CC BY
68
УДК 519.872
Р. Ф. Гильмутдинов, А. П. Кирпичников МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАМКНУТОЙ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЕ В ОЧЕРЕДИ
Ключевые слова: Система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.
Представлена математическая модель замкнутой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания в очереди. Проведена подробная математическая формализация модели и впервые вычислены вторые моменты всех важнейших числовых характеристик систем массового обслуживания этого типа.
Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.
The mathematical model of multi-channel queuing system of the closed type with with bounded mean residence time in the queue is presented. A detailed mathematical formalization of the model is held; for the first time the second moments of all the important numerical characteristics of queuing system of this type are calculated.
Рассмотрим замкнутую систему массового обслуживания с ограниченным средним временем нахождения в очереди. За основу возьмем проанализированную нами в работе [1] замкнутую модель М/М/т. Граф такой системы имеет вид, изображенный на рис. 1. Применяя общие выражения для предельных вероятностей состояний системы, и используя те же обозначения, что и в работе [1], имеем
N!
Р1 =(N31)7 р Р0;
N12 N 3
Р2 ={„ ^,р Р0 Рз =(„ о\.о.р Р0; ••• ;
'(( - 2)2!
'(N - 3)!3!'
Pm
N!
pm+l
(N - m)! m! N!
P po;
m+1
N - m-l)!m!(m+ft)
pm+2
pN -
N!
p po;
m+2
N - m - 2)!m!(m+ft)(m+2 ft)
N!
p po;
0!m!(m+p)(m+2ft)---[m+(N - m )]
PN po--
то есть
N!pk , <
pk -^—TVTTpo при k < m ;
"(N - k )k !J
pk -
P
N !a
k - m
! (n - k)!(m/P+1 )k _
m
-po при m—k — N,
или
pk
pk
k-m
N[k^Pk k k
-■-- —po - CN P po при k < m ;
k!
pm N[k }qk - m m! ((ft + 1 )/t
-po при m — k — N ,
a-p /p-hjv . Отсюда
і
<n
+
+
О
S
PLh
Ро =
[к ]ак -
а
У N[кк]рк + рт У ________________
У к! + т! кУ|1 (да/р+1-_т
к = О
к = т + 1
Как и раньше, везде полагаем N > т, поскольку при т > N I=0 и данный случай, очевидно, ничем не отличается от соответствующего случая замкнутой модели М/М/т, рассмотренной в работе [1].
Числовые характеристики установившегося режима
Вероятность ожидания 1 N-1
Рожид =~ГТ Г ( N — к ) Рк =
N — к ,
к=т
N _1
тК а
т
у (N_к )т----------
!(_к )к = т Р +1 )к_т
ртр0 У N[к+1 ]т+(к+1-т )р]ак _ т+1 =
рт!( _ к )кут (т/р+1 кк + 1_ т
- р Ро -\ у
рm!(N _ к )
Р
N
у
к = т + 1
N
N[к][т+(к_т ^)р\ак
(т/ р+! к
к _ т
N
т У Рк +р у (к_т )Рк
к = т + 1 к = т + 1
= (1)
(
р
ЇЇ-*]
N
Л
т
У Рк +р
к = т + 1
Ґ
1- У Рк +—
к о т
р((—кРр ,
Вероятность немедленного обслуживания 1 т-1
робсл = ~ у (N — к )рк =
N — кк = 0
Р т — 1 ы\к 1 к
= Р0 у( — к ) Р =
N - к
к о
к!
р т_1 N [к+1 ] р*+1
:_к_ У (к +1 )"‘ 1 Р =
р(Л' _к >к-0 (к+1)!
1т
к крк. (2)
р
кУ1
Среднее число требований, находящихся под обслуживанием, как обычно,
_ т N т — 1
т =У кРк +т У Рк = т — У(т—к )рк.
