Метод управления температурным полем на основе функции Грина Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5

МЕТОД УПРАВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИИ ГРИНА

Ю.В.ИЛЬЮШИН, канд. техн. наук, доцент, [email protected]

И.М.ПЕРШИН, д-р техн. наук, профессор, [email protected]

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», Санкт-Петербург, Россия

На современном этапе развития систем автоматического управления ставится вопрос поддержания заданного температурного режима объектов. Авторами была разработана методика синтеза нелинейных регуляторов для стабилизации температурного поля, однородного объекта управления, исходя из заданной погрешности. Получена функция начального нагрева и проведено математическое моделирование процесса, проанализированы полученные результаты. С помощью созданного регулятора разработан программно-аппаратный комплекс на языке программирования Pascal, позволяющий моделировать поведение температурных полей в изотропном стержне. Приводится моделирование температурного процесса при различных конфигурациях системы: при различном количестве импульсных источников нагрева с релейным принципом управления. Практические результаты исследований позволяют сделать вывод о возможности построения карбидокремниевого нагревательного элемента, выполненного в виде изотропного стержня.

Ключевые слова: функция Грина, тепловое поле, шаг дискретизации, объект управления, анализ, синтез.

Введение. Электрическая туннельная печь конвейерного типа имеет как ряд преимуществ, так и ряд недостатков. Одним из основных недостатков электрических печей этого типа является их высокая стоимость в обслуживании энергоресурсами. Так, для накаливания одного нагревательного элемента расходуется энергия, равная 0,12 % стоимости одного изделия.

В туннельной печи гексагональные карбидокремниевые стержни расположены по всей длине камеры обжига. Столь длинные нагревательные элементы требуют большого времени на прогрев и высоких энергозатрат.

Рассмотрим возможность снижения стоимости за счет использования импульсных нагревательных элементов, которые будут нагревать карбидокремниевые стрежни для поддержания заданного температурного режима секции печи. За счет кратковременного включения и будет происходить экономия электроэнергии и, как следствие, стоимости изделия.

Постановка задачи. Поставим задачу стабилизации температурного поля в определенном диапазоне температур. Подходы к синтезу стабилизирующих управлений могут рассматриваться на основе вариантных целевых условий и решения задач математического программирования численными методами. В результате разрешения целевых условий требуется получить явное представление законов обратных связей, что, в свою очередь, позволит исследовать условия устойчивости замкнутых систем стабилизации распределенных объектов.

Если Г(х,0 - аналитическое решение начально-краевой задачи, то система целевых равенств имеет вид

Т(х, 0 = Г(х,Тзад,г ),

Методика исследования. Целевые условия типа неравенств определяют интервальные требования к координатам объекта для совокупности заданных моментов времени. Задача сводится к решению конечного числа систем неравенств, заданных относительно параметров входных воздействий или параметров объекта:

T - < T(x, t) = T(x, t*^) < T+

Целевые условия в виде минимизации функционала, установленного на отклонениях температурного режима (от заданных требований), реализуются минимизацией параметров объекта или входных воздействий, что позволит свести задачу синтеза к задачам конечномерной минимизации:

J\T (Xm, t„), T(x3ad,m, t3aö„)\ ^ min,

где T(xm, t„) и Т(хзад,т, 4ад,г) - аналитические значения температуры и координат в заданные моменты времени.

Далее на описываемой математической модели проведем синтез управляющих воздействий на стержень [1-4]:

дТ(x, t) _ 2 д2Т(x, t)

dt

дх2

где начальные граничные условия

Т (х,0) = Т,( х); Т (0, 0 = Т (/, t) = 0.

Требуется найти параметры решения функции Т(х,0, которые выбирают согласно заданным начальным условиям. В качестве начальных условий могут выступать равенства, неравенства или условия, где синтез проводится с использованием аналитических решений начально-краевых задач. Для представления обобщенного решения можно использовать формальный ряд

2 "

Т (хt) _TZ a„ exP

I „_i

. 2

„na )

~г J

. „n Sin — x. l

где х - точка расположения датчика температуры, м; £ - время с; / - геометрические параметры объекта, м; а - заданный коэффициент температуропроводности материала объекта управления, м2/с; п - порядковый номер члена ряда Фурье; £ - момент включения точечного источника, с.

С использованием одноточечного условия по времени и по координатам задача сводится к решению равенства относительно параметров:

. 2

2a

т

exp

na

т

t

n

sin—х _ Т

l

зад

(х, t) .

