CC BY
159
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность
№ 111
УДК 629.735.015
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ "ВЕРТОЛЕТ - ГРУЗ
НА ВНЕШНЕЙ ПОДВЕСКЕ"
А.Н. СВИРИДЕНКО
Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.
В статье предлагается достаточно универсальный подход к построению математической модели системы "вертолет - груз на внешней подвеске”.
Обоснование выбора математического аппарата для описания системы "вертолет - груз на внешней подвеске"
Несмотря на внешнюю простоту (колебания физического маятника с подвижной точкой подвеса), задача построения математической модели полета вертолета с грузом на внешней подвеске с требуемой для практических целей степенью адекватности достаточно сложна, что обусловлено, во-первых, необходимостью моделирования полного пространственного движения вертолета и груза с учетом всех действующих сил и моментов и, во-вторых, наличием динамической связи - гибкой тросовой подвески (рис. 1)
Систему "вертолет - груз" логично рассматривать как несвободную систему двух твердых тел со связью, которую обеспечивает система подвески груза к вертолету.
Для описания движения несвободных систем обычно используются уравнения Лагранжа 2-го рода в независимых координатах.
Пусть связь выражается уравнением:
внешней подвеске
f(t,rh,rh,r1,r,)= 0, (1)
где rh, r - соответственно вектор фазовых координат вертолета и груза (в качестве фазовых координат для твердого тела можно взять декартовы координаты центра масс и углы Эйлера). Таким образом, система "вертолет - груз на внешней подвеске" (в дальнейшем для краткости -система "H-L", Helicopter - Load) при наличии связи (1) будет иметь 11 степеней свободы.
В общем случае (с учетом массовых, упругих и демпфирующих свойств троса) связь (1)
- дифференциальная неинтегрируемая и, следовательно, неголономная система "H-L" описывается уравнениями Лагранжа 1-го рода или уравнениями Аппеля при условии, что связь идеальная и скорости тел входят в уравнение (1) линейно.
Однако условие идеальности связи (сумма работ реакций связей на любых виртуальных перемещениях равна нулю [1]) применительно к системе "H-L" означает, что трос должен быть нерастяжимым и безмассовым. Тогда связь становится конечной (геометрической) вида
AIR <L, (2)
где АЯ - расстояние между "точками" крепления троса к вертолету и к грузу, Ь - длина троса ("" означают, что в случае многоточечного крепления вид связи (2) не изменится: роль Ь будет играть некоторая постоянная длина, определяемая геометрией подвески).
В предположении связи (2) для системы "Н-Ь" можно составить уравнения Лагранжа 2-го рода в независимых координатах [2], взяв в качестве последних:
- для вертолета: координаты центра масс -Хь, Уь, Zh и углы Эйлера уь,Фь,;
- для троса - углы отклонения груза ф х и ф у соответственно в продольной и поперечной плоскостях связанной с вертолетом системы координат;
- для груза - углы Эйлера у 1, , у1.
Достоинством описания системы "Н-Ь" посредством системы уравнений Лагранжа 2-го рода является то, что она имеет наименьший возможный порядок, в данном случае 2 х 11 = 22, недостатком то, что требование идеальности связи ограничивает область применимости полученной математической модели, например, применяемые в последнее время плоские ленточные стропы значительно растягиваются под нагрузкой.
Следует отметить, что процесс вывода системы уравнений Лагранжа для системы "Н-Ь" в общем виде достаточно трудоемок, а полученная система нелинейных уравнений за исключением искусственных модельных случаев не может быть решена аналитически, что ориентирует на применение процедур получения численных решений.
В работах [3, 4] предложен подход построения математической модели системы "Н-Ь", не требующий вывода уравнений Лагранжа, но позволяющий описывать движение системы при наличии связи, которая считается идеальной. Уравнения движения вертолета и груза записываются в системах координат, связанных соответственно с вертолетом и грузом, а неизвестная сила натяжения троса определяется итерационным образом из условия неизменности его длины. Предложенная модель существенно компактнее полученной в [2], однако имеет те же ограничения области применения, связанные с предположением об идеальности связи.
