CC BY
59
УДК 621.983; 539.974
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПЕРАЦИЙ ВЫТЯЖКИ, ОБЖИМА, ОТБОРТОВКИ И РАЗДАЧИ АНИЗОТРОПНОГО ВЯЗКОПЛАСТИЧНОГО МАТЕРИАЛА
В.Н. Чудин, С.С. Яковлев, Г. А. Нуждин, Б.С. Яковлев
Предложены математические модели операций изотермической вытяжки, обжима, отбортовки и раздачи анизотропных заготовок в условиях вязкопластического течения материала, позволяющие определить кинематику течения, деформации, напряжения, силы и потерю сплошности материала. Используются линейное условие текучести, уравнение равновесия и уравнения кинетики сплошности для анизотропного материала.
Ключевые слова: анизотропия, математическая модель, вытяжка, обжим, отбортовка, раздача, скорость, деформация, напряжение, сила, сплошность, вязкопластическое течение, кратковременная ползучесть.
В технологии обработки металлов давлением широко применяются процессы вытяжки, обжима, отборотовки, раздачи. Номенклатура деталей, получаемых этими способами, разнообразна и имеет место практически во всех отраслях машиностроения [1, 2].
Процессы формообразования могут осуществляться без нагрева или с нагревом деформируемого материала. Последнее характерно для производства деталей из высокопрочных материалов. При этом материал проявляет вязкие свойства и характерна зависимость режимов технологии от температурно-скоростных условий обработки. Некоторые элементы теории и технологии обработки давлением таких материалов в условиях нелинейной вязкопластичности приведены в работе [1] для ряда процессов формообразования.
Рассмотрим математические модели операций изотермической вытяжки, обжима, отбортовки и раздачи анизотропных заготовок в условиях вязкопластического течения материала, схемы которых показаны на рис. 1.
Кинематика деформирования. Напряженное состояние названных процессов - плоское. Течение материала в зоне деформаций - радиальное. Материал заготовки принимаем трансверсально-изотропным. Компоненты скоростей деформаций при этом определяются соотношениями
Здесь верхние знаки относятся к вытяжке и обжиму; нижние - к отбортов-ке и раздаче; Уг - радиальная скорость точек в области деформаций,
(1)
V - радиальная координата точки; г - радиальная координата точки; г\ -радиус изделия (вытяжка, отбортовка) или заготовки-трубы (обжим, раздача) в соответствии с рис. 1; Vn - скорость движения пуансона; Я - коэффициент анизотропии материала; / = Я /(1 + Я).
а
б
в г
Рис. 1. Расчетные схемы вытяжки (а); обжима (б); отбортовки (в),
раздачи (г)
Эквивалентную скорость деформации рассчитываем, исходя из зависимостей (1), по соотношению
хе = ^пг\ г 1 / .
(3)
Эквивалентную деформацию будем определять по краевым точкам заготовки. Учитывая выражения (2) и (3), получим
йг
ее = і Хей = і Хе~ = к 1п
і г Уг г
г0
кр
где к
2(2 + Я)
1/2
г]р - радиальная координата краевой точки зоны де-
3(1 + Я)
формации на текущем этапе.
На конечной стадии при вытяжке и отбортовке Гкр = Гь при обжиме
и раздаче Гкр = Г2 (рис. 1). Текущая толщина деформируемого края полуфабриката
/ \1-1
5 = 5г
_го_
гкр
(5)
Условие пластичности. Запишем условие пластичности Мизеса-Хилла для плоского напряженного состояния в виде
1
о
ф
ог
2/
о
оф
V ф У
(6)
где оГ, Оф - компоненты напряжений. Эквивалентное напряжение в условии (6) следует из уравнения состояния деформируемого материала. При нелинейной вязкопластичности, учитывая выражения (3) и (4), оно записывается в виде
ое = Ау = АКг1, (7)
где у - сплошность материала заготовки при фиксированном Гкр; А, ^, 1
- константы; К = у^кт+п ^п1
1п
г0
гкр
т
; 1 = -(1 + / )
п.
