Математические модели для прогнозирования деформации полимерных материалов на основе интегральных соотношений Больцмана-Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 539.434:677.494

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ БОЛЬЦМАНА - ВОЛЬТЕРРА

© 2006 г. А.В. Демидов

Одним из важных направлений механики полимеров является изучение деформационных свойств полимерных материалов в области действия неразру-шающих нагрузок, близких к условиям их эксплуатации, при помощи математического моделирования процессов деформирования на основе обработки экспериментальной информации. Целесообразность дальнейшего совершенствования методов расчетного прогнозирования напряженно-деформированных состояний полимерных материалов в указанной области возникает в связи с расширяющимся их применением в технических изделиях. Данный фактор способствует повышению значимости математического моделирования деформационных свойств полимеров, поскольку неразрывно связан с задачами по сравнительному анализу свойств материалов, с исследованиями взаимосвязи свойств со структурой, с целенаправленным технологическим регулированием свойств, а также с прогнозированием кратковременных и длительных механических воздействий. Вышеизложенное способствует повышению эффективности решения технологических задач, а также создает основу для оптимизации и управления технологическими процессами.

В настоящее время проведены многочисленные исследования вязкоупругих свойств полимеров, в то время как большое разнообразие материалов доказывает необходимость разработки новых методов исследования их деформационных свойств. Усложнение структуры полимерных материалов существенно сказывается на их вязкоупругих свойствах, что обосновывает поиск новых математических моделей указанных свойств и применение компьютерных методов обработки экспериментальной информации. Создание новых методов анализа механических свойств полимеров, учитывающих их сложное строение, способствует наиболее достоверному прогнозированию деформационных процессов.

Развитие материаловедения двух последних десятилетий нацелено на ускорение автоматизации средств контроля качества и испытания продукции с целью решения задач по управлению технологическими процессами. Решение поставленных задач неразрывно связано как с совершенствованием методов и приборов, позволяющих моделировать в лаборатор-

ных условиях воздействия, испытываемые материалами при их переработке и в процессе эксплуатации, так и с совершенствованием методов анализа и обработки экспериментальной информации на основе математического моделирования с применением комплексов программ.

Известные подходы к анализу деформационных свойств полимерных материалов основаны на описании обобщенных экспериментальных кривых релаксации и ползучести с помощью нормированных релаксационных функций и функций запаздывания, в качестве которых наиболее часто выбирается интегральная кривая нормального распределения по логарифмической шкале приведенного времени. Данные методики анализа и прогнозирования деформационных процессов дают хорошие результаты при исследовании полимерных материалов относительно простой макроструктуры типа синтетических нитей. Исследование же механических свойств полимеров более сложного макростроения и изделий из них затруднено наличием у них усложненного спектра времен релаксации и запаздывания ввиду наложения друг на друга элементарных спектров, соответствующих составляющим материал элементов.

Это обстоятельство стимулировало поиск математических моделей деформационных свойств на основе новых, по возможности более простых, релаксационных функций и функций запаздывания, соответствующих усложненным спектрам. При построении теории анализа и обработки экспериментальной информации учитывалось как требование к минимальному числу параметров математической модели, так и их физическая обоснованность, что должно способствовать упрощению решения дальнейших технологических задач управления. Упрощение математической модели вязкоупругости достигается также за счет учета нелинейности в интегральных ядрах релаксации и запаздывания в виде задания функций среднестатистических времен релаксации и запаздывания.

Рассмотрим вариант математического моделирования вязкоупругих свойств полимеров, построенный на основе вероятностного распределения Коши релак-сирующих и запаздывающих частиц [1, 2]:

Eet - Eо -(E0 - E<*> )pet; D- Dо +(DDо )<p0t;

1 1

Pet -т + -arctg

f

ln-

1 1

Pot --Z + ~ arctg

f 11 t ^ ln

т

(1) (2)

(3)

(4)

- E о - lim E et, t ^0

D0 - limDot = t ^0

Б ^ = Иш Б/( - асимптотические значения модуля

í

релаксации и податливости;

- структурные параметры Ьп/ и Ьп/ характеризуют скорость процессов релаксации и ползучести -указанные параметры соответствуют логарифму приведенного времени «полурелаксации» (половина процесса релаксации при деформации е происходит в интервале времени (е[',('], где 1п('/те) = -Ьпе,

