Моделирование и нелинейная фильтрация нестационарных изображений Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Радиофизика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 4 (1), с. 73-78

УДК 519.217:004.932:621.396

МОДЕЛИРОВАНИЕ И НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

© 2010 г. Е.П. Петров, В.Ю. Кононова

Вятский госуниверситет kononovavictoria@mail.ru

Поступила в редакцию 01.02.2010

Рассмотрена задача восстановления (фильтрации) цифровых полутоновых нестационарных изображений, разрушенных белым гауссовым шумом. В процессе обработки цифровое §-разрядное полутоновое изображение представляется набором из § двоичных изображений. В качестве математической модели двоичного цифрового изображения предлагается использовать двумерную цепь Маркова с двумя неравновероятными начальными значениями, представляющую собой суперпозицию двух одномерных нестационарных цепей Маркова. Предложен алгоритм восстановления таких изображений. Представлены результаты компьютерного моделирования процесса фильтрации.

Ключевые слова: нестационарные цифровые полутоновые изображения, нелинейная фильтрация, белый гауссов шум, математические модели изображений, цепи Маркова, финальные вероятности, переходный процесс, разрядные двоичные изображения.

Введение

В предположении, что цифровые полутоновые изображения (ЦПИ) искажены белым гауссовым шумом (БГШ), в [1] разработаны эффективные алгоритмы нелинейной фильтрации стационарных ЦПИ, представленных §-раз-рядными двоичными числами. Алгоритмы в [1] синтезированы на основе математических моделей (ММ) ЦПИ, построенных на основе Q-мерных стационарных цепей Маркова с Q равновероятными состояниями (р1 = 1/Q , г е Q ). В тех случаях когда вероятности начальных состояний цепи Маркова не равны (Рь Ф Р] ; г Ф У; г, ] 6 Q ), в ММ ЦПИ возникают переходные процессы, связанные с установлением финальных вероятностей состояний в цепях Маркова [2, 3]. При фильтрации нестационарных ЦПИ в присутствии БГШ алгоритмами, синтезированными в [1] для стационарных ЦПИ, возникают дополнительные искажения ЦПИ, вызванные переходным процессом в ЦПИ.

Для уменьшения искажений ЦПИ, вызванных переходными процессами, необходимо построить ММ ЦПИ, которая позволила бы определить длительность переходных процессов, степень деформации ЦПИ и возможность использования алгоритмов, представленных в [1], для фильтрации ЦПИ в области переходных процессов.

Модель одномерного дискретнозначного процесса, аппроксимируемого простой цепью Маркова с двумя состояниями

Если источником информации является последовательность двоичных импульсных коррелированных сигналов, аппроксимируемых простой однородной цепью Маркова с вектором-строкой вероятностей начальных состояний

P(0) = [ Р,(0) р2(0)] (1)

и матрицей вероятностей переходов (МВП) из одного состояния в другое

П =

к.

Кт '

Ь21 К22_

то при р1 (0) Ф р2 (0) в цепи Маркова возникает

переходный процесс, вызванный установлением финальных вероятностей состояний фильтруемого процесса, и цепь Маркова является нестационарной. Финальные вероятности дискретных значений однородной цепи Маркова на п-м шаге можно найти из выражения

р (п) = Р (0)-Пп. (3)

Если МВП (2) симметричная, то при любых значениях рг (0), г = 1,2, через некоторое количество шагов п состояния цепи Маркова будут равновероятны р1(п) = р2 (п) [4].

В качестве примера рассмотрим простую однородную цепь Маркова с вектором начальных состояний

(2)

Р(0) = [1 0]

(4)

и матрицей вероятностей переходов из одного состояния в другое

0.8 0.2" 0.2 0.8

П =

(5)

ния

М,.

к значению

М

по горизонтали и вер-

тикали соответственно:

1П =

П11

121

42

122

П =

2~ 2

П11 п12

2 п 2 _

П21 п22

(7)

Моделирование двоичного стационарного марковского изображения включает в себя несколько этапов [5], соответствующих областям ^, ^2, ¥3 и ^4 на рис. 2.

В соответствии с (3) вероятности состояний меняются на каждом шаге, пока не достигнут финальных значений

Р1 = °.5, Р2 = 0.5. (6)

Если точность представления финальных вероятностей состояний цепи Маркова е0 принять равной 0.001, то в соответствии с (3) переходный процесс завершится через 14 шагов. Значения вероятностей состояний цепи Маркова на каждом шаге графически представлены на рис. 1.

Представляет интерес распределение вероятностей по двоичному полю.

Р (Ц] = М\)

Р ( = М1)

Задавая точность е0 представления финальных вероятностей, из выражения (3) можно определить длительность переходного процесса в пикселях пф в простой цепи Маркова.

