МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПАЛЬЦЕВ РУКИ ПРИ СОВЕРШЕНИИ ОПЕРАЦИИ "ХВАТ" Текст научной статьи по специальности «Математика»

JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2019 - V. 26, № 3 - P. 103-106

Раздел III

ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ БИОЛОГИЯ (03.01.00)

Section III

PHYSICAL AND CHEMICAL BIOLOGY (03.01.00)

УДК: 611.7 DOI: 10.24411/1609-2163-2019-16410

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПАЛЬЦЕВ РУКИ ПРИ СОВЕРШЕНИИ ОПЕРАЦИИ «ХВАТ» Р.Р. УРАЗБАХТИН, Р.Н. УРАЗБАХТИН, П.К. ПАРФИРЬЕВ

ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет», ул. К. Маркса, д. 12, г. Уфа, 450008, Россия

Аннотация. В настоящее время особенно актуальными являются кроссфункциональные исследования, проводимые на стыке медицинских и технических наук. В первую очередь это касается такой области исследования и разработок как протезирование. Основная задача протезирования состоит в замене утраченных или необратимо повреждённых частей тела человека на специальные устройства, выполняющие часть функций утраченных конечностей - протезы. Важной задачей на этапе проектирования протеза является корректная оценка нагрузок на различные части тела в процессе движений. С точки зрения не имплантируемого протезирования интерес представляет создание протеза, который по совершаемым движениям был бы максимально близок к конечности человеческого тела. Для определения параметров движения частей тела человека используются специальные экспериментальные установки - имитаторы движений. Эксперименты с использованием имитаторов движений занимают большое количество времени и требуют больших денежных затрат. Более эффективной альтернативой по временным и денежным затратам является создание адекватной математической модели, которая бы наиболее точно описывала движения конечностей человека. В данной работе создана математическая модель пальцев руки при совершении операции «хват». Создана расчетная модель для пальцев руки при совершении операции «хват». Приведены уравнения, описывающие движения пальцев при совершении операции «хват», а также приведено решение уравнений, описывающих движения пальцев при совершении операции «хват». Показан вид зависимостей, визуализирующих полученные результаты. В статье также проведена оценка адекватности результатов созданной математической модели. Обосновано преимущество и важность созданной математической модели пальцев руки при совершении операции «хват».

Ключевые слова:протезирование, математическое моделирование, пальцы руки, совершение операции «хват».

THE MATHEMATICAL MODEL OF FINGERS OF THE HAND WHILE PERFORMING OPERATION «GRIP» R.R. URAZBAKHTIN, R.N. URAZBAKHTIN, P.K. PARFIRIEV Ufa State Aviation Technical University, K. Marx Sr., 12, Ufa, 450008, Russia

Abstract. Currently, the cross-functional studies united the medical and technical sciences are particularly relevant. First of all it concerns such a field of research and development as prosthetics. The main task of prosthetics is to replace lost or irreversibly damaged parts of the human body with special devices that perform part of the functions of lost limbs - prostheses. An important task at the design stage of prosthesis is the correct assessment of loads on various parts of the body in the course of movements. From the point of view of non-implantable prosthetics, it is of interest to create a prosthesis that would be as close as possible to the limb of the human body according to the movements performed. To determine the parameters of movement of parts of the human body, special experimental setups are used - motion simulators. Experiments using motion simulators take a large amount of time and are costly. A more effective alternative for time and money is to create an adequate mathematical model that would most accurately describe the movement of human limbs. In this paper, we created a mathematical model of fingers of the hand while performing operation "grip". A computational model has been created for fingers of the hand while performing operation "grip". The equations describing the movement of fingers of the hand while performing operation "grip" are given, and the solution of the equations describing the movement of fingers of the handwhile performing operation "grip" is given. The type of dependencies that visualize the results is shown. The article also assessed the adequacy of the results of the created mathematical model. The advantage and importance of the created mathematical model of fingers of the handwhile performing operation "grip" is substantiated.

Keywords: prosthetics, mathematical modeling, fingers, performing of the operation "grip".

Введение. В настоящее время особенно актуальными являются кроссфункциональные исследования, проводимые на стыке медицинских и технических наук. В первую очередь это касается такой области исследования и разработок как протезирование. Основная задача протезирования состоит в

замене утраченных или необратимо повреждённых частей тела человека на специальные устройства, выполняющие часть функций утраченных конечностей - протезы.

