Научная статья на тему 'Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов'

Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов Текст научной статьи по специальности «Математика»

200
24
Поделиться
Ключевые слова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / ТРАНСПОРТ НАНОСОВ / МЕТОД БАЛАНСА / ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ / СЕТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ / MATHEMATICAL MODELING / SEDIMENT TRANSPORTATION / A BALANCE METHOD / DISCRETE MODEL / THE GRID EQUATIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сухинов Александр Иванович, Чистяков Александр Евгеньевич, Проценко Елена Анатольевна

В работе освещены вопросы построения пространственно-двумерной математической модели перемещения наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов, которая используется для численного моделирования динамики аккумулятивного берега. Выполнена дискретизация модели на основе метода баланса, при этом предложенные конечноразностные схемы консервативны, устойчивы и имеют второй порядок погрешности аппроксимации по пространственным координатам и первый по времени. Построены сеточные уравнения для задачи транспорта наносо

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сухинов Александр Иванович, Чистяков Александр Евгеньевич, Проценко Елена Анатольевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

TWO-DIMENSIONAL MATHEMATICAL MODEL OF SEDIMENT TRANSPORTATION

Problem of building of two-dimensional model of sediment transport in coastal area of shallow reservoir, which is used for numerical simulation of the dynamics of accumulation coast, was considered in this work. Discretization of a mathematical model based on the balance method is made in this work. Proposed finite-difference schemes are stable and have second-order approximation error in the spatial coordinates and the first-order approximation error in the time. The net equations for a problem of sediment transport are constructed. The algorithm of calculation of factors of the net equations is offered.

Текст научной работы на тему «Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов»

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.П. Молчанов. Сухинов Александр Иванович

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: sukhinov@gmail.ru.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

.: 88634310599.

; . - . .; .

Чистяков Александр Евгеньевич

E-mail: cheese_05@mail.ru.

Тел.: 88634371606.

Кафедра высшей математики; ассистент.

Тимофеева Елена Федоровна

Северо-Кавказский государственный технический университет.

E-mail: teflena@mail.ru.

355029, г. Ставрополь, просп. Кулакова, 2.

.: 88652728858; +79097583970.

Кафедра прикладной математики и компьютерных технологий; старший преподаватель.

Sukhinov Alexander Ivanovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: sukhinov@gmail.ru

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634310599.

The head of TIT SFedU; Dr. of Phis.-Math. Sc.; Professor.

Chistyakov Alexander Evgenjevich

E-mail: cheese_05@mail.ru.

Phone: +78634371606.

The Department of Higher Mathematics; Assistant.

Timofeeva Elena Fe’dorovna

North Caucasus State Technical University.

E-mail: teflena@mail.ru.

2, Kulakov Pr., Stavropol, 355029, Russia.

Phone: +78652728858.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

The Department of Applied Mathematics and Computer Technology; Senior Lecturer.

УДК 519.6

А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко

ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ДВУМЕРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА НАНОСОВ

В работе освещены вопросы построения пространственно-димерной математической модели перемещения наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов, которая используется для численного моделирования динамики аккумулятивного берега. Выполнена дискретизация модели на основе метода баланса, при этом предложенные конечноразностные схемы консервативны, устойчивы и имеют второй порядок погрешности аппроксимации по пространственным координатам и первый по времени. Построены сеточные уравнения для задачи транспорта наносов. Предложен алгоритм расчета коэффициентов и правых частей сеточных уравнений.

Математическое моделирование; транспорт наносов; метод баланса; дискретная модель; сеточные уравнения.

A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, E.A. Protsenko

TWO-DIMENSIONAL MATHEMATICAL MODEL OF SEDIMENT TRANSPORTATION

Problem of building of two-dimensional model of sediment transport in coastal area of shallow reservoir, which is used for numerical simulation of the dynamics of accumulation coast, was considered in this work. Discretization of a mathematical model based on the balance method is made in this work. Proposed finite-difference schemes are stable and have second-order approximation error in the spatial coordinates and the first-order approximation error in the time. The net equations for a problem of sediment transport are constructed. The algorithm of calculation of factors of the net equations is offered.

Mathematical modeling; sediment transportation; a balance method; discrete model; the grid equations.

Введение. Динамика прибрежного рельефа дна во многом определяется характером перемещения наносов в береговой зоне под воздействием волн и течений. Возникает необходимость в построении математических моделей процессов перемещения наносов на мелководье под воздействием поверхностных гравитаци-.

