CC BY
99
Геодезия
УДК 528.44
Е.И. Аврунев
СГГ А, Новосибирск
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА СПУТНИКОВЫХ ПОСТРОЕНИЙ ДЛЯ ЦЕЛЕЙ ГОСУДАРСТВЕННОГО КАДАСТРА НЕДВИЖИМОСТИ
В статье рассматривается проблема построения спутниковых сетей, которые по точности превосходят исходную геодезическую основу. Приведены алгоритмы, позволяющие вычислить матрицу весовых коэффициентов с учетом ошибок исходных данных, и дан их краткий анализ.
геодезическая сеть, GPS-измерения, ошибки исходных данных, исходные пункты геодезической сети, корреляционная матрица, уравнивание с учетом ошибок исходных данных.
Ye.l. Avrunev SSGA, Novosibirsk
MATHEMATICAL TREATMENT OF SATELLITE POSITION FOR STATE CADASTRE PROPERTY PURPOSES
The problem of geodesic satellite nets, exceeding initial geodesic foundation in accuracy, is examined in the article. Algorithms, that allow calculating matrix of weighting coefficients taking into account errors of initial data, are given and their brief analysis is made.
geodetic net, GPS-measurements, input data errors, origin stations of geodetic nets, correlation matrix, leveling with taking into account initial data errors
Одно из актуальных направлений развития геодезической науки - математическая обработка спутниковых построений, являющихся в настоящее время основным методом создания геодезического обоснования для Государственного кадастра недвижимости. Детальное решение этой проблемы для государственных геодезических построений, которые уравниваются в государственной системе координат, нашло отражение в фундаментальных работах Ю.И. Маркузе [5, 6, 7].
Специфика, которую предъявляет Г осударственный кадастр недвижимости к геодезическому обеспечению, обусловливает необходимость в ряде случаев при математической обработке результатов спутниковых наблюдений использовать местную систему координат. Такая координатная система с расположением осевого меридиана в центральной части территориальной зоны используется практически во всех городах Сибирского региона.
В этих условиях актуальной становится проблема редуцирования спутниковых определений в местную координатную систему в проекцию Гаусса -Крюгера. Отметим, что при этом имеет место одно очень важное обстоятельство. Местная система координат закреплена пунктами, координаты которых получены в результате создания многоступенчатого геодезического обоснования,
49
Геодезия
точность которого не соответствует современным требованиям развития экономики и значительно уступает точности спутниковых определений.
Вопрос редуцирования в настоящее время решается путем вставки спутниковой сети в систему исходных пунктов, координаты которых задают требуемую систему координат. Однако такой подход математической обработки является приближенным, он не учитывает влияние ошибок исходных данных, которые в ряде случаев могут существенно искажать более точные спутниковые измерения.
В связи с этой проблемой заслуживают внимания работы выдающихся российских ученых В.А. Коугия [4], Ю.И. Маркузе [7, 8], К.Л. Проворова и др. В этих работах приводятся алгоритмы, позволяющие оценить влияние ошибок исходных данных на корреляционную матрицу параметров спутниковой сети.
По нашему мнению, одним из оптимальных алгоритмов, позволяющих вычислить корреляционную матрицу параметров с учетом ошибок исходных данных, является вычислительная схема, предложенная в работе В.А. Коугия [4]:
Kx ИД а GPS
г
AT
Py +
а
Ри.д.
а
B • Фид •B
A
GPS
(1)
где В - матрица частных проводных измеренного вектора у в спутниковой сети по координатам исходных пунктов;
Qx и д - матрица весовых коэффициентов вектора параметров Х в исходной геодезической сети;
aGPS - дисперсия единицы веса, равная инструментальной точности спутниковых определений в геодезической сети сгущения;
арид - дисперсия единицы веса, равная точности измеренных или уравненных углов, в исходной ступени геодезического обоснования;
Py - матрица весов спутниковых определений;
А - матрица параметрических уравнений поправок измеренных элементов спутниковой сети.