Если вязкость не учитывается, то е = 0 и состоянию материала соответствует уравнение жесткопластичности с упрочнением. Если принято у = 1, то учет текущей сплошности материала не производится.
Введем далее параметр вида напряженного состояния (параметр Лодэ-Надаи) [3]:
О1 +О3
о 2
2
о1 -о3 2
(8)
Здесь главные напряжения
О1 = оГ > 0, О2 = о2 = 0, 03 = -Оф < 0 - вытяжка; 01 = о2 = 0, 02 = -оГ < 0, 03 = -оф < 0 - обжим;
01 = Оф > 0, 02 = оГ > 0, О3 = 01 =0ф > 0, 02 = ог = 0, 03 В соответствии с выражением (8) получим:
31
о
2 - 0 - отбортовка; раздача.
-ог < 0
2
і
О
для
вытяжки (ц0 ) =-----ф, для обжима (ц0 ^ = 1 - 2
г \ О г
і _
О
для отбортовки (тО)з = _ і + 2
Ф
А Л Ог
ОФ У
ОФ
V ф У
, для раздачи (тО)4 =
О
Ф
і _ Ог
(9)
О
Ф
где напряжения должны быть взяты с соответствующими знаками.
Совместное решение условия текучести (6) и выражений параметров вида напряженного состояния (9) определяет окружное напряжение как
°Ф=±Р°е . (10)
Здесь
Р = Рі
Р = Р2
Р = Рз
і _і (то )і і (то )і _ 2у і + (то)і чі + (тО)і
і + ^ (і _ (тО )2Іі ^ (і _ (тО )2 ) _ 2ї
-і/2
при вытяжке; -1/2
і + 2(і + (то)з/2(і + (то)з) 2/
-і/2
при обжиме;
при отбортовке;
Р = Р 4 =
і (то)4 уі (то)4
-і/2
при раздаче.
Выражение (10) является приближенным условием пластичности для трансверсально-изотропного материала при плоском напряженном состоянии. Знак «+»- принимается для окружного напряжения при отбортов-ке и раздаче, знак «-» - при вытяжке и обжиме.
Напряжения и силы. Для расчета компонент напряжений в зоне деформации обратимся к уравнению равновесия [3]:
^ (5аг )+^(аг-^ф)= °. (11)
г
Положим 5 = 8о. Используем зависимости (5), (6) и условие (10) После их подстановки в уравнение (11) получим
<^о
йг
+ Ог РОе •
(і2)
Данное дифференциальное уравнение является неоднородным. Его решение представим в виде
г
а
1 •С(г):
(13)
где С (г) - константа. При этом
^ = IС '(г)-1С (г).
йг г г 2
Внеся это в исходное уравнение (12) , получим
С\г ) = рае.
Отсюда
С (г) = Р | ®ейг = г1+1 + С
1 + 1
и, следовательно, в соответствии с (13)
РАК X , 1
аг —
г + —С 1 + 1 г
При условии г = г^р , ог = 0 получим
С = - РАК г1+1 С = 1+1 *р .
Тогда радиальное напряжение будет выражено как
аг — ±
рАК
1 + 1
Ґ \ 1+1
1 - гкр
г
V У
X
(14)
а окружное напряжение - формулой (10).
Значения константы р принимаются в соответствии с видом процесса. Здесь знак «+» - принят для отбортовки и раздачи, «-» - для вытяжки и обжима.
Зависимости (10) и (14) позволяют рассчитать напряжения на любом этапе операций при заданном положении края заготовки г^р .
Сила операции при этом
Р = 2рг[5ог =
2кАркт+п 1 + 1
§0 г1
1+1+п/
Ґ \ 1-/ / \ т ґ \ 1+1
г0 пп 1п г0 ± 1 + гкр
V гкР У V гкр У V г1 У
(15)
С другой стороны, на основе энергетического метода расчета возможна поэтапная оценка силы в зависимости от текущего положения края полуфабриката. В соответствии с экстремальной теоремой пластичности сила определяется интегралом
Р < — 11 оеХе5гйфйг.
