Запаздывание релятивистских мюонов в ШАЛ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.591

ЗАПАЗДЫВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ МЮОНОВ В ШАЛ

Ю. Н. Вавилов, Л. Г. Деденко1

На основании точных расчетов траекторий движения мюонов в магнитном поле Земли, а также простых оценок показано, что времена задержек для релятивистских мюонов в ливнях с энергиями ~ 1015 — 1016 эВ не превышают величины Дг ~ Юме. Поэтому наблюдаемые в некоторых экспериментах большие задержки (Дс > 50 не) не могут быть связаны с запаздыванием мюонов, генерированных в стандартных процессах распада пионов и каонов.

Уже давно в разных работах [1 - 7] сообщалось о детектировании на нескольких установках частиц с временами запаздывания Д^ > 50 не относительно первой частицы, наблюдаемых в широких атмосферных ливнях (ШАЛ) с энергиями ~ 1015 эВ на расстояниях г < 30 л< от оси ливня. Было сделано предположение [1], что возможной причиной таких задержек является генерация новой гипотетической частицы с массой ш ~ 40 ГэВ и временем жизни г0 ~ 1 мкс. Прежде, чем рассматривать нетривиальные гипотезы, следует оценить возможные времена запаздывания частиц в рамках стандартных представлений о генерации мюонов в процессах распада пионов и каонов. В данной работе на основе решения релятивистских уравнений движения мюонов в рамках многогруппового метода показано, что времена г запаздывания мюонов с энергиями выше 5 ГэВ, наблюдаемых в ШАЛ с энергиями Е ~ 1015эБ на расстояниях г < 30 ле от оси ливня, не превышают 5 - 10 не. Представлены распределения времени т для

различных расстояний от оги пийня

Многогрупповой метод. Для учета флуктуаций в развитии ШАЛ распространение первичной частицы (протона или ядра железа) в атмосфере прослеживалось методом

Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова.

Монте-Карло. Распространение пионов рассматривалось на основе решения уравнений переноса [8, 9] в рамках модели кварк-глюонных струн [10, 11]. Все мюоны, которые рождались в атмосфере, были поделены на группы. В одну группу входили пионы, образовавшиеся в интервале глубин х — х + Ах с энергиями в интервале Е -г- Е + А Е и летящие в интервалах зенитных углов атй + Да и азимутальных углов 8 4-8 + А8 относительно оси ливня (в локальной системе координат, см. ниже). Расчеты проводились для разбиения по глубине на 50 интервалов, по энергии на 25 интервалов, по зенитному углу на 100 интервалов и по азимутальному углу на 360 интервалов. В каждой группе мюону приписывались средние значения глубины генерации, энергии и углов а а 8. Каждой группе приписывался также её вес, равный числу мюонов в группе, поделенному на два, так как мюоны разных знаков рассматривались порознь. Далее для мюонов каждого знака со средними параметрами решалась система релятивистских

т запаздывания мюонов на различных расстояниях г от оси ливня. Некоторые детали и обозначения приведены ниже. Всего для каждого ливня находилось решение 2 х 50 х 25 х 100 х 360 = 9 • 107 систем уравнений движения.

Системы координат и направляющие косинусы траектории мюона. Определим основную систему координат следующим образом. Выберем начало координат (точку О) на поверхности Земли, направим ось Ог вертикально вверх, ось Ох - на Восток, а ось Оу - на Север (рис. 1). Вектор индукции В магнитного поля Земли в этой систе ме координат направлен к Земле и характеризуется склонением Б = 4° и наклонением I = 68° (рис. 1). Величина поля равна В = 0.54 • Ю-4 Т.

Определим также локальную систему координат О'х'у'гв которой удобно задавать направление траектории мюона. Точка О' может быть выбрана в любой точке оси ливня. Направим ось СУ г' по направлению оси ливня, а оси О'х' и О'у' определим в плоскости, перпендикулярной оси ливня. В этой системе направление траектории мюона определяется зенитным углом а и азимутальным углом 8 (рис. 2). Эти углы определяют направление единичного вектора г, касательного к траектории мюона. Очевидно, что вектор г определяется следующими составляющими:

Как известно, положение одной системы координат относительно другой полностью

Л Г ГЛ и 11 (Л п Ц 1А Г Г О ТЛ О Г Т Т-Т а х»

(1)

г

У

/V

О

Г

и

/ „

то

У'

Рис. 1. Основния система координат и направление ьектори Б магнитного ноля Земли.

