Математические модели эмоционального воспитания Текст научной статьи по специальности «Математика»

2009

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып.7(33)

УДК 519.86; 519.87

Математические модели эмоционального воспитания

О. Г. Пенский

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул.Букирева, 15

Приведены математические модели эмоционального воспитания. При некоторых ограничениях на эти модели изучены свойства воспитания. Введены понятия коэффициентов памяти и функции памяти.

Эмоции напрямую влияют на воспитание субъекта.

Введем определение эмоционального воспитания индивидуума, которое отличается от обычного, принятого в психологии и обычной жизни.

Определение 1. Воспитание - это относительно устойчивое отношение к стимулу.

Введенное нами понятие позволяет предложить соответствующую математическую формулу, и для дальнейшего оперирования с понятием воспитания введем следующее определение.

Определение 2. Элементарным воспитанием г(0 назовем функцию вида

г(7) = |М(г)г/г,

о

где ^ - время изменения эмоции, М- эмоция.

Иными словами можно сказать, что элементарное воспитание - это относительно устойчивое отношение к одной эмоции, действующей на субъекта.

Каждый индивидуум с течением времени забывает эмоции, которые он когда-то испытывал. Прошлые эмоции все меньше и меньше сказываются на его текущем воспитании. А вместе с тем, забываются и прошлые элементарные воспитания, порождаемые испытываемыми ранее эмоциями.

Исходя из этого, становится очевидным следующее определение.

© О. Г. Пенский, 2009

Определение 3. Воспитанием назовем функцию вида

Щ) = г(т) + в, ^(1)

где / - текущее время, / > /(, 0 < вj ^ ^ 1 .

Текущее время удовлетворяет соотношению t = г + tj, где Т - текущее время действия настоящей эмоции от начала ее проявления, - общее время действия всех предыдущих эмоций, И1 Ц - воспитание, полученное

субъектом за время tj .

Можно дать также следующее словесное определение воспитания: воспитание -это величина, определяющая устойчивость мотивации поведения на определенном классе стимулов.

Очевидно, что воспитание можно измерять битами информации и, как следствие

бит

этого, измерять эмоции в-----.

с _

Определение 4. Коэффициенты 0■ I

назовем коэффициентами памяти прошлых событий или коэффициентами памяти.

Легко видеть, что индивидуум, характеризующийся коэффициентом памяти прошлых воспоминаний, равным 1, в деталях помнит все прошлые эмоциональные воспитания. Однако, как правило, память о прошлом стирается, т. е. для обычного, забывчивого субъекта справедливо двойное неравенство 0 < в1 < 1. Таким образом, для этого

субъекта можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 1. Воспитание только на положительных эмоциях забывчивого субъекта имеет пресыщение.

Доказательство.

Легко увидеть, что соотношение (1) эквивалентно равенству

к(о=г(т)+б>1(о1,+б>1_,т_2(2)

Соотношение (2) можно записать в следующем виде:

R(t) = r(T) + eiri_l+6iei_lri_

0,-2-М-

(3)

Так как все эмоции положительны, то и элементарные воспитания положительны; так как эмоции ограничены по величине и отдельная эмоция может длиться от 0,5 до 5-10 секунд [1], то элементарные воспитания ограничены. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что существуют такие числа # и д, для которых выполняются неравенства

1 > в > q > г(т), (4)

где 7 = \,г, к = 0,/' — 1.

Благодаря соотношениям (3) и (4) можно получить верхнюю оценку изменения функции Я(0. Она будет иметь вид

R(t)<qYeJ.

1= о

(5)

Правая часть соотношения (5) определяет сумму членов геометрической прогрессии [2], которая влечет неравенство

1 — Й'

R(t q • (6)

Перейдя в правой части соотношения (6) к пределу при t —> 00 или i 00 , получим верхнюю оценку для значения воспитания:

R(t )<

q

\-в

(7)

Неравенство (7) позволяет сделать вывод о том, что воспитание, основанное на положительных эмоциях, ограничено сверху, т.е. имеет пресыщение. Что требовалось доказать.

Теорема 1 полностью подтверждается психологическими исследованиями. Результаты этих исследований говорят о том, что невозможно воспитывать человека до бесконечности: у воспитуемого, начиная с какого-то времени, наступает пресыщение [1], и он поднимается на новую ступень эмоциональной деятельности.

Введем следующие определения.

О п р ед е л ен и е 5. Предельным воспитанием и назовем величину, удовлетворяю-

Ч

щую соотношению U =

1-6»

Определение 6. Эмоции, влекущие равные элементарные воспитания, назовем равноценными.

Определение 7. Забывчивого субъекта, у которого все коэффициенты памяти равны и постоянны, назовем равномерно забывчивым.

Теорема 2. Воспитание R(t), основанное на равноценных эмоциях, равномерно забывчивого определяется соотношением

ыл 1~0г

R(t) = q-—— , где q - значение элементарно-

1-0

го воспитания, г - порядковый номер проявляемой равноценной эмоции из числа эмоций, на основе которых осуществляется воспитание, к текущему моменту времени.

Доказательство очевидно следует из теоремы 1.

Ниже приведем теорему, которая математически характеризует стирание памяти о прошлых воспитаниях, если эти воспитания не поддерживаются эмоциями с течением времени. В этом случае индекс г определяется

t

из соотношения I =

где t - текущее

время, с - время действия первой и единственной эмоции, повлекшей элементарное воспитание г0 •

Определение 8. Тактом назовем время действия одной эмоции.