Основная идея построения моделей, связанных с изменением структуры морского дна прибрежной зоны, основывается на процессе перемещения наносов. В условиях слабонаклонного морского дна наносы под воздействием волн совершают равнонаправленные движения [1].

В данной работе освещены вопросы построения пространственно-двумерной модели транспорта наносов, которая используется для численного моделирования динамики аккумулятивного берега. Целью нашего исследования является нахождение результирующего профиля дна. Будем считать движение частиц равнона-, , результирующее движение потока. В соответствии с критерием «крутизны» будем использовать уравнение непрерывной модели формирования наносов.

.

работе применяются уравнения, которые описывают переформирование прибрежной зоны водоемов, где вода и твердые частицы перемещаются в одном направлении. Уравнения процесса перемещения наносов [5] записываются в следующем виде:

(1 -£)°L+°L=о, (1)

at ax ay

я [Arnd\Щ\, f\>fbc, _ f

Q = lii Щ = 7-------,

0, |f<fbc; (Pi ~Po)8d

где H - глубина дна, отсчитываемая от невозмущенной поверхности водоема; £ -пористость грунта; Q={Qx, Qy} - расход наносов, Q = Q ; x, y - горизонтальные декартовы координаты; fb - касательное напряжение на дне; fbc - критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, А и 3 - безразмерные постоянные (напомним, что в настоящей работе Л=19,5, 3=3), & - частота волны, d - характеристика осадков.

Запишем касательное напряжение для наклонной поверхности дна:

f = fb -asmSn , (2)

где S(X, y, t) - острый угол между вектором нормали к поверхности дна и вектором силы гравитации в момент времени t n - единичный вектор, направленный в сторону градиента глубины, a sin S - дополнительное тангенциальное напряжение на дне водоема, вызываемое гравитационными силами. В случае \ = 0,

|^| = тЬс имеет место равенство

Tbc = a sin (р0, (р0 - угол естественного откоса грунта в воде.

, -

дующий вид:

sin S

¥s ='

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

sin^O

-*bcn

ntgS = gradH,

(3)

(Р ~Ро)

где - параметр Шильдса для наклонного дна.

Физический смысл формулы для ут5 состоит в следующем: при движении

твердой частицы вверх по откосу в потоке должна быть совершена работа по преодолению силы тяжести. Следовательно, при прочих равных условиях транспортирующая способность потока, переносящего наносы вверх по откосу, меньше, чем транспортирующая способность потока над горизонтальным дном. Соответственно расход потока представляется в виде

Q = Arnd

sin S sin^O

~*bcn

P-l

((Pl -Po)gdУ

p

sinS

sin^o

(4)

Делаем допущения при решении пространственной задачи о переформирова-:

sin S ~ tgS =

Эх

2

+

эУ

(5)

Подставим (5) в (4), при этом расход наносов запишется в виде

Q = Arnd

sin^o

- gradH

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

p-l

((Pl -Po)gd)

sin^o

gradH

(б)

Запишем исходное уравнение наносов (1) с учетом выражения (6):

/1 чЭH

(l -£)^т- +

Arnd

dt ((Pl -Po) gd У

( с

д

Эх

\ V

+ -

dy

sin^o

P-Ч

gradH

bc

sin^o

• gradH

-V

Ъc

dH

dH

Ъ, y

V

sin^o dy

sin^o Эх

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЛЛ

= O.

(7)

У/

Запишем уравнение (7) в случае отсутствия скорости на дне расчетной области:

1-і ^ ^ ч dH . ,

(\тА = 0): (l-є) — = Arnd dt

bc

sin^o(Pl -Po)gd

div \\ gradH I gradH

В общем случае уравнение (7) можно записать в виде

г /

Arnd

Э ((Pl -Po)gdУ

Эх

V v

ч--

bc

д

+------

ЭУ

ч--

bc

sm%

• gradH

sin^0

P-l M

■ gradH

P-l Л

+

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ъ, y

Arnd

f r

Э

((Pl -Po)gd У

Эх

v v

bc

sin^0

gradH

J J P-l

+-

ЭУ

V

ч--

bc

или в дивергентном виде ч дН

(1 - £)-------+ div

dt

sin^0

Arnd

■ gradH

P-l

4c ЭИ_ sin^0 Эх

ЛЛ

+

4c ЭИ_ sin^0 Эу

J J

div

Arnd

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

((Pl -Po)gd) Ч

P

Ч-

bc

((Pl -Po) gd У

Ч -

sin^0

P-l

Ъ gradH

gradH

P-l Л

sin^0

bc

:

k=

Arnd

((Pl -Po) gd У

P

sin^0

P-l

gradH

(В)

bc

gradH

81П^0

С учетом ограничений на касательные напряжения на дне расчетной области запишем данное выражение в виде