Данное решение представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение относительно параметров, которые обеспечивают выполнение целевых условий. Другими словами, данная функция является критерием регулирования температурного поля. В случае многоточечных целевых условий, задающих температурные режимы объекта на семействах точек временной и координатной осей, можно свести задачу синтеза к задаче решения системы уравнений относительно параметров:

Т (х, t )■.

2a

exp

na

~Т

n

sin — х _ Т

г,зад

(х, t, ).

t

2

t

l

l

Используя ряд с конечным числом слагаемых, решение поставленной задачи можно свести к следующему уравнению:

<2

2

T (xi, tJ ) = l Z an exP

nna 1

~г J

t

■ nn

Sm~JXi = Ti'у,зад(Xi, tj ).

Выполним задачу стабилизации температурного поля в стержне на значении Тзад = const, используя полученную функцию. В начальный момент времени t0 = 0 произойдет включение всех температурных источников Каждый температурный источник оказывает воздействие на соседние датчики и температурные поля, вызванные соседними температурными источниками. Применяя функцию Грина, получим следующие выражения: действие первого источника на семь последующих датчиков

2

T (хъ t, ^ = тЕ exP

n=1

. 2

nna 1

~г J

. nn . nn „ sin — x, sin — c1; l 1 l 1

T ( x1, t, ^ c2) = TZ exP

l n=1

2

nna 1

"T .J

nn nn

sin — Xi sin—c2; l 1 l 2

k

t

k

t

2 к

T(xbt,^c7) = 2 ZexP

l n=1

действие источников на датчики x1, x2, x3:

nna

. nn . nn „ .

sin-Xi sin — C7 ;

l 1 l 7

3 k

2

T(xbt, ^0) = Z ZT exP

2

T (x2, U T0) = Z Zt eXP

i=1 n=1l

3k

Z Z.

i =1 n =1 l

3k

2

T(X3,t,T0) = Z ZtexP

i =1 n

1l

2

nna i

T J

2

nna i

T J

2

nna 1

T J

nn nn

sin—Xi sin — c1; l 1 l i

nn nn

sin — x2 sin—c1; l 2 l i

nn nn

sin — x3 sin — c1. l 3 l i

В общем виде, для количества источников £ и датчиков х выражение функции начального нагрева при точке наблюдения Т (х]-, t, т0) будет выглядеть следующим образом:

d k

2

T(x,,t,^0) = Z ZtexP

i =1 n

1l

2

nna 1

~T J

nn nn sin — X,- sin — С1 , l J l 1

2

t

l

t

t

t

t

к 2

Т (xl, *, тъ = Ет ехР

п=11

2

ппа ] / \ —) (' -т,)

. пп . пп „ sln — х, sln — с, ; / 1 / 1

Т(х2, t, тЬ с1) = Ет еХР

п=11

2

ппа ] / \ —)('-т-)

. пп . пп „

sln—х2 sln—с,; / 2 / 1

Т (xз, ^ ть с1) = Ет ехР

п=11

ппа

~Т

) 2 (*)

. пп . пп „

Sln — х3 Sln-с, .

/ 3 / 1

Функция начального нагрева продолжает оказывать остаточное влияние на каждый температурный датчик. Рассчитаем суммарное температурное воздействие всех датчиков на все источники:

3 к

2

Т(xl, *) = Е Ет ехР

1=, п=11

ч 2

ппа |

"Г)

к

. пп . пп „ ^2 sln—х, sln—с + Е_ ехр

/ / п=1 /

2

ппа 1

~ )

(* )

пп пп sln—х, sln—с,; / 1 /

3к

2

Т(x2, *) = Е Ет ехР

i= п=!1

2

ппа 1

т)

к

пп пп 2

sln—x2sln—с1 + Е~ ехр

/ / п=, /

2

ппа ] / \

Т)(' "Т1>

пп пп sln— х2 sln—с,; / 2 /

3к

2

Т(xз, *) = Е Ет ехР

i=1 п=1

2

ппа 1

т)

к

пп пп 2

sln—x3sln—с1 + Е~ ехр

/ / п=, /

ппа1 / \

—) С

пп пп

Sln— x3sln-с, .

/ 3 /

В более сокращенном виде для первых трех точек получим следующие результаты:

Т(х,, *) = Т(х,, т0) + Т(х,, т,); Т(х2, *) = Т(х2, т0) + Т(х2, т,);

Т(х,, *) = Т(х,, т0) + Т(х,, т,).

