Проектирование системы управления температурными полями туннельных печей конвейерного типа Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

передаточных функций линефризованных звеньев и 7. Стефании, Е.П. Основы расчета настройки ре-

систем авторегулирования [Текст] / М.П. Симою. -М.: гуляторов теплоэнергетических процессов [Текст] / Автоматика и телемеханика, 1957. -Т. 18. -№ 6 Е.П. Стефании. -М.: Энергия, 1972. -С. 12-18.

УДК 681.5

Ю.В. Ильюшин

ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМы УПРАВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЬ1МИ ПОЛЯМИ ТУННЕЛЬНЫХ ПЕЧЕЙ КОНВЕЙЕРНОГО ТИПА

Туннельная печь - это электрическая, газовая, твердотопливная или иная печь непрерывного действия с обжиговым каналом, разделенным на зоны, имеющие постоянные температурные режимы. Туннельные печи конвейерного типа характеризуются постоянным движением изделия в обжиговом канале печи. В зависимости от назначения печи изделие может двигаться по вагонеткам на металлических рельсах или же на натяжной пластине, поверх которой укладываются изделия, подлежащие обработки.

Рассматривая современные электрические туннельные печи конвейерного типа, можно отметить большой расход потребляемой электроэнергии. Это связано с использованием сплошных нагревательных элементов, представленных как цилиндрические стержни из материалов на основе карбида кремния [1]. В случае, когда изделие меньше ширины вагонетки, процесс нагревания имеет большие потери, что приводит к неоправданному увеличению стоимости изделия. В связи с этим возникает необходимость разработки системы управления, оптимизирующей энергетические затраты и обеспечивающей равномерное распределение температурных полей по всему объему печи.

Постановка задачи

Поставим задачу проектирования системы управления температурным полем в рабочей зоне печи. При этом управление реализуется с

помощью импульсных нагревательных элементов (число таких элементов и). Использование импульсных нагревательных элементов обусловлено тем, что они имеют более простую схему технической реализации (по сути, реализуется релейный режим для каждого и-го нагревателя), и требуют меньшей аппаратной части, а значит, более надежны в эксплуатации.

Структурная схема системы управления приведена на рис. 1, где измерительное устройство снимает информацию о температурном поле в рабочей зоне камеры.

Рассмотрим математическую модель теплопроводности, решим задачу стабилизации температурного поля, составим функцию начального нагрева и промоделируем тепловой процесс. В общем виде для цилиндрического стержня математическая модель и граничные условия процесса передачи тепла выглядят следующим образом [2]:

Т (0, г, t) = Т (I, г, t) = 0;

Т(х,Я, Г) = и(х, Г); 5Т(хДт) = 0;

дг

дТ_

"дГ

= , (д2Т 1 дТ д2Т^ удг2 г дг дг2

0 < г < R ; 0 < х < I,

(1) (2)

(3)

(4)

где Т(х, г, ?) - функция, описывающая поведение температурного поля объекта управления; а2 - за-

Рис. 1. Структурная схема замкнутой системы регулирования

данный коэффициент температуропроводности материала объекта управления; Я, I - заданные числа; х, г - координаты объекта управления; t - время; и(х, ?) - управляющее воздействие.

Так как температура в центре поперечного сечения стержня незначительно отличается от температуры его поверхности, предположим, что стержень достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Другими словами, будем считать цилиндр пространственно одномерным. При этом сохраним граничные условия, считая, что граница - это не только концы стержня, но и его боковая поверхность. Внесем указанное граничное условие в правую часть основного уравнения. Добавим нулевое начальное условие.

Решение задачи стабилизации температурного поля изотропного стержня

Рассмотрим задачу стабилизации температуры на уровне некоторого значения Тзад. В первоначальный момент времени т0 = 0 включаются все нагревательные элементы. Каждый из импульсных нагревательных элементов оказывает влияние на все точки стержня. Значение температуры в произвольной фиксированной точке х для единичной мощности излучателя может быть рассчитано по функции Грина, представленной в виде бесконечного ряда Фурье [2]:

T (x t, т о) =

d к 2 = » ехР

i=1 n=1 1

J

nna

~T

t

(5)

. nn . nn „ Sin — x i Sin — c.,

l J l '

где п - номер слагаемого ряда Фурье; k - количество членов ряда Фурье; I - длина стержня; t - время; х - точка расположения датчика температуры; £ - точка расположения нагревательного элемента; т - момент включения нагревательного элемента; d - количество источников; а2 - заданный коэффициент температуропроводности материала объекта управления [3].