Ашй

k=

P

где

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

((Pl -Po)gd)

( Г1, х > 0

h (х У

P-l f \

4 —Ч^ gradH h Ч —Ч^ gradH 4bc

sin^0 К sin^0 )

(9)

- функция Хэвисайда.

bc

[0, x < 0 Запишем (8) с учетом (9), имеем:

(1 - £)dH + div (кть) = div

dt ^ sin р0

Уравнение (10) дополняется начальным условием:

H (x, y,0) = H 0( x, у).

gradH

(10)

(11)

Граничные условия определяются из физических соображений. В верхней границе наката, где скорость обращается в ноль, берег не подвергается деформациям:

На границе «глубокой воды» отсутствует поток, вызванный влиянием грави-:

,

формирования наносов в прибрежной зоне водоема (9)—(13).

Дискретная модель. Построим разностную схему, аппроксимирующую уравнение (10), с соответствующими граничными и начальными условиями

Расчетная область вписана в прямоугольник. Покроем область равномерной прямоугольной расчетной сеткой 0 = С01 У~0х ^0у:

где П, i, j - индексы по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox , Оу соответственно,

к, кх, hy - шаги по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox , Оу соответственно,

Nt, N х, N - количество узлов по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox , Оу соответственно,

I , 1х , 1у - длина расчетной области по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox , Oy соответственно.

Для получения дискретной модели воспользуемся интегро-

интерполяционным методом [2]. Для этого запишем уравнение (10) в виде

H (х, у, t) = Hн.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(12)

H0(х, у, t) = 0.

(13)

(11)-(13).

= {Ґ = ,0 < п < N -1,і, = \ ( -1)},

0>х = {х = К,0 < і < Мх -1,1Х = hx (х -1)}, соу = {у^ = К,0 < ] < Му -1,1у = Ку (у -1)},

Аша _ ^Ьс ли 1 ^Ьс

где к =-,---------е ТЬ —т±^8гааи к тъ —

((Р -Ро)& У 8Ш^0 ^ 81П^0

Проинтегрируем уравнение (14) по области Ощ :

^Гху ^ , , ]■> Х ^ [Хі-1/2 , Хі+1/2 ], у Уj-1/2, ^/+1/2]} ,

'і-1/2 ’ і+1/2

в результате получим:

IIIо - є)Н'^йхйу + III(,х )'х йійхйу + IIIКух йійхйу =

=и*

Ьс

81П^0

^йхду + Щ! к Тьс Н'у

81И^0

йійхйу.

(15)

Найдем значение первого интеграла левой части уравнения (15):

г”+1

|Ц(1 -е)И'tdtdxdy = (1 -е) Цdxdy | И^ = (1 - е) Ц(ип+х - Ип )dxdy -

°щ °*у Гп °*у

= (1 -е) ( - ип ), (16)

где Dxy ^ { x ^ -1/2 ' Xi+1/2 ] ’ У ^ У , -1/2’ У,+1/2 ^} .

Найдем значение второго интеграла левой части уравнения (15)

/ ^+1/2 /

Ш ) У ШМУ = Я ШУ 1 ) У ^ = Я ))+1/2 -к, У 1/2 ШУ =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ "^г-1/2 &Ту

- (кг'+1/2,, (Ъ,x );+1/2,j - кг-1/2,, ^ , У кА . (17)

Аналогичным образом можно записать значение третьего интеграла левой части уравнения (15):

Ш(кТЪ,У )'У (к1п;+1/2 (Ъ,У )“;+1/2 - к",-./2 (Ъ,у )У_,/2 ) кА ■ <18)

Найдем значение первого интеграла правой части уравнения (15):

/ _ \ Xг+1/? / _ \

[[(1 к—^^Н' dtdxdy = [[dtdy [ I к—1^н'

ь„ І 8Іп% ) х оу х-,2 { 8Іп% .

Ьс

81И^0

dt =

Ьс

Ґ

Обозначим W =

Ч+1/2

Л

81И^0

-Н'

dtdy.

