CC BY
85
JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2018 - V. 25, № 4 - P. 227-234
Раздел III
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ БИОЛОГИЯ (03.01.00)
Section III
PHYSICAL AND CHEMICAL BIOLOGY (03.01.00)
УДК: 611.72 DOI: 10.24411/1609-2163-2018-16058
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕННОГО СУСТАВА Ф.Р. ИСМАГИЛОВ, В.Е. ВАВИЛОВ, Р.Р. УРАЗБАХТИН, Д.Р. ФАРРАХОВ
ФГБОУВО «Уфимский государственный авиационный технический университет», ул. К. Маркса, д. 12, г. Уфа, 450008, Россия
Аннотация. В протезировании важной задачей является корректная оценка нагрузок и сил, действующих на различные части тела в процессе движений, в частности на коленный сустав. С точки зрения не имплантируемого протезирования интерес представляет создание протеза, который был бы максимально близок по совершаемым движениям к нижней конечности человеческого тела. Для решения этой задачи используются различные экспериментальные установки - имитаторы движений. Но эксперименты с ними являются длительными и дорогостоящими, поэтому их проведение не всегда возможно. Более того, при таком методе исследования невозможно учесть все факторы, реально присутствующие при совершении человеком движений. В связи с этим более эффективной альтернативой по времени и денежным затратам является создание адекватной математической модели, которая бы наиболее точно описывала движения коленного сустава. Особый интерес представляет создание динамической модели коленного сустава, позволяющей описать движение коленного сустава в каждый момент времени. Один из возможных вариантов реализации динамической модели коленного сустава приводится в статье. Описаны основы построения полученной математической модели коленного сустава и допущения, принятые при ее создании. Приведены окончательные расчетные формулы, описывающие движения коленного сустава. Получено решение уравнений, представляющих собой динамическую модель коленного сустава. Построены графики, визуализирующие полученное решение. В статье содержится обоснование полученных решений на основе их сравнения с экспериментально полученными гониограммами. Обосновывается преимущество полученной динамической модели коленного сустава, которая описывает движения нижней конечности во времени.
Ключевые слова: протезирование, математическое моделирование, динамическая модель, коленный сустав, динамическая модель коленного сустава.
Введение. В протезировании, реабилитации, постурологии, стабилометрии необходимой задачей является корректная оценка нагрузок на различные части тела человека в процессе движений. С точки зрения протезирования интерес представляет создание протеза, который был бы максимально близок по совершаемым движениям к нижней конечности человеческого тела. Для этого, как правило, используются различные экспериментальные установки - имитаторы движений. Но такие эксперименты являются длительными и дорогостоящими, поэтому их проведение не всегда
возможно. Более того, при таком методе исследования невозможно учесть все факторы реально присутствующие при совершении человеком движений. Более эффективной альтернативой по времени и денежным затратам является создание адекватной математической модели, которая бы наиболее точно отражала и визуализировала движения нижней конечностей человека. Поэтому создание адекватных математических моделей отдельных частей тела с глубокой детализацией и учетом факторов, обусловленных особенностями физиологии человека, является одним из самых пер-
JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2018 - V. 25, № 4 - P. 227-234
спективных направлений современной биомеханики.
Коленный сустав является одним из наиболее сложных суставов по строению и в большей мере подвержен травмам. В настоящее время существует мало математических моделей коленного сустава, которые позволяют учесть особенности физиологии и четко описать динамику движений коленного сустава человека. Это подтверждает необходимость дальнейшего изучения темы создания математической модели коленного сустава в динамике [6].
Цель исследования. В работе [12] Ураз-бахтиным Р.Р. и Вавиловым В.Е. предлагается новый вариант реализации протеза коленного сустава, разработанный авторами, который может послужить заменой коленного сустава. Для расчетов мехатронного протеза сустава и проектирования его максимально близким к человеческому коленному суставу по совершаемым движениям, авторами была создана математическая модель коленного сустава человека. Далее описываемую математическую, модель будем называть динамической моделью коленного сустава (ДМКС).