В наиболее общем виде такой подход с использованием метода неопределенных множителей Лагранжа предложен в [5].
Предлагаемый альтернативный подход - освобождение от связи, пользуясь принципом Даламбера, и замена ее активной силой - натяжением троса, требующей определения. Тогда система "Н-Ь" считается свободной и имеет 12 степеней свободы. Для определения натяжения троса дополнительно используются экспериментально полученные данные, учитывающие, в том числе, и потери механической энергии при растяжении/сжатии троса. В такой постановке математическая модель практически не имеет ограничений области применения.
Следует отметить, что в этом случае уравнения движения двух твердых тел (вертолета и груза) могут быть записаны в любой стандартной математической форме (в декартовых координатах, с помощью углов Эйлера, направляющих косинусов или параметров Родрига-Гамильтона). Увеличение порядка системы уравнений по сравнению с системой уравнений Лагранжа 2-го рода при вычислительной производительности современных ЭВМ принципиального значения не имеет.
Математическая модель полета вертолета с грузом на внешней подвеске
(на примере безмоментной двухзвеньевой подвески контейнера на упругом невесомом тросе с жесткими стропами крепления груза)
Учитывая вышесказанное замечание, далее приводятся только уравнения движения груза в виде [6] и выражения для определения сил и моментов от натяжения троса, действующих на груз и вертолет.
Для определения положения груза относительно земли и вертолета, а также параметров обтекания груза воздушным потоком используются следующие прямоугольные правые системы координат (СК):
- нормальная земная система координат 0ёХёУё2ё, направление оси 0ёХё которой совпадает с направлением проекции продольной оси вертолета на горизонтальную плоскость в момент времени X = 0, соответствующий началу моделирования; ось 0ёУё направлена вверх по местной вертикали; для рассматриваемой задачи СК 0ёХёУё2ё может считаться инерциальной;
- связанная СК 0вХвУв2в, начало которой расположено в центре масс вертолета, ось 0вХв направлена вперед параллельно строительной горизонтали фюзеляжа, ось 0вУв лежит в плоскости симметрии вертолета и направлена вверх;
- связанная СК 0гХУ2, начало которой расположено в центре масс транспортируемого груза Ог, а оси совпадают с главными осями инерции груза.
Уравнения движения груза на воздушном участке
Уравнения движения груза относительно центра масс в связанной СК 0гХУ2 имеют вид:
Тх юх+ & - Ту) юу = Мх, 1у соу + (1х - ^) шх = Му, оз(1у - 1х) юх юу = Mz, (3)
где 1х, Jy,Jz - главные моменты инерции груза; ю^юу,^ - проекции на оси СК 0гХУ2 вектора угловой скорости вращения груза относительно неподвижной СК; Мх, Му, Mz - проекции главного момента М внешних сил, действующих на груз.
В рассматриваемой задаче транспортировки груза М = Ма + М тр, где Ма - момент аэродинамических сил, М тр - момент сил реакции троса.
Уравнения движения центра масс груза в СК 0ёХёУё2ё имеют вид:
шУ=Е, (4)
где ш - масса груза; V=(У1,Уш,Уп)т - вектор земной скорости груза; 1,Ш,п- орты осей земной СК; Б - равнодействующая сил, действующих на груз. Итак, Б = Ба + Б + ш§ .
Координаты центра масс груза в земной СК определяются уравнениями
Xе=У У§ = Уш, е= Уп. (5)
Преобразование координат векторов, заданных в связанной СК, в земную СК осуществляется посредством матрицы перехода С(Ч: Х„ = С^ Xсв
Г(ё) = С(св)
"(св) ' g (св)
г 1 1 1 ^
X у ъ
шх Шу Шъ
Пх Пу Пъ у
(6)
где 1х, 1у, 1z - координаты орта 1 в связанной СК; шх, шу, шz - то же для Ш; пх, пу, nz - для П. Для ортов 1 ,ш, п справедливы уравнения:
ё1 г ^ ёш ^ ^ ёП ^ ^
—= 1 хю,----=ш хю, —=п хю (7)
ёХ ёх ёх
Так как П = 1 хш, то для определения С^) достаточно проинтегрировать первые два уравнения (7).
