CC BY
49
Статью рекомендовал к опубликованию д.ф.-м.н., профессор АЛ. Жорник. Куповых Геннадий Владимирович
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88634371649.
; ; . .- . .; .
Клово Александр Георгиевич
E-mail: [email protected].
Ten.: 88634371606.
; . .- . .; .
Новикова Олеся Вадимовна
E-mail: [email protected].
Тел.: +79188588349.
; .
Kupovykh Gennady Vladimirovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634371649.
The Department of Physics; Head of Department; Dr. of Phis.-Math. Sc.; Professor.
Klovo Alexander Georgievich
E-mail: [email protected].
Phone: +78634371606.
The Department of Higher mathematics; Associate Professor, Cand. of Phis.-Math. Sc.; Associate Professor.
Novikova Olesya Vadimovna
E-mail: [email protected].
Phone: +79188588349.
The Department of Physics; Post-graduate Student.
УДК 519.6
А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко
ДВУМЕРНАЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, УЧИТЫВАЮЩАЯ ДИНАМИЧЕСКОЕ ПЕРЕСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ДНА МЕЛКОВОДНОГО ВОДОЕМА
Рассмотрена гидродинамическая пространственно-димерная модель транспорта наносов в прибрежной зоне водоемов. Описание гидродинамических процессов выполнено на основе системы уравнений Навье-Стокса. Аппроксимация задачи гидродинамики по временной переменной произведена на основе схем расщепления по физическим прогрессом, а также схем с весами. Для данной математической модели построена дискретная модель, рассмотрена ее программная реализация, приведены результаты численных экспериментов. В статье показана динамика изменения функции возвышения уровня и рельефа дна.
Перемещения наносов; гидродинамики; дискретная модель; численный эксперимент.
A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, E.A. Protsenko
THE TWO-DIMENSIONAL HYDRODYNAMICS MODEL FOR GEOMETRY DYNAMIC EVOLUTION OF THE BOTTOM IN SHALLOW BASINS
The hydrodynamic spatially-two-dimensional model of transport of deposits in a coastal zone of reservoirs is considered in article. Description of hydrodynamic processes executed on the basis of the Navier-Stokes equations. Approximation of the problem of hydrodynamics in the time variable is made on the basis of splitting schemes on physical processes, as well as schemes with weights. For the given mathematical model the discrete model is constructed, its program realization is considered, results of numerical experiments are presented. Dynamics of function of elevation and topography of the bottom level changing is presented in the article.
Movings of deposits; hydrodynamics; discrete model; numerical experiment.
.
движения водной среды нам понадобится трехмерная гидростатическая модель [1]. Исходными уравнениями гидродинамики (теории мелкой воды) являются:
♦ система уравнений Навье-Стокса:
1 ' ' '
ut+ uu'x + vuy + wu'z =-P,+{№x )x +(Mu'y ) y + (vu'z )z
P
1 t t t vt + uvx + К + wvZ =----Py + (v\ )x + (v'y ) y + (vv'z )z . (1)
Py
♦ уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости:
♦ уравнение гидростатики:
u'x + v'y + w'z = 0, (2)
Р = р% (г + £). (3)
Система уравнений (1) - (2) рассматривается при граничных условиях:
♦ на дне условие непроницаемости и трения:
рлип =тхьа), р^’п = туЪа), Уп = 0,
♦ на поверхности задается подъе м уровня и ветровые напряжения:
РЛи'п = ~гх,р аX РЛУ'п =-*у,р ^X ^ = -%,
♦ на боковых границах условие свободного выхода:
и'п = 0 \ = 0, £ = 0,
где £ - функция подъема уровня.
Построение двумерной модели гидродинамики. Проинтегрируем уравне-
(2) , :
H H H H 0 f H^
J ( + v'y + w'z )z = J uxdz + J vydz + J w'zdz = — J udz
V-i J
+
dx
j vdz + w (H)-w (-i) = £+((H + iu) x + ((H + iv) y.
+^ (
+ ду I -V ,
В итоге уравнение неразрывности в гидростатическом случае запишем в виде
(4)
- (1)
(3) (2) :
/ / /
и/+(ии)х + (уи)у + (жи) =-г + (мК)х +(иУ)у +(т[) ,
/ / /
у/ + (иу ^ + (уу/у +(!^^ =-^у +(цу'х )х +{цу'у )у + (лу[ )г .
Проинтегрируем по глубине первое уравнение системы, в результате получим
Н НИН
|щйг + |(ии) хйг + |(уи )ydz + |(жи) =
-г -г -г -г
Н Н / Н / Н /
= - |г'х^ + |(и'х )х ^ |(и'у) ^ |(лК ) ^.
(5)
Найдем каждый интеграл уравнения (5).
, (5), :
I и/(к = д; [ Iи^ 1 = д- ((Н + г)),
-г ™ у -г ) и1
д н ' д /
|(ии) ^ |uudz =—((Н + г)ии) = (Н + %)иих + и ((Я + <%)и)
дх
дх
, д ( н 1д /
|(уи)ydz=— |vudz =—((н+г)уи)=(н+г)уиу+и(н+г)у) ,
-г у ду ^-г ) ду у
Н
|(ыи) z dz=ж(н)и - ж(-г)и=иг/.