Стоит отметить, что коленный сустав нельзя рассматривать как отдельную часть организма. Это обусловлено тем, что на него действуют факторы, связанные, например, с тем, что тело человека при ходьбе отклоняется и как следствие меняется нагрузка, действующая на коленный сустав. Поэтому для создания ДМКС рассматривается система тело-бедро-голень.
Коленный сустав является частью ноги человека, поэтому моделирование только движений коленного сустава без учета остальных частей ноги не представляется возможным.
Для грамотного построения ДМКС можно отталкиваться от экспериментально полученных зависимостей отклонения тела, бедра и голени от вертикали [11]. По результатам, полученным J. Perry (1992), были построены го-ниограммы тазобедренного и коленного сустава. Зависимости движений тела, бедра и голени являются некоторой функцией от времени.
Материалы и методы исследования. Перед началом построения ДМКС стоит отметить важную особенность моделирования. Так как при проектировании мехатронного протеза сустава интерес представляют предельные режимы его использования, то расчет можно вести с допущением, что все нагрузки при ходьбе приходятся на одну ногу (вся масса тела прихо-
дится на рассматриваемую ногу).
Приняты следующие допущения:
1. Все силы и центры масс рассматриваемой ноги располагаются в одной плоскости (так как коленный сустав может совершать движения только в одной плоскости; поэтому для построения ДМКС рассмотрения одной плоскости достаточно);
2. Все рассматриваемые движения ноги и сустава происходят по горизонтали и вертикали в одной плоскости;
3. Не учитывается реакция опоры, действующая при ходьбе на вторую ногу, так как принято, что все нагрузки приходятся на одну ногу;
4. Принято, что в стопе рассматриваемой ноги нет проскальзывания (в противном случае процесс ходьбы не возможен и построение ДМКС не имеет смысла);
5. Центр масс человека движется прямолинейно и равномерно относительно земли;
6. Для расчета моментов инерции тела, бедра и голени принимается, что они представляют собой однородные стержни, обладающие постоянными плотностью и площадью сечения;
7. Силы реакций, вызванные деформацией хрящей и возникающие в суставах при ходьбе, учитываются как одни из составляющих сил, действующих на тело, бедро и голень.
ДМКС создается на основе уравнений Ла-гранжа (дифференциальных уравнений движения). В данном случае уравнения будут составляться в координатах х и у, так как приняты допущения (1) и (2). Относительно координат (х; у) получатся системы дифференциальных уравнений второго порядка.
Наглядное изображение коленного сустава представлено на рис. 2.
Стоит отметить, что знаки проекций величин на оси берутся в соответствии с направлением проекции величины относительно рассматриваемой оси (рис.1). Проекция положительна, если направлена по оси; проекция отрицательна, если направлена против оси.
Далее введем величины, которые будут использоваться в выводимых формулах: 1т; 1б; 1г -длины тела, бедра и голени соответственно; тт ;тб; тг - массы тела, бедра и голени соответственно; гт; гб ;гг - расстояния от тазобедренного сустава до центра масс тела, бедра и голени соответственно; я - ускорение свободного падения Земли; (хц;уц) - координаты центра масс;
JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2018 - V. 25, № 4 - P. 227-234
(х; у) - координаты ближнего к земле конца ноги; (х0;у0) - начальные координаты ближнего к земле конца ноги; К - кинетическая энергия рассматриваемой системы; П - потенциальная энергия рассматриваемой системы.
Рис. 1. Расчетная схема для динамической модели коленного сустава, где: а = a(t) - угол между телом и вертикалью, причем угол изменяется во время ходьбы с течением времени; f = f(t) - угол между бедром и вертикалью, причем угол изменяется во время ходьбы с течением времени; у = y(t ) - угол между голенью и вертикалью, причем угол изменяется во время ходьбы с течением времени; Q - реакция опоры, приложенная к концу ноги; Qx - проекция реакции опоры на ось x; Qy - проекция реакции опоры на ось y
Запишем моменты инерции, которые потребуются в дальнейшем для создания ДМКС :
L= + m + m)(у + h + К)2 - момент инерции тела относительно земли;
1 б= 12(тб + m')(^2 +1г)2 - момент инерции бедра
относительно земли;
1 = 12(т )("2) - момент инерции голени относительно земли.
