Дискретная конечно-разностная модель распространения волновых пучков, описываемая квазилинейным уравнением параболического типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

рис.3 представлена трехмерная модель распространения поверхностной волны по заливу, где наблюдается расползание цуга волны в результате дисперсии.

Следовательно, можно подчеркнуть, что рассмотренный нами метод позволяет проследить динамику нелинейных поверхностных гравитационных волн с дисперсией в условиях мелководья.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Peregrine D.H. Long waves on a beach // J. Fluid Mech. - 1967. V.27. - № 4. - P. 815-827.

2. Диденкулова И.И., Заибо Н., Куркин А.А., Пелиновский ЕМ. Крутизна и спектр нелиней-

// . . .

- 2006. Т.42. - № 6. - С. 839-842.

3. . ., . . // .

- 2006. Т.32. - Вып. 2. - С. 33-38.

4. . ., . .

// . - 2002. .42. - 3. - . 356-363.

5. . . -

// . . - 2003. .39. - 4. - . 568-573.

6. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 622 с.

7. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. - М.: Наука, 1979. - 383 с.

Аббасов Ифтихар Балакишиевич

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected]

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 8(8634)371-794.

Кафедра инженерной графики и компьютерного дизайна; доцент Bogdanov Sergey Aleksandrovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected]

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 8(8634)371-663.

The Department of Engineering Drawing and Computer Design; associate professor.

УДК 518.5.001.57

Т.А. Чистякова

ДИСКРЕТНАЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПУЧКОВ, ОПИСЫВАЕМАЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЕМ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Работа посвящена разработке дискретной математической модели распространения волновых пучков. Для разработки численной модели рассматриваемых волновых явлений отдано предпочтение методу расщепления по физическим процессам.

Волновые пучки; интегроинтерполяционный метод; преобразование Фурье; аппрок-.

T.A. Chistyakova

DISCRETE FINITE-DIFFERENCE MODEL OF PROPAGATION OF WAVE BEAMS DESCRIBED BY QUASILINEAR EQUATION OF PARABOLIC TYPE

This work is dedicated to building of mathematical model of propagation of wave beams. We gave preference to method of decomposition on physical processes for building of numerical model of considered wave effects.

Wave beams, integro-interpolation method, Fourier transformation, approximation.

Процесс распространения звуковых волн в неоднородных средах при наличии других процессов и гидрофизических полей сопровождается такими явлениями, как рассеяние волн на случайных и регулярных неоднородностях среды и других , , -кажение формы звуковой волны при достаточно большой интенсивности звука, поглощение и рассеяние звука турбулентностью и другие. Эти явления возникают в результате нелинейности основных законов сохранения в гидродинамике или, ,

движений сплошной среды или нормальных гидродинамических мод, отчетливо различающихся по своему характеру и своей природе. Этими типами движений (или колебаний) являются: вихревая компонента, энтропийная компонента и по-( ), части поля скорости и пульсациями давления.

Большинство приложений упругих волн связано с созданием волнового поля в виде пучков. Практически во всех приборах и устройствах с применением упругих волн (дефектоскопия, медицинская диагностика, звуколокация) поле создается в виде ограниченных в пространстве волновых пучков.

Для разработки численной модели рассматриваемых волновых явлений отдается предпочтение методу расщепления по физическим процессам, так как двух- , -ных их дискретными аналогами, не является устойчивой, а метод гармоник требует больших вычислительных затрат.

Запишем исходное уравнение Хохлова - Заболоцкой - Кузнецова:

_д_

дв

dv v dv г д 2v \bz дв дв2 j

= N A±v, (1)

4 1

где v = v(2, в, г )- величина скорости частиц среды, Г - диссипативный параметр, в - фаза волны, т - расстояние, N - параметр уравнения, характеризующий соотношение нелинейности и дисперсии, А± — поперечный лапласиан

( ^2 -у 2 \

У

А __э^

1 = Эх2 + Эу2 Задача (1) задана при следующем начальном условии:

у(0,в, г ) = V (в, г ) (2)

и граничных условиях:

♦ условие периодичности сигнала:

у( 2,0,г ) = у(2,2к,г ), (3)

vв (2,0, г ) = у'в (г,2п,г ),

♦ условие си мметричности:

у'(г,в,0)_ 0,

♦ условие отсутствия энергии в бесконечно удаленной точке:

V (г, в, ~) = 0.