определяется заданием трех углов Эйлера. Например, если основную систему повернуть на угол ф (против часовой стрелки) вокруг оси Ог (матрицу этого преобразования обозначим как А\) до совпадения положения оси Ох с линией узлов О К (линией пересечения плоскостей Оху и Ох'у'), затем повернуть (против часовой стрелки) вокруг этой линии узлов на угол в (матрицу второго преобразования обозначим как Лг), и, наконец, вокруг оси Ог' повернуть против часовой стрелки на угол (р (соответствующая матрица преобразования будет Аз), то получим новую систему О'х'у'г' (рис. 3). Эти преобразования можно описать с помощью матрицы А:

Рис. 2. Направление единичного вектора г.

А = Аз ■ А2 ■ А1г

(2)

где матоины отдельных повооотов оавны:

(3)

по о|

< О СО?^ 8Ш 0 ' ;

(о -ятб сов0 ]

соэ <р <£> 0

— эт <р сое <р 0 0 0 1

(41

(5)

Обратное преобразование позволяет определить координаты вектора г' в основной системе по координатам вектора г' в системе О'х'у'г':

г = А'1-г',

(6)

где А 1 - матрица, обратная к А.

г

К

Рис. 3. Повороты на углы ф,6 и <р основной системы координат. Рис. 4. Направление оси ливня.

Определим направление оси ливня зенитным углом в3 и азимутальным углом ¡ря (рис. 4). В этом случае для углов Эйлера имеем соотношения:

ф = 1р3 + 7г/2

е = тг-е3. (7)

Угол (р, очевидно, можно выЬрать произвольно. Поэтому положим

V = тг/2. (8)

В случае выбора (7) - (8) составляющие вектора г', которые определяют направление движения мюона при его рождении в основной системе координат, направляющие

косинусы будут равны

t

cos в cos ip sin or cos 6 + sin ip sin a sin S + sin 0 cos <р cos а cos в sin <р sin a cos ¿ — cos ip sin a sin 8 + sin в sin <p cos a sin 0 sin a cos S — eos в cos a

г =

(9)

R (Q^l f) РГ oí — что vmi яииня fl. и w.. v kototiwy для пппгтпты nnvmeHbl нижние индексы

— \ ~ / f - — ' d — " о Г " J «/ X" ' ' JГ J '

V.

Уравнения движения. Релятивистское уравнение движения мюоноа в магнитном поле Земли имеет вид:

—♦ 7Т 7

= е - (V х В), (10)

<и

где т - масса мюона, е - заряд мюона, 7 - лоренц-фактор, V - вектор скорости мюона и В - индукция магнитного поля Земли. Если выразить лоренцевский фактор 7 мюона через его энергию Е, то в основной системе координат уравнение (10) можно переписать в виде системы уравнений:

^ = ес\УуВ2 - У,Ву)/Е,

^ = ес2(У2Вх-УхВ2)/Е, (11)

dt dVz

= ec2{VxBy - VyBx)/E,

dt

где с - скорость света. Для удобства введем безразмерные переменные. Будем измерять время £ в единицах Т0 = Ео/(еВсгде Е0 - пороговая энергия мюона. Это время в 2п раз меньше периода обращения по ларморовской окружности. Если для Тянь-Шаньской установки принять значения Е0 = 5 ГэВ и В = 5.4 • 10~5 Г, то получим Т0 ~ 1.03 • 10_3 с. Компоненты скорости Ух, Уу, К, будем выражать в долях скорости света с, а компоненты ВХ,ВУ,В2 индукции магнитного поля - в долях величины полного поля В. Тогда в

безразмерных переменных т = t/T0, vx = Vx/c, vy = Vy/c, vz = Уг/с, bx = Bx/B, 6y = By/B, bz = ВzIВ система (11) принимает вид:

dv

= e0(vybz - v2by) • (Eo/E),

(IV

—I = e0(vzbx - vxbz) ■ (Eo/E), (12)

ат

dv

—j^ = e0(t;x6v - uy6x) ■ (E0/E),

где eo = e/je| - знак заряда мюона. Для определения траектории мюона систему (12) надо дополнить кинематическими уравнениями. Если длину измерять в единицах /о = сТо = 3 • 105 Л1, то безразмерные единицы длины будут х = X/l0, у = Y/Iq, z — Z/lо- В безразмерных единицах кинематические уравнения можно записать в виде:

dx dy dz

Tt=V-TT=V^TT= (13)

Начальные значения координат x0,yo,zo и скорости vx0, vy0, vz0, которые необходимы для решения системы шести уравнений (12) и (13), определены ранее.

