CC BY
74
УДК 5l8.5GGl.57
О.А. Савицкий, ТА. Чистякова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ ВЫСОКОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
Работа посвящена построению и исследованию математической модели распространения ультразвуковых пучков высокой интенсивности. В работе представлен метод расщепления по физическим процессам применительно к рассматриваемой модели.
Схемы с весами; интегроинтерполяционный метод; преобразование Фурье.
O.A. Savitsky, T.A. Chistyakova
MATHEMATICAL MODEL OF PROPAGATION OF ULTRASONIC BEAMS
OF HIGH INTENSITY
This work is dedicated to building and researching of mathematical model of propagation of ultrasonic beams of high intensity. The method of decomposition on physical processes with reference to considered model is presented in this work.
Schemes with weight; integrointerpolation method; Fourier transformation.
Закономерности распространения волновых пучков большой амплитуды отличаются от законов линейного распространения, поэтому любые приложения интенсивных звуковых полей требуют уточнения физической и математической модели эволюции волновых возмущений конечной амплитуды. Характерными областями приложения ультразвука высокой амплитуды являются:
l) ;
2) (
, , );
З) .
Нелинейные процессы в ультразвуковых пучках вследствие отсутствия физической дисперсии в большинстве звукопрозрачных сред представляют собой
- , уравнениями со степенным характером нелинейных членов. В большинстве практически важных случаев решение модельных уравнений не может быть получено
.
нелинейных волновых процессов является математическое моделирование.
Задача распространения звуковых пучков в нелинейно-диссипативной среде представлена уравнением Хохлова - Заболотской - Кузнецова:
л Ґ
де
dv дv „дv
----v------Г-
у дz де дд1
= N A1v, (l)
41
где v = v( г ,в, г )- величина скорости частиц среды, Г - диссипативный параметр, в - время в сопровождающей системе координат, г - нормированное расстояние, N - параметр уравнения, характеризующий соотношение нелинейности и
диссипации, Д, —поперечныйлапласиан
Ґ =jL ї_л
^ 1 дх2 дy2 j
(l) :
l68
у(О,0, г) = У (0, г)
(2)
и граничных условиях:
♦ условия периодичности сигнала
v( г,0, г) = v( г,2п, г), ув (г ,0, г) = ув (г ,2п, г),
♦
\т(г ,6,0 ) = 0,
♦
V (г, в, ~) = 0.
(3)
(4)
(5)
(6)
Расчетная область по пространственным направлениям X, у, г представляет
собой цилиндр (рис. 1). Для построения решения разностной схемы будем использовать равномерную сетку, записанную в цилиндрической системе координат:
■ {гг = пкг, в) = ]Нв, гк = ккг; п = 1..—, ; = 0..М, к = 0..Р;
= I, Мкв = 2п, Рк = Я] ,
где П , ] , к - индексы по направлениям г, в, Г соответственно;
Нг, Нв , Нг - шаги по направлениям г,в, Г соответственно;
N,М , Р - количество узлов сетки по направлениям г,в, г соответственно;
I, Я - высота и радиус цилиндра соответственно.
Рис. 1. Расчетная область
В уравнении (1) аппроксимируем частную производную по пространственной координате 7, в результате чего получим
( уп+1
д0
К
2 п+Ц Л
д0
302
—^іуп+1, 4 1
где Vn+1 = Vn+1(в, г) - величина скорости частиц среды на текущем пространственном слое по г; Vй = Vй (в, г) - на предыдущем пространственном слое; л,п+Ц , ,п+Л
V , V - значения поля V на некотором пространственном слое.
:
ип = Vп, ып+1 = = vn+7, wn+1 = vn+1, vn+* = ип+ц,vn+л = wn+л.
С учетом введенных обозначений и в соответствии с методом расщепления
(1) -
темы уравнений [1]:
п+1 п "ч п+ц •"ч2 п+ц
и — и п ди гд и =Л
и Г ^ „2 = 0,
К д0 д0
_д
д0
ґ wn+1 _ wn Л
\ г у
где
—д± ™п+х.
4 1
ип+м
= !лип+1 + (1 _ц)ип, ^п+д = Лм>п+1 + (1 _Х)мп, цє [0; 1]Дє [0; 1].
