CC BY
10
УДК 517.9:533.5:539.3
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. А. МОЛГАЧЕВ
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ СТЕНОК КАНАЛА
Предлагается методика численного исследования динамической устойчивости упругих элементов канала, находящихся во взаимодействии с потоком газа (или жидкости) Исследуется задача о плоском движении идеального несжимаемого газа (или жидкости) в канале, каждая из стенок которого содержит упругий элемент.
У
V ; !
* I : : ! > ■ ; а" ---—1-!-I--
Й а а* Ъ* Ь X
Рис. ] Пдний Кинал с упругшт элементами
Исследование устойчивости проводится в линейной постановке, соответствующей малым возмущениям однородного дозвукового потока газа и малым прогибам упругих элементов стенок канала.
Рассматривается плоское движение газа в прямоугольном канале - р \ I ¡.7 хЬ, 1) --. у --- ^г'и Скорость невозмущенного потока
газа V направлена вдоль оси Ох. Упругими являются части стенки у- 0 при
уе[о ,Ь ], (я<я <,Ь <&) и части стенки у = о при х э (а+, Ь+), (а<а+<Ь+<Ь)
Введем обозначения: w+(x,t) и - прогибы упругих элементов соответственно стенок у — у0 и у = 0;-потенциал скорости возмущенного потока газа/ Математическая модель включает следующие уравнения и условия:
Г (ту" Р„ - р, - р[ф, (I, уа, г) -I- р1р, (г. (2)
Г[*-)ш р, ■ ра 4 р^ Д О, I) + Уа, (л Д 0]. * ^ (в" ,ь'), (3)
* W„ D4 ^ + M 4 ** £+ ^ S + ? + ^
pi Оf Cff" Of
В выражениях Lr(w) под w(x,t) следует понимать w±(x,t). Здесь индексы х, у, t снизу обозначают производные по х, у, t; р - плотность газа; D± - изгибные жесткости; М* - погонные массы пластин; N~ - сжимающие (растягивающие) пластины силы; (3j - коэффициенты внутреннего демпфирования (материала пластин); |3f, (3q - коэффициенты демпфирования и жесткости оснований; р0 - давление в однородном потоке; р, - внешняя распределенная нагрузка, действующая на стенки канала.
Потенциал скорости 4>(x,y,z,t) представим в виде
ф+ = ■
*=| а-а
Введем обозначения со+(х,*)= Ay{x,yQ)t), со (x,t)= фДхД/1), хе{а,Ь). Для удовлетворения граничных условий (4), (5) следует минимизировать функционалы
h = 11yinU (дг^- » (* г)1 Л'-i >
h^itifa*** dx.
Запишем условия минимума функционалов
|Jj- = 0f ¿3.1-'О, Й.-1+j, t. -Bkt ft* =
Эти условия позволяют представить Gk. Н к в виде:
Н> I 77 '-■;:" -т r (7)
тогда уравнения (2), (3) с учетом (6), (7) и рО = р. примут вид
b-ut. ■ ¿\ J
Ь-сц, |
К || ■+ Ууг* \ чп (л - - IV" + ¿/п Л д (.х -
М-
¿-Дм Х^^Ау^у,)
„Л > _
Ч [| IV
Пусть пластины жестко защемлены, тогда граничные условия имеют вид
т^ х-^Ж- (10)
В соответствии с граничными условиями прогибы пластин представим в виде
Н-1 {*,?)=
(11)
функции, являющиеся решениями дифференциальных уравнений Постоянные X* находятся из уравнения
Подставляя w+(x,/) в уравнения (8), (9) и применяя процедуру метода Бубнова-Галеркина (проецируя (8) на систему функций |£*(х))*+и (9) на систему функций {лCY)}i X приходим к конечной системе дифференциальных уравнении второго порядка для \¥р
м-аг +р* ^ +.
4-1 . ?)=».
для (+) р = 1 -:-5+, для (-) р - 1 +s . Запишем эту систему уравнений в матричной форме
Ж + к™+ о,
№
Гв^-о^1!
где матрицы М,К,С> имеют размерность гхг, г = +
=- л ■ V«/.,=№ + иг), + щ. Къ-Щ<
Т +и 7 / • 1 нц ч ■ ** 1
1. 1*1 О, ?' Ф /
- символ Кронкера. Выпишем слагаемые, учитывающие аэрогидродинамическое воздействие:
4 = ¿¿^^^к'М^М--^км^М*-«)*.
Где
Ь — о ¿в] ^
к Мм»
/ -
4* ь* \
«* }
С« = ?&*(*)»**« (* - -
л1 а*
а
Щ - -;t\ Л к(х-=)* £]'ч Л* - -
Представляя w(t) в виде w(f) = ae)J (где а - столбец неизвестных коэффициентов), приходим к однородной системе г линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой зависят от X
(ж2 +л& + ;п)ь£.= 0) (12)
V •V Чг'%' А
\ Лг и
03)
Система (12) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю гя, + А,, л +11, ■ ■ ■ .'п^Х1 - л + £31,
; ьО-
"гЛ1 + К '+ -- ^ ~
Решая численно характеристическое уравнение (13) методом парабол с помощью простых итераций (определитель на каждом шаге вычисляется методом Гаусса), находим значения X. Исследование устойчивости решений wЛx, £) систем (8), (9) сводится к рассмотрению действительных частей X (если все Re(X, )< 0, то колебания упругого элемента асимптотически устойчивы, если хотя бы одна Де(Х, )> 0, то неустойчивы).