Поскольку аэродинамические силы и моменты, действующие на груз, определяются ориентацией груза относительно потока, введем вектор воздушной скорости
и=V - ^, (8)
где - вектор скорости потока в месте расположения груза (включает в себя струйный ве-
тер, турбулентность, скос потока от несущего винта вертолета).
Модуль |и| определяет скоростной напор набегающего потока, необходимый для расчета аэродинамических сил и моментов, действующих на груз.
Определение реакции троса
Рассмотрим груз в форме параллелепипеда, шарнирно подвешенный к вертолету в точке Оп посредством двухзвеньевой 4- строповой подвески (рис. 2).
Стропы соединены с основным тросом через шаровой шарнир в точке Ос. Длина основного троса в нена-груженном состоянии 10, длины строп - 1с.
В наиболее простой постановке задачи (однако включающей основные элементы системы вертолет -груз на внешней подвеске) примем следующие допущения:
- массой основного троса и строп пренебрегаем;
- основной трос считаем упругим (см. ниже), а стропы считаем тонкими жесткими стержнями.
При сделанных допущениях груз вращается вокруг подвижной точки Ос вместе с пирамидой ОсАВСД (рис. 2). Связь ОсОв груза с вертолетом будет удерживающей при |ОсОп| > 10 и неудерживающей в противном случае.
Пусть R(g)
On
радиус-вектор точки подвески груза к
вертолету:
R(g) _R(g) + B(g) r
R'~>" _Rцмв -гB(св)PJ
где R[g)
‘On R ц.м.в. TB(св) К г ’ (9)
-ц.м.в. - вектор центра масс вертолета в земной СК; р г - вектор точки крепления основного троса к вертолету (в связанной с вертолетом СК); В (^ - матрица перехода от связанной
с вертолетом СК к земной СК:
^ cos y cos J - cos ysin J cos g+sin ysin g cos ysin Jsin g+sin ycos g ^ sin J cos Jcos g - cos Jsin g
- sinycos J cos ysin g+ sin ysin Jcos g cos ycos g-sin ysin Jsin gj
B(g) ■
B( св)
где у, Ф, у - соответственно углы курса, тангажа и крена вертолета. Вектор Я Ос, определяющий положение шарнира Ос,
R(g) _R(g) + C(g) O O
RO^RОг^ (св) OгO
(g)
(10)
где
O г Oc
(св)
f 0, o г йСсв) \ , 0
V )
=Ь/2+УІ12 - (а2 + с2)/4 ; О г Ос( св)
Введем орт ], направленный вдоль основного троса от точки Ос к точке Оп:
і=ОСО?/,
OcOf
груз, можно записать в виде:
, где O^ _R(g)
On
-R(g)
OC, тогда силу реакции от троса, действующую на
Ñ<g) _-j.T; T _ F, ПриТ**-0, 1 0, при T *< 0
где Т *= К1 *Д1+К 1*А1, А1 =
(?) С п
ОСО
-10, Д1 = (Д1; -А1м)/ Д1;, А1 - шаг интегрирования уравне-
ний движения груза; К1 ,К і - коэффициенты, определяющие упругость и демпфирование троса. Момент реакции троса относительно центра масс груза
М
(св)
тр
= О г ОС(св) х Й(св)
= О гіО
(св)
С
хс^к®.
(12)
Сила Б(св) и момент М(-св), действующие на вертолет от внешней подвески, определяют-
в тр втр
ся в связанной с вертолетом СК следующим образом:
Е(св) =-в(?вТ NN(е), М(св) =р г х ?(св).
вто (св) вто в Тр
(13)
Иллюстративный пример
Для иллюстрации возможностей предлагаемой математической модели ниже приведены результаты расчета транспортировки контейнера массой 1000 кг вертолетом типа Ми-8 на высоте ~500 м со скоростью около 100 км/ч.
