Исследование устойчивости конечно-разностных схем для уравнения Хохлова Заболотской Кузнецова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Зуев Виктор Никанорович

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .

E-mail: vnzuev@bk.ru.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634371606.

Семенистый Владимир Васильевич

E-mail: nvn@vm.tsure.ru.

Тел.: 88634371606.

Сухинов Александр Иванович

E-mail: sukhinov@gmail.com.

.: 88634310599.

Zuev Viktor Nikonorovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: vnzuev@bk.ru.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634371606.

Semenistay Vladimir Vasiljevich

E-mail: nvn@vm.tsure.ru.

Phone: +78634371606.

Sukhinov Alexander Ivanovich

E-mail: sukhinov@gmail.com.

Phone: +78634310599.

УДК 534.22

ТА. Чистякова

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КОНЕЧНО-^ЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ХОХЛОВА - ЗАБОЛОТСКОЙ - КУЗНЕЦОВА

В работе приводится построение устойчивой конечно-рюностной модели для уравнения Хохлова — Заболотской — Кузнецова (ХЗК). При построении дискретной модели использованы схемы расщепления по физическим процессам, что обеспечивает устойчивость модели.

Звуковой пучок; устойчивость; сходимость; расщепление по физическим прогрессом.

T.A. Chistyakova

RESEARCH OF STEADINESS OF FINITE-DIFFERENCE SCHEMES FOR KHOKHLOV - ZABOLOTSKAYA - KUZNETSOV EQUATION

Building of steady finite-difference model for Khokhlov — Zabolotskaya — Kuznetsov equation is considered in this work. Schemes of decomposition on physical processes were used for building of discrete model. This method provide steadiness of model.

A sound beam; steadiness; convergence property; decomposition on physical processes.

1. Введение. Устойчивость разностной схемы означает, что малые возмущения аргумента в начальных данных и правой части разностной схемы приводят к равномерно малому изменению решения.

Устойчивость - очень важное в приложениях свойство разностных схем. При практической реализации на ЭВМ разностных методов возникают, в частности, проблемы, связанные с невозможностью представления точных чисел в компьютере. В результате мы решаем не разностную схему, а несколько отличающееся от . , , "перенести в правую часть" и, таким образом, считать, что в ЭВМ ищется решение не разностной схемы, но решение возмущенного уравнения. Свойство устойчивости разностной схемы при достаточно малых шагах сетки гарантирует близость между точным (теоретическим) решением разностной схемы и его практической .

представления данных в ЭВМ, но и неточность определения физических параметров модели, погрешность измерений и т.п.

2. Устойчивость разностных схем. Рассмотрим задачу Коши вида

ди

— = Аи, -те< х<гс, £ > 0, (1)

дг

и (х,0) = и0(х), — ж< х <ж , (2)

где X - пространственная координата, £ - время, А - линейный дифференциальный оператор, и0(х) - заданная функция. Аппроксимируем задачу Коши (1)-(2) следующей разностной задачей Коши:

иП+1 ип

- - - = Ли+1 + Л2ип, ] =0,1,2,...; п = 0,1,2,..., (3)

т

и0 = и0( х] ), (4)

где ип = и(X-,гп) - разностное решение, х■ = ]Н,гп = ПТ, к - шаг сетки на оси X, Т - временной шаг, Л1,Л2 - некоторые разностные операторы.

(3)

(( -тЛ1 )иП+1 = (( + тЛ2 )иП , (5)

где Е - тождественный оператор, т.е. ЕиП = иП. Предположим, что оператор

Е — тЛ1 обратим. Тогда, разрешая уравнение (5) относительно иП+1, получим:

где

5 = (Е-тЛ1) (Е + тЛ2). (7)

Оператор 5 в (6) называется оператором шага разностной схемы.

Разностная схема (6) называется устойчивой, если при любых начальных

данных и 0 = Ы0( X^ ) выполняется оценка

и

< М

и

, п = 1,2,...,

где М - постоянная, не зависящая от Т, Н, п . Поскольку оператор 5 предполагается не зависящим от П , то устойчивость эквивалентна равномерной ограниченности степеней оператора 5:

< М, п = 1,2,....

(8)

(6) -

(6)

ип (X) = Лпи0єікх, (9)

где X - комплексное ЧИСЛО, и0 - постоянный вектор, к - вещественное волновое число, І =т-г . (9) (6)

(а-хе )и 0 = о.

(10)

Для существования нетривиального решения и о системы (10) необходимо,

чтобы

(11)

Матрица О в (10), (11) называется матрицей перехода разностной схемы. Уравнение (11) называется характеристическим уравнением разностной схемы. Пусть Ху,...,Хт (т > 1) - корни уравнения (11); они являются собственными

значениями матрицы перехода О.