!—1/2 /

Ьс

V

8ІП^0

резке х Є Х, х+1 ], имеем:

(19)

и проинтегрируем данное выражение на от-

[ Wdx = [ к ,Ъс И.

XXi 8т^0

xI■+l

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Левую часть равенства (20) запишем в виде | Wdx — Wi+ll2кх .

(20)

о

о

у

х

Преобразуем правую часть выражения (20), имеем:

Ьс

[ к —— Н'хйх- кі+1/2 I 81П^0 81П^0

} Н'хйх = кі

Ьс

+1/2 . 81И^о

(Ні+1 - Ні).

Таким образом, выражение (20) можно записать в виде

Ш = к

і+1/2 і+1/2

^Ьс Н+1 - Н,

вІП^, Ьх

Подставим (21) в (20), в результате получим:

(21)

ІЇЇІ к-^Нх (Ийхйу =ІЇІ к

Ь У 81п^0 ; х 81п^0 51

Н,+1 - Н _ Н, - Н--1

і+1/2 , кі-1/2 ,

йійу =

х

''Ьс

81И^0

ттп+а -гтп+а

Ні +1,І - Ні,І

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ттп+а ттп+а

кп Ні,І - Ні-1,І

і-1/2,І к

V

К

кук .

(22)

Аналогичным образом можно получить значение второго интеграла, стоящего в правой части уравнения (15):

ЯЛ

81И^0

Жёхёу

У

Ьс

81И^0

Ґ тт п+а _ ттп+а Е/п+а _ Е/п+а ^

кп Ні,І +1 - пі,І - кп Ні,І - Ні,І-1

кі ,І+1/2 , кі,І-1/2

V

ку 'І1'2 ку

к к.

(23)

/

Подставим выражения (16)-(18), (22)-(23) в уравнение (15), имеем:

(1 - *)( -Н,?. ) + (-к'_ш,, (^ ))_ш.)Н,И, + + (/2<Л, у У.+У2 - кП У-1/2<Л, у ) .1/2 ) КК =

Ьс

81И^0

Ґ ттп+а ___ Е/п+а ттп+а _____ ттп+а

кп Ні+1,І - Ні,І - кп Ні,І - Ні-1,І

кі+1/2,І Г кі-1/2,І ,

V

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к

+-

Ьс

81И^0

77 п+а и п+а 77 п+а тт п+а

кп Ні,І +1 - Ні,І - кп Ні,І - Ні,І-1

кі,І+1/2 , кі ,І -1/2

V

к

к

КуК +

кк . (24)

Разделим выражение (24) на к{НхНу, в результате получим дискретную мо-

дель транспорта наносов:

(1 -£)-

Ні + - Н1і . кі+1/2,І (ь,х )і+1/2,1 кі-1/2,І (ь,х)

к

+-

і+1/2, І

/і-1/2,І

К

+

+

кі ,і+1/2 К у )і,І +1/2 кі,І-1/2 Нь,у \І-1/2

к

Ь

Ьс

81И^0

к

ггп+а тгп+а

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ні+1,І - Ні,І

'і+1/2, І

тгп+а тгп

кп Ні,І - Ні-1,І

кі -1/2, І

Ні

+

/

+

Ьс

81И^0

к

т-т п+а т-т п+а

Ні, і+1- Ні, і

і, І+1/2

тгп+а ті п+а \

- кп Ні, І - Ні, І -1

кі, І-1/2

К2

(25)

/

где

(т)п+1,2,і=((т)п+1,і+(т,)“і У2, (т,,);",2=(к,^+(ь,у ^

/і+1/2, І АшсС

кп

і+1/2, І

£-1

Ть )і+1/2,1

$тф0

(гаСН ))

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+1/2, І

"ь /і+1/2, І

81Д^>0

(гаСН )'

'+1/2, І

-Ти.

Найдем значение %тайН ( ). Для этого обозначим Щ = $гайН и проинтег-

дХг’+1/2 ,у] )

рируем данное выражение по области е |х е [х,, хм], у е у.-1/2, у.+1/2 ]],

в результате чего получим:

ЦШСхСу = ДО ^тайНйхйу. (26)

Ьху Ьху

Левая часть данного выражения запишется так: Л шсхсу=+1/2, Нхк.