Таким образом, для реализации алгоритма (1) необходимо иметь точностные характеристики исходных данных в виде матрицы весовых коэффициентов координат пунктов. Учитывая, что, как правило, эта матрица неизвестна, а схема исходного геодезического обоснования представлена в отчетах, задача может быть решена с использованием следующего выражения:
Qx ИД
-а2 (ат
_ ирид \ЛИСХ
• а )1
ИСХ
(2)
где А - матрица параметрических уравнений поправок, составленная по схеме исходного геодезического обоснования.
50
Геодезия
Оценить влияние ошибок исходных данных на элементы высокоточного спутникового построения можно на основании сравнения элементов матрицы (1) и корреляционной матрицы параметров, полученной в предположении отсутствия ошибок исходных данных и вычисляемой по формуле:
Kx = <4pS (AT • Py • A)-1. (3)
Если в результате оценки точности проекта выяснится, что такое влияние превосходит 10 %, то, по нашему мнению, математическую обработку спутниковой сети целесообразно выполнять с учетом ошибок исходных данных по алгоритму, предложенному в работе Ю.И. Маркузе [7].
Этот алгоритм основан на вычислении оценок параметров как для спутниковой сети, так и для исходных пунктов. Несомненным достоинством данного алгоритма является возможность получения оценок параметров неискаженными ошибками исходных данных, а недостатком - получение параметров исходных данных, отличных от их значений, приведенных в каталоге координат исходной ступени геодезического обоснования.
Реализация данного алгоритма для математической обработки спутниковой сети заключается в составлении системы нормальных уравнений, которая в обозначениях, принятых при рассмотрении алгоритма (1), имеет следующий вид:
R =
AT • Py • A
BT • Py • A
AT • Py • B
Q Z1 + BT • Р Y
• B
R11 R21
R21 R22
(4)
Корреляционная матрица вектора параметров Х, позволяющая выполнить оценку точности проекта многоступенчатой геодезической сети, вычисляется по формуле
KxИД • R • (5)
Уравнивание с учетом ошибок исходных данных приводит к идентичным результатам, которые получаются при совместном уравнивании многоступенчатых геодезических построений. Однако предложенный Ю.И. Маркузе алгоритм наиболее эффективен, поскольку требует хранения на внешнем носителе компьютера только корреляционной матрицы параметров Х исходного геодезического построения.
Вместе с этим отметим, что реализация рассмотренных алгоритмов в традиционной форме МНК затрудняет процесс оптимизации геодезических сетей, детально освещенный и рассмотренный в работе [9].
Поэтому рассмотрим применение рекуррентного алгоритма решения системы нормальных уравнений для оценки точности проекта геодезических сетей в условиях существенного влияния ошибок исходных данных.
51
Геодезия
В соответствии с исследованием Ю.И. Маркузе [7], алгоритм учета ошибок исходных данных заключается в вычислении матрицы весовых коэффициентов по рекуррентной формуле:
Qi
Q1-1
QI-1 ' aI ' aT ' QI-1
P + ai ■ QI-1 ■ aT PI
(6)
где Qi - матрица весовых коэффициентов, соответствующая I измерению;
Qi-1 - матрица весовых коэффициентов, соответствующая предшествующему I-1 измерению;
—— вес I запроектированного измерения;
PI
aI - строка матрицы параметрических уравнений поправок А, соответствующая I измерению, определяемая по соответствующим формулам МНК.
Процесс оптимизации необходимо начинать с начальной матрицы следующего вида:
q
о
Q ХИ.Д. 0
10m • E
(7)
где Qx - матрица весовых коэффициентов, соответствующая старшей ступени многоступенчатой ИГС (размерность данной матрицы определяется удвоенным числом пунктов старшей ступени, являющихся исходными при построении сети сгущения t');
E - единичная матрица, размерность которой равна удвоенному числу определяемых пунктов в младшей ступени GPS-построения (t).
Однако при использовании традиционной рекуррентной формы выражения (7) оценка точности вектора параметров получается искаженной, поскольку измеренный вектор у искажен ошибками исходных данных. Влияние ошибок исходных данных на матрицу весов измеренного вектора целесообразно оценить с учетом алгоритма (1).