Для создания математической модели коленного сустава необходимо описать изменение координат конца ноги при ходьбе с течением времени. Согласно рис. 1 принято, что
Уо = 0 . В связи с этим далее в формулах на-
чальное значение координаты конца ноги по вертикальной оси принимается равным нулю.
Уравнения изменения координат конца ноги согласно рис.1 принимают следующий вид:
х = х0 -16 sin ¡3 + ¡г sin у
(1)
y = l6 cos^ + l г cosy (2)
Из уравнений (1) и (2) видно, что координаты конца ноги есть некоторые функции от времени, так как они зависят от углов наклона тела, бедра и голени относительно вертикальной оси, которые в свою очередь меняются со временем.
Из законов классической физики устанавливается связь между реакцией опоры, приложенной к концу ноги, и ее проекциями на координатные оси:
QQ2 +Q2 (3)
Далее запишем уравнения для координат центра масс рассматриваемой системы:
x(m + m, + m) - m r sin a + m, rо sin В — mr sin у
^ т о г' т т о о > г г '
m + m, + m
(4)
У =J
y(m + m, + m) + m r cosa — m, rо cos В — mr cosy
•S \ т о г s т т о о ' г г >
(5)
шт + т6 + тг
Из уравнений (4) и (5) видно, что координаты центра масс при ходьбе изменяются с течением времени, так как являются функциями от углов, меняющихся с течением времени.
Зная уравнения движения центра масс системы можно связать проекции реакции опоры, приложенной к концу ноги, и координаты центра масс системы:
: й
Уц =-
Qy — (mrn + 1П6 + 1Пг )g
(6)
(7)
Особый интерес при рассмотрении сустава представляют силы, которые действуют на бедро и голень. На рис. 1 эти силы не представлены, потому что их значения и направления меняются постоянно при ходьбе с течением времени. Выражения для нахождения этих сил можно записать в виде уравнений Лагранжа. Силы, действующие при ходьбе на бедро и голень невозможно рассматривать без силы, которая действует на тело. Поэтому силу, которая действует при ходьбе на тело, также необходимо найти. Запишем уравнения для нахождения вышеупомянутых сил:
Ет = 1та-гт (шт + тб + тг)(g + (х сова + у вта)) (8)
шт + m6 + mг
m + me + m
JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2018 - V. 25, № 4 - P. 227-234
F6 =Iб P+ Г к + m)(g + (* cos P + y sin P)) + (9)
+ тгшг(ycos(P-y) -y sin(P-y)) Fy = !г У+ ггшг(gsiny + (*cosy + y siny) +
+ (Pcos(P-y) -P sin(P-y)))
(10)
Fm , F6 , Fa - силы, действующие при ходьбе
на тело бедро и голень соответственно.
Формулы (8), (9) и (10) подтверждают, что силы, действующие на тело, бедро и голень изменяются при ходьбе по величине и направлению с течением времени.
Для полноты созданной ДМКС запишем выражения для еще двух
ее характеристик - потенциальной П и кинетической K энергий рассматриваемой системы:
1 •2 •2 •• •
K = 2(Шт + шб + шг )((* + y ) - rma(x cosa+y sin«))+
+2(Im«2 + IP + Iy У2)+(h + h )P'r cos(P-y) + (11)
+ гб (шб + шг )(* cosp+y sinP) + rm¡ y(* cosy+y siny) П = g(mm + ш6 + шг )(y + rm cos«) -- g(r6 (шб + шг )cosP- ггш г cosy) Таким образом, коленный сустав и динамика его движений полностью описывается уравнениями (1) - (12), которые представляют собой ДМКС.
Результаты и их обсуждение. Далее решим систему дифференциальных уравнений, состоящую из уравнений (6) и (7). При решении системы дифференциальных уравнений примем, что y0 = 0 (согласно рис. 1), *0 = 0 (для
удобства дальнейших вычислений, в связи с тем, что константа не влияет на вид зависимости) и a(t) ^ 0 (так как при ходьбе угол отклонения тела относительно вертикали очень мал).