(4)

(5)

(6)

Расчетная область по пространственным направлениям X, у, г представляет .

:

м>к ={г1= п\в = Гк = Щ; п = 1..К2,j = 0.М,к = 0..Р; = 1,Мт=2п,Ркг = Я},

где п, j, к - индексы по направлениям г, в, г соответственно;

, Т, кг - шаги по направлениям г, в, г соответственно;

, М , Р - количество узлов сетки по направлениям г, в, г соответственно;

I, Я - высота и радиус цилиндра соответственно.

В уравнении (1) аппроксимируем частную производную по пространственной т, :

д

дв

Г уп+1 _уп _^п дуп+* _ д 2уп+* }

V

к

дв дв

2

N

А1у

п+Я

/

где vn+1 = vn+1 (в, г) - величина скорости частиц среды на текущем пространст-

п п / /Л \

венном слое по т, V = V (в, г) - на предыдущем пространственном слое,

*,п+М ,п+Л

V , V - значения поля V на некотором пространственном слое.

Для поля скорости частиц введем промежуточный пространственный слой

те (0; 1):

д

дв

( уп+1 _ уп+Т+ уп+Т_ уп

к

_ п дуп+* д2^)

у дв дв2

или

д ( п,п+Т ,,п

дв

V

к

V уп дуп+Д гд2уп+*

дв дв

2

+ -

дв

Ґп+1 л%п+Т \

к

= N А1уп+Я. 41

Введем обозначения:

ип = уп, ип+1 = ^п = уп+Т, ^п+1 = уп+1,уп+* = ип+*,уп+Я = wn+Я.

С учетом введенных обозначений последнее уравнение примет вид

у

_э_

дв

Гип+1

К

-ип п дип+1 д2ип+л

------ип----------Г

дв

дв2

+ -

п+1

дв

■Н

К

= ^ А1 н”+л. 4 1

Разобьем полученное выражение на две части:

д

дв

Гип+1

К

-ип п дип+л д2ип+1

-----и----------1

дв

дв

2

/

= оД

дв

( Нп+1 - Нп^

К

= ^ А1 Нп+Л, 41

при этом /I, Л заданы следующим образом:

и

п+1

цип+1 +(1 -!)і

,.п+Л

Лнп+1 +(1 -Л)нп, /лє [0; 1], Лє [0; 1]

С учетом отсутствия источников поля скорости частиц, задача (1) может быть записана в виде следующей системы уравнений:

п+1 п

и — и

К

дипд 2ип+л

— ип ™--------Г^^ = 0.

дв

дв2

д

дв

Гнп+1

-Н

К

= ^ А1 нп+Л. 4 1

Данную задачу будем решать в два этапа. На первом шаге производится учет нелинейных и диссипативных процессов. Данный процесс представлен уравнением :

ип+1 — ип

К

п дип+л Гд2ип+л п

— и-----------1------— = 0.

дв

дв2

(7)

Уравнение представлено при следующих граничных условиях (предполагает):

и (1,0, т) = и(і, 2п, т ),

и в ( 2,0, т ) = и в (1,2к,т ).

(8)

(9)

На втором шаге считаем величину скорости волны с учетом дисперсии, т.е. диффузии энергии в направлении, перпендикулярном направлению распростране-

:

д

дв

V

К

= ^ А1 Нп+Л, 41

(10)

где И2 - шаг по пространству вдоль оси 7, w - величина скорости частиц среды в

поле волны на промежуточном временном слое, Н - величина скорости волны на следующем временном слое.

Уравнение (10) задано при следующих граничных условиях:

w'r(z, в,0) = О, w (z, в, ~) = О

(11)

(12)

Условие (11) отражает симметрию поля относительно оси z, а условие (12) -отсутствие источников поля в бесконечно удаленных от оси z точках пространства.