Но алгоритмы (6, 7) не позволяют учесть полную матрицу (1). Поэтому для оптимизации геодезических построений целесообразно использовать алгоритм (8), предложенный в работе [2]:
Q - Qi-1
1
1 + (p^ + p TA + a+ATpaT) Qi-1
a
Qi - (p^aT + ap T A + ATpaT) Qi -, -
где a + - вектор, правый псевдообратный к вектору a: aa + - I;
А - матрица параметрических уравнений поправок, которая наращивается по строкам от нуля до n по мере учета соответствующих измерений;
52
Геодезия
Р - матрица весов, наращиваемая по строкам и столбцам от нуля до n, по мере добавления компонентов измеренного вектора у;
р I - диагональный элемент, соответствующий весу I измерения (скаляр); pI - вектор недиагональных элементов матрицы Р Y, учитывающий корреляцию I компонента измеренного вектора у и ошибок исходных данных.
Таким образом, можно отметить, что теоретически вопрос построения высокоточной спутниковой сети в условиях существенного влияния ошибок исходных данных практически решен. Однако следует заметить, что в топографогеодезическом производстве отсутствуют компьютерные программы, реализующие рассмотренные алгоритмы, что, разумеется, отрицательно сказывается на качестве выполняемых работ.
Для определения точности исходной геодезической основы с использованием GPS-аппаратуры и анализа возможности ее использования с целью построения спутниковой сети сгущения необходимо выполнить дополнительные контрольные измерения не менее, чем между тремя исходными пунктами. Схема такого геодезического построения с дополнительными контрольными измерениями приведена на рис. 1.
Рис. 1. Проектирование геодезической сети с использованием GPS-технологий для определения точности исходной основы
Контроль как стабильности исходных пунктов геодезической сети, так и точности их определения заключается в поочередном принятии в качестве исходного каждого из трех пунктов геодезического обоснования (А, В, С) и в сравнении полученных координат с их первоначальными значениями (А).
53
Геодезия
AxT
ХИСХ - XGPS; AyI = У:ИСХ - Y:gps ; A = ^Ax? + Ay?
(9)
где I - номер анализируемого исходного пункта;
ИСХ ИСХ
X , Y - исходные координаты пунктов, приведенные в каталоге;
X , y - координаты анализируемых пунктов, полученные в результате математической обработки измеренных контрольных векторов.
Таким образом, количество вариантов математической обработки будет равно числу анализируемых пунктов исходной основы.
Если величины А не превосходят статистический критерий (10), то расхождение между координатами анализируемого пункта при доверительной вероятности в = 0,05 признается незначимым, находящимся в пределах точности спутниковых определений:
Ai < t • m = 2 • 1,2 см = 2,4 см. (10)
GPS
Например, при паспортной точности GPS-приемника (mGPS = 2 mm + 2mm • L (км)) и средней длине линии в геодезическом построении L = 5 км, численное значение критерия будет составлять 2,4 см. Невыполнение статистического критерия (10) обозначает, что установлено перемещение пункта в пространстве, превосходящее точность спутниковых определений, или точность определения пунктов исходной геодезической основы не соответствует точности спутниковых определений.
Наиболее стабильным будет считаться тот пункт, при принятии которого в качестве исходного отмечается минимальное значение следующего критерия стабильности:
(11)
где j - номер варианта анализа стабильности исходной основы;
n - число анализируемых исходных пунктов.
Вычисления по предложенному алгоритму целесообразно выполнять в таблице (см. таблицу).
Подчеркнутые в таблице значения А обозначают установленное перемещение анализируемого пункта в пространстве.
Анализируя приведенные результаты модельных исследований, выполненных в таблице, можно отметить, что пунктом, потерявшим свою стабильность в пространстве, т. е. нестабильным, является исходный пункт В. Перемещения остальных исходных пунктов (А и С) являются незначимыми, находящимися в пределах точности GPS-измерений.
