CC BY
110
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 07. С. 189-205.
]Э5М 1994-040В
Б01: 10.7463/0717.0001271
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 004.942
Математическая модель ошибок лазерного гироскопа
Новиков В.В.1, Енин В.Н
2
Новиков П.В.
1,*
13.06.2017 27.06.2017
етп^ЬтЫхии
:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2Московский Политехнический Университет,
Москва, Россия
Выполнен анализ и систематизация результатов экспериментальных исследований погрешностей лазерного гироскопа (ЛГ). Определена структура результирующей погрешности ЛГ в форме линейной комбинации случайных процессов, характеризующих естественные и технические флуктуации разностной частоты встречных волн, при наличии случайного постоянного смещения нуля в показаниях датчика. Сформулированы требования, предъявляемые к структуре и форме представления аналитического описания модели ошибок.Получена обобщенная модель флуктуационных процессов ЛГ, на основе которой разработана математическая модель ошибок ЛГ, как инерциального датчика. Модель представлена системой стохастических дифференциальных уравнений и функциональных соотношений, характеризующих результирующую ошибку датчика. Выполнен корреляционный анализ уравнений модели, получены конечные уравнения для среднеквадратичных значений отдельных компонент, позволяющие идентифицировать параметры результирующей ошибки. Параметры модели представлены через значения спектральной плотности мощности отдельных компонент. Рассмотрена дискретная форма модели, показана сходимость непрерывных и разностных уравнений, при выполнении условий предельного перехода. Определены направления дальнейших исследований.
Ключевые слова: лазерный гироскоп, случайный дрейф, естественные и технические флуктуации, математическая модель ошибок, белый шум, случайное блуждание
Введение
Современный этап развития навигационных технологий открывает широкие возможности для динамичного развития целого ряда направлений данной отрасли. К наиболее перспективным областям отрасли, где достигнут существенный прогресс, следует отнести лазерную гироскопию [1, 8, 9]. Измерительные системы, приборы и отдельные компоненты лазерной гироскопии заняли прочное место, и нашли широкое применение в современных системах управления и навигации.
В конечных технических приложениях лазерных навигационных технологий в качестве инерциального датчика используется лазерный гироскоп (ЛГ). Неоспоримые функциональные и эксплуатационные преимущества ЛГ [1, 8] по сравнению с другими типами гироскопов, наиболее полно проявляются в бесплатформенных инерциальных навигационных системах (БИНС) [2, 4, 5, 7]. Стадия практического применения ЛГ в качестве датчика инерциальной информации БИНС выдвинула в число актуальных двуединую задачу - совершенствование точностных характеристик ЛГ в сочетании с разработкой методов и алгоритмов оптимизации точностных параметров БИНС, построенных на базе ЛГ [10-17].
Магистральное направление на пути к решению данной задачи связано с получением аналитического представления погрешности датчика в форме математической модели, применимой для решения задач анализа и оптимизации точностных характеристик лазерных навигационных систем.
Особую актуальность задача разработки модели ошибок приобретает в связи с появлением на рынке навигационных технологий интегрированных (инерциально- спутниковых) навигационных систем [3,4]. В интегрированных системах инерциальный модуль, выполненный по схеме БИНС, может оснащаться грубыми, малогабаритными ЛГ [1], что требует разработки алгоритмов и методов оптимизации точностных характеристик навигационной системы, требующих определения математической модели ошибок чувствительных элементов.
Синтез модели ошибок математически адекватной реальному процессу ухода позволяет решить и другую практически значимую задачу - определение совокупности параметров характеризующих качественно и количественно интегральную ошибку ЛГ. Важность и актуальность данной задачи определяется практической полезностью использования ее результатов для оценки потенциальных точностных возможностей ЛГ.
Анализу влияния дестабилизирующих факторов на точностные характеристики ЛГ посвящено значительное число работ, основополагающими из которых являются [9-17]. В большинстве из указанных работ представлены модели ошибок датчика в виде сложных эмпирических зависимостей далеких от задач инженерного анализа точности навигационных систем и мало пригодных для использования современных методов и алгоритмов обработки инерциальных данных [2-6].
