CC BY
61
УДК 519.872
Р. Ф. Гильмутдинов, А. П. Кирпичников
ЗАМКНУТЫЕ МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ
Ключевые слова: Система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.
Представлена математическая модель замкнутой многоканальной системы массового обслуживания с отказами. Проведена подробная математическая формализация модели и вычислены вторые нулевой и центральный моменты числа требований, одновременно находящихся под обслуживанием.
Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.
The mathematical model of multi-channel system of mass service of the closed type with refusals is presented. A detailed mathematical formalization of the model is held; the second zero and central moments of number of the requirements which are at the same time under service are calculated.
Модель системы массового обслуживания (СМО), представленную в настоящей работе, можно назвать замкнутой версией модели Эрланга [1]. Соответствующий граф состояний имеет вид, изображенный на рис. 1. Мы будем предполагать, что N > т , в этом случае требования, поступившие в систему тогда, когда в ней уже имеется требований, теряются и немедленно возвращаются обратно в источник, то есть в группу поступающих так, как будто бы они были полностью обслужены, в итоге очередь в системе отсутствует. В символике Кендалла данная СМО имеет очевидное обозначение М/М/т/0/Ы". Ясно также, что для этой модели Рожид = 0 .
Решение уравнений Колмогорова в этом случае имеет вид распределения Энгсета [1, 2]
N ^ Р к ,/ т N [к }рк
Рк =---- Р0 = CN р Р0, Р0 = 1 2
к!
к = 0
к!
в котором N 1 - факториальные многочлены или обобщённые степени [3, 4].
Числовые характеристики установившегося режима
Вероятность отказа в данном случае находится из балансового соотношения
N - m
N
N-m
N
" pm :
откуда имеем
N - m
ротк =~ “ pm =~ ="
N-m N-m
N - m N [m V
m!
Ро- (1)
Вероятность обслуживания
1 m-1
робсл = = p ( N — к )Рк =
N - m к=0
= pL (N - к Р,к ]рк =
N - m к=0
к!
Ро
m-1 N ,\N [к + 1/+1 p.оN+1 = N+1 р 1
Р
(N -m =к=0
Р
m
(n - m =
m
p кРк =
(2)
относительная пропускная способность, как всегда, q = 1 - Ротк. Абсолютная пропускная способность в этом случае, очевидно,
A= а( N-m=q =
= А ( N - m =(1 - р 0тк р = А [ N -m -(N-m = pm J.
Приведем еще один, более строгий, а иногда и более удобный, вывод этого же соотношения:
т-1 т-1 , ч
А = 2 Хк Рк = X 2 ( - к )Рк =
к = 0 к=0
= А
m (N - к )рк-(N - m )р„ к=о
я[ N - m -( N - m = pm J.
(3)
Заметим, что для открытых систем массового обслуживания с потерями Ак =А= const и последнее выражение переходит в известное решение
m-1
m-1
A = p Ак ]^к = А p ]^к =А
к = о к = о
p ]?к pm
к = о
= Х ( 1 Ротк )
Среднее число требований, одновременно находящихся под обслуживанием (среднее число занятых линий),
— т т т / \
т = 2 кРк = N 2 Рк - 2( - к )рк = к=0 к = 0 к = 0
т -1
= N-(Л - т )рт - 2 ( N - к )рк = к = 0
т-1
= N 2 к рк - 2 (Л - к)к рк -(Л - т )т рт = к=0 к=0
т -1 / ч N кк 1рР
= N-(N - т )рт - ро 2 (( - к )
к=о к!
/ ч р0 т-1 N к + 1 Р + 1
= N-(-т )кт -^ 2 (к + 1) ( Ц
Р к=0 (к+1)!
/ ч р0 т N кк 1 Рк
= N-(-т )рт -^ 2 к---------Р-=
Р к=0 к!
/ \ 1 т
= N-(Л - т ) рт 2 к рк =
Р к = 0
= N-(л-т )рт -т.
Р
(4)
Этот же результат можно получить и непосредственно из формулы (3), поскольку
т = А=p[N - т-(N - т )рт ].
м
Отсюда
1+Р
pN ( N - т т = ----1 1----— р„
N
= т (1 = 0 р 1-рт |.
N
(5)
При этом, очевидно,
робсл
т _ т
р(л-т ) т + р(Л-т )рт
= р(N-т )
Ротк == Т~ ч Рт.
т + р(!ч -т )Рт
Как и следовало ожидать, при т = N соотношение (5) переходит в формулу [5]
;(і=0 )= рОу ' 1+р
а зависимость (3) - в зависимость
А (7 = 0 )=ЛN/(l + р). При т = N имеем Ротк = 0, Робсл = 1 . С помощью полученных соотношений легко проверить справедливость формул (1) и (2):
ротк + робсл =
(Л-т )рт_ + т/Р =1
имеем
N - т
Для формулы второго нулевого момента
т 2 т / \
2 к рк = 2 (к - N + N)к рк = к=0 к=0
= От - 2 (о - к )к рк -(Л - т )трт = к=0
— т-1 / ч N [к 1 рк ґ ч
= От - р0 2 (О - к рк------(О - т )трт-
к=0 к!
і \т\к + 1І к+1
— р0 т-1 / \ N 1 1 Р
= От-— 2 (к +1 -1 )(к +1 )—------Цг---
Р к=0 (к +1)!
-(о - т )т рт =
і ът\к + 1І к+1
— р0 т-1 / ч2 N 1 J Р
= От-— 2 (к +1 )2—т-----------Ц;----+
Р к=0 (к +1 р
+р± ”£‘ (к+1) “ Р *'
Р к=0
(к +1)!
/ ч — 1 т 2
-(О-т)т рт = От--------2 к рк +
Р к=0
1т
+— 2 к рк - (О - т )т рт =
Р к=0
1 т 2 т / \
= пт----2 к рк +-----(л - т )т рт ,
Рк=0 р
откуда
2 і 2 =рЛт + т-р(Л - т )т рт
2 к рк = : к=0 1 + Р
и тогда второй центральный момент
2 = т-р(Л-т )(т-т )рт
= 1 + Р '
к = 0
При т = N = рЛ/ (1 + р)2 в соответствии с
результатами [5]. Заметим, что формулу (6) можно получить, конечно, и по алгоритму, предложенному
т —
в работе [5]. В этом случае 2 к рк = т, и тогда пак = 1
„ рЛ(т-т )-т раметр с =--1----‘--, так что
1 + Р
ст = т\т -
( —\ „ —( —\ т-рЛ(т-т )
ут - т]-с = тут - т] +-——1-<■-
1+Р
+ (т -т )1 т -1
рЛ
+Р
Зависимость (6) получается из этой формулы простой подстановкой во второй сомножитель последнего слагаемого соотношения (5).
Для данной модели среднее время обслуживания требования одним каналом
(обсл =1/м ( = т/А ), дисперсия времени обслуживания о1бсл =1/ м2 .
Литература
1. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения / - М.: Мир, 1965.
2. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения / - М.: Советское радио, 1971.
3. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики - М.: Наука, 1977, 384с.
4. Кирпичников А.П. Прикладная теория массового обслуживания. Казань: Издательство Казанского гос.ун-та, 2008.
5. ГильмутдиновР.Ф., КирпичниковА.П. Многоканальные системы массового обслуживания замкнутого типа // Вестник Казанского государственного технологического университета - Казань: Изд-во Казан. гос. технол. ун-та, 2012 - № 8 - С.326-331 .
© Р. Ф. Гильмутдинов - ст. преп. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected]; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected].
23З
