CC BY
95
УДК 528.1
Об уравнивании спутниковых и наземных измерений коррелатным способом в плоских координатах для построения мостовых разбивочных сетей
Брынь М.Я., Астапович А.В., Веселкин П.А., Каралис М.Д.
Аннотация
Приведен вывод условных уравнений поправок, возникающих в плановых наземно-спутниковых сетях, создаваемых для решения задач геодезического обеспечения строительства мостовых переходов. Дан алгоритм уравнивания этих уравнений по методу наименьших квадратов.
Ключевые слова: приращения координат, условные уравнения, уравнивание, коррелатный способ.
Введение
В последние годы наметилась тенденция к усложнению конструкций мостов и эстакад, что предъявляет повышенные требования к точности геодезического обеспечения их строительства, прежде всего, к созданию мостовых разбивочных сетей.
Для построения таких сетей, кроме наземных (угловых, линейных), в последнее время стали использоваться спутниковые измерения. Спутниковый метод координатных определений основан на измерениях по сигналам спутников навигационных систем ГЛОНАСС (Россия) и GPS (США), выполняемых двумя (и более) наземными приемниками. По результатам измерений с высокой точностью, оцениваемой единицами миллиметров, определяются разности АХ, А7, AZ геоцентрических координат между пунктами.
Уравнивание мостовых разбивочных сетей выполняется в плоской прямоугольной системы координат. Поэтому для решения задачи совместного уравнивания спутниковых и наземных измерений в плоских координатах необходимо предварительно спутниковые измерения редуцировать на плоскость в систему координат мостовых переходов [2] .
Уравнительные вычисления в последние годы выполняются преимущественно по методу наименьших квадратов параметрическим способом, который позволяет довольно легко автоматизировать процедуру составления уравнений поправок. Тем не менее, использование коррелатного способа также не исключается, особенно для уравнивания сетей с малым числом избыточных измерений. Именно таким числом измерений характеризуются мостовые разбивочные сети. Коррелатный способ чаще всего используется на практике для строгой предварительной оценки проектов
геодезических сетей. По невязкам условных уравнений судят о качестве полевых измерений и во многих случаях устанавливают веса результатов измерений.
Определение числа и вида условных уравнений в геодезических сетях с наземным составом измерений изучено и представлено в геодезической литературе, например, [1, 3]. При использовании же спутниковых измерений возникают новые виды уравнений. Рассмотрим их.
1. Условные уравнения в наземно-спутниковых сетях
Если в геодезической сети выполнены измерения только плоских приращений координат, то для приращений Ах в общем виде полигонные условия будут иметь вид: ^±Дхг=0-для замкнутых полигонов;
itj
^±Ау+хнач-хкон = 0 - для разомкнутых полигонов. Их линеаризация
t^j
приводит к условным уравнениям поправок вида Х±ид* +со/ =0- Здесь
*'<=/
- сумма поправок приращений, которые входят в данный полигон.
^j
Известно, что невязки со ■ вычисляются путем подстановки результатов измерений в условные уравнения. В нашем случае, полагая, что Ах- - результаты измерений, невязки будут иметь вид: оу = ^±Дх'- для замкну-
^j
тых полигонов, со =^+Лх-+хнач-хкон - для разомкнутых полигонов.
IZJ
Знак “+” будет в случае совпадения направления хода и полигона, в противном случае будет знак “-“.
Аналогичные условные уравнения можно составить для приращений Ау. Таким образом, число полигонных условных уравнений поправок будет равно удвоенному числу избыточно измеренных базисных линий в сети.
Если по стороне спутникового построения измерено и приведено на плоскость расстояние d, то условие будет иметь вид у}Ах2 + Ay2 - d = 0. Исходя из общих правил составления условных уравнений поправок будем
Uj + ю = 0. Здесь
иметь соответствующее условное уравнение сю^ + b\JAy
Ах 7 Ау .
а = — = cosa; Ъ = — = sin a; a d d
дирекционный угол.
Если по стороне спутникового построения измерен дирекционный
Ах
угол, то исходя из требования arctg---а = 0 будем иметь следующее
Ау
условное уравнение поправок
^А,+^Ду-^а+® = °
,, Av
где а = -р ^у = -р d
sin а
-Р
„ smacosa ,
; Ь
Ах
cosa
(1)
sin acosa
d Ax d d Ay
p" = 206265 .
Представляя измеренный горизонтальный угол как разность дирекци-онных углов (3 = a2-a1 и, пользуясь формулой (1) получим следующее уравнение поправок а2u^2 +b2uАу2 -ах-ЬууДл -ир + ю = 0.
Более сложный вид имеют условные уравнения в случае, если традиционные геодезические измерения выполнены не по базисным линиям спутниковой сети. Покажем это на примере сети, приведенной на рис.
Рис. Схема геодезической сети
Пусть А - исходный пункт, а пункты 1, 2, 3 - определяемые. В сети измерены приращения Дх15 Ау, по линии А-\ и Ах2, Ау2 по линии /1-2, атак
же углы р, ~Р6.
Исходное уравнение связи, аналогичное условию сторон традиционной сети, будет иметь вид
9 А
Axj +Аух smPjSinPg Ах2 + Ау2 sinP2 sinP4
1 = 0.
(2)
Соответствующее уравнение поправок запишется следующим обра-
зом
W+ biua^b2u*y2 + Hct^>^y~ Zct§P= 0 •
i= 1,3
i=2,4
Здесь
„Лу
a i = P = P
„ cosa,
d,
2 .
,,cos a, 7 „Ay, ,,sina 4 ;A=p
Ax
’ i
A P d2 d
,,sm a,
i
AV/
(/ = 1,2). Невязка ю выражена в угловой мере и получается путем подстановки результатов измерений в уравнение (2) и умножением полученного значения на р".
3
2. Решение уравнений поправок по методу наименьших квадратов
Систему условных уравнений поправок в матричной записи можно записать:
AV+W = 0, (3)
где А - матрица коэффициентов условных уравнений; V - вектор поправок; W - вектор невязок.
Приведем формулы метода наименьших квадратов для решения системы (3)[3]: N = AQA ; к = - N W; V = QA к, где N - матрица коэффициентов нормальных уравнений; Q - обратная весовая матрица измеренного вектора; к - вектор коррелат.
Оценка точности по результатам уравнивания выполняется по формуле m = рд/у , где р - средняя квадратическая ошибка единицы веса, вы-
числяемая по формуле р =
VTPV
(.Р - весовая матрица, Р = Q 1; г - чис-
ло избыточных измерений), q - обратный вес оцениваемой величины, являющийся диагональным элементом соответствующей обратной весовой матрицы. Так, обратная весовая матрица вектора уравненных значений из-
Т — 1
меренных величин Qx = QAQ, где QA= Е - QA N А, Е - единичная мат
r
рица.
В заключение заметим, что приведенные в статье уравнения подтверждены результатами уравнивания на реальных объектах, в частности, при создании геодезических разбивочных сетей при строительстве вантового моста и эстакады у станции Ржевка в Санкт-Петербурге.
Библиографический список
1. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И., Голубев В.В. Уравнивание геодезических построений: Справочное пособие. - М.: Недра, 1989. - 413 с.
2. Коугия В.А., Грузинов В.В. Применение GPS для построения мостовых разби-вочных сетей. - Геодезия и картография. - 2001. - № 5. - с. 18-23.
3. Машимов М.М. Методы математической обработки астрономо-геодезических измерений: Учебник. - М.: ВИА, 1990. - 510 с.
