т.

В качестве основных количественных характеристик подсистемы защиты возьмем неубывающие функции А (0 (г= 1,..., лг;;= 1,..., л), определенные на [О, Тэ] и принимающие значения из интервала [0, 1], отражающие динамику роста коэффициентов снижения вероятностей д/у. Функции строятся по экспертным оценкам износа или старения элементов на [О, Тэ], при этом, как и выше, предполагается отсутствие восстановления защитных свойств элементов подсистемы Ъы на [О, Тэ].

Для моделирования карты уровней рисков после установки подсистемы защиты Ъы рассмотрим вместо исходных функций кц (¿) кусочно-постоянные функции

(7)

и становится кусочно-постоянной на [О, Т9]. Векторы и оценка общего уровня риска при этом также становятся кусочно-постоянными на [О, Т9] и вычисляются по формуле (7) с использованием формул (4), (5), (6).

Рассмотрим подсистему защиты Ъ^ определяемую как совокупность элементов защиты, снижающих вероятностные меры ущерба г., наносимого работающим на рабочем месте в результате воздействия фактора риска на временном промежутке Т.

Модель карты уровней рисков после установки подсистемы защиты ^ строится так же, как и для подсистемы защиты Ъы, то есть по исходным функциям , отражающим динамику роста коэффициентов снижения /V. на [0, Тэ], строятся кусочно-постоянные функции

4w,(i)=£z9(i)-9Jt(i)i

где ъ.. (О вычисляются по формулам (7).

Установка подсистемы защиты Ъ^^ меняет элементы ргу карты уровней рисков Р, так как теперь вместо г. нужно при вычислении р/;/ брать Щ • г^, где выступает как коэффициент снижения г..

Таким образом, новая карта рисков имеет вид (3), где

Pljtt) = z^tt).Pii

(9)

и также становится кусочно-постоянной на [0, Тэ]. Векторы Р/ГР^ и оценка общего уровня риска Р также становятся кусочно-постоянными на [О, Т7] и вычисляются по формуле (9) с использованием формул (4), (5), (6).

Установка подсистем защиты Ъ^ меняет

модели оценок средних экономических потерь от воздействия факторов риска ^,..., /т на рабочие места м^,..., построенные в работе [3].

Действительно, если на временном промежутке Т задана таблица экспертных оценок экономических потерь от воздействия /-го фактора риска (г= 1 ,...,т) на/-ое рабочее место (/= 1,..., л)

С =

••ст

раньше, при fe[(Jc—1)Т, кТ] значение zj/w)(f) равно

то случайные величины Хт — экономические потери от воздействия каждого из факторов риска ^,..., /ш, соответственно, на рабочий коллектив в целом трансформируются в случайные величины Х{(к),..., Хт(к), которые на каждом временном промежутке [(¿-1)Т, кТ] вычисляются с учетом того, что р..= Вероятностир (?) на [(к— 1)Т, кТ] вычисляются в зависимости от подсистемы защиты по соответствующим формулам.

Случайные величины У,,..., У — экономические потери от воздействия на каждое из рабочих мест wv..., цгп всей группы рассматриваемых факторов риска трансформируются в случайные величины

УДА),..., Уп(к), которые на каждом временном промежутке [(к — 1)Т, кТ] определяются с учетом того, что Ру — РуЩ, где вероятности р (£) на [(А — 1)Т, кТ], вычисляются в зависимости от подсистемы защиты по соответствующим формулам.

Таким образом, средние экономические потери за время Тэ = Ыэ-Т эксплуатации соответствующей подсистемы защиты вычисляются по формулам

_ т IV, л IV,

х = ХЕх,( *) = Х£у,.(.к) = у, (10)

/=1 к=\ 7=1 ¿=1

где ХДА), У.(А) — средние значения (математические ожидания) соответствующих случайных величин.

Общая модель всей системы защиты Х = , )

определяется картой уровней рисков, в которой вероятности воздействия факторов риска на рабочие места имеют вид

р9и=2(,0(о-4л"(о-гГ(о-Рв. (11)

Средние экономические потери после установки системы защиты за время Тэ = Л^-Тее эксплуатации вычисляются по формуле (10), где Х1(к),У](к) вычисляются по карте уровней рисков, элементы которой определяются формулами (11).

И, наконец, если С(ХГ), — стоимости

соответствующих подсистем защиты, то стоимость всей системы защиты вычисляется по формуле

с(7) = С{г,)+с{гы)+срш

где С(Т,слЪы), С(Ъ,слЪк), С{ТыглТ„), С^пг^,,) -стоимости общих элементов соответствующих подсистем защиты.

Предлагаемая общая модель системы защиты может быть использована при разработке моделей ее эксплуатации в штатном и нештатном режимах.

Библиографический список

1. К вопросам разработки общих моделей систем защиты от факторов рисков производственных процессов [Текст] / А. В. Го-ряга [и др.] // Россия молодая: передовые технологии — в промышленность : мат. III Всеросс. молодежи, науч.-техн. конф. Кн. 2. - Омск: ОмГТУ. - 2010. - С. 280-282.

2. Сердюк, В. С. Модели количественных оценок уровней рисков производственных процессов [Текст] / В. С. Сердюк,

A. В. Горяга, А. М. Добренко. - Омск : ОмГТУ, 2005. -18 с.-Деп. в ВИНИТИ 03.05.05, № 645.

3. Горяга, А. В. Общие модели количественных оценок экономических потерь от воздействия опасных производственных факторов на рабочие места [Текст] / А. В. Горяга, А. М. Добренко,

B. С. Сердюк // Динамика систем механизмов и машин : мат. VII Межд. науч.-техн. конф. Кн. 3. — Омск : ОмГТУ. — 2009. —

C. 356-358.

ГОРЯГА Александр Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики.

ДОБРЕНКО Александр Максимович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Безопасность жизнедеятельности» .

СЕРДЮК Виталий Степанович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Безопасность жизнедеятельности».

ЦОРИНА Ольга Александровна, старший преподаватель кафедры «Безопасность жизнедеятельности». Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 12.12.2010 г. © А. В. Горяга, А. М. Добренко, В. С. Сердюк, О. А. Цорина

Поправка

В № 3(93) за 2010 г. журнала «Омский научный вестник» (раздел «Машиностроение и машиноведение») неправильно указано имя одного из авторов статьи «Динамический анализ подъемных машин», опубликованной на стр. 74 — 77.

Следует читать: Сарбасов Арман, преподаватель кафедры «Подъемно-транспортные машины и оборудование» Атырауского инженерно-гуманитарного института.