Математические модели и решение задачи сейсмодинамики подземных трубопроводов Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies 2015 8. Issue 8. 1046-1055

УДК 624.1, 539.3

Mathematical Simulation and Solution of the Problem of Seismo -Dynamics of Underground Pipelines

Diyorbek A. Bekmirzaev* and Tursunbay R. Rashidov

Institute Seismic Stability of Structures Academy of Sciences of Uzbekistan 31 Durmon yuli, Tashkent, Akadem city, 100125, Uzbekistan

Received 10.03.2015, received in revised form 17.11.2015, accepted 24.12.2015

System ofequations, which determines oscillations of linear pipeline interacting with surrounding earth medium under arbitrary direction of seismic effect is derived in the paper on the basis of Hamilton -Ostrogradsky's variation principle. Numeric realization of the problem with given concrete low of soil seismic motion is carried out.

Keywords: underground pipeline, seismo-dynamics, seismic effect, interaction, finite difference method.

DOI: 10.17516/1999-494X-2015-8-8-1046-1055.

Математические модели и решение задачи сейсмодинамики подземных трубопроводов

Д.А. Бекмирзаев, Т.Р. Рашидов

Институт сейсмостойкости сооружений Академии наук Республики Узбекистан Узбекистан, 100125, Ташкент, Академгородок, Дурмон йули, 31

В статье на основе вариационного принципа Гамильтона - Остроградского выведена система уравнений, определяющая колебания линейного трубопровода, взаимодействующего с окружающей его грунтовой средой, при произвольном направлении сейсмического воздействия. Выполнена численная реализация задач при задании конкретного закона сейсмического движения грунта.

Ключевые слова: подземный трубопровод, сейсмодинамика, сейсмическое воздействие, взаимодействие, метод конечных разностей.

© Siberian Federal University. All rights reserved Corresponding author E-mail address: diyorbek_84@mail.ru

*

Введение

В статье проанализированы отечественные и зарубежные работы, в частности, материалы XIV (Пекин, 2008) и XV (Лиссабон, 2012) Всемирных конференций по сейсмостойкому строительству и Международной конференции по проектированию в геотехнической инженерии (Токио, 2009), связанные с исследованием систем жизнеобеспечения типа подземных газо-, водо- и нефтепроводов, с целью дополнить разработанную теорию новыми данными, оценить ее результативность и установить уровень настоящей работы.

Современное состояние вычислительных средств позволяет более полно учесть многочисленные факторы и с большей степенью достоверности определить фактическое напряженно-деформированное состояние подземного трубопровода.

Данная статья посвящена исследованию сейсмодинамики подземных трубопроводов на основе сейсмодинамической теории подземных сооружений [1] с привлечением математической модели теории стержней, рассмотренных в работе [3] для случая перемещения точек стержня при совместном действии продольных и поперечных сил. Выведена система уравнений движения линейноео подземного тру бопровода на основе вариационного принципа Гамильтона - Осироградского при произвольном направлении сейсмической волны относительно оси трубопривода.

Математические модели

Для изучения совместных продольных, поперечных колебаний подземных сооружений типа трубопроводов при произвольном направлении сейсмического нагружения применим прикладную теорию колебаний стержней.

На основе допощений, приведенных в работе [3], трубопровод моделируется в виде стержни (рис. 1)), а - угол падения сейсмической волны, а перемещения вьзбзраются следующим образом:

ин = и — ускн , ив = v, (1)

где иь u2 - перемещения точки трубопровода, u - продольные перемещения, v - поперечное перемещение, a¡ - угол поворота сечения трубы.

Для вывода дифференциальных уравнензй с граничными з начальными] условиями используем вариационзый принцип Гамильтоне - Остроградского

Рис. 1. Схема подземного трубопровода при произвольном направлении сейсмического воздействия на горизонтальной плоскости

J(ST-Sn + SA)S = 0,

(2)

где Т - кинетическая энергия, П - потенциальная энергия, А - работа внешних сил, t - время. При этом вариации кинетической, потенциальной и работы внешних слил представлены в

виде

¡8tdt = H

ди, 0 ди, р—1S—1 -dp _ dt dt dt dt

ди2 0 ди2

—2 S—2

dVdt ,

(3)

jSTldt = JJ(cr J j&jj + a1tSs-2)dVdt,

t V

J SAdt = jj[P1Su1+ P2du2 )JVdt + JJ (qJldi^l + q2SU2 [dSdt -

t i V

+ J"+ p2Su 2[(\х .

t S

(4)

(5)

t s,

Соотношения Коши с учетом формул(1) пол}(чаEOт вид

ди , д t \

дх дх _ ди2 д) _ ду

Si л — ^^^^^ + — .

