Математическая модель вертикального винтового транспортирования потока сыпучего материала Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

--------- © Н.Н. Евстратова,

А.А. Шкубелев, Д.И. Ткачев,

А.А. Привалов, 2004

УДК 622. 23. 054.53

H.H. Евстратова, А.А. Шкубелев, Д.И. Ткачев, A.A. Привалов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕРТИКАЛЬНОГО ВИНТОВОГО ТРАНСПОРТИРОВАНИЯ ПОТОКА СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА

Семинар № 15

! Ш роцессу вертикального винтового

-*-*■ транспортирования буровой мелочи посвящено значительное количество исследований, как отечественных, так и зарубежных. К ним можно отнести работы Л.М. Александра, Д.Н. Башкатова, А.М. Григорьева, Е.М. Гутья-ра, Б.А. Катанова, В.И. Мурашова, S. Böttcher, U. Rieman, W. Suhadi, I. Parsons.

Изучая процесс движения частиц буровой мелочи по вертикальному шнеку, почти все исследователи пришли к выводу, что это сложный процесс и математическое описание его весьма затруднительно. Закономерности движения сыпучего материала при вертикальном винтовом транспортировании зависят от большого числа различных факторов, к числу которых можно отнести: радиус и угол подъема шнековой лопасти, скорость вращения шнека, коэффициенты трения материала о шнековую лопасть и о внутреннюю цилиндрическую поверхность скважины или корпуса конвейера. Процесс винтового транспортирования сыпучего материала возможен лишь при определенных сочетаниях этих параметров. В противном случае транспортирование ухудшается или совсем прекращается, что приводит к ведению бурения с большими энергозатратами, а в конечном итоге - к аварийным ситуациям, т.е., заклиниванию буровой штанги и прекращению бурения из - за накопления буровой мелочи в скважине.

В настоящее время точное математическое описание процесса вертикального винтового транспортирования потока сыпучего материала отсутствует. Большинство исследований основано на расчетной схеме, согласно которой движение транспортируемого материала в шнеке заменяется движением сосредоточенной

Рис. 1. Схема действия сил на частицу материала в вертикальном шнеке

массы, т.е. частицы, опирающейся на поверхность шнековой лопасти и прижатой к внутренней цилиндрической поверхности корпуса конвейера или скважины. Это приводит к проектированию и созданию низкоэффективных транспортирующих машин, параметры рабочих органов которых существенно отличаются от рациональных. Частица материала, опирающаяся на винтовую поверхность шнека и прижатая к стенке цилиндра, для вертикального конвейера в стационарном режиме (рис.1) имеет движение, описываемое дифференциальными уравнениями [1]:

N ш cosa - fm Nm sin a - f N ц eos ¡5- mg = 0’

fN U Sin P- L NШ C0S« - NШ Sin « = 0t> (1) sin a sin p

- N +mRa'

= 0

_ со8(^-а)

где Ыш - нормальная реакция лопасти шЛека; г - коэффициент трения материала о яепасть

и Ш

шнека; Ыц - нормальная реакция цилиндра;

а = arctg

k

2жК

угол подъема винтовои линии

шнека по наружному радиусу; £ =

шаг шнека; Я - радиус лопасти шнека; т - масса элемента материала; / - коэффициент тре-У ц

ния материала о стенку цилиндра; Р - угол между вектором абсолютной скорости V частицы

материала и осью шнека.

Решение системы (1) дает условие для определения угла р.

sin a sin Р cos(^-a) _

(2)

/ш + {§а

N.. =

віп ^(1 - /^а) - сое /3(/ш + Ї£а)

Реакции цилиндра и шнека

тя(у»+

- = о

/ Sln A1 - /rnt8a) - fu C0S^( frn + &а)

(3)

N=-

mg sin p

вид:

У =

2 g 2

-4 x + >>o

ю

с08аІ8іпА1 - - с0вР(уш + tga)\

■ (4)

Анализ количественных результатов процесса транспортирования, полученных при решении уравнения (1) с применением вычислительной техники, показывает, что на эффективность транспортирования существенное влияние оказывают геометрические и кинематические параметры рабочих органов конвейера (радиус и угол подъема шнековой лопасти и частота вращения шнека) и коэффициенты трения материала о шнек и внутреннюю поверхность корпуса конвейера. Очевидно, что качественная картина движения потока материала будет аналогична движению частицы материала, но при этом количественные показатели, характеризующие эффективность процесса транспортирования будут существенно отличаться.