Тогда получим следующие уравнения:
(12)
-- 1б )(PcosP-PsinP) +
( '"б'б шт + шб + Шг
ш r •• • Q
+(1г--—-)(ycosy-ysiny) =-—
(1б -
Шт + Шб + Шг
-)(-PsinP-PcosP) +
, П ШгГ v " ■ • Ч Qy
+(l--—-)(- y siny-y cosy) =--
(13)
(14)
Для того чтобы решить систему из дифференциальных уравнений (13) и (14), подставим в эти уравнения средние значений масс, длин и расстояний [10]. Положим, что расчеты ведутся
для человека ростом 180 сантиметров и весом 90 килограмм.
Получим следующие уравнения:
- 0,36(P cos P - P sin P) - 0,42(y cos y - y sin y) = 1,27 (15)
0,36(-PsinP - PcosP) - 0,42(- y siny - ycosy) = 0,27 (16)
Будем считать, что движение начинается из состояния покоя.
P(0) = 0 и y(0) = 0 (17)
• •
P(0) = 0 и y(0) = 0 (18)
• •
Соответственно P и y- угловые скорости •• ••
изменения углов p и y, P и y - ускорения изменения углов P и y.
Для решения полученной системы дифференциальных уравнений (15) и (16) воспользуемся возможностями пакета прикладных программ Matlab. Для удобства и наглядности описываемых процессов решение системы уравнений (15) и (16) получим в графическом виде. По полученным графикам можно определить значения углов отклонения от вертикали бедра и голени в каждый момент времени. Для графиков, изображенных на рис. 3 принято, что полупериод для одноопорной фазы ходьбы длится 8 секунд.
На рис. 2. показаны изменения P и y с течением времени за полупериод одноопорной фазы ходьбы. Время полупериода одноопорной фазы ходьбы принято равным 8 секундам для того, чтобы получить более наглядные изображения для кривых измерения углов. Положительным значениям углов соответствует отклонение бедра или голени вправо от вертикали (рис. 2). Отрицательным значениям углов соответствует отклонение бедра или голени влево от вертикали (рис. 2). Опишем полученное решение системы дифференциальных уравнений (15) и (16).
В начале одноопорной фазы ходьбы углы P и y начинают увеличиваться, что соответствует отклонению бедра и голени вправо от вертикали (рис. 2). При достижении одной четвертой полупериода углы P и y начинают меняться в противофазе, то есть бедро продолжает отклоняться вправо от вертикали, а голень начинает отклоняться влево от вертикали (рис. 2). При достижении полупериода одно-опорной фазы ходьбы P и y достигнут своих максимальных по модулю значений.
2
2
шбгб
-
's
X
У \
0 i 2 3 A S 6 7 в
Рис. 2. Графическое решение системы дифференциальных уравнений (15) и (16)
£ V.
й 1 t
L 1
гг^-
й 1
Рис. 3. Угловые скорости изменения и угловые ускорения изменения углов Р и у
После полупериода для одноопорной фазы ходьбы отклонения бедра и голени от вертикали начнут уменьшаться и обратятся в нуль при достижении периода одноопорной фазы ходьбы. Функции, выражающие отклонения углов и от вертикали являются периодическими.
Как видно из графиков, углы Р и у по модулю не превышают 600, что свидетельствует об адекватности полученных результатов при сравнении с реальными гониограммами. Угол Р изменяется от 00 до 400. Угол у изменяется от 00 до 50 и от 50 до -600. Стоит отметить, что полученное решение при данных начальных условиях в определенный момент времени ставит четкое соответствие между углами Р и у. Графическое решение системы дифференциальных уравнений (15) и (16) наглядно демонстрирует динамику системы бедро-голень, что позволяет более точно производить расчеты для создания мехатронного протеза сустава.
Преимущество полученного решения заключается в том, что рис. 2. иллюстрирует изменения углов Р и у с учетом изменения силы, которая развивается мышцами человеческого тела при совершении шага. Неровности и
переломы на графиках углов Р и у визуализируют изменения развиваемых мышцами сил при ходьбе [1].