В уравнениях (7) с учетом граничных условий (8-9) заменяем непрерывные операторы на их конечноразностные аналоги, полученные при помощи интегро-

.

Данная непрерывная задача не зависит от пространственной координаты r и для получения дискретной задачи все рассуждения будут проходить при r = const, для сокращения формы записи опустим индекс по данной переменной ( ).

Запишем конечно-р^ностный аналог оператора uue, описывающего нелинейность процесса, для этого найдем среднее значение функции uue на отрезке

в_1 < в < в]+{; J = 1,M _ 1:

1 J 1 [ J в 1

uu'g~ — | uu'gdв = — | uu'gdв + | uu'edв ~ — uJ+1/2 | uedв + uJ_1/2 | uedв

\ f 1

Ji

2t

Oj^

UJ +1 _ UJ

2t

У V

в,-1

где u j+1/2

UJ+1 + UJ

J +1/2

_1/2

2t

U j + U j _i

+ u

UJ _ UJ _1

J 1 / 2

2t

Таким образом, получим конечно-р^ностный аналог оператора un (ug)

/ \n+^

n і r \n+M

u (ue) =u

,.n+^_ n+p.

uJ+1,k uJ,k

J +1/2,k

2t

+ u

n+p _ n+p

uJ,k uJ_1,k

J _1/2,k

2t

Запишем конечно-р^ностный аналог оператора ивв, описывающего диссипативные процессы, для этого найдем среднее значение функции на отрезке

в j_i/2 < в < вJ+1/2; J = 1,M _ 1:

ua

1 j+1/2 i i

Т J umde =Т и в\ в = — ((ue)j+i/2 _(ue)j_i/2 )

Обозначим оператор первой производной по временной переменной в :

Z =— u . д в

Проинтегрируем обе части данного выражения на отрезке в j < в < ej+1;

j = 0, M -1:

j_1/2

:и+1- и.

Аппроксимация для оператора первой производной в узле ] +1/2 имеет вид

(ив)}-+1/2 +1/2 _ 1^6 ■■

и, +1 _ и,

Таким образом, получим конечно-р^ностный аналог оператора второй производной:

// \п+М

(и "„)

1

п+м п+м „п+м _ „п+м \ ип+ц _ 2ип+ц — ип+ц

и] +ЇЛ _ и] ,к и] к _ и] _и

]+1,к ], к ]— 1, к

п+м

где и] к

1 ]+1/2

- | ип+м(6,Гк )<16 .

Т п

С учетом данных аппроксимаций, граничных условий (8-9) и начального условия (2) задача (7-9) запишется в следующем виде:

,,п+1 _ ип г

0,к 0,к

п+М ,п+М 1,п+М ,п+м

1,к 0,к . , п 0,к иЫ_1,к

+ им _ 1/2,к

2т

2т

_Г-

п +м _ '•). п+м I ,,п+м

- 0,к “м_1,к

= 0,

] = 0;

и-? _<. '

V

ип _ ип+м + п и: Г _ и,_1,к

у+1/2,к 2т ^_1/2,к 2т

1 < ] < М _ 2 ;(13)

п+м ^#п+^ цп+М Л.,п+^. .п+м

Г и]+1,к 2и],к + и] _1, к _ 0,

ип+1 _ ип

^М_1,к иМ_ 1,к

0,к м'М_1,к

2т

+и

и1М-\,к мМ_2,к

2т

.п+М .п+М і ,«+М

_Г и0,к 2иМ_1,^ иМ_2,к _ 0

] _ М _ 1;

и0,к _ ].

Данная задача решается относительно каждого пространственного слоя по

координате г при к _ 0..Р . Приведем конечно-р^ностную задачу (13) к сеточно-.

Ы (р)_ А (р)и (р)_ £ В ч)и (ч)_ ^ (р), (14)

ЄєЯГ( Р)

где Ь - некоторый сеточный оператор, р = (,6,,гк) - центр шаблона, 4 =( 6].+1, Г ), ^2 = (( 6]_ ^ Гк ) 4з = (( 6] , Гк ), Ча = (( 6]■+1, Гк ),

^5 = (( 6 ] _^ Гк )

М/2

к

г

к

г

к

г

Ш'(р) ={^ q2, qз, q4, ^5} - окрестность центра шаблона, q е Ш'(р).