Рассмотрим равновесие элементарного объема материала, занимающего сектор лопасти шнека с центральным углом ¿ф (Рис- 2).

При переходе от движения частицы материала к движению потока материала необходимо установить форму поперечного сечения потока. Если рассматривать поток движущегося сыпучего материала как поток движущейся жидкости, то уравнение свободной поверхности потока, из условия равенства давлений во всех точках этой поверхности, имеет следующий

Для определения координаты точки пересечения проекции свободной поверхности материала с лопастью шнека ,, рассмотрим рав-

Уо

новесие частицы материала в этой точке. Будем считать, что данная частица находится на свободной поверхности материала, опирается на шнековую лопасть на расстоянии ^ от оси

шнека, прижата к потоку материала и совершает движение по концентрическим окружностям с угловой частотой вращения шнека ю0. Уравнения движения частицы имеют следующий вид.

cos«jo + /Nsin аУо + fMNMsin аУо - mg = 0

лу0

>0

/мNM cosayo + /шNM cosayo “ NM sinayo = 0

- NM + тУо®о =

где

«y0 = arctg

R

—tgaR Уо

угол подъема

/

винтовои лопасти на расстоянии ^ от оси

шнека. Решение данной системы дает условие для определения координаты точки пересечения проекции свободной поверхности материала с лопастью шнека.

8 . (7)

Уо =

./>0

Подставив (7) в (5), имеем

У =

2g _ g2(sin«J,0 - /„ CosS0)2

,2 X + r2 4

® fM®0

1

При х = к у — Я. Тогда

Я -і/ 2 + г2 4

V® ./>0

Откуда

СО2 „2 ®2g(sІn«J>0 - /щ со5«у0)2 '

(8)

(9)

h = — R -2g

2/W

Абсолютные скорости движения частиц материала в потоке различны и зависят от их удаления от оси шнека. На плане скоростей (рис. 3) показаны скорости и их проекции на

Рис. 2. Элементарный объем транспортируемого материала

g

горизонтальную и вертикальную оси для частицы расположенной на расстоянии Я от оси шнека и для частицы расположенной в центре масс поперечного сечения потока материала. Вектор абсолютной скорости любой элементарной частицы материала равен векторной

сумме у = ^ + = у- + уу- (рис. 3), где I и j -

единичные векторы; у’ х — у’ cos¡3- - мо_

дуль осевой составляющей абсолютной скорости частицы; уу _ у’ Д - модуль касательной составляющей абсолютной скорости, характеризующей окружную скорость частицы материала в абсолютном вращательном движении.

Из плана скоростей (рис. 3) для частицы расположенной на расстоянии Я от оси шнека и для частицы расположенной в центре масс поперечного сечения потока материала имеем

_ со0Я

собС^я -ак)

^.м. = Уц.мБтач.м. ;

со<Рц.м. -ацм)

(10)

ц.м. ц.м. п

у С0Б Ри.м =

Ц.М. Ц..

^о Уч.м.біп^ч.мС0бРч.м.

и. м. ц. м. ■ о

У = У Рц.м =

Vя = УЯ БІП ¡Зя =

С0б(РЦм. -«ч.ж.)

; (13)

со0Я біп аЯ біп ¡5К ; (14)

соб(^я. -ая)

\мБІП Рц..

Ч'М' Уц.м. С0<Рц.м. -ац.м)

Ось шнека X

\ аЛ Ри / V**-

V* = VIм- \ Оч 7 а„ „

VIм-

где т - угловая скорость абсолютного ц. м.

вращательного движения центра масс материала.

Так как угловые скорости абсолютного

вращательного движения всех точек потока

К и. м. материала равны, то из условия =

после подстановки (11, 12) и преобразований имеем

(16)

Я

ШРц. м. =

Я

(17)

Движение рассматриваемого объема материала в вертикальном винтовом конвейере можно описать следующей системой уравнений:

-.0’\ (18)

2 (А$Х лг

тУц.м®о + тУц.м\-£ I _ Шч'

2шуима0^~ = 0

.м. 0 ^

где

• расстояние от оси шнека до центра

С0б(Рц. ж. -ач. ж .)