Метод решения. Для решения системы уравнений (12) и (13) будем использовать явную численную двухшаговую схему. Шаг hT временной сетки определим из следующих соображений. Мюоны с энергией Е > ЪГэВ рождаются в основном на высотах ~ 1 — 20 км. Ларморовский радиус таких мюонов равен примерно R ~ 300 км. Поэтому участок траектории длиной / ~ 100 м для таких мюонов будет практически прямой линией. Схема 2-го порядка позволяет учесть небольшие отклонения от прямолинейной траектории на таком участке. Практически была выбрана дискретизация по времени At = 400 не, что соответствует выбору I — 120 л«. Таким образом, шаг по времени в безразмерных переменных был выбран равным hT — At/To — 3.888 • Ю-4. В соответствии с выбранной численной схемой определим систему уравнений для скоростей:

<+1/2 = < + Rn ■ (vnybz - vnzby) ■ (К/2),

<+1/2 = Vy + Rn ■ № - <bz) • (Лт/2), (14)

v

1+1/2 _ t,n

z

= < + Rn ■ (vnxby - vnybx) ■ (hT/2),

где введено обозначение Яп = ео(Ео/Еп) и индекс п сверху обозначает номер шага по времени. Отметим, что на каждом временном шаге учитывалось уменьшение энергии Еп мюона из-за ионизационных потерь:

Еп+1 =Еп_ ДEt (15)

где АЕ - ионизационные потери на участке / = chT. Величина ДЕ определялась как

dE

АЕ = 1-(р(х))

dx '

(16)

где (р(х)) - средняя плотность на глубине х и ^ - стандартные ионизационные потери энергии мюона. На каждом первом шаге вычислялся множитель _рп+1/2? который учитывает уменьшение скорости мюона из-за изменения его энергии

рп+1/2 _

1

/ тс2 У / [еп+1/Ч j \

1 -

тс'

\ Еп

(17)

где Еп+1/2 - Еп - АЕ/2. Очевидно, что вели

лИЧИНа < 1. Oiöx МНОЖйхслЬ ИСиОЛЬ-

зовался для вычислений уточненных значений скорости мюона:

п+1/2 _ Г1П+1/2 . п+1/2 их} - 1 X 5

п+1/2 _ р.п+1/2 „П+1/2 vyf - r vy '

п+1/2 _ рп+1/2 . „п+1/2 — Г Vz ■

(18)

Затем на втором шаге вычислялись значения скорости мюона в момент времени (п + 1)/гт:

= «£ + ■ (vnJ1/2bz - vnX'\) ■ hT,

= < + Rn+1/2 ■ (v:l1/2bx - v^'X) ■ hT,

= и" + /гп+1/2 • Kl1/2by - vnJ1/2bx) ■ hT,

(19)

где Дп+1/2 = е0(Ео/Еп+1/2). Для согласования скоростей мюона, определяемых по формулам (18), с изменением энергии мюона (15) вычислялся множитель Fn+1:

pn+i _

\2 /

(20)

Далее вычислялись уточненные значения скорости мюона:

vn+l = Fn+1 . уп+15

= (21)

„П+1 _ рп+1 _ ?)п+1 ~ г! — - г

Значение координат вычислялись по следующим формулам:

уп+1 = уп + <71/2 ■ (22)

гп+1 =гп + г#1/2 • К.

Уравнения (21) и (22) связывают скорости и координаты мюона в моменты времени п • ИТ и (п + 1) • /гт, где п изменяется от 0 и до значений ~ 8 — 200 в зависимости от начальных условий. Последнее значение п определяется из условия пересечения мюоном плоскости детекторов г — 0. Если, например, величина гп > 0, а значение гп+1 < 0, то условие пересечения имеет вид:

0 = гп + • Дт, (23)

где, очевидно, Дт < /гт. Это условие определяет интервал времени Дт:

Дт = (24)

Очевидно, что полное время движения мюона (от момента его генерации) будет равно:

т = П ■ К + Дт, (25)

а координаты точки пересечения плоскости детекторов будут определяться формулами:

хл = хп + 1#1/2 • Дт,

у* = уп + 1#1/2- Дт.. (26)

Вычисления проводились для положительно и отрицательно заряженных мюонов.

