CC BY
8
УДК 539.3: 533.6: 517.9
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. А. МОЛГАЧЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОТОЧНОГО КАНАЛА
с разделительной стенкой, содержащей
УПРУГИЕ элементы
Рассматривается математическая модель в задаче о двю/сении идеальной э/сидкости в двухпроточном канале, разделительная стенка которого содержит два упругих элемента. Предло-э/сен численный метод исследования устойчивости двиэ/сения элементов.
Построение модели и исследование устойчивости упругих элементов на ее основе проводится в линейной постановке, соответствующей малым возмущениям однородного дозвукового потока и малым прогибам элементов.
Рис.1 Канал с разделительной стенкой Рассматривается плоское движение жидкости в двухпроточном прямоугольном канале
J] = |(х, у) е Я2 : 0 < х < I, у0 < У < 0 : ^2 = |(х’ у) е :0 < х < •£', 0 <у<у*
Скорость невозмущенного потока V направлена вдоль оси Ох. На разделительной стенке канала у=0
имеются два упругих элемента при х е [а+ ,Ь+] и х е [а~,Ь~ ], (0 < а-1 < Ъ+ < а~ < Ь~ < €).
Введем обозначения: и ■и>_(х,/) - прогибы упругих элементов; ф\{х,у,?)> <^2(-х>0 - потен-
циалы скорости возмущенных потоков в нижней и верхней части канала.
Математическая модель включает следующие уравнения и условия:
4>\хх + <Р\уу = °> Ыу) 6 *71> Ргхх + ^2 уу = (Х> у) Е ¿2
Iі(и'±)= -р{(ри + У<р1х) + р(сръ + У<р2х) ,дгє(й±,6 + ).
I; (м>) = О
д 4
ОХ
7=0
А7± д2м ± дм а±
-I- N —— + /і, —- + /30 ж
Эх“ ді
(1)
(2)
+ /?2 дх*ы 'д!2
(р1у{х,0^) = м>*+Умг, х є (а±, \ і = 1,2
<р^(х,0,/) = 0, хє[0,д+]и[6\я“]и[Г,/|, / = 1,2.
£>1 у(а-,.у0,/) = о, <р2у (х,у*,¿) = 0, X е [0,£].
(рі (О, у, 0 = 0, щ (/, V, г) =0, і = 1,2, у е (>’0, >•* )
(4)
(5)
(6) (7)
В выражениях /7 (и-) под и{х,/) следует понимать ^(м). Индексы х, у, 1 снизу обозначают производные по х, у, I; р — плотность жидкости; 1) ! — изгибные жесткости; М± — погонные массы пластин; N " —
г •
сжимающие (растягивающие) пластины силы; — коэффициенты внутреннего демпфирования (материала
пластин); /3^,/3ц -коэффициенты демпфирования и жесткости оснований.
Потенциалы скорости (рх (х, у, /), (р2 (х, у, г) с учетом (6), (7) представим в виде
<Р\
(х,У, 0 = X у/к (0(еА^ + е л*уе2Л*у° )біп Лкх, (рг (х, у, г) = X <рк {ї)(еХкУе 2ХкУ- + е ХкУ )яп Якх>
к=1 ¿=1
Вестник УлГТУ 3-4/2003
25
ктт
~т
Удовлетворяя условиям (4), (5), получим
?
(рк( 0 =
ЯкС{е
¥к (0 =
-2 Я,;-.
-О
f 1 ^ b~ / / ^ \
j w+ + Vw+ s і n Д* X£& + [ 1 N iC + 1 s і n Xk xdx
ча+ \ ^ w a“ 4 У J
Л^(1 - е2Л‘Уа) Тогда уравнения (2) примут вид
fb* ( /Г f 1Л \
i li' + 4- Vw+ s і n Я;. xdx + [ + Vw~ s і n Xk xdx
и + \a V ) w a~ V У /
£± (w±)=l£. £ "H4ii
^ А'=] Я,
cth(Zky0)-cth(Xky*)
¿V t \
If
w -і- Fw
• ,±
sin x dx +
/
(3)
ctKXkyQ)-cih{lky*)
2pV * .
+------2, c°S'4,x
^ jt=i
Пусть пластины закреплены шарнирно, тогда
=
і
і*
і
д:
V
sin Akx dx, xe[a±,b±]
ft
О, и'* =0, х = а±,Ьх.
В соответствии с граничными условиями прогибы пластин представим в виде
(х, 0 = Е (О#* О) >
/?=1
(9)
(10)
кіл \ • і/ ±\ і У17С
где £п (х) = ьтт]„(х-а ), т}„ = —----+ .