С течением времени т2 в точке х3 функция, убывая, достигла заданного значения температурного режима Тзад. После этого включается релейный импульсный источник который поставлен в соответствие датчику х3 и создает температурное воздействие на все точки стержня. На каждую точку стержня продолжается воздействие функции начального нагрева. На основании вышеизложенного получим

3 к

2

Т(хь*) = Е Етехр

i=, п=,1

2

ппа 1

~г)

пп пп Sln — х, Sln — с1 + / , / 1

V 2

+ Ет ехР

п=,1

2

ппа 1

т)

(*-т,)

к

пп пп 2

sln—x1sln—с + Е~ ехр

/ / п=!/

2

ппа 1

т)

-Т2 )

пп пп sln—х, sln—с3; / , / 3

3 к

2

Т ( х2, *) = Е Ет ехр

1=! п=,1

2

ппа 1

т)

пп пп Sln — х2 Sln — с1 + / 2 / 1

V 2

+ Ет ехр

п=,1

2

ппа 1

т)

(* -т,)

к

пп пп 2

Sl^ — х2 sln —— с, + Ет ехр

/ / п=,/

2

ппа 1

~г)

-т2 )

пп пп sln — х2 sln—с3; / 2 / 3

к

к

г

г

3 к

Т(^t) = Х ХтехР

1=1 п=11

2

ппа 1

т)

. пп . пп„ Sln - Х^1П - С,: +

I 3 I 1

2

ппа 1

—

I )

(t )

к

пп пп 2

sln — x3sln — С1 + Х~ ехр I I п=1I

2

ппа 1

~г)

( -^2 )

пп Sln — х3 s I 3

едующие соотношения температурных полей:

Т(х1,t) = Т(х1, t,х0) + Т(х1,t,т1) + Т(х1,t,х2) +... + Т(х1,t,хр);

Т (Х2, t) = Т (Х2, t, Хо) + Т (Х2, t, Х1)+ Т (Х2, t, х 2) +... + Т (Х2, t, х р);

Т (х3, t) = Т (х3, t, х0) + Т (х3, t, х1) + Т (х3, t, х 2) +... + Т (х3, t, х р). ие всех функций на все источники можно выразить следующим уравнен

I = —

' / \2 "

( па 1

ехр Чт]г_

. п ^ . п „ Э1П — х Х Э1П — С1 + ехр

I {=1 I

3па

. 3п ¿Д . 3п

Э1П-X Х Э1П-

I 1=[ I

+ ехр

5па

. 5п /Д . 5п „

Э1П-X Х йШ-С1 + ...

I 1=1 I ^

альный момент времени (при г = 0) выражение примет вид

(X,0) = у

. п „ . л . 3п /з . 3п г . 5п /Д . 5п „

X Х Э1П — С: + — X Х эт — С: + Э1П — X Х Э1П — С, + ... I 1=1 I 1 1=1 1 I 1=1 I

г

2

г

I

2

г

I

" 2J= 2

Zn, v^ • 3n ^ ^-Д 5n

sln7 Ъ -ZslnT~ Ъ + Zsln7" Ъ -. i i=i i i=i i

i= 1

d id

Zn, 1 ^—i • n ^ 1 x—1 • n r

Ъ sln7Ъ + TZsln7Ъ - .

i=1 l 3 i=1 l 5 i=1 l

d

Z sln у Ъ

i =1

1111

1--+---+--.

3 5 7 9

n, x ¡ 1 \n-1 d

2 v (-1) v • n с

= — Z--ZSln — Ъ .

l n=1 2n — 1 i=1 l

^ i . n 42 . 3n V2 . 5л V2

При x = — получим sln — x =-, sln — x =-, sln — x =--, ..., тогда

4 l 2 l 2 l 2

т í 4 4f

í d

Zsln yS¿

V=1 l j

Y

V2 1V2 — 1V2 — 1У2

2 3 2 5 2 7 2 ...

^ V2íd .

-y ZSln7Ъ

l i=1 l

1111

1 +-----+ - +.

3 5 7 9

l . n 1 . 3n , . 5n 1 . 7n 1

При x = — найдем sln — x = —, sln — x = 1, sln — x = —, sln — x = —,., тогда 6 l 2 l l 2 l 2

í i \

Zsln 7Ъ

v=1 l J

1 2 1 1 2

1 + —+-----+... |.

