Математические модели и алгоритмы фильтрации полутоновых видеопоследовательностей на основе сложных трехмерных цепей Маркова Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

т

Математические модели И алгоритмы фильтрации полутоновых видеопоследовательностей на основе сложных трехмерных цепей Маркова

Проведена фильтрация цифровой полутоновой видеопоследовательности с помощью Ключевые слова: математическая модель, алгоритмов нелинейной фильтрации на основе сложной трехмерной цепи Маркова с

сложные цепи Маркова, произвольной связностью, обеспечивающей высокое качество восстановления изображений,

видеопоследовательность, искаженных белым гауссовским шумом (БГШ). Приведены результаты моделирования с оценкой

нелинейная фильтрация. выигрыша в отношении сигнал/шум и нормированной среднеквадратической ошибкой.

Харюшин В.Ф.,

аспирант, ФГБОУ ВПО "Вятский государственный университет", vladimir_vgu@mail.ru

Введение

В современном мире обработка случайных процессов, представленных в виде изображений и их видеопоследовательностей, вызывает большой интерес исследователей самых различных областей: от космических исследований до здравоохранения. Предъявляются высокие требования к качеству восстановления изображений при искажении шумом, и возникает необходимость в появлении новых и совершенствование известных алгоритмов фильтрации изображений.

Наиболее эффективной аппроксимацией случайных коррелированных процессов, представленных в виде изображений и их видеопоследовательностей, позволяющей получить рекуррентные алгоритмы их обработки, являются марковские процессы. Случайные процессы, у которых каждая выборка процесса зависит от определенного числа выборок расположенных в ближайшей окрестности от нее, могут быть представлены сложной цепью Маркова со связностью т > 1 между исследуемой выборкой и выборками ее окрестности [1].

Выбор размера т сложной цепи Маркова аппроксимирующей реальный процесс зависит от скорости убывания автокорреляционной функции (АКФ), имеющей экспоненциальный или близкий к нему характер. Чем быстрее убывает АКФ с удалением от исследуемой выборки, тем меньше размер т. При т = 1 сложная цепь Маркова переходит в простую цепь Маркова, хорошо изученную в радиотехнических и других приложениях [2-5].

Большинство работ, посвященных аппроксимации простой цепью Маркова не содержат оценки адекватности реального случайного процесса его модели, что может привести к потере части информации, иногда достаточно большой. В этом случае целесообразно использовать сложные цепи Маркова связности т.

Постановка задачи

Для оценки потерь информации при выборе связности сложной трехмерной цепи Маркова необходимо разработать математическую модель (ММ), адекватную реальному случайному процессу представленного в виде видеопоследовательности (ВП) цифровых полутоновых изображений (ЦПИ) и на ее основе, используя теорию фильтрации условных марковских процессов, синтезировать алгоритмы фильтрации в условиях действия белого гауссовского шума (БГШ).

Математическая модель последовательности РДИ

на основе простой трехмерной цепи Маркова т = 1

Представление ЦПИ набором из g-разрядных двоичных изображений (РДИ) сводит задачу построения математической модели (ММ) последовательности ЦПИ к построению ММ последовательности РДИ, так как первая ММ представляет собой упорядоченный набор разрядных ММ [2].

Будем считать, что последовательность кадров /-го РДИ представляет собой трехмерный дискретнозначный марковский процесс (МП) //'\i,j,k) с двумя пространственными координатами (i,jU = 1, /и, у = 1,и) и третьей - временной к = 1,2..., связанной с номером кадра в последовательности / -го РДИ [3].

Будем считать, что корреляционная функция последовательности кадров двоичных разрядных изображений разделима [3,4]:

г(к,s) = сг; ехр{— а, |*| - а, |s|}, (1)

где <j* - дисперсия многомерного процесса; a,if = l,q) -

множители, зависящие от ширины спектральной плотности мощности случайных процессов по каждой из координат.

В соответствии с (1) ВП /-го РДИ можно представить как суперпозицию трех одномерных дискретнозначных МП (цепей Маркова) с двумя равновероятными {pV = Р^) значениями м\'\ и матрицами вероятностей перехода (МВП) от одного значения к другому

внутри кадра /-го РДИ по горизонтали, вертикали и между соседними кадрами:

'п(/) =

2П

(/) _

Л‘) Я *н 1 ^.(/) 7Т-. и

_(/) 71 ]> 1 (/) 7Г-. л

2 _(/) 7Г ■ '*11 2 (/ 7Г V

п

(Г) -

4 _(/) 4 _(/)

71], 71 а

4 _(/) 4 _(/)

71;. 7Г),

где /, У = 1,2,/ = 1,5-

11а рис. 1 приведена ВП ЦПИ, разделенная на области рМ (/ = 1,4, к = 1,2,...), элементы которых являются цепью

Маркова различной размерности (одномерной и двумерной стационарной цепью Маркова).

