CC BY
66
Р. Ф. Гильмутдинов, А. П. Кирпичников
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАМКНУТОЙ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЧЕРЕДЬЮ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Ключевые слова: Система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.
Представлена математическая модель замкнутой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины. Проведена подробная математическая формализация модели и впервые вычислены вторые моменты всех важнейших числовых характеристик систем массового обслуживания этого типа.
Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.
The mathematical model of multi-channel queuing system of the closed type with queue of the finite length is presented. A detailed mathematical formalization of the model is held; for the first time the second moments of all the important numerical characteristics of queuing system of this type are calculated.
Рассматриваемая в этой работе система массового обслуживания является наиболее общей по отношению к трем ранее изученным вариантам [1 -3] замкнутых СМО и при соответствующем выборе её параметров может быть сведена к любому из них. Предположим, что в системе имеется конечное число требований N т обслуживающих приборов (каналов) и, кроме того, конечное число мест для ожидания, что общее число требований в очереди не может превышать Е. Предположим также, что N > т+Е, при этом все требования, поступающие в систему тогда, когда в ней уже имеется т+Е заявок, теряются и немедленно возвращаются в группу поступающих так, как будто бы они были полностью обслужены (на языке символики Кендалла - это система М/М/т/Б/Ы). Граф состояний такой СМО имеет вид, изображенный на рис. 1. При N=т + Е эта модель переходит в модель замкнутой многоканальной СМО, рассмотренную в работе [2], а при I=Е=0 - в модель Энгсета [3].
Решение уравнений Колмогорова в данном случае вполне аналогично тому, которое было получено в работе [2] для модели М/М/т/Ж, так что запишем сразу его конечный результат, которым является связка формул
N [к] рк , ,
Рк =-п— Р0 = CN Р Ро при к ^ т ;
Рк =
к!
N[k V
m!mk-m
р0 при m < к < m + E
Р0 =
k = 0
'k = m +1 m
к - m
-1
В этих формулах N[к] - факториальные многочлены или обобщённые степени [4, 5],
ск = CN =
N!
(N - к)!k! циенты.
=N tkУк! - биномиальные коэффи-
s
Рн
Числовые характеристики установившегося режима
Вероятность отказа (аналогично [3])
ротк
N - m - E
N - к
— pm + E
N -т -Е N[т+Е ] рт+Е
N - к
т! т
-Ро>
относительная пропускная способность q =1 -- Ротк , абсолютная пропускная способность
А =л( N - к ) q =
= - [ -(N - т - Е )рт+Е]
или
т+Е-1 т +Е-1
А= Х2кРк = 2 Х(-к )Рк =
к = 0
к = 0
= 2
т+Е
Х(-к )Рк-(-т -Е )Рт + Е к = 0
=2^ - к -(N - т - Е )Рт+Е]. Вероятность ожидания
1 т + Е -1
рожид =~ГТ Т '^Х((- к }рк =
N-к к=т
р т+Е-1 ,, [к ] к
Х (- к
т
тр0
к-т
к = т т
+Е-1 N [к + 1 ] рк + 1
рт
Х
к = т
к +1 - т
т+Е
р
П Х рк =
к = т + 1
т
Р
( т ^
1-Х Рк
(1)
(2)
(3)
При Е=0 Х Рк =1 и Рожид = 0. Вероятность нек = 0
медленного обслуживания
1 т -1
Робсл =~ГТ т (N - к Ррк =
N - кк=0
Р т-1 ы[к ] Р
= Р0 х (- к ) р =
[к + 1] рк + 1
Х(к+1 Р г Р
Р(-к )к = 0 (к + 1)!
Среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов), очевидно,
т + Е т -1
т
= Х к Рк +т Х Рк = Х к Рк +т 1-Х Рк
к = 0
к = т + 1 к = 0 т -1
V к = 0
=т -Х(т - к )Рк к = 0
- такая же формула, что и в модели М/М/Ш/К
Среднее число требований в системе в целом
т+Е т + Е т+Е
к = Х к Рк = N Х Рк - Х( - к )Рк =
к = 0 к = 0 к = 0
т -1
= N-( - т - Е )рп+Е -Х ( - к )Рк -к = 0
т + Е -1
- Х(N-к рк = N-(N-т- Е )Рт+Е -
к = т
т -1
- Р0 Х(N -к Р
N[к ] рк
к=0 т + Е -1
-т х (-к)
т!