Необходимое условие устойчивости фон Неймана имеет вид

< 1 + О(т) для 0<г<Аг, = 1,...,т, -~< к <^. (12)

Условие Неймана (12) является достаточным для устойчивости, если матрица перехода О - нормальная матрица.

О ,

ас=ас

(13)

где в - комплексно-сопряженная и транспонированная к в матрица; т.е., если

в =

С =

где

, Ьк - вещественные числа, і = 4-1,

то тогда

3. Постановка задачи. Задача распространения звуковых пучков в нелинейнодиссипативной среде представлена уравнением Хохлова - Заболотской - Кузнецова

_э_

дв

ду ду ^ д 2у Л

-----у----------Г—-

дг дв дв

N л

:—А, у, 4 1

(14)

где V = v(г, в, г) - величина скорости частиц среды, Г - диссипативный параметр, в - время в сопровождающей системе координат, ъ - нормированное расстояние, N - параметр уравнения, характеризующий соотношение нелинейности и

. ( 32 Э2 Л

диссипации, Д, — поперечный лапласиан

Задача (14) задана при следующем начальном условии:

v(0,в, г) = У (в, г) (15)

и граничных условиях:

♦ условия периодичности сигнала:

v( г,0, г) = v( г,2п, г), (16)

ув (г ,0, г) = ув (г ,2п, г), (17)

♦ условие сим метричности:

V (г,в,0 ) = 0, (18)

♦ условие отсутствия энергии в бесконечно удаленной точке:

V (г, в, ~)= 0. (19)

4. Численная схема решения и ее устойчивость. Расчетная область по пространственным направлениям х, у, г представляет собой цилиндр. Для построения решения разностной схемы будем использовать равномерную сетку, записанную в цилиндрической системе координат:

= {г = пкг, в- = ]кв, гк = ккг; п = 1.., - = 0..М, к = 0..Р;

= I, Мкв = 2п, Ркг = Я},

п, ] , к - индексы по направлениям г, в, г соответственно; кг, кв , кг - шаги по направлениям г, в, г соответственно;

Ы;, М , Р - количество узлов сетки по направлениям г, в, г соответст-;

I, Я - высота и радиус цилиндра соответственно.

:

п _ п п+1 __ п ____ п+а п+1 __ п+1 п+й ____ п+и п+Х __ п+Х

и = V , и = w = V , w = V , V = и , V = w .

Дискретный аналог задачи (14)-(19) имеет вид (20)-(22) [1]

п+1 п 1 п -• п+1 п п+1 п+1/2 п+1/2 . п+1/2

и0,к — и0,к — и1,ки1,к — им-1,ким-1,к — г и1,к — 2и0,к + им-1,к = 0 - = 0*

к 4ка кв

где

п+1 п п п+1 п п+1 п+1/2 г\ п+1/2 . п+1/2

-,к и],к — и]+\,ки]+1,к и]—1,ки]—1,к ги]+и 2и],к + и]—\,к = 0,1 <- <м — 2;(20)

кг 4кв кв2

п+1 п п п+1 п п+1 п+1/2 г\ п+1/2 , п+1/2

им —1,к — им —1,к — им —1,ким —1,к — и1,ки1,к — р и0,к — 2им —1,к + им —2,к = 0, - = М — 1.

к 4кв кв2

(20) :

иМ = У ,к. (21)

п+1 п -.т п+1/2 п+1/2

— Ск = н- , к=0,

к 2 к?

п+1 Лп ат/^/' л \ ^п+1/2 п+1/2 / - \ п+1/2 п+1/2 ^

• ;С1к — СП N

10)]к—--------^ = —

к 4

М С1,к+1 С1,к | 7 И С./,к - —1

, 0 < к < Р, (22)

Сп+ = 0, к = Р.

3,к ’

Уравнения (20)-(21) соответствуют первому этапу решения задачи, на котором учитываются нелинейность и диссипация процесса распространения волновых пуч-. ( (22)) -новых пучков в направлении, перпендикулярном направлению распространения пучка. Переход от поля W к полю С осуществляется в соответствии с формулой

м 2

к = Е СП к ехр(ов)-

w.

]

м

-=-4

Докажем устойчивость схемы (20).