При увеличении времени t функция Т(х, t, т0) будет убывать. В случае достижения в какой-то точке х значения Т , в момент времени т, вклю-

7 зад' * 1

чается нагревательный элемент, соответствующий датчику с номером 7, и оказывает влияние на все точки [4]. При этом продолжается действие всех нагревательных элементов, включенных при значении т0 = 0. Таким образом, получим общий вид выходной функции:

T ( x,t, т) =

d к 2 =ZZ7 exp

i=1 n=1 '

к2

+»7 exP

p n=1 ^

]

nna

~T

. nn . nn „ Sin — x i Sin — c. + l J l '

1 nna , .

Н-Г I (t-тp)

. nn sin — x,.

l J

. nn „ X Sin — С l

(p)

где р = 1, 2, 3, ... - порядковый номер нагревательного элемента; г (р) один из нагревательных элементов; т — момент времени включения нагревательного элемента под номером ^р). Или

Т (х, t, т) = Т (х, t, то) + X Т (х7, t — тр ).

р

Для нахождения времени и координат точки первого достижения функцией Т (х, t, т) значения Тзад, преобразуя выражение Т (х 7, t, т0), получим:

T (x, t) = -

+ exp

exp 2na

. na ,

-IT11

II • '4

Sin — x> Sin—С

l tí l

l

2п ^ . Sin-x> Si

i=1

+exp

3na

~T

l

. 3п ^ . 3я„

Sin-x> Sin—С

l tí r

d 2n„

Sin—С

(7)

+...

При четных значениях n положительные и

n%„

l

отрицательные составляющие суммы > Sin

i=1

взаимно исключают друг друга [5]. При нечетных

d d/ d значениях n, > Sin —С¡ = > Sin —= — ¿^ Sin .

l ¡=] l n ¡=] l

i=1

Тогда получим:

T (xt) = 2 exP

l n=1 2n -1 . (2 n -1) п

(2 n -1) na

X Sin-

d

x> Sin

(8)

/ I"! l

Преимущество полученной формулы в том, что действие нагревательных элементов выражается с помощью только одной первой гармоники

ряда Фурье. Величина — > Sin —C¡ является посто-

1 ¡=1 l

янной относительно x и t. Ее значение зависит только от числа нагревательных элементов. При зна-2 d п

чениях t = 0 , к = 3 и —> Sin —C¡ = 1 формула (8)

пч • п 1 . 3п 1 . 5п примет вид Т (х,0) = — х + — х + — sm~ х.

При росте времени t каждое из слагаемых формулы (11) будет убывать. Влияние на итоговую сум-

му второго слагаемого будет в 3 х ехр

па

Т

г

раз меньше первого [6]. С заданной точностью е можно определить значение г, начиная с которого слагаемым с номером и можно пренебречь:

г' 1 — 1 1п—. (9)

г >■

и -1 \па) ие Таким образом, в момент 1

времени

I V 1

— 1п— функция, определяющая рас-

•л: а ) 3е

пределение температурного поля, будет выражаться через одну первую составляющую ряда Фурье:

Т (х, г ) =— ехр

, па ,

ЧТ1 г

" х£ эт . (10)

I ,=1 I

В этом случае функция, убывая, достигнет значения Тзад в крайних точках установки датчиков. Пусть хкр - точка установки крайнего датчика, тогда время, при котором датчик впервые зафиксирует значение Тзад, можно определить по формуле:

па

1п

_ . 71 гп . Л. 28111 X > вШ — С,

I I *

1Т

при выполнении условия [7]:

I ¡=1 I

(11)

(12)

В момент времени т1 нагревательный элемент, соответствующий крайним датчикам, вырабатывает сигнал:

2 * I П=1

Г „ \г па

I

. пп . ПЛ-хвш — хеш—с . 1 I

(13)