121

дх ду дх

(6)

На вариации потенциальной энергии (4) подставляем выражения соотношении Коши (6). Выделим интегралы по течениям трубопровода в выражениях вариации кинетической (3), потенциальной энергии (4) и рабо ты внешних с ил (5). Выводим со ответствующие обознрчения. После этого в вариациях еинетической о повенциальной хнергий выполнлм операц ии интегрирован ия по час тям. Полу ченные результаты вариации кинетичеткой, потенциальной энтргии и работы вношних сил подставляем на вариацво оный принцип Га-мильто:а - Остроградского (2!)). В резтльаати полцчим следующее вариарионное уравнение:

{(Sr-Sn + SA) — J J

д и дЪ) x

-pF-y +

дt дх

~Nx (tJ) дМх (q,)

-pIz

д 2 а

дМ2 дх

-Qn-(, Fl) +M(q,))

Sa,

PPF +ГГ

дУ + Q

д.t1 дх

+Qn(P2)+Qn(q2)

Sv }dxdt -

(7))

+N< + Nx(p-Su + (< -M< < )) +( -Q^S))) +J

t

+ pI-V^dSa, +pF—Sv dx — 0

x2 dt 1 H дt

pF-SU +

^ дt

Вариации неизввстных фушкций м, аь v не равняются нулю. Поэтому в вариационном рфовнении (7) ктоффицвс^истыы лрриуции функции га,- должны ровняться нулю. Таким образом, из варояционного уравнелия (7) получаем следруюпяую соии^теммау^ уравнений с: асатаетствующими граничными и начальными гстеаиями:

t V

„Зм dNx лт лт - + -X + Nx (P) + Nx (qi) = 0, dt dx

-plz + 012(Pi) + M(qi)) = 0,

z 3t2 dx d 2v + 5012

(8)

-pF—r +

dt2 dx

+ 012 (P2) + 012^) = 0,

естественные гроничные условия

(-( л*))) = о, )u -Mz Mfal = 0, (~QU +Ql2(V2Mx = 0, (9) естественный нтчалоные уоловия

^du ч pF —ои dt

=о, ¿а z dt 1

= 0, р^юР dt

= 0.

(10)

Принимаем, что трубопровод деформируется в предолах упрагости. Поэтому для моте-риале трубо провода рассматриоаем закон

сгп = Esu =Е

ди1 dx

д ( ) yfу даг \

= Eyr(u-yai) 1= Е\ -Уаг:г-1'

dx \ox dx J

111)

У2 = ^12 = G| ^ "f"lUl" | = <УааГе--УХа;1'

dx dz J dx

где p - плотнотть маат^рорто^ес^ трубснрооода, л8 y - коорданата трлбопровода, лдг о12 - еаответ-ственно нормальное и куеатюльное напряжения, е1Ь е12 - продолдная и касательная деформации, P1, P2 - объемные с:^л::1Ео1„ qb q2 -(поверхностные силы, ф1Ь ф12 - торцевые силы>), воздействующие на тр^ощювод.

ИВПсонолеь.зтауняс ззгаконног^ Гука(>1Д формируем внутренние усилия и моментыю трубопровода:

dF = EF

du dx'

*.. ь,д^ %-ау

M== yy<T, FF==^ЕУу.-дХ(«-;уа1 (\F = dd{y~y2aaaddlF'dEId 1 (К

F f V UX J F \ x»v x\ J x\

f V f^ (3X 1 dx

Qi2 = У У2*dF y J Cij-H - y x1<50^ = GF-- GFa).