3 5 7 9

У произвольной фиксированной точки отрезка

d k

2

Т (x}, t) = Z Z7 exP

i=1 n=1l

nna

. nn . nn„ sln — x, sln—Ъ + l J l 1

k2

+ Z Z у exP

p n=1l

nna

(t-T p )

. nn . nn r

sln—xJsln—S z( p)

2

t

l

2

l

Пример 1. В качестве исходных данных для моделирования возьмем следующие значения параметров объекта: I = 10, число членов ряда Фурье к = 10, С = 5-14, X! = С = 1, Тзад = 0,3, С е {1,2, 3,4, 5,6, 7,8,9}, а2 = 0,01. Получим значения температуры при различных количествах точек нагрева (табл.1).

Из табл.1 видно, что в середине стержня температура выше, чем на его концах. Это связано с так называемым тепловым стоком. График значений температурного поля приведен на рис.1

Таблица 1

Результаты расчета по количеству датчиков при I = 10, а2 = 0,01

tmas Число датчиков С

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5

1,690 0,20 0,20 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,18 0,18 0,48

2,690 0,39 0,38 0,38 0,38 0,37 0,37 0,36 0,31 0,32 0,39

3,690 0,56 0,55 0,54 0,53 0,51 0,49 0,47 0,43 0,37 0,39

4,690 0,70 0,68 0,66 0,64 0,60 0,56 0,51 0,43 0,32 0,38

5,690 0,80 0,77 0,74 0,69 0,63 0,56 0,47 0,34 0,18 0,45

6,690 0,87 0,82 0,76 0,69 0,60 0,49 0,36 0,19 0,26

7,690 0,89 0,82 0,74 0,64 0,51 0,37 0,19 0,42

8,690 0,87 0,77 0,66 0,53 0,37 0,19 0,78

9,690 0,80 0,68 0,54 0,38 0,19 0,14

10,690 0,70 0,55 0,38 0,19 0,50

11,690 0,56 0,38 0,19 0,85

12,690 0,39 0,20 0,21

13,690 0,20 0,56

14,690 0,92

Проанализировав данные табл.1, можно сделать вывод о неоправданном использовании максимально возможного числа нагревательных элементов. Допустим если необходимо стабилизировать температуру в приделах 0,6 °С, то достаточно установить 10 нагревательных элементов, большее число будет избыточным.

Теперь необходимо понять, будет ли работать система управления при других исходных параметрах. В частности, нас интересует вопрос присутствия гексагонального карби-докремния в качестве объекта управления. Необходимо произвести моделирование с различным числом объектов и различными параметрами. Это обеспечит достоверность полученных результатов моделирования, процесса стабилизации температурного поля.

Пример 2. Проведем исследование объекта при изменении его длины. Для этого изменим существующие исходные данные: I = 0,5, к = 10, с = 5-14, X! =С = 1, Тзад = 0,3, С е{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а2 = 0,001.

Результаты исследования показывают (табл.2), что поддержание заданной температуры в стержне зависит от вида материала. Также можно сделать вывод о том, что чрезмерно большое количество импульсных нагревательных элементов способно превысить заданный температурный диапазон. Это связано с тем, что нагревательный импульс приходит раньше, чем материал успевает остыть, что вызывает перегрев. А чрезмерно малое количество элементов не дает возможности нагреть весь стержень до необходимой температуры.

Таблица 2

Результаты расчета по количеству датчиков при I = 0,5, а2 = 0,001

Число датчиков с1

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5

1,690 2,07 2,06 2,06 2,05 2,04 2,03 2,01 1,99 1,95 1,89

2,690 4,04 4,01 3,98 3,94 3,89 3,82 3,73 3,59 3,39 3,07

3,690 5,80 5,73 5,63 5,51 5,36 5,15 4,87 4,48 3,91 3,07

4,690 7,28 7,11 6,90 6,64 6,30 5,86 5,27 4,48 3,39 1,89

5,690 8,39 8,08 7,70 7,22 6,62 5,86 4,87 3,59 1,95 1,75

6,690 9,08 8,58 7,97 7,22 6,30 5,15 3,73 1,99 2,12

7,690 9,31 8,58 7,70 6,64 5,36 3,82 2,01 2,49

8,690 9,08 8,08 6,90 5,51 3,89 2,03 2,86

9,690 8,39 7,11 5,63 3,94 2,04 3,22

10,690 7,28 5,73 3,98 2,05 3,59

11,690 5,80 4,01 2,06 3,95

12,690 4,04 2,06 4,32

13,690 2,07 4,68

14,690 2,07

Пример 3. Рассмотрим объект управления, описываемый следующей математической моделью:

дТ 2 Г д 2Т д 2Т д 2Т 1

дt

= а

дх2 ду2

+

дг2

0 < х < 1х; 0 < у < 1у; 0 < г < 1г . Граничные и начальные условия объекта управления:

\ ти \ дТ (х, у,0, х) Т(х,у,х) = и(х,у,х); ---= 0;

дг

Т(х,0, х) = Т(х, 1у, х) = Т(0, у, х) = Т(1х, у, х) = 0 ; Т (х, у,0) = 0.

Значения температурного поля определяются с помощью функции Грина, которая в двухмерном варианте примет вид

4 "

G(х, у, Р, V, t) = — X 81П

1112 k,m=l

^ кпх1 . Гшлу^ sm

11

V ч

V 12 У

sm

( кпр^

11

sm

С шпу^

V ч

V '2 У

ехр

2

22 - а п t

к2 ш

2

12 + 12 '1 12 У

Рассмотрим систему в начальный момент времени (п ^го, £ = 0, т = 0.) Влияние составляющих ряда Фурье будет иметь вид

.2 Л~

exp

2 2, - a п t

m

V _

1 +

2 J

= 1;

значение температурного поля в пространственно распределенном объекте управления

4

T(х, y, 5) = — X sin

'll2 k,m=1

( ^

V li J

х sin

(kn^

V li J

p sin

V l2 J

У sin

V l2 J

V .

Импульсный источник создает нагревательный импульс в точке р = V = I / 4. Тогда значение температурного поля будет иметь следующий вид:

4 £ I kn^ 'kn^ . ' mi

— У sin х sin I — 1 sin

11 lV2 k,m= 1 V ii j V 4 J V l2 J

У sin

Для данной функции амплитуда членов ряда Фурье примет вид

4

mi

A =-

l1l2

. пр . nv sin—sin — 44

4

Из условия видно, что G(х, у, р, V, ¿) > 0 при любых х, у, р, V, t. Тогда количество положительных значений функции в диапазоне значений х будет уменьшаться. Сужение будет приводить систему к области решений вблизи точки р = V = / / 4.

При р, V ^ да получим пространственно-распределенную 5-функцию в виде ряда Фурье:

4 да

5(х - р, у - V) = — X 81П ;

1112 к, ш=1 V ¡1 У

х 81П

V ¡1 У

р 81П

^шлЛ

V ¡2 У

у зт

^шлЛ

V ¡2 У

V .

Такая 5-функция, представленная в виде ряда Фурье, считается обобщенной функцией. Эти функции имеют очень большое применение в системах с распределенными параметрами (в частности, для их моделирования).

Аргументами таких функций обычно являются координаты объекта управления:

5( х - р, >> - V) =

да при у = V;

0 при у Ф V;

да при х = р;

0 при х Ф р.

При рассмотрении функции /(х, у), которая имеет пространственную распределенность по пространственным координатам, несправедливо следующее равенство:

/1 Ь

| {1(х, у )5(х - р, у - v)dxdy = /(р, V).

0 0

Опишем ограниченные по расходу импульсы путем ввода временной 5-функции 5(г - х). Получим, что бесконечное воздействие в точке распределенного объекта управления будет являться идеальной 5-функцией. Тогда 5(г - х) = 0 при любых значениях г. Однако при t = х функция обратится в бесконечность, тогда

+да

{5(г -х)<^ = 1.

Если имеется функция / (г), которая определена на отрезке [?0, ? ], то

{ / (г )5(t -х)Л =

*0

\/(х), если хe[to, t]; I 0, если х £ [г0, t].

Получим, что для описания функции /(х, у, ¿) и 5-функции необходимо присутствие трех переменных: переменных координат и времени. Исходя из этого получим, что трехмерные 5-функции 5(х - р)5(у - v)5(t -х) изменят свое интегральное представление, т.е. примут следующий вид:

L1 L /

{ { {?(х, у, г)5(у - V)5(х - р)5(г -х)йхйуйг = /(р, V, х).