Адекватность результатов также доказывает схожесть полученных решений для углов Р и у с гониограммами тазобедренного и коленного суставов (рис. 1). Данный вывод сделан с учетом того, что в ДМКС рассматривается од-ноопорная фаза ходьбы при начальных условиях (17) и (18) (то есть сопоставляется некоторая часть гониограммы, соответствующая рассматриваемому в ДМКС случаю, и амплитуды полученных решений для углов Р и у с амплитудами, экспериментально полученными для го-ниограмм тазобедренного и коленных суставов).
Для графиков, изображенных на рис. 3. принято, что период для одноопорной фазы ходьбы длится 6 секунд. Данный промежуток времени так же, как и для рис. 2, выбирается из соображений наглядности.
Проанализируем полученные зависимости для угловых скоростей изменения и угловых ускорений изменения углов Р и у.
Рассмотрим угловые скорости изменения углов отклонения бедра и голени от вертикали. Если значение скоростей положительны, то они направлены вправо от вертикали, если отрицательны - то влево от вертикали. Точки переломов на полученных графиках соответствуют моментам времени, в которых происходит изменение направления действия мышечных сил на бедро или голень соответственно. В начальный момент времени скорости равны нулю, что соответствует началу человеком ходьбы. Дальнейшие изменения скоростей отклонению бедра и голени от вертикали соответствуют направлению отклонений бедра и голени от вертикали соответственно. Полученные зависимости для угловых скоростей изменения углов Р и у являются периодическими функциями. Также построенные графики учитывают перемещение тела человека при ходьбе вправо вдоль горизонтальной оси (рис. 1). Полученные значения скоростей изменения углов отклонения бедра и голени от вертикали не превышают 6,50 в секунду, что свидетельствует об адекватности полученных результатов.
Проанализируем угловые ускорения отклонения бедра и голени от вертикали. Если значения ускорений положительны, то они направле-
JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2018 - V. 25, № 4 - P. 227-234
ны вправо от вертикали, если отрицательны -влево. Ускорения изменений отклонений бедра и голени от вертикали в начале ходьбы равны нулю. Полученные зависимости для ускорений изменений отклонений бедра и голени от вертикали являются периодическими функциями. Резкие мгновенные возрастания и убывания ускорений по модулю представляют собой моменты времени, в которые скорость изменения отклонений угла и голени от вертикали меняет свой знак.
Заключение. Авторами статьи предложена ДМКС, которая необходима для проектирования мехатронного протеза сустава. Вывод об адекватности ДМКС сделан исходя из сравнения результатов экспериментов с моделью и полученных ранее экспериментальных зависимостей и данных. Ключевой особенностью ДМКС является то, что в ней описывается движение коленного сустава не как отдельно взятой части системы, а как неотъемлемой части ноги с учетом действия сил со стороны тела,
бедра и голени. ДМКС связывает координаты центра масс системы с проекциями реакции опоры, действующей на конец ноги, позволяет найти силы, действующие на тело, бедро и голень, а также содержит уравнения для кинетической и потенциальной энергии системы. Преимущество ДМКС перед другими моделями коленного сустава - явно выраженные зависимости искомых значений от времени. Также преимуществом ДМКС является полученное графическое решение системы дифференциальных уравнений (15) и (16), которое иллюстрирует зависимость от времени углов между бедром и вертикалью и телом и вертикалью, при этом демонстрирующее динамику совершаемых движений и явно показывающее связь между углами между бедром и вертикалью и телом и вертикалью. Этот факт расширяет область применения ДМКС и позволяет получать более точные расчетные данные искомых величин.