Модель двоичного нестационарного изображения

В качестве ММ двоичного нестационарного изображения размером т х п примем двумерную цепь Маркова (рис. 2) с двумя неравновероятными начальными значениями М1, М 2 (Р1(0) ф Р2(0)) и симметричными МВП от значе-

60 80 І

Рис. 3

Рассмотрим в качестве примера двумерную цепь Маркова с вектором вероятностей начальных значений вида (4) и следующими МВП

"0.9 0.1"

0.1 0.9

На рис. 3 приведено распределение вероятности первого состояния р ( = М1) на изо-

бражении размером 100x100 пикселей (і и і -

1 П = 2 П =

(8)

0.6---------------0.7-----------------0.8---------------0.9 -----------------1

П

11

Рис. 4

строки и столбцы изображения). Видно, что вероятность первого состояния меняется от 1 в левом верхнем углу до 0.5 в левом нижнем, правом верхнем, правом нижнем углах. Область изменения вероятности р (Цу = М1) вытянута по диагонали изображения (рис. 3б).

Задавая точность е0 представления финальных вероятностей состояний, можно найти размер области изображения іф х ]ф (номер строки іф и номер столбца уф), за пределами которой вероятности состояний могут быть приняты финальными (р(Цу = М1) = 0.5, р(Цу = М2) = 0.5). Очевидно, при равных симметричных МВП по

горизонтали и вертикали 1П = 2 П номер строки іф и номер столбца ]ф будут совпадать іф~]ф~пф.

На рис. 4 приведено семейство графиков, отражающих зависимость размера области установления финальных вероятностей Пф х Пф пикселей от значений вероятностей переходов п11

(П11 =1п11=1п22 =2 П11 =2 П22) и от начальных вероятностей (1) при ео = 0.001. Чем больше значения Р1(0) и п11, тем больше область, занимаемая переходным процессом на изображении.

суммируя разрядные двоичные изображения (РДИ) с соответствующими весовыми коэффициентами.

Формирование 8-разрядного ЦПИ с 256 градациями яркости осуществляется по следующему алгоритму:

1) задаются векторы вероятностей начальных значений

:>(?)

(0)=[ Р!(?)(0) р2?)(0}] (9)

и МВП по горизонтали и по вертикали

1П(#) =

П

11

12

П

21

22

2П(# =

П

11

12

П

21

22

#=18, (10)

для каждого из восьми двоичных сечений 256значной нестационарной цепи Маркова таким образом, чтобы выполнялось условие, справедливое для реальных полутоновых изображений

г<гте12)<гп(1) <...<гп11), г = 1,2; (11)

2) каждое РДИ формируется как двумерная цепь Маркова с двумя значениями;

3) элементы РДИ ц суммируются с соответствующими весовыми коэффициентами

■ I _ и(8) , 26 ..(7) , 25 и(6) , , 20 ..О) (12)

■у _2 '.у +2 '.у +2 '.у +...+2 '.у . (12)

Алгоритм двумерной нелинейной фильтрации переходных процессов

Модель полутонового нестационарного изображения

Искусственные ^-разрядные ЦПИ, имеющие Q _ 2г градаций яркости, можно получить,

Алгоритм двумерной нелинейной фильтрации ЦПИ марковского типа, разрушенных БГШ, был разработан и описан в работе [1].

Так как двоичное 8-разрядное число Цу представляет собой сумму разрядов, достаточно пе-

редать с минимальными ошибками лишь значе-

ния символов соответствующих разрядов .(Ц .

Следующая система из ц нелинейных уравнений фильтрации РДИ описывает те оптимальные операции, которые должно совершить приёмное устройство (ПУ) над принятыми элементами РДИ передаваемого ЦПИ с целью их наилучшего восстановления при воздействии БГШ (разряды числа .у передаются параллельно или последовательно по двоичным каналам связи):

(13)

и)= 1п

ра (ц # = М1)

^п1#)^п2^зхр(-и(ц||))

г _(#)

и(ц# )= /(ц# = М1)-/(ц<*) = М2)+

+и(ц(!/)-1)+ А и(Ц/5-1), 1пк ))+

+и(ц(-1, у)+ А и(ц(-1, у), 2 Пи) )-

- и(ц(-1, у-1 )- г( и(ці-1, у-1 ), 3 ПИ ) ),

где /(ц# = М1 )- /(ц(?) = М2 ) - разность логарифмов функции правдоподобия значений дискретного параметра двоичного сигнала;

ра (ц# = М 2)

логарифм отно-

шения апостериорных вероятностей по-

явления состояний М1 и М2 в элементе

ц-го двоичного сечения; г(и(.(Ц5),г)) нелинейное преобразование

(у _ 1, и , г _ 1, т , к, / _ 1,2, г _ 1,3); ' пхк1 элементы соответствующей матрицы переходов по одному из направлений г П(ц).

Для оптимизации задачи различения состояний в области установления финальных вероятностей в двумерном поле применим критерий идеального наблюдателя, в соответствии с которым сигнал на выходе ПУ фильтруемого РДИ сравнивается с порогом

и(.(/> )> Н(.(/>)_ 1пР ^ ~ ^ , (14) У У рар(.^ _ М,)

где рар (.Щ _ Мк) (к _ 1,2) - априорная вероятность к-го состояния РДИ.

