ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С.М. КИРОВА
Том 294
1976
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В.М. РАЗИН
(Представлена научным семинаром кафедры вычислительной техники)
При расчетах активной биологической защиты представляется полезным получить уравнения движении релятивистских протонов в веществе при наличии магнитного поля, поскольку комбинированные способы защиты могут оказаться оптимальными в тех случаях, когда вес защитных экранов должен быть ограничен сверху.
Как известно, уравнение движения заряженной частицы в магнитном поле при отсутствии вещества в векторной форме имеет вид:
Су е т— = — С с
(1)
где т - масса частицы; е - заряд; с - скорость света в вакууме; V - вектор скорости; В - вектор магнитной индукции.
Поскольку нас будут интересовать частицы, скорость которых соизмерима со скоростью света, то уравнение (1) следует записать в форме соотношения
Ср е
А с
(2)
где р = ту - импульс частицы, масса которой зависит от энергии, т. е. скорости частицы.
При прохождении частицы через вещество будут иметь место различные взаимодействия частицы со средой, в результате чего энергия частицы будет уменьшаться вдоль траектории движения. В интересующем нас диапазоне энергий протонов главными являются потери энергии на ионизацию атомов защитной среды. Потери энергии на ионизации будут эквивалентны действию некоторой силы, действующей на частицу (протон) в направлении, противоположном направлению вектора скорости. Величина этой сил ” , СЕ
лы будет равна удельной энергии ионизации на элемент длины траектории I, т.е. сила равна —.
С1
При учете силы сопротивления вещества за счет ионизации уравнение (2) может быть представлено в векторной форме:
С1
(3)
Ср ег СЕ С с1
где прямые скобки означают абсолютное значение соответствующей величины, а у - это модуль вектора скорости частицы.
В релятивистском случае левая часть уравнения (3) должна быть представлена следующим образом:
( \
Ср С . _ С — = — (ту) =— С С С
т
(4)
где т0 - масса покоя частицы.
В трехмерной прямоугольной системе координат имеет место соотношение
у2 = х2 + у2 + ¿2, (5)
где для сокращения записи первые производные по времени обозначены точками над соответствующими координатами.
Проекция векторного уравнения (4) на оси координат с учетом (5) дает возможность записать уравнение движения в следующем виде:
( \ Л
С
С
С
С
С
С
1 -
= е-в2у--ву2 -
с с
СЕ
1-
2 2 2 X + у + z
1-
2 2 2 X + у + z
= -Б, z--Б, X-
= —Бу х-—Бх у -сс
С1
СЕ
С1
СЕ
у-;
С1
Здесь В, Ву и В1 - составляющие вектора магнитной индукции по осям координат. Для сокращения записи введем обозначение
Ф) =
СЕ
С1
и правые части уравнений системы (6) представим в виде
-у{у) х+ -Б2у --Бvz = Ь\
е е
—Бz х-ф(у)у +—Б, z = М; с с
е е
—Бу х—Б, у-ф(у) z = N. с с
(6)
(7)
(8)
Раскрывая производные в левых частях системы (6) и учитывая (8), получим
( \
т0 ■ С
х+ х— Сг
1 -
2 2 2 х + у + z
= Ь;
т0 ■ С
, 0 у + у—
ф -Р2 Сг
1-
2 2 2 х + у + z
=М;
z + z—
д/1 -р2 Сг
1-
= N.
(9)
с с
рядка по времени. Раскроем производную
( \
- релятивистский фактор, а две точки означает производную второго по-
С
Сг
т0
1-
2 2 2 х + у + z
л/(1 -Р2У
•I хх+ уу+ zz
(10)
так как все координаты являются функциями времени. Подставляя (10) в систему уравнений (9) и выполняя несложные преобразования, получим
с 2(1 -р2) + x
+ xyy + xzz = L1.
xyx+ y
c2(1 -в2) + y
+ yzz = Ml,
xzx+yzy+
c2(1 -в2) + z
z = N1.
(11)
Здесь введены для сокращения записи обозначения:
N1 =
c2-y/ (1 -в2)3
c% —0 /(1 -в2)3
= С\ —0 /(1 -в2)3
L;
M;
N.
(12)
При моделировании обыкновенных дифференциальных уравнений на аналоговых вычислительных машинах (АВМ) принято разрешать эти уравнения относительно старших производных (метод понижения порядка производной).
Рассматриваем систему (11), как систему трех уравнений с тремя неизвестными производными x, y, z. Вычисляем главный определитель системы (11)
2
А =
с2(1 -в1) + x ;
xy;
xz;
xy;
c2(1 -в2) + y ;
yz
xz;
yz
c2(1 -в2) + z2;
(13)
Применяя правило Саррюса или какой-либо другой способ вычисления определителей и учитывая (5) в несложных, но громоздких преобразованиях, получим
Д = с 6(1-/32)2. (14)
Теперь выражение, например, для х будет иметь вид
■■ 1 x = —
А
L,:
xy;
M{, [c2(1 -в2)+ y ]; yz;
N1; yz; [c2 (1 -в2)+
(15)
Громоздкие алгебраические преобразования при вычислении (15) позволяют в конечном итоге получить сравнительно простое выражение для х
x = ■
—(-B2 y-—By zlVi-87-—HvW(1-в2)3. m0 V c c I m 0
(16)
Аналогично вычисляются выражения для у и г. В результате получаем систему уравнений движения в виде: