МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МАРШРУТОВ ДОСТАВКИ ГРУЗА ОРГАНИЗАЦИЯМИ СНАБЖЕНИЯ УЧАСТНИКОВ ЗАКУПОК ДЛЯ ГОСУДАРСТВЕННЫХ И МУНИЦИПАЛЬНЫХ НУЖД Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ НАРОДНЫМ ХОЗЯЙСТВОМ

ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 2 (61)

УДК 330.45+656.073

© И. О. Загорский, Е. А. Карловская, 2021

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МАРШРУТОВ ДОСТАВКИ ГРУЗА ОРГАНИЗАЦИЯМИ СНАБЖЕНИЯ УЧАСТНИКОВ ЗАКУПОК ДЛЯ ГОСУДАРСТВЕННЫХ И МУНИЦИПАЛЬНЫХ НУЖД

Загорский И. О. - канд. экон. наук, доц. кафедры «Эксплуатация автомобильного транспорта», тел.: (4212) 25-13-70, e-mail: 006941@pnu.edu.ru; Карловская Е. А. - д-р экон. наук, проф., первый проректор, тел.: (4212) 76-02-62, e-mail: 004310@pnu.edu (ТОГУ)

В статье описаны математические методы проектирования маршрутов доставки груза организациями снабжения участников закупок для государственных и муниципальных нужд. Приведены примеры методов, которые, по мнению автора, оптимально подходят для оптимизации организационных подходов к решению транспортных задач.

Ключевые слова: математический метод, транспорт, транспортная задача, закупки, заказчик, государственные и муниципальные нужды.

Организации, осуществляющие поставку товаров для государственных и муниципальных нужд, принимают участие в закупках товаров различного вида и назначения. Для добросовестного исполнения контрактов необходимо осуществлять поставки точно в срок, в соответствие с установленным графиком. Зачастую такие организации пользуются услугами транспортных компаний, рассчитывающих маршруты доставки груза самостоятельно. В связи с неоднородностью груза и мест доставки транспортная задача становится сложно вычислимой. Главным направлением таких задач является расчет кратчайших расстояний перевозки. Существует широкий ряд методов расчета кратчайших расстояний и путей проезда (рис. 1-3) [2].

Рис. 1. Метод потенциалов (Дейкстры)

ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 2 (61)

№ строк (от вершины) № столбцов (до вершины)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

I 0 1 3 2 5 2 6 3 7 4 г 5 11 5 10 1 5

2 2 3 0 2 2 ? 2 3 4 4 5 5 --г 3 5

3 2 4 3 1 0 2 4 2 ► 5 4 * 5 6 55 3 3

4 2 6 4 3 2 5 0 4 4 4 2 5 8 5 7 3 8

5 2 10 4 7 2 9 5 4 0 5 2 5 4 5 3 8 8

6 2 8 4 5 2 7 6 2 6 2 0 5 6 5 5 3 10

7 2 4 6 2 8 6 3 6 3 7 1 0 7 4 8 9

8 9 10 3 9 9 8 6 7 8 3 7 5 5 4 0 8 5

9 9 5 3 4 9 3 2 7 3 5 5 7 5 9 9 6 0

Рис. 2. Матричный способ расчета кратчайших расстояний и путей проезда

Рис. 3. Метод возможных направлений Зойтендейка

Одним из эффективных решений нам видится применение математических методов оптимизации. В связи с тем, что при проектировании маршрутов доставки разнородного и разнонаправленного груза мы сталкиваемся с большим количеством ограничений, мы выбрали метод оптимизации - возможных направлений Зойтендейка. Метод возможных направлений близок по идее к градиентному методу, но лучше приспособлен к случаю наличия ограничений типа равенства.

Данный метод будет изложен применительно к канонической форме задачи нелинейного программирования, которая состоит в минимизации линейной функции

№)= (1) при наличии системы нелинейных ограничений

^(х)< 0, i = 1, 2, ... т. (2)

Нетрудно показать, что общая задача нелинейного программирования легко может быть сведена к канонической форме (1), (2). Действительно, задача (255),

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ -

МАРШРУТОВ ДОСТАВКИ ГРУЗА ОРГАНИЗАЦИЯМИ ШЛНИК ТОГУ. 2(Ш. № 2 (61) СНАБЖЕНИЯ УЧАСТНИКОВ ЗАКУПОК ДЛЯ ГОСУДАРСТВЕННЫХ И МУНИЦИПАЛЬНЫХ НУЖД

(256) эквивалентна задаче

хп+1 = хп+1 (3)

где через х обозначен (п+1)-мерный вектор с координатами х=(х, хп+1), а область D1, задается системой ограничений

Г^(х) < 0Л = 1,2, ... т.

1^''' (4)

Fо (х) — хп+1 <0. _

Пусть решение экстремальной задачи (3), (4) есть точка х+ = (х+, х++1). Тогда точка х+ есть решение задачи (255), (256). Действительно, предположим противное, т. е. что существует точка x++cCD такая, что Fо (х++)< ^ ( х+). В этом случае для точки х++=(х++^о (х++)) будут выполнены все условия (4), и так как Fo (х++)< Fo(x+), то точка х+не есть оптимальная для задачи (3), (4). Это противоречит исходному предположению об оптимальности х+ для задачи (3), (4). Противоречие доказывает факт оптимальности х+ для задачи (255), (256).

Совершенно аналогичным способом доказывается, что если х+ есть решение задачи (255), (256), то точка х+= (х+, Fo(x+)) есть решение задачи (3), (4).

Но задача (3), (4) является частным случаем задачи в канонической форме (1), (2). Следовательно, любая задача нелинейного программирования может быть сведена к канонической форме путем увеличения размерности пространства независимой переменной на единицу.

Основной алгоритм метода возможных направлений состоит в следующем. Задаемся точкой начального приближения Хо, которая лежит внутри области D, определяемой системой ограничений (2)

^(х°)<0, i = 1, 2, ... m. (5)

и выбираем некоторое положительное число 51, с помощью которого разобьем всю систему ограничений (5) на две группы. К первой группе относятся ограничения, удовлетворяющие условию

^¿(х°) + < 0, и ко второй группе относятся ограничения

^(*0) + 51>0.

Ограничения первой группы выполняются с достаточным запасом и поэтому не будут учитываться в выборе направления движения на первом шаге.

Задаемся далее положительным значением АЛ, и выбираем направление движения ^+= (£+!, £+2,......, ) из условия минимума приращения функции

<^о = ЕГ=1Р^ (6)

при наличии ограничения нормировки

| ^ | <1, i = 1, 2, ..., п (7)

и системы неравенств для ограничений второй группы

. (8)

Введение положительного параметра А1, объясняется нелинейностью системы ограничений (2). За счет введения А1, точка х° + ^ + t с большей вероятностью будет удовлетворять условию

для ограничений второй группы при произвольном положительном 1

ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 2 (61)

Из условий (6)— (8) видно, что задача выбора направления движения ^ + является задачей линейного программирования и может быть решена одним из разработанных алгоритмов, например симплекс-методом [1]. После ее решения могут представиться три случая:

1) - 51;

2) - 51< 5^0<0;

3) 0< 5^.

В первом случае точка х, получаемая в результате осуществления итерации, определяется выражением

х1 = х0 + ^+, (9)

где положительный скаляр t вычисляется из условия принадлежности точки х1 границе области t. Иначе говоря, скаляр t выбирается как максимальное значение, при котором еще х1 удовлетворяет системе ограничений (2).

Во втором случае, как и в первом, строится точка х1, но при осуществлении следующей итерации вместо значений 51, и, используются параметры 51/2 и 51/2. Это означает, что точка х° находится недалеко от точки минимума.

Третий случай указывает на отсутствие направления удовлетворяющего условиям (7) и (8), при которых функция 5^, убывает. Из этого следует, что если значения 51 и АЛ достаточно малы, то точка х° оптимальна. В противном случае необходимо параметр А1, уменьшить. При этом вместо параметра А1, вводится параметр А1/2 или, если этого недостаточно, А1/4 и т. д.

Все последующие итерации осуществляются аналогично первой. Итерационная процедура заканчивается при достижении определенных достаточно значений параметров 5 и Л,.

При изложении метода было сделано предположение, что x0eD, т.е. для х° удовлетворяются все ограничения из системы неравенств (2). Это предположение не вызывает существенных затруднений, так как обычно, вникнув в сущность решаемой экстремальной задачи, бывает нетрудно найти точку x0eD. В то же время эта задача может быть решена и формальным математическим методом, например на основе использования того же метода возможных направлений.