Этот сигнал добавляется к имеющемуся значению Т(х, г). В результате наложения сигналов, при значении г > т1 для середины отрезка, получим Т(х, г, т1) = Т(х, г) + 2Т(х, г -т1). Импульс, приложенный в момент т в точке ^, с течением времени г > т оказывает воздействие на все точки отрезка. Время «прихода» максимума этого сигнала для всех точек различно. Это время зависит от расстояния между точкой включения нагревательных элементов и точкой наблюдения, а также от близости нагревательного элемента к концу отрезка. От длины отрезка зависит значение максимальной температуры, «дошедшей» от нагревательного элемента до точки наблюде-

ния [8]. В связи с тем, что на концах стержня во время всего процесса температура поддерживается равной нулю, максимальная температура с течением времени будет стремиться к середине стержня. В качестве точки наблюдения будем

рассматривать точку х = — . Выражение функции нагревательного элемента применительно к неограниченной прямой имеет вид:

в(х, г -т) = -

1

-ехр

(х Ч)2

4а2(г -т)

. (14)

I-2--

2д/ па (г -т)

Используя (14), получены формулы, выражающие время достижения максимального значения температуры в середине отрезка, при воздействии нагревательного элемента

ч <

=

1а2

при

10

2а2

10

25 а'

- + т,; при

Ъ1 г

ю 1

— <^<. (15)

10 1 v 7

4а

В момент «прихода» максимума сигнала значение температуры в середине отрезка будет определяться формулой

Т' -, г.

= Т' —, г.

+ 2Т' —-, 1п -т,

. (16)

2 7 п7 1) I 2^т1 1

Отклонение температуры от заданного значения можно определить из равенства:

п

\ =

2>*т>\

т

зад

(17)

Таким образом, основываясь на функции начального нагрева и законах поведения теплового процесса в пространственно одномерном объекте, поставим задачу поиска места и времени включения импульсных нагревательных элементов. В качестве объекта управления рассмотрим цилиндрический стержень радиуса Я , длиной I и температуропроводностью материала а (рис. 2). Нагревающим воздействием будем считать тепловой поток, создаваемый секционным нагревателем, распределенным по боковой поверхности цилиндра. Наблюдение за тем-

X

Рис. 2. Объект управления - цилиндрический стержень

пературой осуществим с помощью датчиков; условно примем, что они находятся на том же поперечном срезе, что и нагревательный элемент. Включение нагревательных элементов осуществляется с помощью релейных элементов. На концах стержня поддерживается нулевая температура.

Из граничных условий видно, что границы объекта имеют нулевую температуру, входное воздействие распространено по границе стержня и выполняется условие симметрии температурных полей.

Промоделируем поведение температурного поля в стержне согласно полученной функции (6). С этой целью для каждой секции туннельной печи выведем алгоритм расчета места и времени включения импульсного нагревательного элемента. Так как во всех секциях печи тепловые процессы одинаковы, разница заключается в заданной температурной кривой и времени нахождения в секции. Алгоритм идентичен для всех секций печи, отличаются только константы секции и входное значение функции, которым является выходное значение предыдущей функции. Для этого выра-

Рис. 3. Окно «констант печи» и «глобальные константы»

дой из секции печи (длина секции, необходимое значение температуры в секции, количество нагревательных элементов). Ввиду идентичности алгоритма для всех секций, покажем результат моделирования для первых четырех секций печи. Задавая различные параметры в разработанную программу, можно получить расчет мест нахождения нагревательных элементов в зависимости от заданной кривой температурного процесса.

Точность нахождения места установки нагревательного элемента будет зависеть от количества расположенных нагревательных элементов, т. к. программа будет включать только те нагревательные элементы, которые необходимы для вывода объекта управления на нужный температурный режим. Для подтверждения сделанных выводов проведем исследования процесса нагрева в цилиндре. Рассчитаем места

Место и время включения нагревательного элемента в координате х (м) во время I (с)

Длина секции, м

5 6 7 8

Значение температурного поля

Нагревательный элемент ——— .................——— ^ Включился

4 ^^ 1 ^^ 10 1 ^^ ^^ 20 1 ^^^ 25,3

8 ^^ 10 ^^ 20 9 ^^ ^^ 25,3

2 ^^ 6 ^^ 10 20 ^^^ 25,3

2 ^^ 6 ^^ 10 20 4 ^^ 25,4

2 ^^ ^"-"9,23 ^^ 10 4 ^^ ^^ 20 4 ^^ ^^ 25,3

3 ^^ 8 ^^ 10 ^^ 20 4 ^^ ^^^ 25,2

4 ^^ 1 ^^ 10 5 ^^ ^^ 20 ^^^ 25,4

^^ 30 ^^ 25,1

30 9 ^^ 25,1

30 ^^^ 24,7

зим переменную Е, , определяющую местонахождение нагревательного элемента, и переменную t, определяющую время включения:

Ъ, = arcsin(-

2 ( та . т

у2.ехР » Л=1 гЬ". sin — X 1

Т' (яа)

In

G(x,t&, т)

2sin7*4>Xsin7^ IT

■)—; (18) rm

(19)

Проведем расчет значений температурного поля в каждой из сорока двух секций. Для этого в среде Delphi напишем программу, с помощью, которой можно произвести расчет места и времени включения каждого нагревательного элемента для каждой из 42 позиций. Для этого программе необходим ввод 129 переменных (рис. 3), характеризующих физические параметры каж-

включения нагревательных элементов для четырех секций различной длины, но с одинаковым числом нагревательных элементов. Введем первичные значения основных параметров объекта: а2 = 0,01 м2/с; х = ^ = 1 м; Гад = 0,2 0С; к = 10; d = 9 ; ^ е {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Зададим для каждой секции различную длину (5, 6, 7, 8 м). Полученные результаты показывают, что при фиксированной длине стержня включаются не все нагревательные элементы. Так, например, в секции 1 (см. табл.), длина которой составляет 5 м, включаются только 4, 3, 2 нагревательные элементы, следовательно, нет необходимости размещать там 10 нагревательных элементов.

Также стоит отметить тот факт, что согласно исследованиям время включения последующих нагревательных элементов приблизительно равно. Что, в свою очередь, указывает на то, что тепловые процессы, протекающие в изотропных телах, стабильны.

В статье рассмотрена возможность установки в электрических туннельных печах конвейерного типа секционных импульсных нагревателей.

Анализ результатов работы описанного программного комплекса по стабилизации темпера-

СПИСОКЛ

1. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел [Текст] / Э.М. Карташов. -М.: Высш. шк., 2001. -550 с.

2. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. -М.: Наука, 1972. -736 с.

3. Душим, С.Е. Теория автоматического управления [Текст] / С.Е. Душин, Н.С. Зотов [и др.]; Под ред. В.Б. Яковлева. -М.: Высш. шк., 2003. -567 с.

4. Першим, И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами [Текст] / И.М. Першин. - Пятигорск: Изд-во РИА-КМВ, 2007. -244 с.

5. Чернышев, А.Б. Модификация критерия абсолютной устойчивости для систем с распределенными параметрами [Текст] / А.Б. Чернышев. -Ставрополь:

турных полей показал возможность вывода печи на необходимый температурный диапазон за счет использования импульсных нагревательных элементов и возможность стабилизации температурного поля в пределах допустимых значений. Рассмотрена зависимость температурного режима от длины секции.

Получены формулы для расчета места и времени включения температурных источников.

Разработанный программный комплекс может применяться для любых туннельных печей вне зависимости от технологического процесса.

Универсальность алгоритма программного продукта делает возможным его применение путем совместного использования с аппаратной частью туннельной печи.

На основе проведенных исследований можно сделать вывод о том, что при конструировании туннельных печей конвейерного типа нет смысла в установке сплошных нагревательных элементов. Достаточно рассчитать места включения нагревательных элементов, установить в них импульсные точечные нагревательные элементы и включать их на основе релейного принципа управления для вывода секции на нужный режим работы.

ГЕРАТУРЫ

Изд-во СевКавГТУ, 2008. -С. 49-69.

6. Чернышев, А.Б. Исследование нелинейных систем с распределенными параметрами [Текст] / А.Б. Чернышев. -Кисловодск: Изд-во МИЛ, 2009. - 208 с.

7. Чернышев, А.Б. Устойчивость распределенных систем с дискретными управляющими воздействиями [Текст] / А.Б. Чернышев, Ю.В. Ильюшин // Изв. Южного федерального ун-та. -Таганрог, 2010. -№ 12. -С 166-171.

8. Чернышев, А.Б. Исследование нелинейных распределенных систем управления температурными полями [Текст] / А.Б. Чернышев // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Сер. Техн. науки. Спецвыпуск. Математическое моделирование и компьютерные технологии. -Новочеркасск, 2004. -С. 57-60.