В случае приема стационарного РДИ априорные вероятности состояний равны 0.5 и порог в соответствии с (14) будет равен нулю для всех элементов

и(.(/> )> Н(у )_ 0. (15)

При приеме нестационарного РДИ в области установления финальных вероятностей порог, согласно (14), будет переменным для каждого элемента передаваемого РДИ, и постепенно его значение будет стремиться к нулю.

Результаты моделирования процесса фильтрации

В качестве примера рассмотрим результаты фильтрации искусственного 8-разрядного ЦПИ (рис. 5а) с векторами вероятностей начальных значений Р (?)(0) = [0.9 0.1] и МВП по горизонта-

1 („) 2 (я) [0.9 0.1

ли и по вертикали П(Ч) = П(Ч) =

0.1 0.9

(# = 1, 8) размером 30х30 пикселей, искаженного в канале связи БГШ (С/Ш = - 9 дБ, рис. 5в). Восстановленное ЦПИ, полученное при нелинейной фильтрации с учетом переходного процесса в РДИ, приведено на рис. 5г. ЦПИ (рис. 5в), восстановленное по алгоритму для стационарных изображений, - на рис. 5ж. На данном примере видно, что при фильтрации нестационарного ЦПИ алгоритмом, синтезированным для стационарных изображений, возникают дополнительные искажения, более заметные в старшем РДИ, которое вносит наибольший вклад в общий уровень яркости ЦПИ. Старшие РДИ исходного и двух восстановленных разными алгоритмами ЦПИ приведены на рис. 5б, 5д и 5з, соответственно. Видно, что в обоих случаях фильтрации РДИ возникают ошибки (отмечены черным цветом на рис. 5е и 5к), их число больше в РДИ, восстановленном по алгоритму (15). Эти дополнительные искажения, возникшие за счет неучтенного переходного процесса, отображены на рис. 5л.

На рис. 6 приведены графики выигрыша по количеству ошибок

'ЛиПП =

'ОШУ**

где ^ош(Н _ 0) - среднее количество ошибочно принятых элементов РДИ в области переходного процесса при нелинейной фильтрации с постоянным нулевым порогом; КЧш(Н(.(/)))- среднее количество ошибочно принятых элементов РДИ в области переходного процесса при нелинейной фильтрации с переменным порогом Н(.у*) ф 0 . Чем меньше

соотношение С/Ш, тем больше ошибок возникает в области установления финальных вероятностей РДИ при фильтрации нестационарных ЦПИ алгоритмом, синтезированным для стационарных ЦПИ. Этот эффект проявляется больше, если р1(0) >> р2(0) и п11 ^ 0.5, в связи с тем, что размер области установления финальных вероятностей уменьшается и, соответственно, уменьшается общее число ошибок.

10 20 30

к)

Рис. 5

Рис. 6

Таким образом, учитывая переходный про- вость в области установления финальных веро-цесс в РДИ, можно увеличить помехоустойчи- ятностей при передаче РДИ и, соответственно,

ЦПИ в канале связи с БГШ, но это увеличение качества фильтрации ЦПИ незначительно. Чем больше мощность БГШ, тем эффективнее использование переменного порога.

Список литературы

1. Петров Е.П., Трубин И.С., Частиков И.А. Нелинейная фильтрация видеопоследовательностей цифровых полутоновых изображений марковского типа //Успехи современной радиоэлектроники. 2007. №3. С. 54-86.

2. Петров Е.П., Кононова В.Ю. Исследование переходных процессов в двумерных нестационарных цепях Маркова // Всероссийская научно-техническая конференция «Наука - производство - технологии -экология»: Сборник материалов. Киров: ВятГУ, 2007. Т. 8. С. 253-259.

3. Petrov E.P., Kononova V.U. Simulation method of transients in Markov non-stationary chains // 9th International Conference «Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies» (PRIA-9-2008): Conference Proceedings. N. Novgorod, 2008. V. 1. P. 313-316.

4. Петров Е.П., Кононова В.Ю. Исследование переходных процессов в одномерных нестационарных цепях Маркова //Вестник Вятского центра Верхне-Волжского отделения Академии технологических наук Российской Федерации. Серия Проблемы обработки информации / Под ред.

B.И. Пономарева. Киров: ВятГУ, 2006. № 1(7).

C. 24-27.

5. Харина Н.Л. Моделирование цифровых полутоновых изображений марковского типа с дискретными аргументами. Киров: ВятГУ, 2006. 101 с.

MODELING AND NONLINEAR FILTERING OF NONSTATIONARY IMAGES

E.P. Petrov, V. Yu. Kononova

The problem of restoration (filtering) of nonstationary digital halftone images destroyed by a white Gaussian noise is considered. In the image processing, the digital g-bit grayscale image is represented by a set of g binary images. As a mathematical model of a binary digital image, it is proposed to use a two-dimensional Markov chain with two unequal-probability initial values, which is a superposition of two one-dimensional nonstationary Markov chains. A restoration algorithm for such images has been proposed. Computer simulation results of the filtration process are presented.

Keywords: nonstationary digital halftone images, nonlinear filtering, white Gaussian noise, mathematical models of images, Markov chains, final probabilities, transient process, bit binary images.