CC BY
53
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕКУРСИВНОГО АЛГОРИТМА ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ НА ВОЗМУЩЕНИЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
Амридон Гемзаевич Барлиани
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул.
Плахотного, 10, к.т.н., доцент кафедры прикладной информатики, тел. (983) 319-99-31
Светлана Александровна Егорова
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул.
Плахотного, 10, доцент кафедры прикладной информатики, тел. (923) 109-05-15, e-mail: [email protected]
В статье выполнено всестороннее исследование рекурсивного алгоритма псевдообращения на устойчивость к ошибкам исходной информации. Делается заключение о том, что предложенный алгоритм получения псевдообратной матрицы является достаточно устойчивым к возмущениям исходных данных.
Ключевые слова: геодезическая сеть, псевдообратная матрица, рекурсивный
алгоритм.
RESEARCH OF RECURSIVE ALGORITHM FOR INITIAL DATA DISTURBANCE PSEUDOREVERSAL
Amridon G. Barliani
Ph.D., Assoc. Prof., department of applied informatics, Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo st., 630108, Novosibirsk, phone: (983) 319-99-31
Svetlana A. Yegorova
Assoc. Prof., department of applied informatics, Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo st., 630108, Novosibirsk, phone: . (923) 109-05-15, e-mail: [email protected]
Comprehensive research of the recursive algorithm for initial information errors tolerance pseudoreversal is presented. It is concluded that the offered pseudoreversal matrix algorithm is tolerant enough to initial data disturbance.
Key words: geodetic network, pseudoreversal matrix, recursive algorithm.
Необходимо рассмотреть проблему, представляющую большой теоретический и практический интерес, при вычислении псевдообратных матриц. Это проблема устойчивости алгоритма к малым возмущениям. Пусть A
- произвольная матрица, для которой необходимо вычислить псевдообратную
матрицу A+. Спрашивается, что можно сказать об элементах псевдообратной матрицы A + 1, где I - матрица состоящая из «единиц», а 1 - малый параметр? Так как, как правило, интересуются лишь формальной стороной теории, то здесь не будет рассматриваться вопрос о том, каким должен быть параметр 1, чтобы название «малый» было действительно уместным.
Если рассматриваемый алгоритм устойчив к малым возмущениям, можно ожидать, что элементы псевдообратной матрицы (А + 11) + и псевдообратной
матрицы А+ будут различными, но близкими друг к другу. Иначе говоря, алгоритм считается устойчивым к «малым» возмущениям 1, если разность между соответствующими элементами точной и возмущенной псевдообратной
о с/ Л
матриц, по крайней мере, по модулю не превосходит параметр возмущения 1.
Необходимо заметить, что устойчивость вычислительного алгоритма актуальна для класса задач, называемых плохо обусловленными, для которых точное решение предельно чувствительно к «малым» возмущениям исходных данных. При решении таких задач эффект ошибок округления, что может интерпретировано как возмущение исходных данных, может быть катастрофическим.
Необходимо заметить, что при уравнивании геодезических сетей такие исходные данные, как вектор свободных членов параметрических уравнений поправок, весовая матрица измеренных величин и коэффициенты уравнений поправок вычисляются приближенно. Также в процесс уравнительных вычислений на компьютерах действуют ошибки округления. Эти обстоятельства могут привести к далеко неправильным результатам уравнивания и оценки точности.
По этим причинам имеются серьезные поводы для испытания рекурсивного алгоритма псевдообращения, на устойчивость к «малым» возмущениям исходных данных.
Необходимо перейти к конкретной задаче исследования рекурсивного алгоритма к устойчивости к возмущениям исходных данных. Для этого можно рассмотреть свободную нивелирную сеть с равноточно измеренными превышениями (рис. 1).