Важной задачей на этапе проектирования протеза является корректная оценка нагрузок на различные

JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2019 - V. 26, № 3 - P. 103-106

части тела в процессе движений. С точки зрения не имплантируемого протезирования интерес представляет создание протеза, который по совершаемым движениям был бы максимально близок к конечности человеческого тела. Для определения параметров движения частей тела человека используются специальные экспериментальные установки - имитаторы движений. Эксперименты с использованием имитаторов движений занимают большое количество времени и требуют больших денежных затрат. Более эффективной альтернативой по временным и денежным затратам является создание адекватной математической модели, которая бы наиболее точно описывала движения конечностей человека.

Цель исследования. Авторами предложена математическая модель пальцев руки при совершении операции «хват», которая описывает динамику движений пальцев, совершаемых в течение времени и позволяет оценить силу, которая развивается кистью руки при совершении хвата.

Материалы и методы исследования. Для получения математических выражений, описывающих математическую модель пальцев руки при совершении операции «хват», необходимо схематично изобразить кисть руки и принять определенные допущения (рис. 1. Упрощенная схема кисти руки *).

При построении модели принимаются следующие допущения:

1. Движения каждого пальца при совершении операции «хват» происходят в одной плоскости;

2. Каждая фаланга пальца представляет собой цилиндр, соответственно, момент инерции для фаланги пальца рассчитывается как для цилиндра с длиной и массой рассматриваемой фаланги пальца;

3. Движения соседних пальцев оказывают пренебрежимо малое влияние на движения, совершаемые рассматриваемым пальцем руки;

4. Горизонтальная составляющая силы, действующей со стороны руки, намного меньше вертикальной составляющей этой же силы, поэтому при расчетах принимается равной нулю;

5. Время хвата (время, необходимое для полного сжатия пальца из состояния открытой ладони) принимается равным 0,5 секунды; сила Р, действующая со стороны кисти на пальцы во время хвата, принимается равной 309 Н;

6. Углы отклонения фаланг пальца от вертикали увеличиваются с течением времени относительно исходного положения.

В допущениях время хвата принимается 0,5 секунды как среднее время, необходимое для совершения здоровым человеком хвата. Сила 309 Н принимается как максимальная сила, развиваемая человеком при совершении хвата. Данное решение обусловлено тем, что при проектировании протеза должен быть рассчитан предельный режим его работы, при котором приводами развиваются максимальные усилия и хват происходит за минимально возможное

Рисунки данной статьи представлены на обложке 4.

время, то есть с максимальными угловыми ускорениями, которые создаются приводами.

Математическая модель пальцев руки основана на дифференциальных уравнениях движения -уравнениях Лагранжа. В данном случае уравнения будут составляться в координатах x и y, так как принято допущение (1). Относительно координат (x; y) получатся системы дифференциальных уравнений второго порядка.

Для создания математической модели пальцев руки при совершении операции «хват» смоделируем по отдельности движения каждого пальца руки. Обобщенная расчетная схема для пальца представлена на рис. 2. (рис. 2. Расчетная схема для пальца руки, где: AB, BC и CD - длины соответствующих фаланг пальцев; a = a(t), p = p(t) и y = y(t) - углы отклонения фаланг пальцев от горизонтали, изменяющиеся во времени; Fx и Fy - горизонтальная и

вертикальная составляющие силы соответственно, обусловленной сокращением мышц при совершении хвата).

Знаки проекций величин на оси берутся в соответствии с направлением проекции величины относительно рассматриваемой оси (рис. 2). Соответственно, проекция положительна, если направлена по оси; проекция отрицательна, если направлена против оси.

Запишем выражение, связывающее горизонтальную и вертикальную составляющую силы F . Согласно классическим представлениям физики получим: F2 = F¡2 + Fy; (1)

Далее составим уравнения, согласно рис. 2, при решении которых можно найти функции углов отклонения фаланг пальцев от горизонтали, скорости изменения углов отклонения фаланг пальцев от горизонтали и ускорения изменения углов отклонения фаланг пальцев от горизонтали.