Действительно, предположим, что для точки у0, которая была выбрана в качестве начального приближения, не удовлетворяется некоторое к-е ограничение из системы

^ (у0) >0.

Тогда рассмотрим задачу минимизации ^ (х) при условии выполнения тех неравенств из системы (2), для которых ^ (у0) <0. Эта задача может решаться, например, методом возможных направлений при сведении ее к каноническому виду общим примером, изложенному в настоящем параграфе, или методом линеаризации функции. Процедура минимизации продолжается до тех пор, пока значение ^ (у) не станет отрицательным. Далее аналогичным приемом добиваемся выполнения и всех других неравенств из системы (2).

Как видно из изложения, метод возможных направлений является достаточно сложным в реализации. В то же время, как показывает практика, он во многих

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МАРШРУТОВ ДОСТАВКИ ГРУЗА ОРГАНИЗАЦИЯМИ СНАБЖЕНИЯ УЧАСТНИКОВ ЗАКУПОК ДЛЯ ГОСУДАРСТВЕННЫХ И МУНИЦИПАЛЬНЫХ НУЖД

случаях дает хорошую сходимость и поэтому широко используется. Одним из недостатков метода является невозможность его применения для случая ограничений типа равенств.

Метод возможных направлений Зойтендейка нам видится для применения к транспортной системе г. Хабаровска с учетом наличия новой объездной дороги.

Рис. 4. Автотранспортная сеть г. Хабаровска

Исследования будут продолжены после накопления достаточного объема информации для корреляционного анализа.

Потребность в перевозках пассажиров и грузов для государственных и муниципальных нужд удовлетворяется за счет организаций, осуществляющих деятельность сухопутного транспорта (табл. 1).

Таблица 1

Распределение организаций по формам собственности в 2019г., согласно данным

Федеральной налоговой службы

Форма собственности Количество

Юридические лица 35721

Коммерческие организации 28590

Общества с ограниченной ответственностью 27994

Акционерные общества 379

Унитарные предприятия, в т.ч. Федеральные 125 7

ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 2 (61)

ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 2 (61)

Продолжение таблицы 1

Краевые Муниципальные

4

114

Некоммерческие организации

7131

Учреждения, в т.ч. Федеральные Краевые Муниципальные

2139 225 361 1553

*по данным Федеральной налоговой службы

Исследованные методы позволят снизить себестоимость перевозок и добиться снижения начальных (максимальных) цен контрактов для обеспечения государственных и муниципальных нужд.

Библиографические ссылки

1. Геронимус Б.Л. Математические методы планирования грузовых автомобильных перевозок / Б.Л. Геронимус . М.: Изд-во «Транспорт», 1972. - 104 с.

2. Просов С.Н. Проектирование автотранспортных систем доставки: учебное пособие / С.Н. Просов. - М.: МАДИ, 2017. - 100 с.

3. Загорский И. О. Транспортная инфраструктура / И.О. Загорский, П.П. Володькин, А.С. Рыжова. - Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2015. - 228 c.

4. Загорский И.О. Особенности организации перевозок пассажиров для государственных и муниципальных нужд : монография / И.О. Загорский, П.П. Володькин, А.Э. Ланюгова; [Научный редактор Е.А. Карловская]. Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Тихоокеанский государственный университет. - Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2020. - 99, [1] с.

5. Загорский И. О. Система закупок 2020 : учеб. пособие / И. О. Загорский, А.Э. Ланюгова. Д.В. Якунин; [науч. редактор Е.А. Карловская]; Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Тихоокеанский государственный университет -Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2020. - 350, [1] с.

Title: Mathematical Methods for Designing Cargo Delivery Routes by Supplying Organizations for Public and Municipal Needs

Authors' affiliation:

Zagorskiy I. O. - Pacific National University, Khabarovsk, Russian Federation Karlovskaya E. A. - Pacific National University, Khabarovsk, Russian Federation

Abstract: The article describes the mathematical methods for designing routes for the delivery of goods by supply organizations of procurement participants for state and municipal needs. The authors give the examples of optimal methods for improving organizational approaches to solving transport problems.

Keywords: mathematical method, transport, transport problem, procurement, customer, state and municipal needs.