носгь элемента изображения у*'* при моделировании ВП возрастает до семи соседних элементов [2-4]:

в£>) (2)

Используя энтропийный подход к попарно статистически связанным элементам двоичных изображений ВП, запишем МВП для трехмерной цепи Маркова с внутри-кадровой связностью равной единице (т = 1). Так как окрестность элемента к*'1 содержит семь элементов, то

число строк в матрице П|,> составляет 27 = 128. Учитывая, что значения элементов матриц ,П|,>, 5П(,>, <’П(,), ’П*'1 определяются значениями элементов матриц 'П(/|, 2П</|, 4П(,), число строк матрицы П(/) сокращается до 23 = 8, а матрица П(/) имеет вид [2,4]:

с.-

Ап / Г«-і .

Ф"

ч**лД-1

А'^А’^ - /С-, -/С-,

... її!' М./-ІДЧ

/

/Сам ■/, /«і, і * і

.//> /у ййи /••• . / М./ЧД-І /С-. /•/См

••• АНнА і -/Сы

е® ги 1

д';, -

К'Г

к/ А'и

у СГ А&

’/&

Л» /С.

'А - А* /Сд

' /Й* у, /йнд ... /йа

<и />Гм - 42.

/4. - -/Си

Рис. 1. Фрагмент ММ последовательности РДИ с окрестностью из семи элементов

(к -1)-кадр

N \

V. V,

к-кадр

„(/> = „(/) Л!) _ „(') „</> = „(П _</> = „</)

К| Я/./ 1.1' Ь| Ни-1.4-1’ Hi-x.it' ь2 Н!-ид II

■/(О = „(') *»М = „(')

— /*/.;.** -/*/./.*-1-

Рис. 2. Фрагмент окрестности элемента изображения у*'* при моделировании ВП

Сплошными и пунктирными линиями указаны статистические связи между элементами изображений, входящими в окрестность элемента (рис. 2). Окрест-

П(/) =

Л’ — |/|| II)! л(/) «г

7ГІП л ил *н» «г

;/,у = 1,2;/ * у.

(3)

При известных матрицах 'П^,2П^*,4П^ для вычисления элементов матрицы П(,) (3) необходимо предварительно вычислить матрицы:

3П,')='П(')х2П(/);

5П(,)='п(/)х4П(/);

6П,')=2П(/,х4П(');

’П'^П^х4 П(,)=' П(,)х2 П(,)х4 П(/), определяющие попарную статистическую связь элемента и<'> с элементами соответственно.

Например, выражения для вычисления элементов первой строки матрицы П*'* имеют вид:

<*!° = = х" И} = М}1} I у!'> = А/,п;гР = = м{°)=

= 1-

= 4'»у = /г1'1 (^» = Л/*7» I ^ = л/,1'1;И'1 = **«*#> = л/<'>)=

I (0.2 (/).4 (/).7 (/)

/« /у Л у Л ,у /I

“ 3я-(/)-5л-(/)-6л-(/) ‘

/4м пи /ли

Остальные элементы матрицы П(/) (3) вычисляются аналогично в соответствии с состояниями трех бинарных импульсов в точках окрестности д1'1 (2).

Элементы матрицы П1'1 (3) удовлетворяют условиям нормировки:

«Г+<(/| = і

где е/ = 2=8- количество сірок в матрице П .

Алгоритм трехмерной фильтрации ВП ЦПИ с внутри кадрової! связностью (т = 1)

Используя ММ и теорию фильтрации условных марковских процессов синтезирован алгоритм фильтрации реального случайного процесса при наличии белого гауссовского шума п(!) с нулевым средним и дисперсией а] ■

Представим каждое ЦПИ ВП набором из g РДИ, что позволяет свести построение ММ ЦПИ к построению ММ РДИ. Система рекуррентных уравнений нелинейной фильтрации элементов РДИ ЦГІИ может быть записана как [2,3]:

т

Аппроксимацию реального случайного процесса трехмерной цепью Маркова с произвольной связностью можно применить при приеме удаленных коррелированных широкополосных случайных процессов при воздействии шума. Например, при передаче изображений и их видеопоследовательностей с космических спутников земли.