п
ф г
г
После подстановки входящих выражений будем иметь
г Л 2-(1+п)(1+/) 1
,1—| гкр X ± 1 + —
V г1 У
(16)
В зависимостях (15), (16) верхние знаки в квадратных скобках соответствуют обжиму и отбортовке, нижние - вытяжке и раздаче.
Таким образом, величина силы зависит от степени деформации, скорости операции и анизотропии материала, что следует из зависимостей
Кинематика несплошности материала и критические режимы операций. Процессы деформирования заготовок сопровождаются потерей сплошности материала, что накладывает скоростные и деформационные ограничения на режимы операций.
Оценку сплошности будем производить по энергетической и деформационной теориям прочности и ползучести для вязкопластичного материала. Механическое состояние деформируемого материала определяется уравнением (7), т.е.
где А, ^, т, п - константы уравнения состояния.
Входящая в это уравнение величина сплошности в соответствии с названными теориями прочности записывается в виде
Здесь сплошность 1 > у > 0 при 0 < ? < - критическое время, опре-
ответственно предельная удельная работа разрушения и предельная эквивалентная деформация. Если оценивать сплошность в точках максимальной деформации, т.е. в краевых свободных точках заготовок, то в соответствии с выражениями (3) и (4)
(15) и (16).
(17)
(18)
(19)
деляющее возможное разрушение материала заготовки; Апр, (ее) - со
(20)
ее — к 1п—^ гкр.
кр.т.
—крт - текущий радиус деформируемого края заготовки; —о - исходный радиус плоской заготовки (вытяжки), отверстия (отбортовки), трубы (обжим, раздача).
Выражения (17), (20) и (21) внесем в уравнение (18). Учитывая, что
^ ^ = Гкр.т^кр.т
V—
получим
при Л ^ 1 и
при Л = 1. Здесь
у =
1 -(1 -ъУЦр
у = ехр(рГ„")
1_
1-Л
(22)
(23)
Р =
Лк
1+т+п
Л г~п/ Лпр —
,-1-п(1+/)
кр.т.
1п
—0
'кр.т.
т
кр.т.
Критическое состояние, связанное с возможным разрушением заготовки, соответствует условию у = 0. Из зависимостей (22), (23) при этом следует связь между скоростью операции и размерами заготовок и изделий в виде
V,,=[(1 -лИ-1/п; (24)
1
(25)
Зависимости (22) - (25) определяют расчетные значения сплошности материала и критические условия операций по энергетической теории. По деформационной теории сплошность в соответствии с уравнением (19)
у =1
к
(1 / )(ее )пр
и критическое состояние наступает при
,1-/+1-/
1- / 1- /
г2 - —
(26)
'2
к
(ее )
пр
1
1-/
(27)
не зависимо от скорости операции.
Приближенно оценку сплошности деформируемого материала заготовок можно получить, используя выражение для конечных эквивалентных деформаций в краевых точках изделий, где
ее
к 1п —-г2
(28)
Эквивалентные скорости деформаций усреднены, и время в этой
связи
Хе = —, і = —, й = — й (АН). і V’ V,
ж- (29)
IV V
1 у п у п
По энергетической теории прочности (18), учитывая (28), (29) и
уравнение состояния (17), имеем
1
У
при л ^ 1 и
при л = 1. Здесь
1 -(1 -лК'к
у = ехр(»'П’)
1-Л
(30)
(31)
к = Л(АН )
- п
пЛ
пр
к 1п —
—2
1+т+п
Критическое состояние определяется аналогично выражениям (24),
(25), т.е.
-1/ п
Vп = [(1 -л)к ]
-1
V, = К п .
По кинетической теории прочности (19)
А г2
(32)
(33)
у =1
Є
(ее)пр
1
к 1п
(ее )пр.
(34)
Отсюда определяются критические параметры формообразования:
Л
—1
— = ехр —2
Vм к(£е)
е 'пр
(35)
у
где верхний знак соответствует вытяжке и раздаче, нижний - обжиму и от-бортовке.