О - £7“
I
Подставляя н'т (х,г) в уравнения (8) и применяя процедуру метода Бубнова-Галеркина (проецируя (8) на систему функций (х)^ и на систему функций (х) | ), приходим к конечной системе дифференциаль-
ных уравнений второго порядка для ™*(г)
АГ'И'“ +
/
Pi К +А
±
N
Ч
/
• *+■
W +
+
ч
\
/
wp+
s±
+ ЕИмй« + + [ct,
q=1
РЯ
для (+) р = 1 -г- 5', для (-) р = 1 -г- 5~ . Запишем эту систему уравнений в матричной форме
Мм> + К\\; + = 0,
>H ■■■my' Ґ " ^ Wj • ¿и •••%' Z' * > Wj /ац-Qi/ "J4 У
9 « • • Ф • • ♦ • • « • + • • * • • • 9 • • « • • • • • • • • • • • • • • • л •
• • Wr \ r / , -.. lr ^f\r 1 Л7гу 4 r / Wr \ r J vOJ
где матрицы М,К,0. имеют размерность гхг,г = я' + $ \ (/),...,иО-(ґ),'И’і - (/)] ,
т.
а =М+5у+Ау, + 4ц + В*,П„= 0+дГ + А+ Sv + qj + Dtj,
чу \ У
\
/
ч
т +,. +, . = М 8и + А» , + , .
5 +/,£ +J U U S +i,S +У
г+
.V
Л
N
Рі Л +А ¿ij+Bij>&s*+i,s++j
ч
у
^ Л + А) + Су + Ay,
V. /
m .
s +i,J
^ij ’ ^i,s++j Bu ’ ^/,i,++y ’ z" ^ 5 1 • 15 >
= Яу » ^V+/J ~ J ^V+/J = 1 = ’■/ = ^ ’
4 =
i. ‘ = J
символ Кронекера.
dr i it . tn
Постоянные A^j , Б;/-, C;y , Ay , $,у , Cjj, DtJ вычисляются следующим образом:
7^ 5 Kt Ь* Ь*
Л* = — — Jс/ (х) sin ЯА.хг/х J(х)sin ЯА.xdx,
'V
.у (Ь*
С ы\ а*
л*
h*
2d х 1° п 1 л*
= — Y, К к (*)cos Л-j£y (х)sin Якхс1х + — | £* (х) Sin ЛА. Х£& | (х) sin Хк xdx
*■ *=4 [у а± Як и±
S
'/
а
ci =
2р *
и р *-
1 к=1 в*
IX' j^f (х)cosXkxdx J£ (x)sinЯ*х<&, Ду = |£*(*)£/ (x)dx, для (± ) i,j = 1 +s* ;
£3
9
А± = -±Р
Лу
6T
V a- a
¿* ¿>T jcf (x)sin Я*хб& J cj (x)sin Akxdx + Jqf (x) cos Як xdx \£y (x) sin ЯА. xJx
a
a
a
j
_ s b1 b* j _
Cfy = ~-~^Кк \%f{x)bosXkxdx J£y (x)sinЯкхс1х, для (±) / = Ьг, j - 1 -f-^+,
a
где кк = аЦЯку*)- сЖ(Яку0) .
Представляя м>(/) в виде м'(?) = &ехр(Я/) (где а - столбец неизвестных коэффициентов), приходим к однородной системе г линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой зависят от Я
[мя1 + КЯ + п)рс= О,
(П)
/
т] j * • • т
\
\г
W
У
я +
/
к\\'"К
\
кК\"'Кг j
О] j •••Q
я+
\г
• •
Qri • • -Qrr
г \ a.
7)1 1 * * * П1 _ г 1 7/^гг
Система (12) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю
О
V0/
ф И, .4, ^
777| j/t + |Я + Qj j * • •7WjrA + k\rA, 4*
2 - .v.. ...
nir\A, + kr\A> + ,щтшгг^ + krrA + Q
rr
-0.
(12)
Решс\я численно характеристотеское уравнение (12) методом парабол с помощью простых итераций (определитель на каждом шаге вычисляется методом Гаусса), находим значения А. Исследование устойчивости
решений м>~(х,?)системы (8) сводится к рассмотрению действительных частей Я (если все Яе Я,- <0, то
колебания упругого элемента асимптотически устойчивы, если хотя бы одна Не Я,- > 0, то неустойчивы). Проведен соответствующий численный эксперимент.
Вельмисов Петр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи по аэрогидромеханике, аэрогидр оу пру гости, математическому моделированию.
Молгачев Алексей Анатольевич, ассистент кафедры «Высшая, математика» УлГТУ. Имеет статьи по аэрогидроупругости, математическому моделированию.