Результаты и выводы. Прежде, чем приводить точные результаты расчета, оценим сначала времена Д£ запаздывания мюонов по порядку величины. К детектору, находящемуся на расстоянии г от оси ливня, мюоны, рожденные на высотах кх и прилетают со следующим временем задержки:

(^-М г

2 с п 2

Если принять г = 30 м, к? = 10 км, = 300 м, то получим для задержки Д^ = 5 нс. Очевидно, это максимальный разброс, реальные задержки должны быть меньше. Отклонения мюонов в магнитном поле Земли не могут существенно изменить этой оценки. В самом деле, отклонение х на уровне наблюдения определяется простой формулой:

х = к- (Л/2Д), (28)

где к - эффективная высота генерации мюонов, а В, = (Е/е) • (1 /В±с) - ларморовский радиус траектории мюона с энергией Е и зарядом е, В± - поперечная компонента магнитного поля. Если принять к — 5 км, Е = \ЪГэВ и В± — 1.8 • Ю-5 7', то получим х < 4м.

А

0.60 -0.50 -0.40 0.30 -0.20 -0.10 -

-30 м

42 м

0 123456789 10 Д^ не

2.2 2 1.8

1.6 1.4 1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

1-е

■ 11111*11-*

0123456789 10 Д^ не

Рис. 5. Распределения времен задержки для первичного протона с энергией 101бэ5 для расстояний от оси ливня 30 м (сплошная гистограмма) и 42 м (пунктирная гистограмма).

Рис. 6. Распределение времен задержек для первичного ядра железа на расстоянии 30 м от оси ливня (энергия ядра железа 1016э5.^

Вычисленные распределения времен Д£ запаздывания мюонов для расстояний от оси ливня 30 м и 42 м для первичных протонов с энергией 1016 эВ приведены на рис. 5 как сплошная и пунктирная гистограммы, а на рис. 6 - для расстояния 30 м от оси для первичных ядер железа. Видно, что ~ 100% событий в первом случае имеют задержки

< 5 не, а во втором - <7 не. Доля событий с задержкой > 10 не ограничена величиной 10~3. В случае г ~ 1 м задержки At не превышают 2 не. Видно, что распределение At для железа не шире, чем аналогичное распределение для протонов. Таким образом, точные расчеты подтверждают простые оценки (27) и (28), дающие малые времена задержки. Наблюдаемые в работах [1 - 3] большие задержки не могут быть объяснены в рамках стандартного механизма генерации мюонов в распадных процессах пионов и каонов.

В заключение, один из авторов (Л. Д.) выражает благодарность РФФИ (грант N 03 02-16290 и грант N 05-02-17410) и INTAS (грант N 03-51-5112).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Sakuyama Н., Suzuki N., and Watanabe К. Nuovo Chimento, C6, 371 (1983).

[2] J n о e N. et al. J. Phys, G, 11, 657 (1989).

[3] A t p a hi к e в и ч В. Б. и др. Известия РАН (серия физ.), 58, 98 (1994).

[4] A n t о n i Т. et al. KASCADE Collaboration, Astroparticle Physics, 15, 149 (2001).

[5] В e i s e m b a e v R. U., V a v i 1 o v Yu. N., Deaenko L. G., et al. Proc. 24-th ICRC, Roma, 1, 454 (1995).

[6]Бейсембаев P. У., Вавилов Ю. H. и др. Известия РАН (серия физ.), 61, 540 (1997).

[7] В е i s е m b а е V R. U., V a v i 1 о v Yu. N., et al. Proc. 29-th ICRC, Pune (in press).

[8] A h t о н о в E. E., Д e д e н к о Л. Г. и др. Письма в ЖЭТФ, 68, 177 (1998).

[9] Д е д е н к о Л. Г., Г л у ш к о в А. В., К о л о с о в В. А. и др. Изв. РАН, сер. физ., 68, N 11, 1640 (2004).

[10] Кайдалов А. Б., Тер-Мартиросян К. А. ЯФ, 39, 1545 (1984). [И] Калмыков Н. Н., Остапченко С. С. ЯФ, 56, 105 (1993).

Поступила в редакцию 3 февраля 2006 г.