; (11)

УЯ УЯ С0б О а)0Ябіп«й С0бРя ; (12)

ку — V СО о и о —

соб(^й. -ак)

«0Уц.м. БІП Уц.м. 5ІП Рц.м.

Уц.м.

масс рассматриваемого элемента материала. Подставив в третье уравнение системы (18)

^■"■соврцм Юос°ъач. Ж.С05Рц . =(19)

. -ац. м.)

ц . м .

имеем

Ыш соъау — /шЫш ътау — /Ыц соб— ш% = 0 /цмч біп Ря - /шС03«у - ЗІП «у = 0 ’

^20)

- + тУп.м^

БІП«г# ж. БІП А

ц.м.

2

= 0

_С0<Рц.м. -ацм)_

Так как угол подъема винтовой линии шнека изменяется в зависимости от расстояния от оси конвейера, для описания движения потока материала заменим в уравнениях (20) проекции нормальной реакции лопасти шнека на произведения давления материала на горизонтальную и вертикальную проекции сектора лопасти шнека

зтОу = Рш 8верт;

Рис. 3. План скоростей

2

cos «у = РшSzop ■

(21)

Площадь горизонтальной проекции сектора лопасти с центральным углом ¿ф на участке

от у о да к

R R2 - 2

S,„„ = Iydqxly =----------^ Уо dp

(22)

гор

У0

2

Площадь проекции сектора лопасти на вер-

тикальную плоскость

R R R

S.ePm = j ydptgaydy = j ydp—tgaRdy

(23)

V = R2dx - (x)] dx

dp

2

2

где

,( ) ,2g g2(sinayo - fm cosayo)2

f(x) = л\~2 x +----------------------------

® f,®o

V =

w2dqi

p2 _ g2(sina - fM cos«)2

R r2 4

/>0

(25)

С учетом (21-25) систему (20) можно записать в следующем виде

Р,„ I К "2 ^ - /шЯ*ё«Я \Я - Уо) - ТцРц ЯЬ СОЯ д"'''

Р/П2 Л2 2( Sin«,.^SinРц.м. --Щ - Уо) ®о I--------Л--------Ч—

8 I C0S(P4.M~ ач.м)

= 0;

f4P„RhsinPR -РшI fm R^2y° + Rtgap |(R -yo) = 0

>26)

Уо Уо

= Я(Я - Уо^а^р.

Объем сектора ¿ф представляет собой

часть объема тела вращения, образованного (рис. 2): плоскостью у02; цилиндрической

поверхностью, образованной вращением вокруг оси X вертикальных образующих, проходящих через точки плоскости у02 графика

функции у2 + 22 — Я2 и криволинейной поверхностью, образованной вращением вокруг оси X графика функции у = у (х). Объем сектора материала можно определить по формуле ь 2 (24)

-Р Rh +

- y2J®0

,.Sin Рц..

функция, график которой при вращении вокруг оси X образует свободную поверхность материала.

Подставив значения геометрических параметров сечения потока в (24), имеем

^ СО<Рц.м.-аЧ.м') )

Система (26) позволяет определить нормальные реакции шнека и внутренней поверхности корпуса конвейера и угол Р между направлением движения транспортируемого материала и осью шнека для потока материала, при условии, что он движется в канале шнека безградиентно.

Математическое моделирование процесса транспортирования потока материала вертикальным шнеком имеет важное практическое значение, так как позволяет исследовать влияние геометрических и кинематических параметров рабочих органов винтового конвейера на эффективность его функционирования и назначать рациональные значения этих параметров на стадии проектирования винтовых конвейеров и буровых штанг в зависимости от свойств транспортируемых материалов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григорьев А.М. Винтовые конвейеры - М.: Машиностроение, 1972 218 с.

— Коротко об авторак

2

Евстратова Наталья Николаевна - доцент, кандидат технических наук,

Шкубелев Александр Александрович - аспирант,

ТкачевДенис Игоревич — студент,

Привалов Александр Александрович - студент,

Шахтинский институт Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института), г. Шахты.