к = т
к!
N[к ]рк
к-т
= N-( N - т - Е ) р
т -1
т+Е
т + Е -1
---Х(к+1 РРк + 1---Х Рк + 1
рк=0 р к=ш
к = т
= N-( N -т -Е )р
т + Е '
л т т+Е
-1 Х.кРк-- ХРк =
р к = 0 р к = т + 1
= N-(N-т -е)р-+е -т ■ (5)
р
Это же соотношение можно, очевидно, получить, используя зависимость (2): т = А//и . С помощью (5) можно легко проверить соотношения (1), (3) и (4), показав, что в данном случае мы также имеем
Ротк + Р ожид + Р обсл = 1. При этом
р(N-т-Е )
Уотк — \ Уш+Е;
г + р(-ш-Е )р
ш+Е
р
(4)
Ро
т
ожид
т
+р( - ш - Е )р;
ш + Е
1-Х Рк
V к =0 У
V к =0 У
обсл '
т
+ р{ы - т - Е )р
"X кРк >
так что
Рожид + Робсл —
т + Е к=1
т
т
+р(Ы - т - Е )р
Средняя длина очереди
I = к -ш=N -(-ш -Е )рш+е -г
т+Е
-1+Р:
Р
=N
N - т - Е т
1 ~Рт+Е - ,
Вывод соотношения для дисперсии числа требований под обслуживанием
т ш + Е
„2 _ V- ,2 „ , 2 ^ -2
2 Х""' 7 2 2 —2
°т = Х к Рк +т X Рк - т =
к = 0 к = О
(
т т
= X к2 Рк +т2 1-X Рк
к = 0 ^ к = О
і{т - т рХЫ - к )к Рк = т {т - т )-£
—2
- т =
к=О
совершенно аналогичен выводу этой величины для модели М/М/ш//К с той лишь разницей, что в данном случае имеем
к=1
= [т + p\N - т - Е)р-+е]бсл =
= т -\т + р(-т -Е)рт+е]жид =
= т (I- рожид Р - р(( - т - Е ^)рт+Е рожид,
тогда как в модели М/М/шУ/Ы было т __
Х кРк=т (1 - Рожид), а в модели М/М/ш/0/Ы к=1 т _
Х к Рк = т . В итоге формула для параметра ^
к=1
запишется в виде
£=
РN {т - т )-т {1-Рожид )+Р{ N - т - Е) Рт + Е Рожид
1 + Р
и тогда
<?т = т {т - т ) +
{1-Рожид )-Р{ N - т - Е Р Рт + Е Рожид-РN { т - т Р 1+Р
т
{1 Рожид) р{ N т Е) Рт+Е Рожид
1 + р
і -\\~ РN
+1 т - т II т —----
У 1 1+Р
= т {1 Рожид Р р{ N т Е) Рт+Е Рожид
1 + Р
р{т-т )[/ + {К'-т -Е рРт+е \ =
1 + р
{1 - Рожид )-р( т - т Р1 -Р{ N - т - Е ){ т - т + Рожид )рш+ Е 1+р
аналог соотношений (5) работы [2] и (6) работы [3]. Легко видеть, что при N = т + Е последнее выражение переходит в зависимость (5) работы [2], а при I=Е=0 получается формула (6) работы [3].
Дисперсия общего числа требований в системе
т+Е 2 т+Е 2
^к =Х к2 Рк-к = Х{к - N + ^кРк -к =
к=0
к=0
т+Е т + Е
= N X к Рк-Х{ - к ')к Рк - к = к=0 к=0
т-1
= Nk -X { - к )рк -
к=0
т + Е . т-1
-X(N - к )к Рк - к = { -к )к-X(N - к )к Рк
к= т
т-1
X»
к=0
т+Е-1
- Х(N-к )крк -(N-т -Е )(т + Е )Рт+Е .
к=т
Обе суммы в последнем выражении можно подвергнуть затем тому же ряду преобразований, какие использовались при выводе аналогичной зависимости для модели М/М/ш//№
ш—1 т+Е-1
-Х(-к рРк - Х( - к рРк =
к=0 к=т
т-1
= -Р0 X(N - к )к?[к
к=0
к!
т+Е-1 ... [к 1 к
- т ^ { - к =
т! , тк т
к=т
„ т-1 лг[к+1\к+1
:-£!X {к + 1-1 )(к+1 к рк
р £, {к+1)!