DYNAMIC MODEL OF THE KNEE JOINT F.R. ISMAGILOV, V.E. VAVILOV, R.R. URAZBAKHTIN, D.R. FARRAKHOV Ufa State Aviation Technical University, K. Marx St., 12, Ufa, 450008, Russia
Abstract. In prosthetics an important task is to correctly assess the loads and forces acting on the various parts of the body during the movement, in our case - on the knee joint. From the point of view of non-implantable prosthetics, it is interesting to create a prosthesis that is as close as possible to the movements of the human body parts. To solve this problem, various experimental installations are used, such as movement simulators. But experiments with them are lengthy and costly, so conducting them is not always possible. Moreover, with this method of research it is impossible to take into account all the factors that are actually present when a person commits movements. In this regard, a more effective alternative in terms of time and money costs is the creation of the mathematical model that would most accurately describe the movements of the knee joint. Of particular interest is the creation of a dynamic model of the knee joint, which allows describing the motion of the knee joint at each moment of time. One of the possible variants of realization of the dynamic model of the knee joint is given in this article. Moreover, the article describes basics of constructing the obtained mathematical model of the knee joint and the assumptions made at its creation. Final calculation formulas describing the movements of the knee joint are given. A solution for the dynamic model of the knee joint was also obtained. Graphs that visualize the solution obtained are constructed. The article also contains a substantiation of the solutions obtained on the basis of their comparison with experimentally obtained goniograms. The advantage of the obtained dynamic model of the knee joint, which shows how knee joint moves in some period of time, is substantiated in this article.
Key words: prosthetics, mathematical modeling, dynamic model, knee joint, dynamic model of the knee joint.
Литература References
1. Бигдай Е.В., Вихров С.П., Гривенная Н.В., Редь- 1. Bigdaj EV, Vihrov SP, Grivennaya NV, Red'kin VM,
кин В.М., Самойлов В.О., Чигирев Б.И. Биофизика Samojlov VO, CHigirev BI. Biofizika dlya inzhenerov:
для инженеров: Учебное пособие. Том 2. М.: Горя- Uchebnoe posobie. Tom 2. [Biophysics for engineers:
чая линия - Телеком, 2008. 456 с.
textbook. Volume 2.] Moscow: Goryachaya liniya -Telekom; 2008. Russian.
2. Бранков Г. Основы биомеханики. М.: Мир, 1981. 254 с.
2. Brankov G. Osnovy biomekhaniki [Fundamentals of biomechanics]. Moscow: Mir; 1981. Russian.
3. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями 2-е издание, испр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 384 с.
3. Egorov AI. Obyknovennye differencial'nye uravne-niya s prilozheniyami 2-e izdanie, ispr. [Ordinary differential equations with applications 2nd edition, ISPR.]. Moscow: FIZMATLIT; 2005. Russian.
4. Зациорский В.М., Аруин А.С., Селуянов В.Н. Биомеханика двигательного аппарата человека. М.: Физкультура и спорт, 1981. 143 с.
4. Zaciorskij VM, Aruin AS, Seluyanov VN. Biomekha-nika dvigatel'nogo apparata cheloveka [Biomechanics of the musculoskeletal system of man]. Moscow: Fizkul'tura i sport; 1981. Russian.
5. Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. 421 с.
5. Ibragimov NX. Prakticheskij kurs differencial'nyh uravnenij i matematicheskogo modelirovaniya. Klassi-cheskie i novye metody. Nelinejnye matematicheskie modeli. Simmetriya i principy invariantnosti [Practical course of differential equations and mathematical modeling. Classical and new methods. Nonlinear mathematical models. Symmetry and invariance principles]. Nizhnij Novgorod: Izdatel'stvo Nizhegorodsko-go gosuniversiteta; 2007. Russian.
6. Ильин И.Ю. Моделирование динамики коленного сустава человека при экстремальных условиях [Электронный ресурс] URL:
http://www.dissercat.cOm/c ontent/modelirovanie-dinamiki-kolennogo-sustava-cheloveka-pri-ekstremalnykh-usloviyakh#ixzz4vz42nrc4 (дата обращения: 20.02.2018).
6. Il'in IYU. Modelirovanie dinamiki kolennogo sustava cheloveka pri ehkstremal'nyh usloviyah [Simulation of human knee joint dynamics under extreme conditions]. Internet. URL: http://www.dissercat.com/content/ modelirovanie-dinamiki-kolennogo-sustava-cheloveka-pri-ekstremalnykh-usloviyakh#ixzz4vz42nrc4 (data obrashcheniya: 20.02.2018). Russian.