Задачу (1) - (6) будем решать в 2 этапа. На первом шаге производится учет нелинейных и диссипативных процессов. Эта задача представлена уравнением Бюргерса [2]:
ип+1 — ип п дип+м ^дгип+м п
-----------ип---------------------------------------------Г-— = 0. (7)
\ дв дв2
Уравнение представлено при следующих граничных условиях (предполагает):
и( г,0, г) = и( г,2п, г), (8)
ив (г,0, г) = ив (г,2п, г). (9)
На данном этапе осуществляется переход от пространственного слоя п по координате г к некоторому промежуточному слою п + 7.
На втором шаге считаем величину скорости волны с учетом дисперсии, т.е. диффузии энергии в направлении, перпендикулярном направлению распростране-:
_д_
д0
ґ wn+1 _ wn_'
К
= — Д1 м>п+л, (10)
4 1
1 п
где Нг - шаг по пространству вдоль оси г; № - величина скорости частиц среды в
л л,п+1
поле волны на промежуточном временном слое; № - величина скорости волны
на следующем временном слое.
Уравнение (10) задано при следующих граничных условиях:
Г(г,0,0 ) = 0, (11)
№
(г,в, ~) = 0. (12)
На данном этапе осуществляется переход от некоторого промежуточного пространственного слоя к слою п +1.
Дискретная модель для исходной задачи представлена уравнениями (13) для (7):
п+1 ,,п и п и п+1 и п и п+1 и п+1/2 п+1/2 + и п+1/2
и1,ки1,к — иМ —1,киМ —1,к и1,к — 2и0,к + иМ —1,к
,к г 1,к 0,к М — 1,к 0 7 _ 0 •
Н 4Нв Нв " ’ ;
и п+1 ___^п ^п и п+1 _и п и п+1 и п+1/2 _____п+1/2 + и п+1/2
и7,к и],к — и]+1,ки]+1,к и]—1,ки]—1,к г и7+1,к ],к + и] —1, к = 0 1 < < М — 2^ (13)
Н 4Нв Нв2 ’ " " ’
и п+1 ^п и п и п+1 и п и п+1 и п+1/2 п+1/2 + и п+1/2
иМ —1, к — иМ —1,к иМ —1, киМ —1,к и1,ки1,к — г и0,к — 2иМ —1, к + иМ —2, к = 0 • = м — 1
К 4Н Нв ~ ' ’
(14) (10) [1]:
„п+1 — „п \т С”+1/2 — сп+1/2
7 к С к = , к = 0,
Н 2 Н2
п+1 гс , , (/ л \ гс+1/2 п+1/2 / . \ гс+1/2 гс+1/2 Л
С ■ , —С ■ , —
1ю ]к—------— = —
Н 4
,0 < к < Р, (14)
2 Н К 2 Н
' г V / г у
с”,;1 = 0. к = Р.
(13), (7),
путем аппроксимации уравнения при помощи интегро-интерполяционного метода с использованием схем с весами. При этом оператор нелинейности аппроксимирован таким образом, чтобы его дискретный аналог был линеен и имел второй поря, , -мам с весами. В случае нелинейной аппроксимации приходится проводить линеаризацию по Ньютону, что ведет к дополнительным временным затратам [3].
(14), (10), при помощи интерполирования уравнения тригонометрическими полиномами
М
№П,к = Е Сп,к ехр^в )
М
7=—Т
и последующим взятием от непрерывных функций частных производных по в.
Трудоемкость рассмотренного метода расщепления по физическим процессам составляет Q = 20РМ log2 М + 51РМ арифметических операций, при этом
основное количество операций требует преобразование Фурье.
(1). -
чу тригонометрическими полиномами
М
2
V(г,0,г)= ^ е] (г,г)ехр(г®/0)
М
и взяв частные производные по переменной в, получим уравнение
М —. м_
— со. — ^ с*тс.+та>2т. + ^стс.—тОт. + ^ стс*т—.о2т. + Гсл(оО)3 = — Д±с. • (15)
дг т=0 т=0 т= ] 4
При решении данной задачи наиболее трудоемким является расчет сумм
М — . М
— Е С*тС. +т°2т7 + Ё СтС. —т0т7 + Е СтСт—°т7 ,
т =0 т =0 т=.