1
+
+
-Р0 х (к+1-1 )л'+ -
к+1-т
т + Е -1 рт! ,----- т
к=т
ш-1 \т\к + 1] „к + 1
= - Х (к+1 )2 ^ р
р к=0 т -1
(к+1)!
__ д /- [к+1] к + 1
+£0 Х(к +1 -----
р к-0 (к+1)!
ш р ш+Е-1 м [к + 1] р + 1
-ЕР° Х (к+1 р-т-р—
р— ш +ш
т +Е-1 N [к+1]рк + 1
+
тр0
Х
Л III Л III
= Х к2 рк +_ Х крк -
р к=0
т+Е
т
р к = 0 т + Е
т
гп ' т '
-р Х крк +— Х рк =
к=т+1 к=т+1
1 ГП "< I
= -•1Х к2 Рк ~ Х к Рк
рк=0 рк = т + 1 р
т+Е
т V-1 , + т =
т 1 ,2 т — .
=--------Х к рк к -Х крк
р рг=,
к=0
р
к=0
1 1 ш-1
т тк 1
:-------+ Х (т-к )кРк •
р р рк=0
откуда следует
стк =
— Т , т-1
+—Х(т - к )к Рк -
т\т ш тк 1 -------------+—
р р рк=0
(N-к )к +
-(-т -Е )(т + Е )рт+е =
=(- к )+тр-тр+р-
-(М'-т -Е )(т + Е )рт+Е,
и в силу (5) и (6)
р
-(N-т -Е )т + Е )р
т+Е
кт - т1 -(т- 1 )ш + £
р
-( - т - Е )( т+Е - к ) рт+Е-
= р(11+р){ т (р+ Рожид )-(т - т )Р -
-р( N - т - Е )р( т - т)-Рожид +(1+р)( е -1)] Рт+е\
Ковариация числа требований в очереди и под обслуживанием
N — ( -)-
Кт1 = Х т(к-т )рк - 1т = (т-т )1,
к=т
и тогда
2 2 2 ~ т
ст1 = ак -ат -2Кт1 = _
Рожид -(1+р)(т-т ^. р
-(N-т -Е )(Е-1- рожид )рт+Е ,
К
т1
ех definitio коэффициент корреляции г— =
При I=Е = 0 следует, ст2 =о—, Кт1 =а^ = 0, как и
должно ожидать. В другом предельном случае при N=т+Е получаем формулы (7), (8) модели М/М/шШ [2].
Среднее время обслуживания одного требования (обсл =1 и = -А , дисперсия времени обслуживания <г'^бсл =1/и. Балансовое соотношение для функции распределения времени нахождения в очереди одной заявки точно так же, как и раньше,
N - к г /\]
q 77 [ 1 - ^ожид ()] =
N
т+Е-1
=Х
к = т
N - к
N
к-т
Рк Х в) ()=
т+N-1
] = 0 к-т
= е-т(И Х N~ к рк Х Р
к=т
] =0
р-
т + Е -1
=е-
^ N - к
Х Рк ек -
к=т
N
Ми),
где е
(\ 1 р р р
,(р)=1 +-----------------------------------------1-+... +- неполная экспо-
1! 2! ш!
ненциальная функция (неполная экспонента). При этом е0 (р) = 1, а при т < 0 полагаем ет (р) = 0. Яс-
но, что
ет (р)^ер при т . Из формулы (6)
следует
^ожид (Р 1 е-ти( -+Е-1
?(л^ - к)
Х( - к )Ркек - т Р
к=т
+
+
и
= т и е-т и
т + Е-1
(т и)
к-т
q(-к р е к=ту1' ’^Ук ((-т)!
так что среднее время ожидания одной заявкой обслуживания
,ожид =|Чожид М =
0
, т+Е-1 ( \к-т+1 х
1 ^ (\т }\\ти> Г *к-т+1 -ит, 1,
Г7Ш Х (N-k/7/—к-Рк I 1 е =
^-к Р р=ш (-т к 0
т + Е-1
1 т1Е 1 ( \к-т+1 ¡1
1, Х ^-к)(тг ч р,^-
(^Г) к = — ((-т)! (тир
к-т+1
(к - т +1)!