Литература

1. Марков А.А. Избранные труды: Теория чисел. Теория вероятностей / Под ред. проф. Ю.В.Линника. - М.: Изд-во академии наук, 1951. - 465 с.

2. Петров Е.П., Медведева Е.В., Хари на Н.Л. Модели и алгоритмы цифровой обработки изображений: учебное пособие. - Киров: О-Краткое, 2008. - 88 с.

3. Трубин И.С., Медведева Е.В.. Булыгина О.П. Нелинейная фильтрация видеопоследовательностей цифровых полуто-

новых изображений// Инфокоммуникационные технологии: -Т.5, №4, 2007.-С. 29-35.

4. Трубин И. С., Медведева Е.В., Булыгина О.П. Метод моделирования цифровых полутоновых изображений // Инфокоммуникационные технологии: - Т.6, №1, 2008. - С. 94-99.

5. Петров Е.П., Харина Н.Л., Кононова В.Ю., Ключникова М.И. Сложные цепи Маркова в радиотехнике и связи / Нелинейный мир. №4, 2012. - С. 234-243.

6. Петров Е.П., Харина H.J1., Харюшин В.Ф. Математические модели и алгоритмы фильтрации цифровых полутоновых изображений на основе сложных цепей Маркова // Цифровая обработка сигналов, № 3,2012. - С.52-57.

7. Петров Е.П., Харина Н.Л., Харюшин В.Ф. Фильтрация цифровых полутоновых изображений на основе сложных цепей Маркова // Цифровая обработка сигналов и ее применение: сб. научн. трудов 15-й Международной конференции. - Москва, 2013.

8. Хорунжий MJJ., Газеева И.В., Гусева В.П., Трубникова ТА. Оценка качества цветопередачи в системах визуализации цифровых изображений: учебно-методическое пособие к лабораторным работам. - СПб.: Изд. СПбГУКиТ, 2010. - 95 с.

Mathematical models and algorithms of filtering grayscale video sequences on the basis of complex three-dimensional Markov chains

Kharyushin V.F., postgraduate student, FGEI HPE "Vyatka State University", vladimir_vgu@mail.ru

Abstract

In this work, carried out the digital filtering half-tone sequence using the algorithms of nonlinear filtration on the basis of complex, threedimensional Markov chain with arbitrary connectivity, which provides high quality restoration of images distorted by white Gaussian noise (WGN). The results of the simulation with the assessment of the gain in the signal-to-noise ratio and the normalized root mean square error.

Keywords: mathematical model, complex Markov chains, video, nonlinear filtering.

References

1. Markov A.A. Selected works: the Theory of numbers. Probability theory/ edited by Professor YU.V.Linnika. M: Publishing house of the Academy of Sciences, 1951. 465 p.

2. Petrov E.P., Medvedev E.V, Kharina N.L. Models and algorithms for digital image processing: a training manual. Kirov: O-Brief, 2008. 88 p.

3. Trubin I.S., Medvedev E.V, Bulygina O.P. Nonlinear filtration video digital halftone images / Infocommunication technologies: volume 5, №4, 2007. Pp. 29-35.

4. Trubin I.S., Medvedev E.V, Bulygina O.P. Method for simulation of digital grayscale images / Infocommunication technologies: volume 6, number 1, 2008. Pp. 94-99.

5. Petrov E.P., Kharina N.L., Kononova V.YU, Klyuchnikov, M.I. Complex Markov chains in radio engineering and communications / Nonlinear world. №4, 2012. Pp. 234-243.

6. Petrov E.P., Kharina N.L., Kharyushin V.F. Mathematical models and algorithms of filtering digital halftone images on the basis of com-

plex Markov chains / Digital signal processing, № 3, 2012. Pp.52-57.

7. Petrov E.P., Kharina N.L., Kharyushin V.F. Filtering digital halftone images on the basis of complex Markov chains / Digital signal pro-

cessing and its applications: collection of scientific. proceedings of the 15th International conference. Moscow: 2013.

8. Khorunjiy M.D., Gazeeva I.V, Guseva V.P., Trubnikova T.A. Evaluation of the quality of colour reproduction in the systems of visualization of digital images: teaching manual for laboratory works. SPb.: Ed. SPbGUKiT, 2010. 95 p.