0 0 г0

г

t Ь\ L

т(X У, г) = 1 | |G(X ^t, p, V т)5(р - Po)5(v - Уо) X

0 0 0

х 5(т - т0 )dpdvdт = G(х, у, г, р0, V, т0).

Для дальнейшего анализа зафиксируем время в точке, отличной от нуля. И, как и было в примере 2, проанализируем амплитуду составляющих члена ряда Фурье следующим образом:

А =

4 . пп . пп

-эт—р sm — V ехр

1112 11 12

2 2. - а п г

Гк 2

- + -

т

2

12 I

2 У

Когда п ^ да, действие каждой последующего члена ряда Фурье уменьшается. Следовательно, число членов ряда Фурье можно ограничить. Такое ограничение не скажется на модели системы, так как каждый последующий член имеет меньшее влияние, однако, чтобы исключить возможность изменения начальной модели, проведем анализ погрешности расчетов. Данный расчет будем вести исходя из заданной точности 8.

Если произвести расчет точности при / = 10, а = 0,01, г= 10000, 8 = 0,0001, то п > 9,167. Следовательно, если к требованиям системы предъявляется необходимая точность вычислений 8 = 0,0001 , то при расчете девяти членов ряда Фурье точность результата будет равна 91 %. Также можно заметить, что с течением времени система выходит на постоянный режим работы и амплитуда уменьшается. Тогда в установившемся состоянии члены ряда Фурье начнут оказывать наименьшее воздействие.

Рассчитаем момент времени, после которого число членов ряда Фурье можно сократить. Для расчета возьмем те же значения, что и для примера 2:

>>( ' ''

ппа

щ!

8/

откуда г > 0,25.

Рассмотренная модель показывает поведение температурного поля в статическом режиме без учета взаимодействия между источниками и датчиками системы. Проанализируем систему в динамическом режиме, для этого получим управляющую переменную в пространстве - функцию начального нагрева. Данная функция позволит определить значения температурного поля после учета воздействий всех источников тепла на данный объект. В последующем данная функция позволит моделировать поведение температурного поля с течением времени. Рассмотрим плоскость, на которой расположены £ точечных импульсных источников и d датчиков и установлены следующие граничные условия:

Т(0, у, г) = Т(/1, у, г) = 0; Т(х,0,г) = Т(х, /2,г) = 0; Т(х, у,0) = 0.

Система выходит из состояния покоя под действием импульсных нагревательных элементов с релейным принципом управления. Все нагревательные элементы включаются одновременно (т0 = 0). Все эти нагревательные элементы окажут температурное воздействия на все датчики системы. Если рассмотреть случай влияния всех источников на один датчик, то суммарное действие будет иметь вид

п 4 ™

Т(хъ^^X

i=11112 к,т=1

2 2, - а п г

/ 2 V11

т

2

'2 У

эт

^кпх^

V 11 У

эт

^тпу^ V Т" У

. 'клр^ . (тпу^ эт - эт

V 11 У

V 12 У

Согласно формуле, переменные во времени нагревательные элементы создают

нагревательные импульсы на датчики температуры х1, х2. Поскольку система находится в неустоявшемся режиме, созданный нагревательный импульс имеет максимальную амплитуду. Температурное поле в данной объекте распространяется кольцеобразно. Рядом стоящие нагревательные элементы создают точки напряженности в точках соприкосновения температурных полей. Для анализа кольцевого распространения и межимпульсного взаимодействия произведем расчет поведения температурного поля вблизи точки нагрева х(1; 1) и координат температурного датчика р(1; 1) при следующих входных данных: I = 10, а = 0,00001, х1 = 1, Тзад = 0,3, k = 10, d = 9, ^ е {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Отобразим графически полученные результаты (рис.2). Из графика видна суммарная амплитуда температурного поля. Однако с течением времени будет происходить падение температуры и возникнет необходимость нахождения функции динамического отображения поведения температурного поля.

Для динамического отображения поведения теплового поля будем применять функцию

d да

4

т(х,,у,,х) = Е Е ттехР

I=1 k ,т-

1 7172

2 2 , - а п X

2

2

к" т

Т2 + "72

V 71 7 2 у

Sin

(кпх, \

X Sin

кпр 1

Л (

Sin

т п у

( т пу ^

Sin

х ехр

- а 2 п 2( X-х _)

V 2 у к2

V 2 у

4

+ Е Е 1Т х

р к ,т = 1 »1*2

т

2

72 V 71

Sin

( т пу , ^

X Sin

кпр

2 ( р )

2у

Л (

Sin

( к п х , \

71

Sin

т пу

2 ( Р )

72

где d - количество импульсных элементов с релейным принципом управления; р - порядковый номер элемента, р = 1, 2, 3 ...; переменная г(р) - один из импульсных элементов с релейным принципом управления; тр - момент времени включения источника под номером г(р); 71,12 - пространственные координаты распределенного объекта управления.

С течением времени функция примет вид, показанный на рис.3. После чего система будет переходить в стационарное состояние, устоявшиеся температурные режимы будут создавать управляющие воздействия только в тех точках объекта управления, где это необходимо, тем самым стабилизируя температурное поле в определенном диапазоне Тср = Тзад. Процесс в стабильном состоянии показан на рис.4.

G(х, у, р, V, X)

Рис.2. Первый нагревательный импульс

Рис.3. Система в процессе выхода в стабильное состояние

х

да

+

X

7

7

2

Проведенные испытания показали, что для поддержания температуры изделия нет необходимости использовать сплошные нагреватели, а достаточно точечных импульсных нагревательных элементов с релейным принципом управления.

Выводы. Приведенная методика рассматривает возможность замены сплошных нагревательных элементов на импульсные. Новизна и техническая особенность данной работы заключается в следующем:

1) использование инновационного подхода к нагреву гексагональных карбидокрем-ниевых структур является актуальной задачей, так как именно стержни из этого сплава используются при обжиге керамики, кирпича и других изделий;

2) данная методика не рассчитана исключительно на гексагональные карбидокремние-вые структуры, а имеет общий вид и может быть легко адаптирована для других сплавов;

3) предложенная методика позволит снизить конечную стоимость изделия путем экономии на энергоресурсах предприятия;

4) данная методика совместно с программно-аппаратным комплексом для стабилизации температурного поля туннельных печей конвейерного типа позволит решать широкий круг задач, стоящих перед современной промышленностью [1].

Таким образом, разработанная методика может быть обобщена на класс систем, для которых существует фундаментальное решение (функция Грина). При этом усложнение выражения функции Грина, естественно, увеличит затраты на вычислительный процесс. Однако при низком КПД нагревательных элементов использование математического моделирования для расчета места расположения нагревательных элементов оправдано [6-9].

Было бы полезным также учитывать выбор параметров дискретизации управляющих воздействий для систем, краевая задача которых содержит ненулевые граничные условия. Фундаментальное решение (функция Грина) краевой задачи таких систем имеет вид, отличный от вида, рассматриваемого в работе. Также следует изучить возможность расширения рабочей зоны объекта, т.е. зоны, в пределах которой с заданной точностью удается достичь требуемого значения выходной функции, однако это предмет дальнейших исследований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Designing of Distributed Control System with Pulse Control / Y.Ilyushin, D.Pervukhin, O.Afanasieva, A.Klavdiev, S.Kolesnichenko // Middle-East Journal of Scientific Research. 2014. 21(3). P.436-439. http://dx.doi.org / 10.5829/idosi.mejsr.2014.21.03.21433

2. Ilyushin Y. Designing of temperature field control system of tunnel kilns of conveyor type // Scientific-technical news of S.Pt.SPI. 2011. 3(126). P.67-72.

3. Kolesnikov A. Nonlinear Oscillations Control. Energy Invariants // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2009. 48(2). P.185-198. http://dx.doi.org/10.1134/S1064230709020038

4. Kolesnikov A. Discharge of a Copper-Magnesium Galvanic Cell in the Presence of a Weak Electromagnetic Field / A.Kolesnikov, Ya.Zarembo, V.Zarembo // Russian Journal of Physical Chemistry A. 2007. 81(7). P.1178-1180. http://dx.doi.org/10.1134/s003602440707031x

5. Pleshivtseva Y. The Successive Parameterization Method of Control Actions in Boundary Value Optimal Control Problems For Distributed Parameter Systems / Y.Pleshivtseva, E.Rapoport // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2009. 48(3). P.351-362. http://dx.doi.org/10.1134/S1064230709030034

6. Rapoport E. Structural Parametric Synthesis of Automatic Control Systems with Distributed Parameters // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2006. 45(4). P.553-566. http://dx.doi.org/10.1134/S1064230706040071