54
Геодезия
Таблица
Анализ стабильности и точности определения пунктов исходной основы
№ п/п Измеренные GPS вектора Координаты Критерии (м)
Исходные GPS Ax (м) Ay (м) A (м)
Ax (м) Ay (м) X (м) Y (м) X (м) Y (м)
Вариант 1. Исходный пункт А
A 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,005 5 000,004
B 1,000 5 001,000 0,005 5 000,005 0,995 0,995 1,408
4 999,998 -5 000,003
C 5 000,000 0,000 5 000,003 0,001 -0,003 -0,001 0,003
-5 000,003 -0,001
A 0,000 0,000 0,000 0,000 0,813
Вариант 2. Исходный пункт В
A 0,000 0,000 0,995 0,995 -0,995 -0,995 1,408
0,005 5 000,004
B 1,000 5 001,000 1,000 5 001,000 0,000 0,000 0,000
4 999,998 -5 000,003
C 5 000,000 0,000 5 000,998 0,997 -0,998 -0,997 1,411
-5 000,003 -0,001
A 0,000 0,000 0,995 0,995 1,151
Вариант 3. Исходный пункт С
A 0,000 0,000 -0,003 -0,001 0,003 0,001 0,003
0,005 5 000,004
B 1,000 5 001,000 0,002 5 000,003 0,998 0,997 1,411
4 999,998 -5 000,003
C 5 000,000 0,000 5 000,000 0,000 0,000 0,000 0,000
-5 000,003 -0,001
A 0,000 0,000 -0,003 -0,001 0,815
Нестабильный исходный пункт после выявления становится определяемым, и схема для математической обработки результатов спутниковых определений может быть представлена в виде, приведенном на рис. 2.
Данный вариант математической обработки GPS-сети обеспечит приемлемую точность выполненных измерений без привлечения алгоритмов по уравниванию с учетом ошибок исходных данных и позволит получить координаты пунктов ОМС, удовлетворяющие требованиям Государственного кадастра недвижимости.
55
Геодезия
■ B
Рис. 2. Схема GPS-сети для совместной математической обработки всех результатов спутниковых определений
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Аврунев, Е.И. К вопросу о геодезическом обеспечении городского кадастра / Е.И. Аврунев, А.С. Миколаенко, А.И. Лесных // Сферы применения GPS-технологий: тез. докл. на междунар. конф. - Новосибирск: СГГА, 1995. - С. 10-12.
2. Аврунев, Е.И. Использование рекуррентного алгоритма в условиях зависимых измерений // ГЕО-Сибирь-2009. V международная выставка и научный конгресс. Т. 3. Ч. 2. Экономическое развитие Сибири и Дальнего Востока, экономика природопользования, землеустройство, лесоустройство, управление недвижимостью. - С. 200-207.
3. Аврунев, Е.И. Теория расчета точности инженерно-геодезических сетей: учеб. пособие / Е.И. Аврунев. - Новосибирск: СГГА, 1995. - 34 с.
4. Коугия, В.А. Геодезические работы при строительстве мостовых переходов /
В.А. Коугия. - М.: Недра, 1986. - 248 с.
5. Маркузе, Ю.И. Уравнивание пространственных наземных и спутниковых геодезических сетей / Ю.И. Маркузе, Хоанг Нгок Ха. - М.: Недра, 1991. - 275 с.
6. Маркузе, Ю.И. Алгоритмы для уравнивания геодезических сетей на ЭВМ / Ю.И. Маркузе. - М.: Недра, 1989. - 248 с.
7. Маркузе, Ю.И. Основы уравнительных вычислений / Ю.И. Маркузе. - М.: Недра, 1990. - 240 с.
8. Тамутис, З.П. Оптимальные методы проектирования геодезических сетей / З.П. Та-мутис. - М.: Недра, 1979. - 127 с.
9. Савиных, В.П. Проблемы реконструкции городских геодезических сетей на основе GPS-технологий / В.П. Савиных, Х.К. Ямбаев, А.А. Генике // Сферы применения GPS-технологий: тез. докл. на междунар. конф. - Новосибирск: СГГА, 1995. - С. 5-7.
Получено 22.07.2010
© Е.И. Аврунев, 2010
56