Запишем уравнения для нахождения координат центра масс пальца исходя из классических представлений кинематики:

mab ■ AB ■ cosa + mBC ■ BC ■ cos p + mCD ■ CD ■ cos y

Уц

mAB + mBC + mCD mab ■ AB ■ sin a + mBC ■ BC ■ sin p + mCD ■ CD ■ sin y

(2)

(3)

тАВ + твс + тсп

Запишем уравнения для горизонтальной и вертикальной составляющих ускорения центра масс пальца, с учетом того, что ускорение центра масс пальца развивается за счет приложения внешней силы, обусловленной сокращением мышц:

Fx

mAB + mBC + mCD

(4)

•• Ру - (тАВ + твс + тсп) ■ 8 /сч Уцм =—--(5)

тАВ + тВС + тСП

где 8 = 9,8м/с2 - ускорение свободного падения.

С учетом принятых допущений уравнения (4) и (5) примут следующий вид:

хцм = 0

Уцм

F - (mAB + mBC + mCD) ■ g mAB + mBC + mCD

(6) (7)

цм

JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2019 - V. 26, № 3 - P. 103-106

Также запишем уравнение, устанавливающее взаимосвязь между горизонтальной и вертикальной составляющими ускорения центра масс пальца:

(AB + BC + CD)■ F = hm^ ■ AB2 + mBC ■ BC2 + mCD ■ CD2)■

• Y- (mAB ■AB + mBC ■BC + mCD ■CD) ■ (g + ( V cosY + Уцм sin Y» (8)

Обозначим за M общую массу пальца, то есть:

М = mAB + mBC + mCD •

Тогда для нахождения искомых величин получим следующую систему уравнений:

m.B • AB •• . • mBC • BC •'.„•„ ——-(-asina - acosa) +——-(-p sin p - «eos p) +

M 'm

mCD ■ CD •• . • (9)

+——-(-YsinY-ycosY) = 0 У)

M

mAB • AB •• • . mBC • BC " •

AB -(acosa-asina) +——-(pcos p-psin p) +

M

mCD ■ CD ,

M

+ "un ^ (yCOSY-YsinY) = 0 (10) M

(AB + BC + CD)■ F = 3(mAB ■ AB2 + mBC ■ BC2 + mCD ■ CD2)■

• 'Y- (mab ■ AB + m bc ■ BC + mCD ■ CD) ■ (g + sin y) (11)

Уравнениями (9) - (11) полностью описываются движения каждого пальца руки по отдельности.

Результаты и их обсуждение. Для решения полученной системы уравнений значения масс и длин соответствующих фаланг будем брать согласно рис. 3 (рис. 3. Номера фаланг пальцев руки) и табл. [7].

Таблица

Длины и массы фаланг пальцев руки

Номер Длина части, м Масса, кг

1 0,0451 0,662

2 0,0260 0,121

3 0,0237 0,030

4 0,0254 0,033

5 0,0243 0,022

6 0,0196 0,018

7 0,0173 0,022

8 0,0150 0,014

9 0,0150 0,014

10 0,0121 0,007

11 0,0173 0,016

12 0,0121 0,007

13 0,0168 0,015

14 0,0121 0,007

15 0,0121 0,007

16 0,0116 0,004

Также перед началом решения системы уравнений (9) - (11) согласно выбранной расчетной схеме зададим начальные условия:

а(0) = 0;Р(0) = 0;/(0) = 0

а(0) = 0;р(0) = 0;7(0) = 0

а(0) = 0;3(0) = 0;7(0) = 0 Для решения уравнений (9) - (11) воспользеум-ся пакетом прикладных программ ЫайаЪ. Далее

приведены результаты решения системы уравнений (9) - (11) для каждого пальца руки. Единицы измерения выбраны для получения наиболее наглядного изображения графиков изменения искомых величин. На рис. 4 - рис. 7 представлен вид полученных зависимостей для указательного пальца.

По полученным графикам изменения углов отклонения фаланг указательного пальца от вертикали (рис. 4. Изменения углов для указательного пальца, где: а = а(() - сверху слева; Р = Р(0 - сверху справа; 7 = 7(1) - снизу) видно, что углы увеличиваются от начала хвата и его окончания. В момент времени около 0,3 секунды для угла а наблюдается перегиб, который виден на полученном графике функции. Данный перегиб обусловлен тем, что своего максимального значения за счет силы, приложенной со стороны кисти руки, угол а достигает в момент приблизительно 0,3 секунды, а дальнейшее изменение обусловлено воздействием на рассматриваемую фалангу предыдущих фаланг, при этом значения рассматриваемой величины согласуются с выбранной расчетной схемой. При выполнении хвата максимальные значения углов а,р,7 равны 54°, 40° и 154° соответственно, что соответствует углам отклонения указательного пальца здорового человека при выполнении хвата [6].