к = 0 к = т + 1 к = 0
Полное число заявок в системе в целом
_ N N
к=У кРк = У(к _ N+N )рк = к=0 к=0
N
к=0
N-1
■У
к=0
=N У Рк _ У ( _ к)рк =
т-1 N-1
= N-У (N-к)Рк _У(N-к )Рк =
к=0 к = т
т-1 ы[к] Р
= N - Р0 У (N - к) р
к=0
к!
т
[к] ак
^ У (N - к )к %
! к=т (т/ р +1-
к = т
к - т
т 1 лг[к + 1] к + 1
= N --Р0 У (к+1 -Р'кЦ-----------
р ¿0 (к+1)!
рт р0 'У-1 N[к+1][т +(к+1 -т — ]+1-
рт!
к = т
(т/ р+і-
к +1-т
=N-Ві У *-
р
к=0 т
к!
ртр0 ^ N[к ][ т +(к - т )р]«к - т =
рт!
к=т+1
(/ р+і )к -и
= N - — У к р к=0
т N
т р Р 0
рт!
^ к = т + 1
N
У
к!
N[к ]ак - т (т/р + 1р - т +
рр Р0 У (к-тР Nкk]аk_т
рт! кк: т'ЧРИк-,
л т N п N
= N--1 У крк -т У Рк-Р У (к-т )рк =
рк = 0 рк = т + 1 рк = т+1
N
N
У кРк +т У Рк
к = 0 к=т + 1
да + рі
= N--
р
Р N
— У(к-т )рк=N—
р к = т + 1 р
По-другому:
т-1
^ =У^крк -уі = к=0
т-1 - ! -
г У (Л - к )р* - у і = ^\N - к --у і:
к = 0
т
и тогда
то есть
или
А + у і = г( N-к),
А у- Я( —\
—+— і=—Ш - к I
МММ
т + рі = р( N - к ), откуда окончательно имеем
к = N -
т + рі р
в соответствии с формулой (3). Полученное соотношение позволяет легко проверить справедливость формул (1) и (2):
рожид + робсл =
р
к = 0
N
У
к = т + 1
У кРк + т У рк + рі
=1.
При этом, очевидно, относительная пропускная способность
= .А , = | . у . 1=1 — . I .
4 —1) —к) .
Средняя длина очереди
- - — ЛГ т „I —
1 = к—т = N---------------р-т ,
Р Р
так что
р
і \ 1+р |=N - т 1+р
р
откуда следует
і =
рN
р+р
1-.
N
(і = 0 ) 1+6 т (і=0)
Здесь 8=рр=ух=уа, и этот параметр показывает, какое количество «нетерпеливых» заявок в среднем покидает очередь за среднее время, в течение которого в систему поступает одна заявка. При этом
р ожид
т+рі
рі
1-У Рк +—
■ Л
к=0
1т
робсл == Тт к рк .
т + рік=1
При т = N очередь в системе отсутствует, в этом
случае Рожид =0, Робсл =1.
Обратимся далее ко вторым моментам соответствующих величин. Найдем дисперсию числа требований, одновременно находящихся под обслу-
живанием (числа занятых каналов). В данном случае, очевидно, имеем
т /
У кРк =Р(N-к )Робсл = к = 1
= (т + р1 -Робсл =(т + рі )(1 -РожидР
откуда
£=
РN(т-т )-(т +рі -(і-Рожид-1+р :
и тогда
<?т=т (т -т )-с=
= (т + рі)(1 -рожид)-(р + р)(т-т-і 1 + р
Дисперсия общего числа требований в системе
-2
ак=Ук 2 Рк- к 2 =У(к - N+N рРк- к* = к=0 к=0
N N-1
=N У кРк -У ( - к рРк- к = к=0 к=0
_ т-1 N-1
=^ - У (N - к )крк - У(N - к )крк - к =
к=0 к= т
, . т-1 Лг[к 1 к
--к N - к)-Р0 У (N - к к—р к=0 к!
„ N-1 N[к]ак-т
р Р0 т!