Рис.1. Шаблон конечно-ршностной схемы для задачи (14)

(13):

ип+1 _ ип и],к и],к

ип+М _,,п+м и]+1,к и],к

2т

+ и

ип+м _ ..п+м ^ и],к и]_1,к

2т

ип+м _ 2ип+м + ип+м и]+1,к 2и] ,к + и] _1, к

_Г-

_ 0(15)

Упростим данное выражение, в результате чего получим:

+1/2, к

] +1 ,к Т

+1/2, к

“],к

Т

Лі к 2т

2т

2ип+м ип_

\__г ]+1,к + г — _ Г 1-1’^ _ 0

С учетом формулы ип+м = /иип+х + (1 — /и)ип получим:

и

ип+1 ип

^_1 _мип+1/2к------------------------

К К 1 +1/2 2т

^ _(1 _ м)«;+1/2,^^:гі+м«;+1/2,к^+(1 _ м)и

2т

2т

и,

2т

1 _иип і

і+1/2,к 0т миі_1/2,к 2т

и

1,к 2т

Л1 _1,к

+ (1 _ м)

ииГ _мм Т _ (1 _ м)Г Т+ 2т т т

+мГ

2и

2ип+1 2и1 ,к

2 1 Vа _2 ^ „2 V- П" '2

т т т т

+(1 _ м) Г—2^ _мг1± _(1 _ м) Г-

-_ 0.

Сгруппируем слагаемые относительно узлов шаблона:

/

/

1

т+м

V

(

1

и]+1/2,к _ .Ь1/2,к + 2Г 2т 2т т2

( п \

и]+1/2,к + Г V 2т т%

/и л

и і _ 1/2,к + Г

V 2т т%

ип+1 _

иі _ 1,к

+ (1 _м)

/ Я Я Л '\

и1+1/2,к + и1 _1/2,к _ 2Г

2т 2т т2

V /у

<,к _(1 _м)

и

\

і+1/2,к 2т

+ -

ип+1,к _ (16)

_(1 _ м)

Ґ п ^ л

и]_ 1/2,к , Г

--------+ _7

2т т /

и _ 0.

Таким образом, получим коэффициенты сеточного уравнения (16), записанного в канонической форме (14) в случае п > 0 :

В (p, Ч1) _м

ип Г

1 +1/2,к , Г

--------+ Т

2т т,

к

г

В(p, q2) = М

1

г п

иу—1/2,к + Г

------+_т

2т т /

В (p, qз) =!“+(—м)

иУ +1/2,к + из—1/2,к

2Г

2т

2т

(17)

В (p, q4) = (1—м) В (p, q5) = (1—м)

^ и ^ Л

и ] +1/2,к + Г

-------+ “"7

V 2т т )

<—,/,,. + Г Л

-------+—2

2т т /

а( p)=Е в( p, q,,).

п=1

р(P) = 0 .

= 0 (16)

имеет вид

В( p, ql)=м

В( p, q2)=м

^ П ^ л

и У+1/2,к + Г ----------+_т

V 2т т У

' ип—1/2,к + Г Л

-------+т

V 2т т У

А( P) = -1+ М п_

1Г 1/

У +1/2,к му—1/2,к

2т 2т

+ -

2Г

(18)

р (p) =

-(1—м)

*] +1/2,к и]—1/2,к

2Г

2т 2т

г

+ (1 — м)

V ,к+(1—м)

уу

*] +1/2,к 2т

V,

У +1,к

и У—1/2,к Г

--------+ “7

2т т /

У—1,к •

Для каждого к = 1..Р данное сеточное уравнение нетрудно свести к множеству сеточных уравнений количеством Ы,. Решением каждого из них является

значение поля скорости движения частиц на пространственном слое по координате х. При этом в окрестности центра шаблона будут лежать две точки. Запишем коэффициенты сеточного уравнения и правую часть в случае трехточечного шаблона.