Если подставить ныражения внутренних тнилийи момента (12) в тисоема н>2]02;оов:н:е;:ния (81 и арнничныо уоловия (9е))) то уревннния (8)) и граничные оолоеио 19) в перемнщеоиях имакт вид

,5 2u

,5 2u

- pF— л EF— л Nx (01( л Nx (q( = 0,

dt2 dx

-РzЛFNG-лEIlNOGG-лGFд--GFal - ((01( л Mz (qj) = 0, dt dx dx

- pF^ У GF^y Q(OM л Qu(qM = 0,

dt dx dx

- 1C209 -

естественные граничные условия примут вид

- EF^MM-Su =

- ei^-MM))^

- GF^-a! уди(<р Q

(14)

= О,

естественные начальные условия приму т вид

pF=0

u 50

= 0, р— дМ=-8ах dt

= 0 ,pF—&

н dt

= 0. (15)

Силы взаимодействия трубопровода с грунтом определяются из эксперимента [1, 2, 4]

+ -nrDHkx(u-u0t), (16)

Quq) = -2(1 + Н=унт) лОнкх(v -и0у), (17)

5

л^Оо)=

R 5 ^

РО + Нгрунт)

KDH У

( ди0у ^

а---

дх

(18)

+ н

- 1 г* грунт )

где ju^yum - коэффициент Пуиссона грунта, кх - коэффициент придольного взаимодействия с грун-

то м, I - длина, Бн - наружный диаметр трубы, 1)в - внутренний диаметр трубы, жн - наружный

Г ю41

радиус трубы, и - и ир - пр оекции на оси коо рдинат ;за1с<01^£1 движения грунта, |3 = И ~аИ~ I [1, 2,

4]. ЛС(Р0, МДРО, 612(Р2), ), МНф) и б12(е>2) прн решении данно й задачи не учитываются. Если учесть соотношения (16) - (1 8), то система уравнений (13) полу чнет вид

- pF—U+EF—) - nDHkx О - utx ) = 0,

Ut2 Зх2 H

дх ,325

dt2

( , GF—-G— --О—- —1 R=jkx— -^l = 2 Hx 1 P(l + H,„I\DH) у \ 1 дх (

1" в О+Hr ) lD

+ da1

- PF -ZT + GF—H - GF-1 -2-1 + H,p)tD Hkx (v - Ut,) = 0.

dt2 дх дх

Предвариеелино вводим следующие векторы:

(^

V =

(u ^^

a2

Vt =

chi,

0 y

дх

)u0y у

(19)

(20)

0

- тото -

npu этом CHCTeMy gн((epeнцнaDbHbiх ypaBHeHHH (19), rpaHHHHbie h HanajbHbie ycjOBia (14) h (15) mokho npegcTaBHTb b BeKTopHon (o]Me

V2V d2V dV , v M — + A —vrVB — + C(V ~VV = 0,

dt2 dx2 VV K 0 d

ecTecTBeHHbie rpaHUHHe ycjOBia (14)

Six

— dV a Air V BV dx

= 0.

ecTecTBeHHbie danajibHbie ycjiOBua (15) x bcktophoh 3anHmoTca : Bige

dd di

CSV

=t 0.

(21)

(222)

(2)3)

3gecb iseiiB'i'ojJiji HMeiOT Big pO) MaHpuijbi BeKTO]Horo 120) Be epaHHHHbix hciobhh

(2220) (^ojL](')]fL][);r^oo'(c;a 0:3 ioo(})O)HiHeHTOB coceOMbi gi:re(J)B(ieii^idLL:H;ajii:>:Hr.i:ii ypaBHOHuic (19) h jij^^i^i^i-Lhiiixi ycjiOBo h (I'll).

BeiTopHoe ygaBHeoue (2O) c yeeTOM rpoHHHHbix ycjroBHH (222.) h HanajcbHbix ycjeoBiie (23) )e-moeTca MeTogoM KOHenHbix ji^3hocTeii ^Top0r"0 no]agia tohhocth.

VV' -2

kjV -j dVii)v-A(dJ+vi( (H — -(=--VC)( (+C ( - v0 =) )=0-

B

r- - ' " /lTK)"T ':j -h

BeiTopHoe ypaeHeHie jMienbiLieiie OTHOCHTejibHO H2ooMei2 (yHdiHH Vt )+1

Vlh+l =-M=t2\ 12 ~-\v-td

h2 2hV i-„J

i

2E H22

AM-)T2

- CM"V2

V)( -

(224)

-^-v \ ) vv)- h cm vt2voit.

