Сравнительный анализ моделей взаимодействия подземных сооружений с окружающим грунтом при сейсмических воздействиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 293-295

УДК 539.3

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ С ОКРУЖАЮЩИМ ГРУНТОМ ПРИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

© 2011 г. Т.Р. Рашидов1, Ш.М.-З. Сибукаев2

'Институт механики и сейсмостойкости сооружений им. М.Т Уразбаева АН РУз, Ташкент ^Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, Ташкент

tur.rashidov@list.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассмотрена задача о распространении продольного импульса в прямолинейном трубопроводе, расположенном в мелкодисперсном водонасыщенном грунте. Предложена четырехзвенная модель взаимодействия. Модель перемещения трубопровода и грунта, скорости перемещения и их градиентов содержит четыре параметра взаимодействия, которые связаны двумя условиями: необходимым условием существования решения задачи в виде затухающей волны и корреляционным соотношением. Предложены схема эксперимента для определения липкости при постоянной скорости протягивания цилиндрического стержня, расположенного в водонасыщенном грунте, и расчетные формулы для вычисления параметров взаимодействия в двухзвенной кинематической модели.

Ключевые слова: прямолинейный трубопровод, мелкодисперсный водонасыщенный грунт, четырехзвенная модель взаимодействия, липкость.

В качестве иллюстрации рассмотрим задачу о распространении продольного импульса в прямолинейном трубопроводе, расположенном в мелкодисперсном водонасыщенном грунте. Обозначим ит, ис — перемещения частиц трубы и грунта; рТ, ¥Т, ЕТ — плотность, площадь сечения и модуль Юнга трубы. Тогда уравнение продольных колебаний трубопровода при малых упругих смещениях запишется в виде:

pTFT

д “T - EtFt d-Ut + q, = 0, (1)

ex2

— du —du _d 2u „ + X— +ß — + ц------------= 0,

dt dx cxdt

(2)

где

k=1 f du

X =

ff Л dp

>='i

Щ1*

1 dr

/0 V — /0

При ис = 0 это уравнение внешне совпадает с «телеграфным» уравнением и должно иметь решение в виде затухающей волны

u(x,t) = e ЛФ(x - at).

“х — плотность поверхностных сил.

Постулируя кинематический характер сейсмического воздействия, считаем, что “х должна зависеть от кинематических параметров, взаимного движения трубопровода и окружающей среды: “х = /(и, р, s, г), где и=ит - ис; р = диШ; s = ди/дх; 5 = д2и/дхд^ Помимо этого, функция / зависит от постоянных параметров, характеризующих материал и шероховатость трубы, минералогический состав, структуру и консистенцию грунта, глубину заложения трубопровода и т.п. Разлагая /(и, р, г, 5) в ряд в окрестности и = р = г=5 = 0 и полагая/ (0, 0, 0, 0) = 0, получим вместо (1):

2 2 рт гт д {и+ис) - ЕТЕТ д {и +2ис) + ки +

(3)

Поделив обе части (2) на рТ^Т и обозначив к /(рт-^Т) = к и т.д. а2 = Ет /Рт , запишем необходимые условия существования (3):

1

(4)

dt2

dx2

Ха -р + 4ат к=ЭТ(Х-ЭТ); к (ц 2 +4аТ )+р2 =Х( аТ Х+ цР).

Таким образом, шесть параметров а, ^, к, X, в, Ц связаны четырьмя условиями (4). Вдобавок к ним предполагаем существование корреляционной зависимости между параметрами взаимодействия: а-в = ак-Ц. Если коэффициент корреляции а близок к единице, то, полагая в/к = Ц/Х = V (к Ф 0, X Ф 0), можно сократить число неизвестных параметров еще на единицу и представить усилие “х = “х1 рт¥т в виде:

“х = к{'‘ + "1дх) + Х^(" +|) = кТ + Х|’ (5)

где

В ди ц ди

у=и +J-------=и + £----.

