Математическая модель распределенной системы с дискретным управлением Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

Пятигорский государственный технологический университет, г. Пятигорск

Рассмотрен процесс управления температурным полем объекта с распределенными параметрами. Предложена математическая модель объекта. Управление осуществляется посредством дискретных точечных воздействий, представленных в виде дельта-функции.

Наряду с непрерывными способами передачи и преобразования сигналов широко используются дискретные, в которых осуществляется квантование сигналов. Квантование или дискретизация состоит в представлении непрерывного сигнала его дискретными значениями. В зависимости от вида квантования системы автоматического управления с сосредоточенными параметрами подразделяются на дискретные по уровню (релейные), дискретные по времени (импульсные), дискретные по уровню и по времени (релейно-импульсные). Реализация входного воздействия в системах с распределенными параметрами осуществляется путем дискретизации его по пространственным координатам. Например, реализацию поля теплового потока осуществляют с помощью секционного нагревателя, при этом число секций может быть сколь угодно большим [1]. Таким образом, к указанным видам дискретизации следует добавить дискретизацию по пространственным координатам, как входного воздействия, так и датчиков для осуществления наблюдаемости.

В качестве пространственного объекта рассмотрим однородный цилиндрический стержень. Будем полагать, что управляющим воздействием является тепловой поток создаваемый источниками, реализованными в виде секций секционного нагревателя, распределенными по границе боковой поверхности цилиндра. Включение источников осуществляется с помощью релейных элементов. На концах цилиндрического стержня поддерживается нулевая температура. Поставим задачу стабилизации температуры на уровне некоторого значения Тзад. Рассмотрим цилиндрический стержень радиуса Я длины I, представленный на рис. 1. Математическая модель процесса распространения тепла имеет вид [2]:

© Чернышев А.Б.*, Ильюшин Ю.В.

♦

(1)

* Доцент кафедры Информатики и информационных технологий, кандидат технических наук

♦ Ассистент кафедры Информатики и информационных технологий

где Т(х, г, 1) - температурное поле цилиндрического стержня; а - заданный коэффициент; Я, I - заданные числа; х, г - пространственные координаты; t - время.

и(х,/)

41 &

I

Рис. 1. Цилиндрический стержень Граничные условия уравнения имеют вид: Т (0, г, 0 = Т (I, г, ?) = 0 Т (х, Я, 0 = и(х, 0 дТ (х,0,т)

дг

= 0

(2)

(3)

(4)

Функцией выхода является функция Т(х, Я , ) где Я - заданное число (0 < Я < Я). Условие (2) указывает на то, что концы стержня имеют температуру, равную нулю. Условие (4) является условием симметрии тепловых полей. Входное воздействие распределено по границе, что отражает условие (3). Предположим, что стержень достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Другими словами, будем считать цилиндр пространственно одномерным. При этом сохраним граничное условие (3), считая, что граница это не только концы стержня, но и его боковая поверхность. Внесем указанное граничное условие в правую часть основного уравнения. Необходимость в граничном условии (4) отпадает. Добавим нулевое начальное условие. При всех сделанных допущениях, математическая модель процесса распространения тепла примет вид:

дТ = а2 ^ + и(х, О; 0 < х < I; t > 0

дt дх2

Граничные и начальные условия:

Т (0, о = Т (I, ?) = 0 Т (х,0) = 0

(5)

(6) (7)

Управляющее воздействие и(х, г) создается источниками, которые включаются с помощью релейных элементов. Выходная переменная релейного элемента имеет прямоугольную форму. При стремлении количества источников к бесконечности, она будет принимать форму импульса, создаваемого точечным источником. Полагая, что действие каждого источника происходит в течение бесконечно малого промежутка времени, можно допустить, что управляющее воздействие создается мгновенными точечными источниками и представляется произведением дельта-функций:

и( х, г) = 8( х -т)

Математическая модель примет вид:

дТ д 2Т

— = а2— + 3(х-%)8(г-т); 0 < х < /; г > 0 (8)

дг дх

Т(0, г) = Т(1, г) = т (х, 0) = о (9)

Тогда общее решение краевой задачи в интегральной форме, примет вид [3]:

г /

Т (х, г) = Цв(х,£, г,т) 8(%-%0)8(т-т0)сС%с1т; х е (0,/); г > 0 (10)

0 0

Полученная модель описывает процесс распространения тепла в стержне, при допущениях, позволяющих считать систему линейной, а процесс регулирования непрерывным.

Рис. 2. Структурная схема замкнутой системы регулирования

Для стабилизации температуры необходимо рассмотреть замкнутую систему регулирования, представленную в виде следующей структурной схемы (рис. 2).

Т

Рис. 3. График функции начального нагрева

Регулятор такой системы может быть реализован, в общем случае, как нелинейный дискретный алгоритм. Этот алгоритм должен осуществлять воздействия по отклонению температуры от заданного значения в определенных точках в определенное время. Прежде чем начнут возникать отрицательные отклонения Т(х, $ - Тзад, необходимо нагреть стержень до температуры, превышающей значение Тзад по всей длине стержня. То есть, необходимо сформировать, так называемую, функцию начального нагрева [4]. Такая функция может быть сформирована в результате начального включения всех источников (рис. 3). В математической модели (8)-(9) необходимо изменить начальные условия. В результате математическая модель примет вид:

дТ 2 д Т ~. ^ ~ . — = а2—г + 6(х-4)3(Г-т); 0 < х <I; / > 0 о1 дх

Т (0, о = Т (I, () = 0 Т(х,0) = 6(х -4) 6(()

(11)

(12) (13)

Тогда общее решение в интегральной форме будет выражаться в виде:

Т (х, о = / в(х,4, 06(4-4)4 \\о(х,4лт) б{4-4й)б{т-тй)(Щт

(14)

х е (0,1); I > 0

Полученная математическая модель (11)-(13) и интегральное представление решения (14) могут носить базовый характер, при условии, что управляющие воздействия действуют в каждой точке, в каждый момент времени. Реальная рассматриваемая система регулирования дискретная. Источники и датчики размещены в конкретных фиксированных точках, их количество ограничено. Время включения управляющих воздействий определяется в соответствии с программным алгоритмом, при достижении выходной функцией в точке установки датчика заданного значения.

Список литературы:

1. Першин И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. - Пятигорск: Изд-во РИА-КМВ, 2007. - 244 с.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.

- М.: Наука, 1972. - 736 с.

3. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределёнными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003.

- 299 с.

4. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и распределенные системы. Модели теплопроводности. - СПб.: Изд-во СПб ГТУ 2003. - 196 с.

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ВХОДНОГО СИГНАЛА В ЗАДАЧЕ АКТИВНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ1

© Чубич В.М.*, Филиппова Е.В/

Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск

Рассматриваются вопросы планирования входных сигналов при построении моделей стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний. Рассмотрен случай вхождения неизвестных параметров в уравнения состояния и наблюдения, начальные условия и ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений в различных комбинациях.

Проблема идентификации относится к одной из основных проблем теории и практики автоматического управления и является обязательным элементом решения крупномасштабных прикладных задач. Качественное решение данной проблемы способствует эффективному практическому использованию современных математических методов и наукоемких технологий при проектировании различных систем управления подвижными (в том числе авиационно-космическими) и технологическими объектами; построении прогнозирующих моделей (например, в экономике и бизнес-процессах); конструировании следящих и измерительных систем. Разработка информационных технологий идентификации сложных динамиче-

1 Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

* Доцент кафедры Прикладной математики, кандидат технических наук, доцент

♦ Магистрант