Данной нивелирной сети соответствует матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок:
-1 1 0
А = 0 -1 1 , (1)
-1 0 1
Определитель матрицы нормальных уравнений равен нулю (ёй Я = 0). Далее по следующей формуле:
А + = і
А +
і -1
А +
і-
з
і
(2)
последовательно присоединяя столбцы из (1) и после (к -1)-кратного
обращения к ней, получается псевдообратная матрица А + параметрических уравнений поправок. Здесь /3. рассчитывается по формуле:
3і =
с
с
2
если
с Ф 0
]
]
йтА+
] ] -1
(3)
1 +
а
2
если с
]
= о
где
= а , ] і-1 і
|+ а
с,
а
і
■А а .
і - 1 і
(4)
(5)
і
По рекурсивному алгоритму (2) можно определить псевдообратную матрицу к матрице (2.94), которая равна:
точную
-1 0 -1 1 -1 0 0 1 1
(6)
- 0,3333... 0 - 0,3333.
А+= 0,3333. -0,3333. 0
0 0,3333. 0,3333.
Далее необходимо приступить к проверке алгоритма на устойчивость к возмущениям элементов исходной матрицы уравнений поправок. На первом этапе требуется ввести возмущения таким образом, чтобы определитель матрицы нормальных уравнений не менялся. Пусть вес первого превышения составляет 1,001. Это приводит к преобразованной матрице уравнений поправок:
-1,000499875 1,000499875 0
0 -11, (7)
-1 0 1
Очевидно, что (ёй К = 0).
Псевдообратную матрицу А + нужно вычислить по алгоритму (2):
а+=
-0,3332778 -0,0001110 -0,3332222 0,3332778 -0,3332222 -0,0001110. (8)
0 0,3333333 0,3333333
Пусть теперь веса первых двух превышений соответствуют 1,001. Этот факт приводит к матрицам коэффициентов уравнений поправок и нормальных уравнений, которые имеют вид соответственно:
1,000499875 1,000499875 0
А„ = 0 -1,000499875 1,000499875, (9)
-1 0 1
А1=
Понятно, что ёе1;(Я,) = 0.
Аналогичным образом находится псевдообратная матрица для матрицы (9):
-0,3332778 -0,0001110 -0,3332223 0,3331668 -0,3331668 0 , (10)
0,0001110 0,3332778 0,3332223
Далее вводятся равные возмущения на все элементы матрицы нормальных уравнений. Для этого веса всех трех измеренных превышений приравниваются к величине 1,001. Тогда можно получить матрицу коэффициентов уравнений поправок и матрицу нормальных уравнений:
-1,000499875 1,000499875 0
0 -1,000499875 1,000499875,
1,000499875 0 1,000499875
_ 1
А = Р2А =
1
(11) _
В данном случае определитель матрицы Я также равен нулю.
По изложенной методике находятся матрицы А+ и Я +, которым соответствуют матрицы:
- 0,3331668 0 - 0,3331668
0,3331668 -0,3331668 0 , (12)
0 0,3331668 0,3331668
Сравнивая элементы точной псевдообратной матрицы (6) с элементами возмещенных псевдообратных матриц в различных вариациях возмущения, можно сделать вывод о том, что абсолютная разность между ними не превосходит величину возмущения 0,001. Это говорит о том, что предложенный алгоритм получения псевдообратной матрицы является достаточно устойчивым к возмущениям исходных данных.
А1
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения : монография / А.Г. Барлиани. - Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.
2. Барлиани А. Г. Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей // ГЕО -Сибирь - 2008. Т. 1. Ч. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. Спутниковые навигационные: сб. матер. IV Междунар. научн. конгресса «ГЕО - Сибирь -2008», 22 - 24 апреля 2008 г., Новосибирск. - Новосибирск : СГГА, 2008. - С. 271 - 273.
3. Маркузе Ю. И. и др. Геодезия. Вычисление и уравнивание геодезических сетей / Ю.И. Маркузе, Е.Г. Бойко, В.В. Г олубев. - М.: Картоцентр - Г еодезиздат, 1994. - 431 с.
© А.Г. Барлиани, С.А. Егорова, 2012
