Научная статья на тему 'Математическая модель процесса движения заряженной частицы в веществе при наличии магнитного поля'

Математическая модель процесса движения заряженной частицы в веществе при наличии магнитного поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
324
69
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Математическая модель процесса движения заряженной частицы в веществе при наличии магнитного поля»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С.М. КИРОВА

Том 294

1976

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

В.М. РАЗИН

(Представлена научным семинаром кафедры вычислительной техники)

При расчетах активной биологической защиты представляется полезным получить уравнения движении релятивистских протонов в веществе при наличии магнитного поля, поскольку комбинированные способы защиты могут оказаться оптимальными в тех случаях, когда вес защитных экранов должен быть ограничен сверху.

Как известно, уравнение движения заряженной частицы в магнитном поле при отсутствии вещества в векторной форме имеет вид:

Су е т— = — С с

(1)

где т - масса частицы; е - заряд; с - скорость света в вакууме; V - вектор скорости; В - вектор магнитной индукции.

Поскольку нас будут интересовать частицы, скорость которых соизмерима со скоростью света, то уравнение (1) следует записать в форме соотношения

Ср е

А с

(2)

где р = ту - импульс частицы, масса которой зависит от энергии, т. е. скорости частицы.

При прохождении частицы через вещество будут иметь место различные взаимодействия частицы со средой, в результате чего энергия частицы будет уменьшаться вдоль траектории движения. В интересующем нас диапазоне энергий протонов главными являются потери энергии на ионизацию атомов защитной среды. Потери энергии на ионизации будут эквивалентны действию некоторой силы, действующей на частицу (протон) в направлении, противоположном направлению вектора скорости. Величина этой сил ” , СЕ

лы будет равна удельной энергии ионизации на элемент длины траектории I, т.е. сила равна —.

С1

При учете силы сопротивления вещества за счет ионизации уравнение (2) может быть представлено в векторной форме:

С1

(3)

Ср ег СЕ С с1

где прямые скобки означают абсолютное значение соответствующей величины, а у - это модуль вектора скорости частицы.

В релятивистском случае левая часть уравнения (3) должна быть представлена следующим образом:

( \

Ср С . _ С — = — (ту) =— С С С

т

(4)

где т0 - масса покоя частицы.

В трехмерной прямоугольной системе координат имеет место соотношение

у2 = х2 + у2 + ¿2, (5)

где для сокращения записи первые производные по времени обозначены точками над соответствующими координатами.

Проекция векторного уравнения (4) на оси координат с учетом (5) дает возможность записать уравнение движения в следующем виде:

( \ Л

С

С

С

С

С

С

1 -

= е-в2у--ву2 -

с с

СЕ

1-

2 2 2 X + у + z

1-

2 2 2 X + у + z

= -Б, z--Б, X-

= —Бу х-—Бх у -сс

С1

СЕ

С1

СЕ

у-;

С1

Здесь В, Ву и В1 - составляющие вектора магнитной индукции по осям координат. Для сокращения записи введем обозначение

Ф) =

СЕ

С1

и правые части уравнений системы (6) представим в виде

-у{у) х+ -Б2у --Бvz = Ь\

е е

—Бz х-ф(у)у +—Б, z = М; с с

е е

—Бу х—Б, у-ф(у) z = N. с с

(6)

(7)

(8)

Раскрывая производные в левых частях системы (6) и учитывая (8), получим

( \

т0 ■ С

х+ х— Сг

1 -

2 2 2 х + у + z

= Ь;

т0 ■ С

, 0 у + у—

ф -Р2 Сг

1-

2 2 2 х + у + z

=М;

z + z—

д/1 -р2 Сг

1-

= N.

(9)

с с

рядка по времени. Раскроем производную

( \

- релятивистский фактор, а две точки означает производную второго по-

С

Сг

т0

1-

2 2 2 х + у + z

л/(1 -Р2У

•I хх+ уу+ zz

(10)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

так как все координаты являются функциями времени. Подставляя (10) в систему уравнений (9) и выполняя несложные преобразования, получим

с 2(1 -р2) + x

+ xyy + xzz = L1.

xyx+ y

c2(1 -в2) + y

+ yzz = Ml,

xzx+yzy+

c2(1 -в2) + z

z = N1.

(11)

Здесь введены для сокращения записи обозначения:

N1 =

c2-y/ (1 -в2)3

c% —0 /(1 -в2)3

= С\ —0 /(1 -в2)3

L;

M;

N.

(12)

При моделировании обыкновенных дифференциальных уравнений на аналоговых вычислительных машинах (АВМ) принято разрешать эти уравнения относительно старших производных (метод понижения порядка производной).

Рассматриваем систему (11), как систему трех уравнений с тремя неизвестными производными x, y, z. Вычисляем главный определитель системы (11)

2

А =

с2(1 -в1) + x ;

xy;

xz;

xy;

c2(1 -в2) + y ;

yz

xz;

yz

c2(1 -в2) + z2;

(13)

Применяя правило Саррюса или какой-либо другой способ вычисления определителей и учитывая (5) в несложных, но громоздких преобразованиях, получим

Д = с 6(1-/32)2. (14)

Теперь выражение, например, для х будет иметь вид

■■ 1 x = —

А

L,:

xy;

M{, [c2(1 -в2)+ y ]; yz;

N1; yz; [c2 (1 -в2)+

(15)

Громоздкие алгебраические преобразования при вычислении (15) позволяют в конечном итоге получить сравнительно простое выражение для х

x = ■

—(-B2 y-—By zlVi-87-—HvW(1-в2)3. m0 V c c I m 0

(16)

Аналогично вычисляются выражения для у и г. В результате получаем систему уравнений движения в виде:

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.