2. AHajiii3 pe3yjii>TaT0B "eiicjieHHtix HCCJie/jOBaHim

Pc3]060T0Hbi aooopuTM ic pacceoe пogзeмнb)х T]>);>x6t5iip)0):!e,D0^ ei (C-Dyi'^ia]^ nageHia

ceftcMnecKoft bojihm nog yraoM k ocie T]pL,)(:)o^]po^o^^^ ero cooTBeTCTcyeT npoieeBojbHoMy ceftcMH-necvoMy Harpy5KeHHio> B KanecTBe npiMep^ paccMOTpiiM cjiegyioiHHe 3agaHH.

3dg>aoe. FaccMOT]HM cTBjibHoft nog3eMHoii) ,^j)0i()oir]c]):eog: jre bmh кoнeц 3aieMjeH, a npa-bmh koh^ih cBo6ogHO onepd. Ha ocHioe ajir:o]])HTMa KOMiibiOTefiHoi1 peajcroeiHH pemaeTca no-

ct-a.B^jiieioe-^c;)^ MextHHoeckHe h ecoMOTpHvecoiio no-MeT]-: T^bjiijHje^Tca b cjeegyioiHeM

fe--oe( .: v^-ce;),

i-x- I f

nc|/eo _—Hc

Bige: E = 2i05 Mna; p = 7,8i0i ko/m3; 3 = -—1 m2; iz =

\o ' 4 ' - 64

D° = 0),30( m; l =50 m; k= = 3i04 kH/m3; j(iPyHm = 0,02; jompAa = 0,3; u^xO) = Ae ) 01''sin® A =- 00.0022 m ;e = 03 c;^-; ® = —; T =0,3 c; CC = 2000 m/0.

m4; D0b = 0,294 m;

A

x

i--

Cp

\ (J

Механизм землетрясений является одним из сложнейших процессов, воздействующих на надземные и подземные сооружения, что затрудняет их расчет. Под воздействием землетрясений возникают колебания подземных трубопроводов, что влияет на их напряженно-деформационное состояние. Результаты решения задач приводятся в виде графика.

На рис. 2 представлены зависимости значений продольного перемещения и нормального напряжения вдоль оси трубопровода от времени при разных углах падения сейсмической нагрузки к оси трубопровода. Процесс рассматривается в условиях, когда трубопровод находится в растянутом или сжатом состоянии (см. рис. 2а - г). Видно, что с увеличением угла падения сейсмической нагрузки к оси трубопровода значения продольного перемещения и нормального напряжения уменьшаются. Этот процесс виден даже в колебаниях в заданных точках трубопровода (см. рис. 2д, е).

Изменение угла падения сейсмической нагрузки к оси трубопровода приводит к поперечному смещению трубопровода, появлению касательных напряжений и изгибающего момента (рис. 3). С увеличением угла падения сейсмической нагрузки от-носительно оси трубопровода до 90° увеличиваются значения поперечного смещения, ка сательного напряжения и изги-

Рис. 2. Зависимости продольного перемещения и нормального напряжения подземного трубопровода от времени и угла падения сейсмической нагрузки к оси трубопровода

Phc. 3. 3aBHcHMocTH none]eHHoro cMeieHia h KacaTejbHoro Han]aKeHHa no,3eMHoro тpy6oпpoвoga ot B]eMeHH h yraa nageHHa cencMHHecKon Har]y3KH k ocu тpy6oпpoвoga

6aiHero MOMeHTa. №MeHeHHa 3HaneHHft этнх пapaмeтpoв b 31bhchmocth ot B]eMeHH no gjHHe тpy6oпpoвoga n]HBegeHM Ha ]hc. 3. TaM Ke n]HBegeHbi KOje6aHua none]eHHoro cMeieHia h ia-caTejbHoro Han]aKeHHa b 3agaHHbix TOHiax тpy6oпpoвoga. yBejuneHHe yrja nageHia ceftcMHne-ckoh Har]y3KH OTHociTejbHO ocu тpy6oпpoвoga n]HBogHT k yBejHneHHO aMnjHTygM KOje6aHua none]eHHoro cMeieHia h KacaTejbHoro нaпpaкeннa (cm. ]hc. 3g, e).