- т + 2
1
т + Е -1
- к)
Ч—^^„ , к = — т+Е-1
Х^ - к )к - т +1 )Рк =
qmm
к-т
к=т т + Е -1
т
Р0 ^ Х^-к)к-т+1 Г^
,Р0 . ^(к — ,, к [к+1] рк+\
!и(N-к)
г!2(N - к)
Х(к - т +1 р
q к=т
т + Е -1
т
к +1 - т
1
Ц(М к ) Х(к - т +1 )Рк + 1 =
-^Ч к=т 1 т+Е 1
= —(----=^т— Х (к- —)рк =—
его дисперсия
к - т + 1 х
1 / \ Л_ШТ1
.¡-Ь Х (- к)( т ( ) Рк I
q( К - к Р к = т (к - т )! о
, т+Е-1 ( \к-т+1 / ,
1 х"» / и , и — и ) ( к - —
( . . 7) Х ( ■N - к Р ( к )! Рк~Т---7
^ - к Р к = т ( к - — )! ( — и)
1 т + Е -1
,( (( 7) Х ( N-к )к-т + 2 )(к-т +1 )Рк
" ^-к Р к = т
(к - т + 2)! -2 _
------;----;;— 1 ожид =
к-т+3
2 2 qm и
-2
-1 ожид =
Р0
2 , 2 qm тли
т + Е-1
Х(
к = т
____ дг[ к ] к _2
х Х (N - к )(к - т + 2 )к - т + 1) ,
к - т
-------х
qmm!.ЯU\N - к )
т + Е-1
Х (к -т + 2 )(к -т+1)
N[ к + 1] „к + 1
к + 1- т
р -2 =
-1 ожид =
—+Е \т\к ] к
Р0 Х (к-—+1 )к-трЦр- Ю,жид =
тт! и А 1
к=т
т+Е
к-т
Х (к-—+1 )(к-т)рк -,ожид =
ти А
к=т
ти А
т + Е
Х(к - — рРк-(—-1 р1
к=т
-2
- ^ожид.
Далее, имеем (см. [2])
т+Е
Х(к - — рРк-(—-1 р/=
к = т т+Е
т+Е
= Х к 2 Рк - т Х к Рк +
к = 0
к = 0
+ Х(—-к )Рк-(—-1 )1 =
к=0
2 —2 — / \ ~
=СТк + к - тк+£-(т-1 )1 =
=Nk -
7 тI +(т - 1 р— -£
р
-( N -т -Е )( т+Е )р
т+Е
- тк+£-(т-1)/ =
= ( N - т + 1) / - Е ^ - т - Е )рт+Е-
- т/ - т рожид р ’
так что
сто
ЗжидТ—[( N-т+1)1 - Е( N-т-Е )р, и—А
т+Е
-(—/ - —рожид )/я]-, ожид .
В этом случае, очевидно, 1сист = , ожид + , обсл = Та и
ст2 =ст2 +ст2 =
°^сист ^обсл ожид
=~~2 +~и~А\(N+т + 1 к1 ^-т-Е )р—+Е -
и2 ит А
-(—/ - т Рожид )/р\-Сист .
2
х
1
ч
ч
Как легко видеть, при N=т + Е полученная
выше система формул аожид и аСист переходит в соответствующие зависимости (9), (10) модели М/М/т//Ы [2]. При I=Е=0 а2жид = 0 и
2 =2 =,/ 2
асист = аобсл = V М .
Литература
1. Гильмутдинов Р.Ф., Кирпичников А.П. Математическая модель замкнутой одноканальной системы массового обслуживания // Вестник Казанского технологического университета. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2012. - № 6. -С. 189 - 195.
2. Гильмутдинов Р.Ф., Кирпичников А.П. Многоканальные системы массового обслуживания замкнутого типа // Вестник Казанского технологического университета. -Казань: Изд-во КНИТУ, 2012. - № 8. - С. 326-331.
3. Гильмутдинов Р.Ф., Кирпичников А.П. Замкнутые многоканальные системы массового обслуживания с отказами // Вестник Казанского технологического университета. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2012. - № 10. - С. 232234 .
4. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. - М.: Наука, 1977. -384с.
5. Кирпичников А.П. Методы прикладной теории массового обслуживания. - Казань: Издательство Казанского университета, 2011. - 200с.
© Р. Ф. Гильмутдинов - ст. преп. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, ruslan.gilmutdinov@rambler.ru; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru.