В( P, 4) =м

В( p, q2) = м

г п ^ л

и У+1/2,к , Г

-------+ ^

V 2т т У

' и]—1/2,к + Г Л

--------+ _т

V 2т т У

А( р) _ -1+м

К

и 1 +1/2,к иі_ 1/2,к

2т

+ -

2Г

к+(1

'‘і +1/2,к мj—1/2,к

2Г

л Л

2т 2т

ґ

+ (1 _м)

/у

, -1—» 1_ 1/2,к , Г ----------+ Т

2т Т

2т

+ (1 _м

,;_1,к.

(19)

*1+1/2,к 2-т

11 +1,к

Сеточное уравнение (16), аппроксимирующее исходную задачу (7-9), имеет матрицу коэффициентов специального вида размерности М XМ :

-а,

V Ьм_ 1

-а

М _2

М _2

аМ_ 1 СМ_ 1 У

(16) . (10) . частиц среды можно разложить в ряд Фурье следующим образом:

М_

2

' (6, г) _ ^ Сп (г) ехрО®]6) ,

(20)

М ]__-

где £У -частота первой гармоники, у - номер гармоники, М - количество дискретных значений величины скорости частиц среды на период.

(20) (10), :

М

2

д 2 ^^ (г) N. п+^

— £ -1------------ —1-ехр(/Ш10) _—А± £ С] (г)ехр(/Ю]0),

д6 м К 4

где I - мнимая единица.

Внесем операторы частных производных под знак суммы, в результате получим

М

Т” *\ ( ^п+1

£ —

м д6

І=-^Г 4

1 (г) _ сп (г) К

\

ехр(Ш/6)

М

Т

М

1 __Т

Возьмем частную производную по в:

м — /

I

Ш]-

.с]+1(г) _ ^ (г) К

ехр(Ш1'6)

_ I — АС+л(г)ехр(/ш/6).

У j=——

Так как функции ехр(шу'в) для различных у линейно независимы, то полу чим уравнение:

^я+1

1т]

К 4

Уравнение (21) задано при следующих граничных условиях:

0,

(21)

(22)

сп (г )

0.

(23)

Данное уравнение описывает диффузию энергии для различных частот. Для него строится конечно-р^ностная схема и вычисляется спектр величины скорости частиц на следующем временном слое, для этого поперечный лапласиан А± зап и-

шем в полярной системе координат:

Э2 Э2

А± _+ 1ТТ

Э Э2 1

-+

2

Эх2 ду2 гдг дг2 г Запишем уравнение (21) с учетом (24): .О) - о" (г)

д д

-----+ г----2

дг дг

у

дг

дг

Ш1-

4г

(24)

Умножив обе части уравнения на г , получим:

Ш1'г-

О ) _ сп (г ) _ N К 4

\дг\.

г дгсГ (г)

1)

(25)

При помощи интегроинтерполяционного метода аппроксимируем оператор второй разностной производной в уравнении (25). Для этого проинтегрируем обе

части уравнения по отрезку гк-112 < г < гк+1/2; к = 1, Р — 1:

. гк+у с"+1(г) _ сп (г^ NrkЧ2 д Г д п+,_

іЮ1 I г—-----------------ёг _— I — г—сп (г)

К 4 Л дг ^ дг

'к+1/ 2 гп+1

1

I

гк _1/2

сГ>) _ сп (г)

ёг.

гк _1/2

У

К

М I гк^ сп +1 (г) _ сп (г) сп+1 _ сп

1---ёг ~ гк | —-------:—1-----ёг _ г -1к-_—— К

К

) іНг Іс''‘(г > у =(г 1Тс'Лг')

к _1/2 гк+1/2

_ г

К

-сп+я(г )_ г — сп+я(г ).

V'к+1/2/ гк_1/2 ^ С'1 V к_1/2/

к+1/2 дг 1 V к+1/2 / 'к _1/2 дг~1

д ,

Обозначим —о", (г) = 2 . Проинтегрируем обе части данного выражения на дг 1

отрезке гк < г < гк+1; к _ 0, Р _ 1:

г _0

.