Приведем численный пример расчета на ЭВМ для заданных параметров:
= 101,76, ДГ=Р|А~=в4.3, И* ~ 0,012, =0,01, v=0f^}\,
р<, =8480, О* «г—г—Г1=Ш5168'Ш\ О" 1-бР45351б-10\
12(1 - V } Щ-ч2}
£ - 7-ю10, р;=р; = рг я=оа ь=зо, ^-од, я"-в,
Ь~ ■ 10, а «=?, Ь+ =11, =4, =4, Лм =300, Г = I,
где ^ - толщины упругих элементов; V - коэффициент Пуассона; Е - модуль упругости Юнга; р0 - плотность упругих вставок.
Таблица 1
Действительные и мнимые части к
■шюто -0,015ИЗ
-: : Плоско -ЦЮОЙИ
Г во 1М
■ 107,042 В9Я 135.71«]; -135.716^15
я ,
ад (X 1 -4,161275 ■3,997012 -1.9?70Р:>
Г т"т ( х 1 295.53525^
-¡1.107055 -11,1 (Вш5
1в 1 'к -110,543621 .ДОДОЗМ! 1 49ЩНЭД1
В этом случае имеем асимтотическую устойчивость, т.к. Re(k) < 0.
Рассмотрим, как влияют параметры системы на ее устойчивость. В качестве параметров возьмем толщины пластин (при отсутствии сжимающих и растягивающих усилий) и определим критические скорости, при которых происходит переход из устойчивого состояния в неустойчивое.
Таблица 2
Зависимость критической скорости от толщины пластин
/¡' 0,012 0,013 0,014 0,01« 0,017
А" 0,010 0,011 0,011 0,013 0,0! 4
Г г- 14,150100 Е 7,0751 15.44И43 21,997070 2АМШ В
Из таблицы видно, что чем больше толщина упругих элементов, тем больше значение критической скорости.
Исследуем зависимость значений критической скорости от числа приближений для прогибов, в частности при изменении этого числа только для верхнего упругого элемента (для нижнего это число фиксировано и равно s~ = 2). Скорость вычисляется с точностью 0,000001. В таблице 3 5 обозначает разность значений скорости, вычисленных для п-ио и (и-1)-го приближений.
Таблица 3
Изменение значения критической скорости от числа приближений
г ] 2 3 i !
У* 8.й0£241 В,598950 а, 598.15* 8,59341 &
в _ 0,009291 0,0004« о.оооо^! 0.00'!005
Из таблицы 3 видна достаточно быстрая сходимость значений скорости по мере увеличения числа приближений, при этом очевидно, что V можно
Л : В : С : О; Е Р: О: Н : 1; J :
1,<Н37}0с -04
5,4(1 | [Щ В.54Я I
ЦВДОбЙсНК 1,[7ВМе-»<1.5
вычислять уже по первому приближению. В результате численного эксперимента построены области устойчивости на плоскостях (к,Лг'), ) Устойчивому состоянию соответствует знак (+).
Исследование устойчивости на плоскости (V, )
Значениям N соответствуют параметры:
VI '
1,027Ё22«-Ч)| | - . .......
0.М;«]8=-|(Ю |........ . _
ЙИИИШ-ВД | 1- + +.......
ь,азб40Ре И)о: т 1- ■+ + *.....
5,7^1.54+00 | -С + + + + , , . . *,0152(Юс-К)(} | *'+ +.+ + 4- * - - -
| ^ + 4 + 4 *___
1,213 Зй7;НОО [ 4 + 4 . 4- + 4 + . . ],1Л7«;2е-0] + + + . .
АВСБЕРОНП
Исследование устойчивости на плоскости (V, №)
Значениям N соответствуют параметры:
V! ~ ..............
1,057ЮЗе4О1 |..........
У,]4761Ег-ЧК1 ' - - -.......
15,01701| + . . . _
б.ЮМЮвКЮ | + + 4 + . . ... .
5,75580^4-00 + + + + + ..... 4:б25200с-Н» - - , .
100 \ ■+ -с Ф + + + + . . .
*ЭЙ531с*{К> 1++4++++4. . . 1^^387^+00 ¡44 + + + 4+ Ч- - -г.а^Щс-о! ■ + + * + + + + + . .
АВСБЕРОНи №
Вельмисов Петр Александрович, доктор физико-математических наук, про-фессор,заведующий кафедрой «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета, окончил. механико- математический факультет Саратовского государственного университета. Имеет монографии и статьи по аэрогидромеханике, аэрогидроупругости, математической физике, устойчивости.
чып^п
Ш5214г40[
дозмэдз
2,5(501
1,411021/1-Ю4 4,261 |-|)4 3,112711с+04 Ы:
-I" 7,йб52Л4<л01
Молгачев Алексей Анатольевич, аспирант кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Ульяновского государственного университета. Имеет статьи по аэрогидроупругости, устойчивости. 52 Вестник УлГТУ 1/2001