Константы во всех полученных зависимостях определяются при известном среднем напряжении. Так как в краевых точках деформируемой области заготовок ее = тах, ог =о2 = 0, то, учитывая условие (10), среднее напряжение здесь
1
3
С (О — + Фф + С Фф рве
Предельная работа разрушения и предельная эквивалентная деформация следуют из зависимостей [1]
где A[, A2, c\, С2 - экспериментальные константы.
Приведенные выше соотношения могут быть использованы для оценки кинематики течения, напряженного и деформированного состояний, потери сплошности материала силовых режимов операций изотермической вытяжки, обжима, отбортовки и раздачи анизотропных заготовок в условиях вязкопластического течения материала.
Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», по государственному заданию Министерства образования и науки Российской Федерации на 2012-2014 годы и грантов РФФИ.
Список литературы
1. Изотермическое формоизменение анизотропных материалов жестким инструментом в режиме кратковременной ползучести / С. С. Яковлев [и др]; М.: Машиностроение, 2009. 412 с.
2. Яковлев С.С., Кухарь В.Д., Трегубов В.И. Теория и технология штамповки анизотропных материалов / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2012. 400 с.
3. Теория обработки металлов давлением: учебник для вузов / В. А. Голенков [и др]; / под ред. В. А. Голенкова, С.П. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 442 с.
Чудин Владимир Николаевич, д-р техн. наук, проф., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Москва, Московский государственный университет путей сообщения,
Яковлев Сергей Сергеевич, д-р техн. наук, проф., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Нуждин Георгий Анатолиевич, mpf-tula@rambler.ru, Россия, Москва, Орган по сертификации систем качества «Консерсиум»,
Яковлев Борис Сергеевич, канд. техн. наук, доц., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL MODELS DRAWING OPERATION, CRIMPING, FLANGING AND DISTRIBUTION ANISOTROPIC VISCO-PLASTIC MA TERIAL
V.N. Chudin, S.S. Yakovlev, G.A. Nuzhdin, B.S. Yakovlev
The mathematical models of operations isothermal drawing, crimping, flanging and anisotropic distribution of blanks in a viscoplastic flow of the material, allowing to define the kinematics of the flow, strain, voltage, and a loss of continuity of the material. Using a linear yield condition, equation of equilibrium and kinetic equations of continuity for the anisotropic material.
Key words: anisotropy, mathematical model, drawing, crimping, flanging, distribution, velocity, strain, voltage, power, continuity, viscoplastic flow, short-term creep.
Chudin Vladimir Nikolaevich, doctor of technical science, professor,
mpf-tula@rambler.ru, Russia, Moskow, Moscow State University of Ways of Communication,
Yakovlev Sergey Sergeevich, doctor of technical science, professor,
mpf-tula@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Nuzhdin George Anatoliyevich, mpf-tula@rambler.ru, Russia, Moscow, Body on certification of the quality systems "Konsersium ",
Yakovlev Boris Sergeevich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.983; 539.974
ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ КОМБИНИРОВАННОЕ ВЫДАВЛИВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДЕТАЛЕЙ ИЗ ВЫСОКОПРОЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ
А.А. Пасынков, С.С. Яковлев, С.С. Лыков
Приведена математическая модель изотермического комбинированного выдавливания осесимметричных заготовок из высокопрочных материалов в режиме кратковременной ползучести. Получены соотношения для оценки кинематических и силовых параметров изотермического комбинированного выдавливания осесимметричных деталей.
Ключевые слова: комбинированное выдавливание, напряжение, деформация, сила, давление, поле скоростей, план скоростей, скорость деформации.
Г орячее выдавливание изделий из высокопрочных материалов применяют в машиностроении, в том числе для производства деталей летательных аппаратов. Выдавливание заготовок из этих материалов регламентируют температурно-скоростными условиями, т.к. силовые и деформационные параметры процесса зависят от этих факторов [1, 2]. Деформируемый материал проявляет вязкость (ползучесть) при одновременном упрочнении в связи с ростом деформации. Его механическое состояние определяют уравнением
°е = Ат,, (1)
где ое, ее, Хе - соответственно эквивалентные напряжения, деформация,