гк+1 д гк+1

| д. о"+я(г)ёг = 12ёг,

гк гк

гк+1

О" 'Чгк+1)—О" "(г, )=

гк

Аппроксимация выражения — 0Г‘+Я (гк+1/2) примет вид

дг 1

±О,+иг )=2(г )=1 '\2г=°ГЫ1<1Ы—* —О

дг О1 Ук+1/^ = 2 Ук+1/^ = К ] 2аг = К

п+Я г,п+^

1 ,к+1 О1,к

Таким образом, дискретный аналог уравнения (11) запишется в виде

И+1 П , т

■ ■ О1 ,к — О],к , —

™1гк 7 К = —

К 4

( ~п+Я п+Я п+Я п+Я \

01,к+1 — О], к 01,к — 0 у ,к—1

-у 0 ’ 0 ’ __ у 0 ’ ^ ’

к+1/2 7 'к—1/2

V

К

К

У

С учетом гк = ккг получим:

О"к — О". —

iwjk—---------— = —

К 4

/

/ 1 \ о"+Я —о"+Я

к +1

V 2 У

"1,к +1 1,к

"+Я ^,п+Я ^

0 ,к — 0 ,к—1

(26)

1 'к+1/2

^ 01,к = К ^ О(г)ёг .

г гк—1/2

Аппроксимация выражения —

дг

д ( д дг С0

г—о"+Я(г)

(22)

примет вид

^ "(г)! -1'] ^ ±0"Я) V=1'] ддТГг ^ *Я(г) V=±{ г ±с;Я

С-. *>„) — г„^- С-*Я(г0) 1 = -^ С-. *>„) = г

К 0 дг V дг 1 д

дг

дг

п+Я я

1 ( д „+Я Я д

01 чгоТ т/1/2 дг01

. . '(г) — С"(г)

Запишем дискретныи аналог выражения 1Ш.г-

п+Я _ п+Я °1,1 °1,0

К

на отрезке

0 < г < г1/2:

iWjг

:0^(г) — оп (г) 2 С» — о" (г)_,__ 2:„ 0+1 — 0"Л_. 2:„ 0% — ' г2

к К

1———1 х ' ёг — — Ш}-..-— [ гёг = — Ш} —-

' ' I К К 2

К

К К

о Сп+1 — Сп „ 2 С"+1 — Сп „

^ - у,, С1 ,к г1/2 ■ -1 ,к 0у,к г1/2

=— Ш] —------------- —= Ш1 —------------------ ——

К К 2 К 2

Таким образом, ^^^^^теимация ^^^шения (25) при к = 0 запишется в гаде

rnj

cn+1 - cn r

j,k j,k ri/2

n cn^x- cn:x

К 2 4

i/2

"J.i j,0 h,2

cn+1 — cn AT cn+X — cn+x

^ j ,k j ,k N Ci ,1 Ci

irnj-J J

'j ,0

h

К2

Таким образом, аппроксимация уравнения (21) с граничными условиями (22-23) запишется следующим образом:

cn+1 - cn

rnj

; ^j,k ^j,k _ N cj,1 cj,0 k _ 0

h

-c:,, N ( П cn+,i -cn+l Г 1 > cn+A -cn+A Л

cn+1 - cn - ^ с

rnjkj--------------T _-

h 4

k + —

V 2y

"j, k +1 j,k

k —

V 2y

M c"," - c". ,

1 j ,k j ,k -1

c n+1 cj ,k

c"'C _ 0. k _ P

Величина скорости волны считается по формуле:

w

n+1

j,k

M j_-M_

0 < k < P

где (о")* = Яе ) — i 1ш (+ ).

Таким образом осуществляется переход на следующий временной слой.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Виноградова М.Б.,Руденко О.В.,Сухоруков А.П.Таория волн. - М. Наука, 1979.

2. Сам арский А А. Теория разн остных схем. - М. Наука, 1989.

Чистякова Татьяна Алексеевна

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected].

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 8(8634)371-606.

Кафедра высшей математики; аспирантка.

Chistyakova Tatyana Alexeevna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 8(8634)371-606.

The Department of Higher Mathematics; post-graduate student.