(26), :

хі+1 уІ+1

Л ътадНСхСу = | | (і + Н у І) йхйу= | (2Ну (Н'х ) =, і + Н^1 І) Сх

хі у—

х1+1 / V

/ (2Н- (Н))„ І,т+НІ 7)с = 2К („и- «и )+К (,« - Н ...2. ).

, (26)

/ ,,,\ Ні+1, І - Ні, І~, Ні+1/2, І+1 - Ні+1/2, І -1

(гаСН )і+1/2,І =------------------------------------------------------------7-7 і +-~-— І ,

К

(27)

где , ,. - единичные векторы, направленные вдоль координатных осей Ох, Оу .

Аналогичным образом можно получить следующую аппроксимацию:

(гайН )+1/2 = Н-+1, >+|/2„- Н -1,' +|/2 Г+^>1-^..

К

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(28)

Выражение (25) с аппроксимациями (27)-(28) задают дискретную модель .

Сеточные уравнения для задачи транспорта наносов. Запишем дискретную модель транспорта наносов в канонической форме сеточных уравнений:

Ьу (р) = А (р )Н (Р)- ^ В(Р,2)Н (2) = ^ (Р), (29)

0^Ш\Р)

где Ь - некоторый сеточный оператор, Р = (х,, у.) - центр шаблона,

Ш'(Р) = {^ (х,.+1, у . ) , ^2 (х-1, у. ) , й3 (х, у. +1) , й4 (х, у.-1 )} - окрестность .

Выделим семейство сеточных уравнений, для которых коэффициенты, участвующие в уравнении, удовлетворяют следующим условиям [2,4]:

А (Р )> 0, В (Р, й )> 0, В (Р ) = А (Р)- £ В (Р, 2 )> 0. (30)

ОеШ’(Р)

Для построения математической модели нам также понадобятся следующие узлы { £з ( ( +! , у.+! ) , ( ( ( , у. ^ ) , ^ ^ , у.+х ) , ^ ^ , у. ^ )} . ВввДвМ

обозначение {д у.), д2 (x;-1/2, у.), дз (, у.+т), ^4 (, у._У2)} для смещен-

.

(25) :

(1 -£)■

Ні„+І - Щі ' кі+1/2,І ^х ).+1/2, . кі-1/2,І (ть х)

+

і+1/2, І

/і-1/2,І

+

+

кі,І+1/2 (Ть,у )і,І +1/2 кі,І-1/2 (Ть,у )

і, І -1/2

ьс 7^п

к;

ттп+а тгп+а

Ні+1, і - Ні, і

81И^0

•і+1/2, І

Н2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ттп+а ттп+а

Тьс кп і, І______і-1, І ,

Кі -1/2, І ,„2 ^

тгп+а _____ ттп+а

І *ьс кп і, 7 +1_________іі

кі,І+1/2 ^2

81И^0 Т

81П^0

К

ттп+а ттп+а

ьс кп і, 7______і, 7 -1

Кі,і-1/2 ?„2

у

81П^0

у

где

Нп+а = аН"+1 + (1 -а)Н"..

*,7 *,7 V / і,7

Перенесем, в уравнении (31), слагаемые, содержащие Н"+1 влево, остальные

(31)

- вправо, имеем: 1 -є

к

Яп+1 Тьс

81И %

[ тт п+1 ТТ п+1

кп і+1,І і,І - кп

кі+1/2,І /2 Кі -1/2,.;

г, І

Т_т п+1 т_т п +1

Ні,І - Ні-1,І

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V

К2

+

+ кп

^ кі,І+1/2

ттп+1 ттп+1

Ні,І +1 - Ні,І

- кп

кі, І -1/2

ттп+1 ттп+1

Ні,І - Ні,І-1

+

Тс (1 -а)

1 -є

к

-Нп. +

і, І

81п^0

Нп -нп Нп -Нп

кп і+1,;- к" ^;_______і-1,;

/Сі+1/2, і 1,2 і'-!/2, І 1,2

Н2

нп - нп нп - нп

, кп Лі,І +1 Лі,І - кп Лі,І Пі,І-1

"|"кі, І+1/2 ?2 кі, І-1/2 ^2

к”+1/2,; ( Ть,х );+1/2,; К-Ш,; ( Ть,х );-1/2,; Кі,І +1/2 ( Т,у );,;+1/2 К]-1/2 ( Ту )

'і, І-1/2

. (32)

у

Запишем выражение (32) в форме (29):

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 - є Тьс

------+ —— а

г кп + кп кп + кп

'Ч+1/2,і і-1/2,і 'ч,І+1/2 ^ 'ч,І-1/2

^Ьс

81П^0

к

кп

+

кп

IX;