~г
(5) (3),
имеем
Н Н Н Н
|и^+ |(ии) ^+ |(уи) ydz+ |(жи) zdz =
-г -г -г -г
= ((Н +г)Ы) г +(Н + г)ии'х +{Н + г)Ш'у .
(5
Н
} г'А = (Н + £)£,
, (5),
Н
-г
и / д и ' ^
|(мК)х&=д- |мК^ =((Н + г)мК)х,
-г дх ^-г )
} Яи'у ) ^ =— } Ми'у& =((Н + г)ми'у ) ,
-г у ду I -г ) у
и- /
|(т7<)г йг = щ[{н
Тх, р ,Ь
-# Р РV
Таким образом, система уравнений (4) может быть записана в следующем
виде:
((н + £)и) г +(н + £)ииХ +(н + %)ш'у =
= ~8 (н + £)£ + ((н + £) МиХ) х + ((н + ^)/^иУ) у + р-р,
((н+£) v)г+(н + £)и^Х+(н+£) vvУ = (6)
= -5 (н + ^)^^+((н + «?)К)'х + ((н + £)^)'у + р-Р.
Схемы расщепления по физическим процессам. Далее будем использовать двумерную модель движения водной среды, представленную уравнениями (6), (4).
(6) :
П+1 П
(н + £)---------- + (н +^)ии'х +(н + £)Ш'у =
Пг
= — (н + £)& + ({н + £) мК)х + ((н + £ ) ^и'у) у +р-р
(н + £)----------+(н + £)ЫУх +(н +£))'у = (7)
Т Т и
" р у ,ь
-~8 (Н + гг'у +((Н + г)му'х )х +((Н + г)МУ'у )у +—р р
Воспользуемся схемами расщепления по физическим процессам [3-5] для системы (7). При этом решение исходной задачи находится в начале на некотором промежуточном временном слое: ип+а - ип
(Н + г----------------------------7-+(Н + г)ии'х +(Н + г)уи'у =
= ((Н +г)ми'х )х +((Н + г)ми'у )у +р-р
п+а - уп
(Н + г)--------------------------- -+(Н + г)иу'х +(Н + г)уу'у = (8)
71
-■ р у Ь
= ((н + £)МУх )х +((н + £)/Л/у )у +“Р р
а затем на следующем:
,,«+1 _ ип+0 (И + 4)= _8 ( + 4)4,
уп+1 _ уп+0
(И + 4)---------= -8 (И + 4)4'. (9)
Для решения задачи (9) необходимо вычислить функцию возвышения уровня, для этого продифференцируем первое уравнение данной системы по переменной X, второе по у и сложим их, в результате чего получим:
((И + 4Х+1)' -((И+4)“п+"')\ (И + 4,'п+‘)\._(И+ЇУН’Їу
+ -
К К
= -г (н+Ж )- (н +!К )
С учетом выполнение уравнения неразрывности поля скорости (3) данное уравнение может быть записано в виде
£-К (н+№)', - К (н+{){;)' у =
= -« (н + еу +_), -г (н +£) '•”+_) ■ (Ю)
Уравнения системы (8)-(10) решаются в следующем порядке: вначале находим поле скорости на промежуточном временном шаге (8), за тем находим функцию возвышения уровня (10) и потом уточняется поле скорости (9).
Дискретная математическая модель гидродинамики. Для построения ко-нечно-р^ностных схем использован метод баланса[2]. Аппроксимация первого (8) :
п+_ п п+_2 п+_/2
( Н[,1 + £1, ) } К 1'] + ( Н1+1/2,1 + £+1/2,1 ) <1/2,1 +
и п +_/2 - и п +_/2
+ ( ( -1/2,1 + е-121 ) и„ ,• —-------+
«•_1/2,і 2к
11п+о/
'(Иг,(+1/2 + 4і,і+1/2 ) иі,і
п+0/2 _ п+о/2
+к +4‘: і и",,, иЫ+—ы—+
•, і+1/2
2к,
п+0/2 п+о/2
+ ( И +4 ) ип і,і______і,і-1
^У^і,і-1/2 ^ Ьі,і-1/2 ^ ,і-1/2 2Ь
п+о/2 п+о/2
иі+1,і - иі,і
' ( Иі-1/2,і + 4-1/2,і ) Мі-1/2,і ^2
К
п+о/2 п+о/2
Ч і - иі-1, і_ +
+
(——-,і+1/2 + 4і,і+1/2 ) М,)■
п+о/2 п+о/2
иі,і+1 - иЛі
і+1/2
К
п+о/2 п+о/2 _ _
и ■ - и . ! т т ,
і, і і, і 1 і х, р х ,Ь
і, і -1/2
К
+
у
Р РV
Аппроксимация уравнения (10) запишется в виде
п+1 £п / £п+1 £п+1
■ і' ^. І
рп + 1 _ рп
44—4 - К
К
&п+1 &п+1 &п+1 &п+1 1
(Я +4 \ 4і+1■і 4і,і -( я + 4 \ 4і'і 4і-1,і
\П і+1/2, і ^ Ьі+1/2, і ; К2 V і-1/2, і і-1/2, і) и 2
V
Єя+1 - Єп+1 Єя+1 - 4п+1
(Я +4 \ Ь^■,і+1 Ь,,і -( — + рп \ Ь,і Ь,і'-1
\Лі, і +1/2 ^ Ьі, і +1/2 ^ ,2 \ ■ ,і -1/2 ^ Ьі, і -1/2 ^ 7^2
К2 \ іі1/2 -, І-12! к
(И(+,/2,і +г:+,/2,і )и), - (Иі-,/2,і +&/2>.