1п('/те) = Ьпе) и «полузапаздывания» (половина процесса ползучести при напряжении а происходит в интервале времени (/'], где 1п(('¡т/) = -Ьп/ ,

1п('/та) = Ьпа );

- функции времен релаксации /е = 1п(те) и времен запаздывания /аа = 1п(та), характеризующие сдвиги кривых «семейств» релаксации и ползучести вдоль логарифмическо-временной шкалы содержатся, соответственно, в структурно-деформационно-временном аргументе-функционале [2]:

где Ее( - модуль релаксации; Б- податливость; ( -время; 1/Ьт - параметр интенсивности процесса релаксации; 1/Ьп/ - параметр интенсивности процесса ползучести; те - время релаксации (время, за которое проходит половина процесса релаксации при величине деформации); та - время запаздывания (время, за которое проходит половина процесса ползучести при величине напряжения); Е= а/е - модуль релаксации; Е0 - модуль упругости; Е^ - модуль вязкоупругости; Б= е/а - податливость; Б 0 - начальная податливость; Б ^ - предельная равновесная податливость; е - деформация; / - напряжение; фе( - функция релаксации и ф/( - функция ползучести, заданные в виде нормированного арктангенса логарифма приведенного времени (НАЛ) [2].

Предложенный вариант наиболее подходит для прогнозирования деформационных процессов полимерных материалов сложного макростроения, так как известно, что сумма случайных величин, распределенных по нормированному закону Коши, также распределена по этому же закону. То есть, если предположить, что релаксирующие и запаздывающие частицы, составляющих полимер микроструктур, распределены по внутренним временам релаксации и запаздывания по закону Коши, то можно считать, что и мак-ро-релаксирующие и макро-запаздывающие частицы распределены по этому закону.

Несомненным достоинством математической модели (1) - (4) является то, что она содержит минимальное число параметров, имеющих ясный физический смысл:

Е „ = Иш Е е

Wtt - —In-L -

Ь ис Т с Ь ис

f, f t ^ ln

t,

+ ln

f t ^

(5)

и в структурно-сило-временном аргументе-функционале

W-

n ot

1

ln

t

1

f, f t ^ ln

+ ln

f t ^

(6)

Относительно медленная сходимость функции НАЛ (например, по сравнению с интегралом вероятности) к своим асимптотическим значениям позволяет интерполировать модуль релаксации Еи податливость Б в достаточно широком временном диапазоне, что дает возможность прогнозирования как быстротекущих, так и длительных деформационных процессов.

Следует заметить, что выбор нормированной функции для математической модели вязкоупругих свойств полимерных материалов осложняется тем, что нельзя априорно отдать преимущество какой-то из них. Основным критерием для отбора служит эксперимент. Наличие нескольких нормированных функций для моделирования позволяет сделать более правильный выбор и, тем самым, повысить надежность прогнозирования.

Исследование вязкоупругих характеристик полимерных материалов на основе предложенной математической модели (1) - (4) показало, что расчетное значение модуля упругости Е 0 выше, чем рассчитанное с применением математических моделей, основанных на других нормированных функциях, и близко к акустическому значению Еак, что также физически

обосновано, так как скорость распространения упругих взаимодействий в полимерных материалах близка к звуковой. Изменилось в сторону уменьшения и значение модуля вязкоупругости Е ^ , характеризующего нижнюю асимптоту модуля релаксации в длительных процессах, что, по сути, расширяет диапазон релаксации. Аналогичный вывод можно сделать и о процессе ползучести. Данное обстоятельство выгодно отличает функцию НАЛ от ранее применявшихся нормированных функций релаксации и запаздывания (например, интеграла вероятности, функции Кольрауша, гиперболического тангенса и др.) [1].

Таким образом, использование нормированной функции НАЛ в качестве основы математической модели вязкоупругости, позволяет с достаточной степенью точности моделировать деформационные свойства полимерных материалов. Указанное моделирование расширяет деформационно-временные и сило-

временные границы прогнозирования деформационных процессов. Аналитическое задание функции НАЛ и принадлежность ее к классу элементарных функций упрощает дифференциально-интегральные преобразования в рамках рассматриваемой математической модели и облегчает процесс нахождения вязкоупругих характеристик.