H3MeHeHie 3HaneHHa yrja пoвopoтa ocu тpy6oпpoвoga пo gjHHe тpy6oпpoвoga h H3ru6ao-Hero MOMeHTa пpнвegeнм Ha ]hc. 4 h 5 пpн 3agaHHbix B]eMeHax, a TaiKe пoкaзaнм yBejuneHHa 3HaneHHH yrja пoвopoтa ocu h H3ru6aoHero MOMeHTa тpy6oпpoвoga пpн yBejHHeHHH yrja rage-Hia ceftcMHHecKoft Har]y3KH OTHocuTejbHO ocu тpy6oпpoвoga.

Ha ]hc. 5 TaiKe ^iBe^e^i KOje6aHua H3ra6aoHero MOMeHTa тpy6oпpoвoga b 3agaHHOH toh-ie тpy6oпpoвoga. 3gecb bh,ho, hto 3HaneHHa aMuHTyg KOje6aHHH H3ra6aoHero MOMeHTa T]y6o-пpoвoga c yBejuneHHeM yrja mgeHHa ceftcMUHecKoft Har]y3KH OTHociTejbHO ocu тpy6oпpoвoga yBejHHHBaiTca.

ecjh aнaDнзнpoвaтb to ]hc. 2, 3, нopмaDbнoe h KacarejbHoe ra^a^iia cbohx MaKcuMajb-Hbix 3HaneHHH gocTuraiT Ha 3aieMjeHHOM KOHie тpy6oпpoвoga.

а i=CHM1 с

о.оосоа

0.QOM6 ■ * -

0.00CW ■

D.ODWXJ ¿L---

0 10 Ю so JO So

fl»JD ~ —a*D - - 41^0

Рис. 4. Изменение угла поворота трубопровода в нагрузки

6 im^QS с

о . г г г X, M

о.сооо? tyOOOM ^^----^

-O.COOOi

-O.codoj

-¡PCD — — да и - - a»W

временах и углах падения сейсмической

Рис. 5. Изгибающего момента подземного трубопровода

Заключение

На основе вариационного принципа Гамильтона - Остроградского выводится система дифференциальных уравнений колебания подземных трубопроводов с соответствующими граничными и начальными условиями.

Колебания грунта имеют сложный характер. Колебания грунта зависят от структуры грунта. При расчете подземных трубопроводов законы движения грунтов принимаются в виде гармоники, импульса и затухающей гармоники.

Целесообразно было бы при расчете подземных трубопроводов использовать в качестве сейсмической нагрузки сейсмограммы, акселерограммы или велисограммы.

При воздействии сложной сейсмической нагрузки на подземный трубопровод на трубопроводе возникают продольное, поперечное усилия и изгибающий момент. Поэтому для определения прочностных характеристик целесообразно вычислить в опасных зонах (сечениях) трубопровода нормальные и касательные интенсивности напряжений.

Разработанные алгоритмы и программы расчета позволяют рассматривать колебания трубопровода при различных видах нагружения, закрепления концов и параметров грунта. Тем самым все эти процедуры позволяют определить реально возникающие перемещения и нагружения в сечениях трубопровода при различных сейсмических нагружениях. Это даёт возможность для совершенствования нормативных документов сейсмостойкого строительства подземных сетей жизнеобеспечения и создания универсальных программ их расчета и проектирования.

Список литературы

[1] Рашидов Т.Р. Динамическая теория сейсмостойкости сложных систем подземных сооружений. Ташкент: Фан, 1973, 182 c. [Rashidov T.R. Dynamic theory of complex systems of seismic stability of underground structures, Tashkent, Fan, 1973, 182 p.]

[2] Рашидов Т.Р., Хожметов Г.Х. Сейсмостойкость подземных трубопроводов. Ташкент: Фан, 1985, 152 c. [Rashidov T.R., Khozhmetov G.Kh. Seismic of underground pipelines. Tashkent, Fan, 1985, 152 p.]

[3] Рашидов Т.Р., Юлдашев Т. Математические модели сейсмодинамики сложных систем подземных сооружений. Тверь, 2007, 272-277 [Rashidov T.R., Iuldashev T. Complex system's mathematical models of the dynamics underground structures. Tver', 2007, 272-277]

[4] Строительные нормы и правила. Строительство в сейсмических районах: КМК 2.00396. Введ. 03.96. Ташкент: Гос. Ком. Респ. Узбекистан по архитектуре и строительству, 1995, 88 [Building regulations. Construction in seismic regions: КМК 2.003-96. Vved. 03.96. Tashkent, State Com. of the Republic of Uzbekistan for Architecture and Construction, 1995, 88]