На графиках, приведенных на рис. 5 (рис. 5. Скорость (слева) и ускорение (справа) изменения угла а указательного пальца), рис. 6 (рис. 6. Скорость (слева) и ускорение (справа) изменения угла р указательного пальца) и рис. 7 (рис. 7. Скорость (слева) и ускорение (справа) изменения угла 7 указательного пальца), представлены скорости и ускорения изменения углов а,р,7 указательного пальца согласно выбранной расчетной схеме. Перегибы и переломы на рассматриваемых графиках обусловлены резкими изменениями направления рассматриваемых величин согласно выбранной расчетной схеме. Отрицательные значения рассматриваемых величин обусловлены выбранным направлением осей на расчетной схеме. Для остальных пальцев кисти руки скорости и ускорения изменения углов а,р,7 имеют аналогичный вид.

Проанализируем результаты моделирования других пальцев кисти руки человека. Вид полученных зависимостей для остальных пальцев кисти руки аналогичен представленному на рис. 4 - рис. 7. На рис.4 по оси абсцисс величины указаны в с*10А-2, а по оси ординат величины указаны в радианах. На рис. 5 - рис. 7 для скоростей изменения углов а,р,7 по оси абсцисс величины указаны в с*10А-2, а по оси ординат величины указаны в рад/с. На рис.5 - рис.7 для ускорений изменения углов а,р,7 по оси абсцисс величины указаны в с*10А-2, а по оси ординат величины указаны в (рад/сА2)*10А-6.Для графиков изменения угла большого, указательного ибезымян-ногоотсутствуетперегибв момент времени 0,3 секунды, что обусловлено отсутствием резких изменений скорости и ускорения изменения соответствующего угла.При выполнении хвата значения углов для

JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2019 - V. 26, № 3 - P. 103-106

большого пальца не превышают 23°, 172° и 46° соответственно; для среднего пальца - 150°, 28° и 154° соответственно; для безымянного пальца - 170°, 40° и 28° соответственно; для мезинца - 114°, 51° и 34° соответственного соответствует углам отклонения большого и безымянного пальцев, а также мезинца здорового человека при выполнении хвата [6].

Адекватность созданной математической модели подтверждается сравнением с результатами, полученными экспериментально в работах [8] и [3]. За эталонный результат возьмем значения, полученные в работе [3]. Максимальное отклонение результатов, полученных авторами статьи, от результатов, приведенных в работе [3] составляет 3,1%.

Также адекватность созданной авторами математической модели подтверждает расчет результирующей силы, которая действует со стороны кисти руки на пальцы во время хвата. Для того, чтобы вычислить результирующую силу, которая действует со стороны кисти руки на пальцы во время хвата, согласно принятым ранее допущениям относительно фаланг пальцев, найдем силы, действующие на каждый палец по отдельности, а затем вычислим их геометрическую сумму. Получим, что согласно созданной математической модели сила, которая действует со стороны кисти руки на пальцы во время хвата, равна 300,945 Н. Погрешность полученного результата составляет 2,6% относительно экспериментально полученного результата, что свидетельствует об адекватности и высокой точности полученных результатов.

Заключение. Итак, авторами создана новая математическая модель пальцев руки при совершении операции «хват». Получены численные значения для углов отклонения фаланг пальцев от горизонтали, а также скорости и ускорения изменения соответствующих величин. Проведено сравнение результатов, полученных авторами в результате математического моделирования, и результатов, поученных экспериментально. Проведенное сравнение результатов подтверждает адекватность созданной авторами математической модели и ее высокую точность. Следовательно, модель может быть использована при проектировании протезов верхней конечности с целью определения и задания параметров движения протеза, а также может быть применена для расчета параметров исполнительных механизмов протезов.

Литература / References

1. Бранков Г. Основы биомеханики. М.: Мир, 1981. 254 с. / Brankov G. Osnovy biomekhaniki [Fundamentals of biomechanics]. Moscow: Mir; 1981. Russian.