Прогнозирование деформационных процессов полимерных материалов проводится на основе известных интегральных соотношений Больцмана-Вольтер-ра для процесса нелинейно-наследственной релаксации и для процесса нелинейно-наследственной ползучести [3]:

t

а t = Еое t -(Ео - Е~)!ееФм-е40; (7)

о

е t = В оа t + (В Б о )Кф;,МЗ40 , (8)

с интегральными ядрами релаксации и запаздывания, соответствующими математической модели (1) - (6):

ФЕ

Фс

_ ЭфЕ

1 1

dt п bn

1 1

_ дфс

1 1

dt

1 + W ¿t'

п bnc 1 + WCt

(9)

(10)

Преимущество применения для моделирования деформационных процессов интегральных ядер (9), (1о), как следствие математической модели (1) - (6), состоит в возможности расширения области доверительного прогнозирования в сторону «больших» (длительные процессы) и в сторону «малых» времен (кратковременные процессы) с уменьшением погрешности прогноза за счет снижения влияния квазимгновенного фактора деформирования в начале процесса [4].

Кроме того, повышение точности прогнозирования основано на разработанных методах вычисления несобственных нелинейно-наследственных интегралов (7), (8), основанных на неравномерном разбиении временной шкалы с учетом специфики рассматриваемого процесса [2]. Например, при прогнозировании активных (быстропротекающих) процессов, характеризующихся ростом скорости деформирования целесообразно разбиение временной шкалы по возрастающей геометрической прогрессии - с целью наилучшего учета влияния квазимгновенного фактора деформирования в начале процесса. При прогнозировании же длительных процессов, характеризующихся снижением скорости деформирования, целесообразно

разбиение временной шкалы по убывающей геометрической прогрессии - с целью наилучшего учета длительных деформационных воздействий [5].

Разработанные методы вычисления интеграла нелинейно-наследственной вязкоупругости (7), (8) на основе математической модели с функцией НАЛ опробованы на различных видах деформационно-восстановительных процессов и процессов обратной релаксации большой группы полимерных материалов. Во всех исследованных случаях отклонение данных, полученных расчетным прогнозированием, от данных, полученных экспериментальным путем не превышает величины в 1о%, что является технически допустимой погрешностью [6].

Таким образом, предложен комплекс методов анализа деформационных свойств полимерных материалов в зоне неразрушающих механических воздействий на основе математической модели с нелинейно-наследственными интегральными ядрами релаксации и запаздывания, существенно увеличивающий интервалы времени, нагрузки и деформации, в которых осуществляется расчетное прогнозирование вязкоуп-ругих процессов. Предложены методы определения вязкоупругих характеристик, как параметров рассматриваемой математической модели по результатам кратковременных испытаний в простых режимах релаксации и ползучести, методы прогнозирования деформационно-восстановительных процессов и процессов обратной релаксации, а также и других более сложных режимов деформирования.

Литература

1. Сталевич А.М. Деформирование ориентированных полимеров. СПб., 2оо2.

2. Макаров А.Г. Математические методы анализа физико-механических свойств материалов легкой промышленности. СПб., 2оо2.

3. Демидов А.В., Макаров А.Г., Овсянников Д.А., Сталевич АМ.

Математическое моделирование вязкоупругих процессов полимеров // Вестн. Санкт-Петербургского государственного университета. Серия 1о. 2оо6, № 3.

4. Демидов А.В., Макаров А.Г., Сталевич А.М. Вариант прогнозирования деформационных процессов полимерных материалов // Материаловедение, 2оо6, № 8.

5. Демидов А.В., Макаров А.Г., Сталевич А.М. Системный анализ вязкоупругости полимерных материалов // Вопросы материаловедения, 2оо5, № 4 (44) , С. 5о - 58.

6. Демидов А.В., Макаров А.Г., Сталевич А.М. Вариант математического моделирования деформационных процессов полимерных материалов // Вопросы материаловедения, 2оо6, № 3 (47), С.Ю6 - 115.

Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна

13 ноября 2006 г.