к дх X дх

Равенства (5) можно рассматривать как систему уравнений относительно неизвестных функций и(х, 0 и у(х, 0, считая величину дх заданной. Тогда после двукратного интегрирования получим:

Г 1 X

u(X, t) = е~х/v< u(0,t)H— f

Г v 0

1 t

X ! q

-kt/X

u( x,0) +

du( x ,0)

+v———-+ dx X

ekt/Xdt

0

y

dx

C

P(x,t)=C0 u(x, t) --Mfu(x,т)е~a(t-T)dx

C0+C

a =—----

M

где Р(х, t) — усилие, приходящееся на единицу площади контакта.

Формула (7) может быть обращена в следующем виде

( п t 1

1

u( x, t ) = — С0

C

P(x, t)+M ! P( x, т)е~“( t-T)dx

(8)

(6)

Полученная формула пригодна для вычислительного эксперимента, в котором величина дх(х, () задается, а величина и(х, ^ измеряется.

Такие мелкодисперсные грунты как глины, суглинки, лессы и торфяники в достаточно широком диапазоне влажности (от 15 до 45%) обладают значительной липкостью. Понятие липкости в механике грунтов отсутствует. Существующее в инженерной геологии понятие липкости соответствует понятию предела прочности в механике, если рассматривать процесс отлипания как разрушение составного тела «грунт +твердое тело». Нами предложено называть липкостью усилие, препятствующее отлипанию и зависящее от взаимного перемещения грунта и твердого тела. Для одномерных процессов была предложена реологическая модель процесса отлипания, состоящая из двух упругих элементов с жесткостями С0 и С1 и вязкого элемента с эффективной вязкостью М, внешне похожая на модель реологической среды Хоэнемзер — Пра-гера (Узбекский журнал «Проблемы механики», № 2—3, 2009 г.). Для трубопровода, совершающего продольные движения относительно окружающего грунта, такая зависимость имеет вид

а = С1 /М.

Если предположить, что в упомянутых выше грунтах взаимодействие трубопровода с грунтом определяется исключительно силами прилипания, то получится реологическая модель взаимодействия, альтернативная рассмотренной выше кинематической модели.

В соответствии с этим в уравнении (1) усилие следует заменить на пОР(х, 0 (О — диаметр трубы). Величины С0, С , М не следует отождествлять с какими-либо модулями, характеризующими свойства грунта; они являются параметрами, определяющими липкость грунта, и подлежат нахождению из эксперимента. Для этой цели оказывается удобной формула (7). Если положить в ней и(х, I) = (протягивание

стержня большой жесткости с постоянной скоростью в водонасыщенном грунте), то вместо (7) получим

Р(0=С 0 [у^ - ^(М + е-1) 1. (9)

^ Ма )

С другой стороны, это будет соответствовать варианту Р = 0, ц = 0 в кинематической модели. В этом случае все предельно упрощается, и в соотношениях (4) а = ат; Ж = Х/2; 4к = X2 необходимые условия существования решения уравнения (2) в виде затухающей волны (3) удовлетворяются тождественно, а формула (6) приобретает вид

1

u( x, t ) =—е X

-Xt /4

! qx ( x t)

eXt/4dT.

(10)

(7)

Главными проблемами в сейсмодинамике подземных сооружений являются построение моделей взаимодействия и экспериментальное определение параметров, характеризующих эти взаимодействия. Расчетные формулы (7)—(10) окажутся полезными в решении этих проблем.

е

COMPARATIVE ANALYSIS OF INTERACTION MODELS OF UNDERGROUND STRUCTURES WITH THE SURROUNDING SOIL UNDER SEISMIC EFFECTS

T.R. Rashidov, Sh.M-Z. Sibukaev

The problem of propagation of longitudinal momentum in a straight pipeline, located in the finely divided water-saturated soil, is analyzed. A model of four-part interaction is proposed, which depends on the relative movement of the pipeline and the ground, velocity, and their gradients; and containing four of the interaction parameters, which are connected by two conditions: a

necessary condition for solving the problem in the form of a damped wave, and the correlation ratio. Also an experimental scheme to determine the stickiness at a constant speed of pulling of a cylindrical rod, which is located in water-saturated soil, and formulas for calculating the interaction parameters in the two-part cinematic model is given.

Keywords: straight pipeline, finely divided water-saturated soil, a model of four-interaction, stickiness.