7. Кишш Ф., Сентаготаи Я. Анатомический атлас человеческого тела. Том 1. Будапешт: «Медицина», 1973. 300 с.
8. Пивченко П.Г., Ковалева Д.В. Анатомия опорно-двигательного аппарата. Мн.: БГМУ, 2003. 138 с.
9. Скворцов Д.В. Диагностика двигательной патологии инструментальными методами: анализ походки, стабиломерия. М.: Т.М. Андреева, 2007. 640 с.
10. Скворцов Д.В. Клинический анализ движений. Анализ походки. Иваново: НПЦ "Стимул", 1996. 344 с.
11. Скворцов Д.В. Клинический анализ движений. Стабилометрия. М.: АОЗТ "Антидор", 2000. 192 с.
7. Kishsh F, Sentagotai YA. Anatomicheskij at-las che-lovecheskogo tela. Tom 1 [Anatomical Atlas of the human body. Volume 1.]. Budapesht: "Medicina"; 1973. Russian.
8. Pivchenko PG, Kovaleva DV. Anatomiya oporno-dvigatel'nogo apparata [Anatomy of the musculoske-letal system]. Mn.: BGMU; 2003. Russian.
9. Skvorcov DV. Diagnostika dvigatel'noj patologii in-strumental'nymi metodami: analiz pohodki, stabilo-meriya [Diagnostics of locomotor pathology instrumental methods: gait analysis, stabilometry]. Moscow: T.M. Andreeva; 2007. Russian.
10. Skvorcov DV. Klinicheskij analiz dvizhenij. Analiz pohodki [Clinical analysis of movements. Gait analysis]. Ivanovo: NPC "Stimul"; 1996. Russian.
11. Skvorcov DV. Klinicheskij analiz dvizhenij. Stabi-lometriya [Clinical analysis of movements. Stabilome-
JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2018 - V. 25, № 4 - P. 227-234
try]. Moscow: AOZT "Antidor"; 2000. Russian.
12. Солодков А.С., Сологуб Е.Б. Физиология человека. Общая. Спортивная. Возрастная. Учебник. 2-е изд., испр. и доп. М.: Терра-Спорт, Олимпия Пресс, 2005. 528 с.
12. Solodkov AS, Sologub EB. Fiziologiya cheloveka. Obshchaya. Sportivnaya. Vozrastnaya. Uchebnik. 2-e izd., ispr. i dop [Human physiology. General. Sport. Age. Textbook. 2-e Izd., corrected and supplemented]. Moscow: Terra-Sport, Olimpiya Press; 2005. Russian.
13. Уразбахтин Р.Р., Вавилов В.Е. Мехатронный протез сустава // Международный научно-исследовательский журнал, Часть 3, Екатеринбург. 2017. №06(60). С. 176-179.
13. Urazbahtin RR, Vavilov VE. Mekhatronnyj protez sustava [Mechatronic joint prosthesis]. Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal, CHast' 3. 2017;06(60):176-9. Russian.
14. Щукин Т. Задача управления биопротезом и ее возможные решения // Труды 2-й Российской конференции «Нелинейная динамика в когнитивных исследованиях - 2011». Нижний Новгород, 2011. 238 с.
14. SHCHukin T. Zadacha upravleniya bioprotezom i ee vozmozhnye resheniya. Trudy 2-j Rossij-skoj konfe-rencii «Nelinejnaya dinamika v kognitivnyh issledova-niyah - 2011» [The problem of bioprosthesis control and its possible solutions. Proceedings of the 2nd Russian confe-rence "Nonlinear dynamics in cognitive research-2011»]. Nizhnij Novgorod; 2011. Russian.
Библиографическая ссылка:
Исмагилов Ф.Р., Вавилов В.Е., Уразбахтин Р.Р., Фаррахов Д.Р. Динамическая модель коленного сустава // Вестник новых медицинских технологий. 2018. №4. С. 227-234. БО!: 10.24411/1609-2163-2018-16058