кп

і+1/2, І ттп+1 - і -1/2, І ти п+1 - і, І+1/2 тг п+1 і і, І -1/2 и п+1

Н ;+і і + ^ Ні + ^ Н; ;+і + ^ Ні І—1

і+1, І

і, І+1

1 -є Тьс (1 -а)

Ну2

^ кп + кп кп + кп

'Ч+1/2,і ~ л'і-1/2,І , 'Ч,І+1/2 ~ 'Ч,І-1/2

81П^0

+

ьс

81П^0

+

Ну2

к,п;

і+1/2,; нп + і-1/2,; нп + і,;+1/2 нп + і,; -1/2 нп.

і+1, І

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V

кі+1/2,; (тЬ,х )і+1/2,. - кі -1/2,1 (тЬ,х )і-1/2,. кі,І+1/2 (тЬ,у )

Ну2 ‘ і, 7 + 1

к

і, І+1/2 'І1^

Ну2

(ть, у)

і ,;-1/2

Н

Н

.(33)

(33) :

/, / 4 , / 4 , / 4 , / ч\

1-£.

А (р )=•

+

Н; 8Ш <^0

к (Ч. ) + к (Ч ) + к (Ч) + к (Ч )

Н2

Ну2

В (Р, а М*)

8Ш % Н

(34)

Л-є ТЬс (1-а) )к (д. ) + к (ч) + к (д) + к (д)ЛЛ

К

81п^0

Н2

Н2

н (р)+

УУ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(1-а)Гк («і )

$Шф0

н (2. н (<22 )+^ н (23 н (<24)

к (д.)т,х (д.)-к («2)ть,х (д.) к (ч)т,у (д)-к («4)т,у (д4)

где

ть (Р) = 0,6си (Р)|и (Р)| - ,

4,х (д ) = (ъ,х ( ) + 4,х (Р))/2 , г = ^ 4 ,

4,у (д) = (ъ,у () + 4,у (Р))/2, г =1,4,

к («і ) = ■

АшсС ть («і) .Ьс 8гаСН («і ) £-.

81п^0

((Р. -А,)яС)

(«і)—г^^ятасн (д;)

81п^(

і = .,4,

ягасн («.)=ШШРЇ Т +н (а)+н (а, Ь н (а)-н (а.4).

!ГайН д )= Н <8-) + Н (Й|3)-Н (а) + Н 8) г + Н 8)-Н (Р)..

5 4Ь, Ь, 1

Алгоритм расчета коэффициентов сеточных уравнений для задачи транспорта наносов. Рассчитывать коэффициенты и правую часть сеточного уравнения (з4) предлагается следующим образом.

На первом шаге вычисляем номера узлов:

р = г + . • Мх, а = Р+1, йг = Р -1, йз = Р+N, 24 = р - Мх, йз = Р + Мх + 1, 814 = Р - М + 1, 22з = Р + Мх - 1, 224 = Р - М - 1.

На втором шаге находим касательное тангенциальное напряжение Тъ (Р) = {тъ,х (Р),тъ, у (Р)} для центральных узлов:

Т,х (Р) = 0,6сих (Р)|и (Р)|, т„у (Р) = 0,6сиу (Р)|и (Р)|,

для смещенных узлов:

ТЪ,х (?1 ) = (тъ,х (81 ) + тъ,х (Р))/2, тъ,х (д2 ) = (тъ,х (й2 ) + тъ,х (Р))/2 ,

тъ, у (дз ) = (тъ, у (<2з ) + ТЪ, у (Р ))/2, тъ, у ^4 ) = (тъ, у (й4 ) + ТЪ, у (Р ))/2.

Для расчета вектора скорости можно использовать модель гидродинамики, рассмотренную в работах [з,5].

На третьем шаге вычисляются градиенты глубины для смещенных узлов:

!ШН (д )= Н (й )-Н (Р) Г + Н 8 ) + Н 2 )-Н (Й4 )-Н (Й14 ) ?,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

* КЧ'' Ьх 4Ьу 1

!ГайН д )=т-Щ/. Г + Н а)+Н 2)-Н (а)-Н а).,

5 УН! Ьх 4Ьу 1

( )=Н (а)+Н (21з)-Н 2)+Н а) т + Н (С2з )- Н (р )7,

5 4Ьх Ьу 1

(«)=Н (Й1)+Н (8.4)-Н (а)+Н (а24) + н (Р)-Н (а,)

5 ^ 4Ьх Ь 1

На четвертом шаге вычисляются модули касательных тангенциальных на-

пряжении

: т(Ч ) =

Ть (д.)——8гаСН (Чі) %

і = 1,4.