С учетом обозначений иП+1/2 =1 иП+1 +1 иП уравнения (20) примут вид

2 2

п+1 п п п+1 п п+1

и0,к — и0,к и1,ки1,к — им —1,ким —1,к

кг 4кв

1 / п+1 , п \ / п+1 , п \ , 1 / п+1 , п \

“(к + и1,к ) — (и0,к + и0,к ) + ~\им —1,к + им —1,к )

-Г-2----------------------------------------------------------------------------------2-= 0, ] = 0,

кв

п+1 п п п+1 п п+1

и-,к — и-, к иу+1,киу+1,к — и-—1,киу—1,к

кг 4кв

1 / п + 1 . п \ / п+1 . п \ , 1 / п + 1 . п \

— (и +1; + и .+,, ) — ((/ + и > ) +— (и ,, + и 1; )

л\ -+1к -+^7 V J>к з>к/ ^ V - —1,к •/—1’к/ о

—Г—-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2-= 0,1 < - < м — 2; (23)

кв

п+1 п п п+1 п п+1

иМ-1,к - иМ-1,к иМ-1,киМ-1,к - и1,ки1,к

-Г-

К 4Нв

1 / п+1 . п \ / п+1 . п \ | 1 / п+1 . п \

+ и0,к ) - (м-1,к + иМ-1,к ) + “(иМ-2,к + иМ-2,к )

Не2

_ 0,7 _М -1.

Будем искать решение в виде [2]: п п

и. , _ и% (а)_Хп • єІІ7кНа, 7,к 7,ку 7

(24)

где І - мнимая единица, ] - номер узла по пространству, Н - вещественное вол.

Если |Х > 1 + О(Нг), то схема не устойчива, т.е. не существует универсальной константы М, которую можно подставить в неравенство:

п и < М и0

(1)

(1)

..

(1)

—— га при п — <^.

(24) (23):

л п+1 іікка ли іікка , .п } п+1 і( У+1)кНа п 1 п+1 і( У-1)кНа

X • є -X • є иі+1,кХ •є -и7-1,кХ •є

К

4Нв

Г

+1)кйа + хп є і (./+1)кК

п+1 є^кНа + Хп є^кНа )

Нв2

( Хп+1 є*(-1)кНа + Хп єі( -1^кН°

-1Г'-------------------------------------------^ _ 0.

2 Нв

Разделим обе части уравнения на Хпєі’кНа, получим:

1

--Г-

х -1 ип+их • єікНа - и^Х- є~ікНа 2(Х +1) є‘кНа - (Х +1) + 1(Х +1) є ‘кІ

Н 4Нв Нв

_ 0.

Перенесем в правую часть слагаемые, не содержащие X:

1X єікНа-Х-2_______________2

о пт ікНа п і

X и7+1,кХє - uj-l,kX^є

4Н

На

и

1 ikha I . 1 —ikha

i e 1 + e

=1 + г 2---------------------2---------

h

ha

Л

Упростим полученное выражение:

1 ikha i . 1 -ikha

1 i.n „ikha n -ikha —e — 1 + e

1 uj+1,ke____________uj—1,ke_______г 2________________2________

h

4h

в

h

в

1 eikha 1 + 1 e_ ikha

2

he

Л

V J

Воспользуемся формулой Эйлера e'kha = COS (ha) + i sin (ha):

^ 1 u^ k cos (kha) + iu]+1 k sin (kha) — иП—1 k cos (— kha) — iu rn_1 k sin (— kha)

Vhz

4he

—Г-

cos

(ha) + i sin (ha) — 2 + cos (—kha) + i sin (—kha)

2he

в у

1 (cos (kha + i sin (kha)) — 2 + (cos (— kha) + i sin (— kha))

=h+r 2^ '

Воспользуемся свойствами четности функции y = cos X и нечетности

функции y = sin X :

1 u’n+1 k cos (kha) + iuJ+j k sin (kha) — un—j k cos (kha) + iun—j k sin (kha)

Л

V hz

4hn

cos

(kha) + i sin (kha) — 2 + cos (kha) — i sin (kha)

2h/

1 г (cos (kha) + i sin (kha)) — 2 + (cos (kha) — i sin (kha))

h

2ha

Упростим полученное уравнение:

л

_1 — cos (a)(u;+u — иП—1,k) +)sin (a)(;+u + иП—1,k) г (kha) — 1

4he

1 +г cos (kha) — 1

h

1 + г

(kha) — 1

л=

cos

z h2 Пв

— hzcos (kha) (un+1,k — иП—1,k) + )sin (kha) (un+1,k + un—1,k) _rh cos (kha) — 1

4he йв

Возьмем модули от левой и правой частей полученного равенства:

1 + ГК

cos (kha) — 1

1—Кcos(ka) (uU+u— uU—i,k) + )sin(kha)(un+u + uU—i,k) гк cos(kha)- 1

4h„ z Г

XIК

1 + гк

cos

(kha) — 1

1 — hzcos (kha)(uj+i,k — un—i,k) —г/ cos (kha) — 1 4h z /в

Преобразуем выражение u'+1 k — U^ 1 k :

un+1,k — uu—1,k = ei(j+1)khaXn — ei(j—1)haXn =

ijkha n n ikha ijkha n n — ikha n ( ikha —ikha \

e ie — eJ ie = Ujk (e — e ) =

: unjk (cos (kha) + i sin (kha — cos (kha) + i sin (ha) = 2mnjk sin (kha).