У (N - к )к
(да/ р +1 -к
т-1 Лг[к + 1] „к + 1
=к (.V - к 1--Й0- У (к+1-1 Рк+1)——р— ' ' рїі (к+1 р
N-1
р Р 0
У {(к + 1 -1 )[да + (к + 1 -т )р]> = к ( - к)-
рт!
г к = т
N[к+1] ак+1-т
т-1 лг[к+1] рк + 1
(да/ р + 1 -к + 1- т
- рц У (*+1 )2 Vкр-T рк=01 ' (к+1)!
р т-1 N [к+1 ] к + 1
+Р. У (*+1 -----
р к-0 (к+1)!
N-1
-------0 У (к+1 )[да + (к+1 - т )р ] +
рт!
к=т
р Р0 рт!
У [да+(к +1 -т )р]
к=т
]+1]ак+1-,; (да/ р+1);
т
(\ ш Л Т I /С I К III
(—к )РР У к2 + рр У к
Р к=0 к! Р к=0
\к] Рк
к=0
к=0
к!
РтР0 У к^\к][т+(к — т)р ]к~
Рт! к=т+1
(Ч р+1 )к—,
Рт Р0 V1 N\k][m+(к—т ) ]ак
у--------------------
Рт! к=
к = т +1
(т/ р+1 )к—,
_\ 1 т -1 т N
N—к)— Ук2 Рк +— У кРк— т У кРк—
Р к=0 Р к=0 Р к=т+1
д N N
— £ У к (к — т )Рк +т У Рк +
РР
к=т+1 к=т+1
п N N
— р У к (к — т )Рк +т У Рк +
РР
к=т+1 к=т+1
р
N
+— У(к—т )Рк =
Р к=т+1
(\ 1
ЛТ -\ т ^,2 т
N—к )+---У к Рк —
Р Р к=0 Р
т ^
к—У кРк
У к (к—т )Рк— У к (к—т )Рк
N
У
к=0
N
к=0
+Р= Р
N
У к2 Рк—т У кРк+У(т—к )кРк к=0 к=0 к=0
А = к (*—к)+т—т (1—р)к
Р Р Р
+'+l-Ал-¿РíCTk2 + к 2|.
Р Р РУ
Отсюда после несложных преобразований имеем
(1 + 5')<гк = к ( — к ) —
т1 +(т — 1 )т—^— тк +1—^—к ^
Р
1т—т1 —(т—1)да+^+р^ тк +1—^—к +к1
откуда
Р
=(т+А ) [ Р+р+(1—р))ожид]—(1—р)2 (т—
{р+р\1+р/ '
Ковариация числа требований в очереди и под обслуживанием
N __, .
Кт1 = У т(к—т )Рк — 1т = (т—т) I.
к=т
так что
222 = ак —ат —
— 2 Кт1 =
(т + р I *)Рожид
(1 + р)(т — т )]
Р + р
К
т1
Коэффициент корреляции Гт1 =
ат а1
Среднее время обслуживания одного требования tобсл =1/М =т/А, дисперсия времени обслуживания <72бсл = 1/М2 . Функция распределения времени нахождения в очереди одной заявки определяется формулой [2, 3]
N—к г / \ и
ч \\ожид к)] =
N—1 ЛГ , к — т
= У ^Рк У Ок — т — 1, ](t),
к = т ] = 0
в которой
]!
^'ожид( Р=
N—1 к—т
тогда
1 ^ к-т
=1—У (N—к РРк У °к — т+1,] (Р = 1
к=
]=0
= 1— ( 1 -) У (N—к)Рке—\+(к—т+1)у]
У {\т М+(к—т+1)у] У = 1— 1 >
Р0 ]! к)
N — 1
У (N — к )Рке—\+(к—т+1 И >
]=0 N — 1
к=т
> ек—т {\т М + (к — т + l)^]t ^
откуда
/ожид(t Р к т)>
^N — к)
N—1
У ] (N—к)
к=т
\т м+(к—т+1)у (к—т)!