Будем предполагать, что все такты равны между собой.

Теорема 3. У равномерно забывчивого первое и единственное элементарное воспитание забывается согласно геометрической прогрессии.

Доказательство. Согласно равенству (3) при отсутствии постоянно действующих в течение времени эмоций, воспитание к моменту времени t удовлетворяет соотношению

(8)

Так как субъект равномерно забывчив, то справедливо равенство

в, = 6 = const, j = 1 ,i.

Математические модели эмоционального воспитания

Следовательно, верна формула ]{(!) = 0‘г(). что требовалось доказать.

Следующая теорема позволяет оценить сверху текущее воспитание забывчивого субъекта в том случае, когда он в прошлом получил только единственное элементарное воспитание.

Теорема 4. Текущее воспитание забывчивого субъекта, полученное в результате единственного положительного элементарного воспитания, удовлетворяет неравенству

К(У) <О'г0, где 0>0р 7 = 1, /.

Доказательство очевидно следует из вида формулы (8).

Предполагая, что коэффициенты памяти являются дифференцируемыми функциями, получим формулу для суммарной эмоции У(0:

г(1)=^т+к ш>+^шв(1) (9)

ж 1 ж <а

Соотношение (9) позволяет утверждать, что суммарная эмоция субъекта зависит от прошлого воспитания, скорости изменения коэффициентов памяти и коэффициентов памяти.

Легко увидеть, что у равномерно забывчивого субъекта или субъекта с абсолютной эмоциональной памятью

(0^1, ./ = 1,0

текущие суммарные эмоции не зависят от прошлого воспитания.

Очевидно, что воспитание не может осуществляться непрерывно: после серии

эмоциональных воспитательных воздействий наступает период затишья в воспитании.

Введем определение.

О п р ед е л е н и е 9. Полным воспитательным циклом назовем количество тактов, равное сумме количества тактов при воздействии воспитательных эмоций и количества тактов, соответствующих отсутствию воздействий элементарных воспитаний на субъекта до наступления следующего воспитательного эмоционального воздействия.

Легко увидеть, что согласно теоремам 2 и 3 воспитание р ^ для первого полного

воспитательного цикла равномерно забывчивого субъекта на равноценных эмоциях с равными тактами удовлетворяет соотношению

1-03

(10)

где ^ - количество тактов при наличии воспитательных воздействий на субъекта, * -количество тактов при их последующем отсутствии.

Очевидно, что воспитание Щ, полученное субъектом в результате г полных воспитательных циклов, определяется равенст-

вом

где

ЕР

Зп. *п

п-2

=в

ч-

\-в1п

\-в

в3"р

1п-1.*п-

(11)

(12)

Из вида соотношений (10)-(12) следует что величина Г2, , , задаваемая равенством

О.

Р

Зп. *п

Зп ’^п

ч

не зависит от д. Так как спра-

ведливо соотношение то О, мо-

жет служить безразмерной мерой воспитания, полученного в результате полного воспитательного цикла с порядковым номером п; а

щ

число , определяемое формулой 1У = —

ч

- безразмерной мерой воспитания, полученного субъектом в результате г полных воспитательных циклов.

Определение 10. Функцию к назовем функцией памяти.

Рассмотрим функцию ^ и определим оптимальные значения в, обеспечивающие ее максимальные значения. Легко видеть, что соотношение (10) влечет равенство

Пл. *1 =9

* 1-031

1-6»

(13)

Дифференцируя (13) по переменной в, получим формулу

(К!

(в

г- = к1вК-1

\-вм

1-0

-в

л-1

1-0

п

Приравнивая правую часть (14) к нулю, получим уравнение, позволяющее найти оптимальный коэффициент памяти 0. После несложных преобразований это уравнение примет вид

kx І-0Л

0

\-0

^0л1 Ш-0 +1-0л = 0.

(15)

Пусть выполняется соотношение /, =2.

Значения функции памяти при оптимальных коэффициентах памяти

В таблице при различных значениях ^ приведены оптимальные значения коэффициентов памяти 0, полученные в результате решения уравнения (15), и величины функции памяти к , соответствующие этим значениям.

Анализ таблицы позволяет утверждать, что для получения наибольшего воспитания при воздействии двумя элементарными воспитаниями и при последующем кратковременном отсутствии воспитательных эмоций нет необходимости в стремлении запоминания воспитуемым субъектом всего того, что дает воспитатель. Но при длительных перерывах в воспитании воспитуемый должен хорошо помнить то, что давал воспитатель.

^лА 0

2 0,451 0,541

3 0,405 0,629

4 0,378 0,688

5 0,361 0,731

6 0,360 0,767

7 0,337 0,788

8 0,332 0,809

9 0,323 0,825

10 0,318 0,839

11 0,314 0,851

Таким образом, в статье приведены математические модели воспитания, при некоторых ограничениях на эти модели изучены свойства воспитания. Введены понятия коэффициентов памяти и функции памяти.

Список литературы

1. http://p-misc.by.ru/ucheb/oglav.html

2. Самарский А.А. Математическое моделирование/ А.А.Самарский, А.П.Михайлов. М.: Физматлит, 2005. 320 с.

Mathematical models of emotional education

O. G. Pensky

Perm State University, 614990, Perm, Bukirev st., 15

In article mathematical models of emotional education are resulted. At some restrictions on these models properties of education are investigated. Concepts of factors of memory and function of memory are entered.