Рис.4. Система в стабильном состоянии

7. Structuring of Inorganic Materials in Weak Rf Electromagnetic Fields / V.Zarembo, O.Kiseleva, A.Kolesnikov, N.Burnos, K.Suvorov // Inorganic Materials. 2004. 40(1). P.86-91. http://dx.doi.Org/10.1023/B:INMA.0000012184.66606.59

8. Zarembo V. Background Resonant Acoustic Control of Heterophase Processes / V.Zarembo, A.Kolesnikov // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2006. 40(5). P.483-495. http://dx.doi.org/10.1134/s0040579506050058

9. Zinc Electrochemical Reduction on a Steel Cathode in a Weak Electromagnetic Field / A.Kolesnikov, Ya.Zarembo, L.Puchkov, V.Zarembo // Russian Journal of Physical Chemistry A. 2007. 81(10). P. 1715-1717. http://dx.doi.org/10.1134/s0036024407100330

REFERENCES

1. Ilyushin Y, Pervukhin D., Afanasieva O, Klavdiev A., Kolesnichenko S. Designing of Distributed Control System with Pulse Control. Middle-East Journal of Scientific Research. 2014. 21(3), p.436-439. http://dx.doi.org / 10.5829/idosi.mejsr.2014.21.03.21433

2. Ilyushin Y. Designing of temperature field control system of tunnel kilns of conveyor type. Scientific-technical news of S.Pt.SPI. 2011. 3(126), p.67-72.

3. Kolesnikov A. Nonlinear Oscillations Control. Energy Invariants. Journal of Computer and Systems Sciences International. 2009. 48(2), p.185-198. http://dx.doi.org/10.1134/S1064230709020038

4. Kolesnikov A., Zarembo Ya., Zarembo V. Discharge of a Copper-Magnesium Galvanic Cell in the Presence of a Weak Electromagnetic Field. Russian Journal of Physical Chemistry A. 2007. 81(7), p.1178-1180. http://dx.doi.org / 10.1134/s003602440707031x

5. Pleshivtseva Y., Rapoport E. The Successive Parameterization Method of Control Actions in Boundary Value Optimal Control Problems For Distributed Parameter Systems. Journal of Computer and Systems Sciences International. 2009. 48(3), p.351-362. http://dx.doi.org/10.1134/S1064230709030034

6. Rapoport E. Structural Parametric Synthesis of Automatic Control Systems with Distributed Parameters. Journal of Computer and Systems Sciences International. 2006. 45(4), p.553-566. http://dx.doi.org/10.1134/S1064230706040071

7. Zarembo V., Kiseleva O., Kolesnikov A., Burnos N., Suvorov K. Structuring of Inorganic Materials in Weak Rf Electromagnetic Fields. Inorganic Materials. 2004. 40(1), p.86-91. http://dx.doi.org/10.1023/B:INMA.0000012184.66606.59

8. Zarembo V., Kolesnikov A. Background Resonant Acoustic Control of Heterophase Processes. Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2006. 40(5), p.483-495. http://dx.doi.org/10.1134/s0040579506050058

9. Kolesnikov A., Zarembo Ya., Puchkov L., Zarembo V. Zinc Electrochemical Reduction on a Steel Cathode in a Weak Electromagnetic Field. Russian Journal of Physical Chemistry A. 2007. 81(10), p.1715-1717. http://dx.doi.org/10.1134/s0036024407100330

METHOD OF CONTROLLING THE TEMPERATURE FIELD ON THE BASIS OF THE GREEN'S FUNCTION

Y.V.ILYUSHIN, PhD in Engineering Sciences, Associate Professor, [email protected] I.M.PERSHIN, Dr. of Engineering Sciences, Professor, [email protected] National Mineral Resources University (Mining University), St Petersburg, Russia

At the present stage of development of automatic control systems raises the question of maintaining the set temperature objects. The authors developed MetO-wild synthesis of nonlinear regulators to stabilize the temperature field, a uniform object of management on the basis of a given error. We obtained a function of the initial heating and the mathematical modeling of the process, analyzed the results. By creating a regulator there has been designed software and hardware programming language Pascal, which allows to simulate the behavior of temperature fields in an isotropic web. It is a simulation of the temperature of the system in different configurations: with different amounts of pulsed heating sources with relay control principle. Practical results of the research suggest the possibility of constructing silicon carbide heating element made in the form of an isotropic core.

Key words: Green's function, thermal field, discretization interval, management object, analysis, synthesis.