I к—т +1
>Рktk—те—\тМ+(к—т+1)у]t)
В итоге имеем
ожид
= _[t /ожид dt~
+
>
>
к-ш+1 -[шм+(к-ш+1)]
> Рk\t Є
Ж >=
«И ¿т \ <к -тр
I к-ш+1
> Рк
(к -т+1-!
[даМ+(к -ш+1р
к-т+2
N-1
1 V (\г і \ к - ш+1
тлУ^- к -
к - к)
ЯVу !к = ш
N-1
-Рк =
шм+(к-ш+1 р '
, , 0_ Ук-к - к-ш+1 N[к] ак-ш
ЯпАы - к - кУ шМ+(к - ш+1-у(ш/ р+1-к-ш
т
р Р0
т
р ,Р0
qш!м(N - к )
N-1
к - ш + 1 N[к]ак"
т
х У (N - к ) -----7------г—----------г---
к=Ш Ш + (к - Ш +1) р Фр + 1-к - ш
т
=-----/к0 -) >
Яш!р мф-к)
- к - т+1 N[ ]ак-Ш =
Шр+к -ш+1 (ш/р+1)к-Ш
рш _ N-1 дг [к + 1] к + 1-т
р р0 ^ґг а
■-----/ У (к-Ш + 1 Р—-------Г------
(Ш/р + 1 -к + 1- Ш
N-1
У(N -к
к=т
к=т N-1
к+г
к=т
N
1
Тк-к)У(к - Ш-Рк=
к=т
А
как и следовало ожидать. Аналогично
СТ
ожид +tожид ^t /ожид к'')dt ' 0
= я (ж- к) >
N-1
к=т
[ш м + (к - ш +1 -V (к-ш -!
1 к - ш + 1
то
> Рк | їк - Ш+2 є-[+ф - Ш+1 р
dt > =
Я (N - к -
У1 ( NN - к)['" М + (к к Ш + 1-1'-:-ш I (к -Ш )!
(к - ш + 2 -!
к - ш + 1
[ш м + (к - ш + 1 -V
1к - ш+3
N-1
тлУк - *)
(Л
к=т
(к - ш+2 ¿к - ш +1) [шм+(к - ш+1 р]2
Рк
или
г2 =
ожид
( 1 _) "^У-1 ( N - к )(к - т + 2 ¿к - т +1) Я Ф -к-к = Ш [т М + (к-т + 1 р]
- 2
-1 ожид ■
Рк-
Это выражение можно, конечно, несколько упростить, действуя по той же схеме, что и при вычислении Тожид. Однако эти действия не могут привести к существенно более компактной и, вследствие этого, более удобной для численных расчетов
формулировке. Поэтому формула для сгожид , точно так же, как и соответствующая зависимость в модели [2, 3] открытой СМО с ограниченным средним временем пребывания в очереди, оставлена здесь в таком виде. В итоге имеем
^сист = ожид + обсл = к/А
и
п2 =п-2 +П2
® сист ^обсл' ® ожид >
что очевидно.
В заключение укажем, что полученную в настоящей работе систему формул, так же, как и в случае открытых систем массового обслуживания, можно распространить на системы с ограниченным средним временем пребывания в системе в целом (как в очереди, так и в обслуживающем устройстве),
если в ней всюду совершить замену р на р=-
Т
М+у
и р на р=-
М + V
Литература
1. Гильмутдинов Р.Ф., Кирпичников А.П. Многоканальные системы массового обслуживания замкнутого типа // Вестник Казанского технологического университета. -Казань: Изд-во КНИТУ, 2012. - № 8. - С. 326-331.
2. Кирпичников А.П. Прикладная теория массового обслуживания. - Казань: Издательство Казанского университета, 2008. - 112с.
3. Кирпичников А.П. Методы прикладной теории массового обслуживания. - Казань: Издательство Казанского университета, 2011. - 200с.
х
то
V
х
© Р. Ф. Гильмутдинов - стар. преп. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, ruslan.gilmutdinov@rambler.ru; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru.