В качестве математической модели вертолета использована линеаризованная относительно режима горизонтального полета линейная модель [7] вида: х = Л-х+Б-и, где и=К-х, х = [Юх, Юу, ю^, Ух, Уу, У2, X, У, 2, у, у, Ф]т , и= [п, Ф, 5, ф0]т - соответственно отклонения органов управления вертолета по крену, курсу, тангажу и управление общим шагом НВ.
Исключительно для наглядности возмущения приведены в продольной плоскости (рис. 3).
юоо
о
1 1 1 1
1 1 1 1
о
60
1[с]
100
120
Рис. 3. Иллюстративный пример: на 30-й секунде полета на груз действует кабрирующий момент, что эквивалентно внезапному смещению (срыву) груза внутри контейнера назад по полету; на 60-й секунде летчик внезапно отклоняет автомат перекоса (на 1° в течение 1 с),
также создавая кабрирующий момент
Видно, что первое возмущение вызывает колебания угла отклонения троса (fix), отклонение груза относительно нижнего шарнира (DELTA TR) - 2-я колебательная мода, уменьшает установившийся угол тангажа груза (TEG); также наблюдается быстрозатухающий переходной процесс изменения удлинения центрального троса и соответственно его натяжения (dl и T) - 3-я колебательная мода. Реакция вертолета на это возмущение незначительна (OMZ).
В результате второго возмущения вертолет резко увеличивает угол тангажа (TE), за счет чего увеличивается отклонение угла троса (fix), нарушается равновесие сил, действующих на груз, что приводит к возмущению слабозатухающего маятникового движения груза - 1-я колебательная мода (dY = Уг - Ув, dX = Хг - Хв).
Приведенный пример иллюстрирует сложный характер взаимного влияния вертолета и груза, транспортируемого на внешней подвеске, необходимость разработки достаточно полных математических моделей вертолета и груза, а также применимость предложенного подхода для разработки адекватных математических моделей "вертолет - груз на внешней подвеске".
ЛИТЕРАТУРА
1. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. - М.: Физматгиз, 1960.
2. Володко А.М., Серов А.Я. Нелинейная математическая модель пространственного движения вертолета с грузом на внешней подвеске // Теоретические основы вертолетостроения. Труды третьих научных чтений памяти академика Б.Н. Юрьева. - М., 1989.
3. Козловский В.Б. Теоретические и методологические основы эксплуатации летательных аппаратов при выполнении строительно-монтажных работ и транспортировке грузов на внешней подвеске: Дисс. на соискание уч. степ. д-р техн. наук. - Краснодар, 2004.
4. Козловский В.Б., Кубланов М.С. Математическая модель полета вертолета с грузом на внешней подвеске // Научный Вестник МГТУ ГА. Сер. Аэромеханика и прочность. 2004. № 72. С. 6 - 10.
5. David G. Miller D.G., White F., Roberts B., Price R. Flight Simulation as a Tool to Develop V-22 Slung Load Capabilitis. Proceedings of the 55th Annual Forum of the American Helicopter Society, Montreal, Canada, 1999.
6. Шилов А.А. Общие уравнения движения летательного аппарата, не имеющие особых точек // Труды ЦАГИ. - М., 1962. Вып.850.
7. Акимов А.И., Берестов Л.М., Михеев Р. А. Летные испытания вертолетов. - М.: Машиностроение, 1994.
MATH MODEL FOR THE "HELICOPTER - EXTERNAL LOAD" DYNAMIC SYSTEM
Sviridenko A.N.
This paper offers a sufficiently universal approach to the construction of a math model for the "helicopter - external load" dynamic system.
Сведения об авторе
Свириденко Александр Николаевич, 1956 г.р., окончил МФТИ (1979), кандидат технических наук, ведущий специалист ЗАО ЦНТУ "Динамика", автор 8 научных работ, область научных интересов - математическое и полунатурное моделирование динамики ЛА.