которые соответствуют оператору нелинейности. В случае использования явных
, — 2
,
уравнений с матрицей общего вида, что требует 2 —3 операций.
3
Проведем исследование дискретной модели на основе сравнения предложенных методов, результаты запишем в табл. 1.
1
Т рудоемкости методов
Трудоемкость метода расщепления по физическим процессам Трудоемкость метода гармоник
Явная схема 20РМ ^2 М +18РМ О [м 2 Р)
Неявная схема 20РМ ^2 М + 48РМ О (М3 Р)
Схема с весами 20 РМ ^2 М + 51РМ О (М3 Р)
Применение схем с весами позволяет получить второй порядок погрешности аппроксимации по всем переменным: О (2 + Н2 + Н2г), в то время как явные и
неявные схемы дают порядок О (2 + Н1 + Н2). Из табл. 1 видно, что метод расщепления по физическим процессам является значительно менее трудоемким, чем метод гармоник при одинаковом порядке погрешности аппроксимации. Следует
,
:
Нд
Нг < -рт - условие Куранта; и
2Г
Нв < у-т - условие неотрицательности коэффициентов сеточного уравнения; и
, /Н2
Нг < - условие устойчивости для явной схемы.
Приведем результаты численных экспериментов.
Рис. 2. Распространение звукового пучка при г = 0, Г = 0,001, N = 0,5, Р = 100,
М = 212
Рис. 3. Распространение звукового пучка при г = 1, Г = 0,001, N = 0,5,
Р = 100, М = 212
Начальное значение скорости частиц среды на рис. 2 и рис. 3:
V (в, г) = в~г 8Шв.
На рис.2 параметр г принимает значения г = 0, 0,5, 1, 1,5. На рис. 1 более
темным цветом изображена исходная функция скорости частиц среды при г = 0, а более светлым - функция скорости частиц при г = 1. Видно, что с ростом г амплитуда сигнала на его оси уменьшается и пучок расширяется.
Рис. 4. Распространение звукового пучка при
г = 0, Г = 0,001, N = 0,3,
Р = 100, М = 2
Рис. 5. Распространение звукового пучка при г = 0,5, Г = 0,001, N = 0,3,
Р = 100, М = 213
Начальное значение скорости частиц среды на рис. 4 и рис. 5:
V(О,r) = sin( + kr2). На рис. параметр Z принимает значения z = 0, 0,5, 1.
На рис. 1 более темным цветом изображена исходная функция скорости частиц среды при z = 0, а более светлым - функция скорости частиц при z = 0,5. Видно, что с ростом Z амплитуда волны увеличивается и происходит усиление сигнала за счет фокусировки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Чистякова ТА. Дискретная конечно-разностная модель распространения волновых пучков, описываемая квазилинейным уравнением параболического типа // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 118-129.
2. . . -. . - ., 2005.
3. Самарский АЛ. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989.
Савицкий Олег Анатольевич
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .
E-mail: osav66@mail.ru.
347932 . , . , 57/1, . 57.
Тел.: 88634315638; 89034354049.
Чистякова Татьяна Алексеевна E-mail: a_tanya84@mail.ru.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88634371606.
Savitsky Oleg Anatoljevich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: osav66@mail.ru.
57/1, Lomonosov street, sq. 57, Taganrog, 347932, Russia.
Phone: +78634315638; +79034354049.
Chistyakova Tatyana Alexeevna
E-mail: a_tanya84@mail.ru.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634371606.
УДК 539.3
Т.В. Домашенкина, А.В. Наседкин, А.Н. Рыбянец
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ФОКУСИРУЮЩЕГО УЛЬТРАЗВУКОВОГО ПЬЕЗОИЗЛУЧАТЕЛЯ В РЕЖИМЕ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрена связанная задача акустопьезоэлектричества о возбуждении в акустической среде ультразвуковых волн сферическим пьезоэлектрическим излучателем с цилинд-. - -сматриваемой задачи в пакете ANSYS. Продемонстрирована эффективность конечноэлементных моделей для расчетов ультразвуковых акустических волн в фокальной зоне.
Метод конечных элементов; связанные задачи; пьезоэлектричество; ультразвуковые .