2. Ибрагимов H.X. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности -Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. 421 с. / Ibragimov NX. Prakticheskiy kurs differentsial'nykh uravneniy i matematicheskogo modelirovaniya. Klassicheskie i novye metody. Nelineynye matematicheskie modeli. Simmetriya i printsipy invari-antnosti [Practical course of differential equations and mathematical modeling. Classical and new methods. Nonlinear mathematical models. Symmetry and invariance principles]. Nizhniy Novgorod: Izdatel'stvo Nizhegorodskogo gosuni-versiteta; 2007. Russian.

3. Самойлов И.А. Математическое моделирование движения пальцев руки. ВКР Бакалавра, СПбГУ Кафедра моделирования электромеханических и компьютерных систем, Направление 010900. Санкт-Петербург, 2016 / Samoylov IA. Matematicheskoe modelirovanie dvizheniya pal'tsev ruki. VKR Bakalavra, SPbGU Kafedra modelirova-niya elektromekhanicheskikh i komp'yuternykh sistem, Na-pravlenie 010900 [Mathematical modeling of finger movements. WRC Bachelor, Saint Petersburg state University Department of modelling of Electromechanical and computer systems, the Direction 010900]. Sankt-Peterburg; 2016. Russian.

4. Скворцов Д.В. Клинический анализ движений. Стабилометрия. М.: АОЗТ "Антидор", 2000. 192 с. / Skvortsov DV. Klinicheskiy analiz dvizheniy. Stabilometriya[Clinical analysis of movements]. Moscow: AOZT "Antidor"; 2000. Russian.

5. Солодков А.С., Сологуб Е.Б. Физиология человека. Общая. Спортивная. Возрастная. Учебник. 2-е изд., испр. и доп. М.: Терра-Спорт, Олимпия Пресс, 2005. 528 с. / Solodkov AS, Sologub EB. Fiziologiya cheloveka. Obshchaya. Sportivnaya. Vozrastnaya. Uchebnik. 2-e izd., ispr. i dop. [Human physiology. General. Sport. Age. Textbook. 2-e Izd., Rev. additional]. Moscow: Terra-Sport, Olimpiya Press; 2005. Russian.

6. Усольцева Б.В., Машкара К.И. Хирургия заболеваний и повреждений кисти. 3-e изд. перераб. и доп. Л.: Медицина, 1986. 352 с. / Usol'tseva BV, Mashkara KI. Khirurgiya zabolevaniy i povrezhdeniy kisti. 3-e izd. pererab. i dop. [Surgery of diseases and injuries of the hand. 3-e Izd. Rev.]. L.: Meditsina; 1986. Russian.

7. Biryukova E.V., Yourovskaya V.Z. A Model of Human Hand Dynamics // Schuind F., An K.N., Cooney W.P., GarciaElias M. (eds) Advances in the Biomechanics of the Hand and Wrist. NATO ASI Series (Series A: Life Sciences), Springer, Boston, MA. Vol. 256. P. 107-122 / Biryukova EV, Yourovskaya VZ. A Model of Human Hand Dynamics. Schuind F., An K.N., Cooney W.P., Garcia-Elias M. (eds) Advances in the Biome-chanics of the Hand and Wrist. NATO ASI Series (Series A: Life Sciences), Springer, Boston, MA;256:107-22.

8. Md Mozasser Rahman, Tasnuva Tabashhum Choudhury Mathematical Modeling and Trajectory Planning of Hand Finger Movements. Autonomous Systems and Robotics Research Unit Kulliyyah of Engineering, IIUM, Malaysia, 2014. P. 43-47 / Md Mozasser Rahman, Tasnuva Tabashhum Choudhury Mathematical Modeling and Trajectory Planning of Hand Finger Movements. Autonomous Systems and Robotics Research Unit Kulliyyah of Engineering, IIUM, Malaysia; 2014.

Библиографическая ссылка:

Уразбахтин Р.Р., Уразбахтин Р.Н., Парфирьев П.К. Математическая модель пальцев руки при совершении операции «хват» // Вестник новых медицинских технологий. 2019. №3. С. 103-106. DOI: 10.24411/1609-2163-2019-16410.

Bibliographic reference:

Urazbakhtin RR, Urazbakhtin RN, Parfiriev PK. Matematicheskaya model' pal'tsev ruki pri sovershenii operatsii «khvat» [The mathematical model of fingers of the hand while performing operation «grip»Journal of New Medical Technologies. 2019;3:103-106. DOI: 10.24411/1609-2163-2019-16410. Russian.