На пятом шаге вычисляются коэффициенты к для смещенных узлов:

к( д1 )=( Г* / ь т( д1) тъ°),

( (р1 р) 8 й)

к( д2)=( Арс1т_ ^ Ьт( д2) тъс),

((р1 р0) 8й)

к( дз)=( Ьт(дз) тъс),

((р1 р0)8й)

к( д4)=( Ьт( д4) тъс).

((р1 р0)8й)

На шестом шаге рассчитываем вспомогательные коэффициенты:

В = т к (д1) В = т к (д2)

В1 2 , В2 2 ,

81П^0 К К

В = т к (д1) В = т к (д1)

Вз 2 , В4 2 ,

Ьу ЬУ

В, =(1 -а)В1, Вп =(1 -о)Вг, В, =(1 -а)Въ, В, =(1 -а)ВА,

В5 = “Г----(В6 + В7 + В8 + В9 ) .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

К

На седьмом шаге вычисляются коэффициенты сеточного уравнения:

В(Р,81) = о Вх, В(Р,82) = оВг, В(Р,8з) = оВъ, В(р,84) = оВл,

А (р) = ^ В (р, а) + В (р, ^ + В (р, аз) + В (р, а4).

На восьмом шаге рассчитывается правая часть сеточного уравнения:

^ (р) = В5 н (р) + В6 н (81) + В7 н (82) + В8 н (8з) + В9 н (24) -

- к(д)тъ,х (д)-к(дг)тх (д) - к(дз)тъ,у (дз)-к(д4)т,у (д4)

Ьх Ьу •

Таким образом строятся сеточные уравнения для задачи транспорта наносов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев ИЮ. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов. - М.: Геос., 2001. - 272 с.

2. СамарскийА.А. Теория разностных схем. - М. : Наука, 198з.

3. Чистяков А.Е. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море с учетом транспорта солей и тепла // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 75-82.

4. Сух иное А.И. Двумерные схемы расщеплен ия и некоторые их приложения. - М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.

5. Проценко Е.А. Модель и алгоритмы решения задачи о транспорте наносов // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 71-75.

6. Сух иное А.И.,Чистяков А.Е.,Алексеенко ЕМ. Численная реализация трехмерной модели

// -

тическое моделирование. - 2011. - Т. 2з, № з. - С. з-21.

Статью рекомендовал к опубликованию к.ф.-м.н., доцент Н.Е. Ляхова.

Сухинов Александр Иванович

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: sukhinov@gmail.ru.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634310599; 89281021106.

; . .- . .; .

Чистяков Александр Евгеньевич

E-mail: cheese_05@mail.ru.

Тел.: 88634371606.

Кафедра высшей математики; ассистент.

Проценко Елена Анатольевна E-mail: rab55555@ rambler.ru.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

.

Sukhinov Alexander Ivanovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: sukhinov@gmail.ru

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634310599.

The head of TIT SFedU; Dr. of Phis.-Math. Sc.; Professor.

Chistyakov Alexander Evgenjevich

E-mail: cheese_05@mail.ru.

Phone: +78634371606.

The Department of Higher Mathematics; Assistant.

Protsenko Elena Anatol'evna

E-mail: rab55555@ rambler.ru.

Senior Lecturer.

УДК 519.6

..

ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИКИ И ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА

ТЕПЛА И СОЛЕЙ В АКВАТОРИИ АЗОВСКОГО МОРЯ С УЧЕТОМ СГОННО-НАГОННЫХ ЯВЛЕНИЙ

Работа посвящена построению математической модели гидродинамики и процессов массопереноса в мелководных водоемах, а также разработке методов учета свободной поверхности водоема для моделирования сгонно-нагонных явлений. Предложен способ аппроксимации уравнений непрерывной модели, позволяющий учитывать заполненность ячеек сетки. Рассматриваются различные методы расчета заполненности: на основе функции свободной поверхности и по полю давления. Проведены численные эксперименты на модельной области и анализ результатов. Результаты расчета согласуются с реальным фи.

Гидродинамика; свободная поверхность; го/-метод; тепломассоперенос.