п+о і -1/2, і
К
(и,,і+./2+е і+1/2 к+о-(и,,і _ш+4':і- ^) <
К
п + о і, і -1/2
(9) :
£п+1 £п+1
е+1, 1 е, 1
, хип+о -ип+о , ч
(,і + 4 ) і^ К і,і = -8 (Иі+1/2,і + «”+1/2,і- ) 2К
Ьn+1 Ь”+1
-о(и + 4п \2и^_2}-і
і-1/2, і^Ь і-1/2, і^ 2К '
Таким образом строится дискретная модель гидродинамики. Математическая модель транспорта наносов. Уравнения процесса пере мещения наносов [6] записываются в следующем виде:
-— ( ^
(1-є)--— + йіі(кть ) = йіі к-Тс
81П^0
-огаії—
(11)
к ■■
Ашй
\Р
Р-1 Ґ \
т —Тт^ ога^— К тъ —ога&— - ТЪс
81И^0 V 81И^0 У
( -Ро))
где Н - глубина дна, отсчитываемая от невозмущенной поверхности водоема; 6 -пористость грунта; х, у - горизонтальные декартовы координаты; Ть - касательное напряжение на дне; ТЬс - критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, А и ( - безразмерные постоянные (напомним, что в настоя щей работе А = 19.5, ( =3), Ш - частота волны, й - харак-.
Уравнение (11) дополняется начальным условием:
н(X, у,0) = но(х, у). (12)
Граничные условия определяются из физических соображений. В верхней , , -
:
н (X, у, г) = Нн. (13)
На границе «глубокой воды» отсутствует поток, вызванный влиянием грави-:
н0 (х, у, г) = 0. (14)
,
формирования наносов в прибрежной зоне водоема (11)-(14).
. . 1-3
численных экспериментов моделирования динамики изменения рельефа дна (пока).
Рис. 1. Начальный рельеф дна
Под действием силы тяжести геометрия дна начинает принимать коническую структуру. Скорость течения жидкости максимальна в пиковой части области (на ).
значения в левой части расчетной области (с наветренной стороны) и отрицательные в правой. В левой части области образуются наносы, вследствие чего пиковые значения глубины смещаются влево.
Рис. 2. Рельеф дна через 30 мин после начала моделирования
30
своей части приобретает более явно выраженную колебательную структуру, пиковые значения глубины продолжают смещаться в сторону, обратную направлению ветра.
Рис. 3. Рельеф дна через 70 мин после начала моделирования
Из рис. 3 видно, что через 70 минут после начала моделирования рельеф дна, а также функция возвышения уровня приобретает ярковыраженную колебательную структуру с наветренной стороны, а также происходит расширение области в стороны, перпендикулярные движению ветра. Из рисунка также видно вымывание грунта в левой части области. Расстояние между грядами составляет 2-8 расчет.
БИБЛИОГРЛФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980.
2. Самарский, А.А. Численные методы математической физики. - 2-е изд. - М.: Научный мир, 2003. - 316 с.
3. . ., . ., . ., . .
классических и неклассичнских моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 6-18.
4. Чистяков А.Е. Об аппроксимации граничных условий трехмерной модели движения
// . . - 2010. - 6 (107). - . 66-77.
5. Сух иное А.И., Чистяков А.Е., Алексеенко ЕМ. Численная реализация трехмерной модели
// -
тическое моделирование. - 2011. - Т. 23, № 3. - С. 3-21.
6. . . .
ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 71-75.
Статью рекомендовал к опубликованию к.т.н., доцент Н.Е. Ляхова.
Сухннов Александр Иванович
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
.: 88634310599.
Руководитель ТТИ ЮФУ; д.ф-м.н.; профессор.
Чистяков Александр Евгеньевич
E-mail: [email protected].
Тел.: 88634371606.
Кафедра высшей математики; ассистент.
Проценко Елена Анатольевна E-mail: rab55555@ rambler.ru.
Тел.: 88634371606.
.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634310599.
The Head of TIT SFedU; Dr. of Phis.-Math. Sc.; Professor.
Chistyakov Alexander Evgenjevich
E-mail: [email protected].
Phone: +78634371606.
The Department of Higher Mathematics; Assistant.
Protsenko Elena Anatol’evna
E-mail: rab55555@ rambler.ru.
Phone: +78634371606.
Senior Lecturer.