С учетом последнего равенства неравенство примет вид

cos (kha) — 1

XI К

І + гк

ha

^ hz cos (kha)iunjk sin (kha ^ cos (kha) — І

2/в z \ів

і — г/

XI к

І — cos (kha)

І + ГК.

І — cos (kha)

Так как

ГК 1 -cos(k/a) >0, то |Л|< 1 Vk,К,a,a R

Кв

(20) -

.

Докажем устойчивость сеточного уравнения (22). Для этого преобразуем его:

n+1 n

cjk cjk

Nih

f „j+l/2 n+1/2 Л

cj ,1 cj ,0

4rnjh;

k = 0,

kcn+1 — kcn = ■

KLj ,k KLj ,k

Nih

((

4rnjhr

w

k+

2

/n+1/2 — c'+1/2 \

,k+1 Cj ,k )

У

0 < k < P,

k — 2

/ n+l/2 — c'+1/2\

,k Cj ,k —1 )

2

h

в

2

h

в

2

2

h

в

2

h

в

Сп+ = 0, к = Р.

Введем обозначения: Ъ = ■

'},к

4о/к

К =

^0,25 0 0 0

0 10 0

0 0 2 0

0

0 0 3

0 0 0 0

0

0

0

0

Р — 1

А =

0,5 —0,5

—0,5 2

—1,5 0

0 —к + 0,5 2к — к — 0,5

........... 0 —Р — 0,5 2Р — 2у

А - , , -

.

(22)

Ксп1 — Ксп = ЪА1сп+У2 ,.

Ксп+1 — Ксп = 0,5ЪА1 (сп+1 + с” ), (К — 0,5ЪА1 )сп+1 =(К + 0,5ЪА1 )сп ,

сп+1 = (К — 0,5ЪА1 )—1 (К + 0,5ЪА1 )с . (25)

Введем обозначения: В = К + 0,5ЪА1, 5 = В В .

Матрица 5 является самосопряженной, так как Вт = В.

Найдем матрицу, обратную 5 :

5—1 =(В~‘В*) =(В*) В = (В~‘В*)* = 5*..

(25):

Цс-Ц2 = ||5сп||2 = ((5сп)*)т 5сп = ((сп)*)т 5*5сп = ((сп)*)Т 5—15сп = ((сп)*)Т сп = ||сп||2.

Последнее равенство свидетельствует об устойчивости уравнений (22). Заключение. В работе исследована устойчивость конечно-р^ностной модели распространения волновых пучков конечной амплитуды в нелинейнодиссипативной среде. В основе данной модели лежит уравнение Хохлова - Забо-

- .

расщепления по физическим процессам. Исходная задача решалась в 2 этапа. Первый этап представлен уравнением, описывающим нелинейность и диссипацию,

2

которое целесообразно решать конечно-р^ностными методами. На втором этапе , , гармоник. Установлено, что при данном подходе можно получить устойчивую конечно-р^ностную модель. Разностные схемы, полученные путем непосредственной аппроксимации уравнения ХЗК, не принадлежат семейству, для которого применим принцип максимума, и, как правило, являются неустойчивыми. Выбор метода решения данной задачи, основанного на схемах расщепления по физиче-, .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Чистякова ТА. Дискретная конечно-разностная модель распространения волновых пучков, описываемая квазилинейным уравнением параболического типа // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - C. 118-129.

2. Самарский АЛ. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989.

Чистякова Татьяна Алексеевна

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: a_tanya84@mail.ru.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634371606.

Chistyakova Tatyana Alexeevna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: a_tanya84@mail.ru.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 88634371606.

УДК 681.518

C.A. Бутенков

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ И НЕЧЕТКИХ ОПЕРАЦИЙ

В работе рассматривается новый подход к моделированию классов параметризованных функций. В результате открывается возможность построения универсальных модулей, настраивающихся на решение широкого круга задач без изменения общей структуры реализуемого ими алгоритма.

Нечеткие множества; параметризованные функции принадлежности; нечеткие операторы; аналитическая геометрия; R -функции, программируемые логические схемы.

S.A. Butenkov

GEOMETRICAL APPROACH TO PARAMETERIZED MEMBERSHIP FUNCTIONS DESIGN BY PARAMETERIZED OPERATIONS

The common interest to all facets of applied fuzzy modeling, inspired by recent works of L. Zadeh, are presented at contemporary investigations, because of outstanding properties of fuzzy logic systems to approximate the multivariate functions. Presented paper deals with the new approach to geometrical modeling of parameterized classes of membership functions of fuzzy sets, based on common geometric approach, established by V. Rvatchev R -functions. As a result, very