Наиболее реалистичным подходом к описанию модели погрешностей ЛГ является представление ошибки датчика в виде совокупности случайных процессов, однако такой подход представлен в литературе фрагментарно [6-17], что является сдерживающим фактором на пути разработки и применения современных методов и алгоритмов обработки измерительной информации навигационных систем.
Получение математической модели ошибок ЛГ пригодной для инженерного анализа точностных возможностей ЛГ, а также для использования в различных технических приложениях, связанных с реализацией современных методов и алгоритмов обработки навигационной информации, является целью настоящей статьи.
1. Общая характеристика и обобщенная математическая модель
флуктуационных процессов в ЛГ.
Лазерный гироскоп является интегрирующим измерительным устройством с дискретным выходом, измеряющим угол поворота резонатора кольцевого лазера в инерци-альном пространстве за время съема информации [4-7], что позволяет рассматривать ЛГ в качестве датчика угла или (и) угловой скорости. Ошибка (результирующая погрешность, дрейф, уход) определения ЛГ измеряемых параметров порождается флуктуациями разностной частоты, либо разности фаз встречных волн резонатора лазера, неподвижного в абсолютном пространстве.
С целью структурно полного и физически реалистичного представления модели ошибок датчика математическими средствами необходим анализ и систематизация результатов экспериментальных исследований флуктуационных процессов в ЛГ. Математическая модель, полученная в результате анализа экспериментальных данных, должна удовлетворять ряду требований. К числу основных условий построения модели следует отнести:
• адекватность предлагаемой математической модели реальному физическому процессу;
• полноту и наглядность математического описания модели;
• представление модели в терминах и определениях, используемых в задачах инженерного анализа точности и оптимизации эксплуатационных характеристик навигационных систем.
Результаты исследования флуктуационных процессов ЛГ представлены в целом ряде работ, основополагающими из которых являются [6-17]. В основе исследований лежит детальный анализ природы проявления совокупности физически разнородных флуктуаци-онных процессов, порождающих результирующую ошибку в показаниях ЛГ. В соответствии с результатами исследований в спектре флуктуаций разностной частоты встречных волн ЛГ можно выделить две области, характеризующие технические и естественные флуктуации.
Технические флуктуации сосредоточены в низкочастотной части (полоса частот / до
2 1
10- -10- Гц.) спектра, где они превалируют по интенсивности над естественными флук-туациями. Экспериментально показано, что распределение спектральных составляющих технических флуктуаций подчиняется закону близкому к зависимости / 1.
Естественные флуктуации доминируют в высокочастотной области (полоса частот от 10-1 Гц) спектра флуктуаций, имея равномерный характер распределения интенсивности [6, 7, 8-13], при этом уровень интенсивности естественных флуктуаций следует рассматривать как величину адекватную порогу реагирования датчика
Согласно [6, 7, 8-13] основным источником естественных флуктуаций является спонтанное излучение атомов активной среды постоянной интенсивности - процесс с быстро меняющимися величинами, значения которых практически независимы и разделены
весьма малыми промежутками времени. Наиболее реалистичным математическим представлением процесса, обладающего постоянной интенсивностью и малым временем корреляции между отдельными измерениями является случайный процесс типа белого шума (White Noise (WN)).
Подтверждением правомерности математического представления естественных флуктуаций в виде WN служат результаты экспериментальных исследований, представленные в работе [15]. Здесь естественные флуктуации трактуются, как стационарный случайный процесс в эффективной полосе пропускания ЛГ с постоянным уровнем спектральной плотности мощности (Power Spectral Density (PSD)) в пределах 0,016-0,04 2 /.
(град/час) /Гц.
Вопросы количественной оценки интенсивности девиаций разности фаз, обусловленных естественными флуктуациями, рассматривались в работах [6, 7, 14-17]. Было показано, что изменение дисперсии разности фаз за время Т , подчиняется диффузионному закону M{а2ф}= т , где ПАФ коэффициент диффузии, характеризующий уровень
PSD разностной частоты встречных волн. Равномерный закон изменения спектра флук-туаций разностной частоты, в сочетании с линейным законом изменения во времени значений дисперсии разности фаз, является подтверждением на физическом уровне обоснованности математического представления естественных флуктуаций случайным процессом типа WN.
Если естественные флуктуации представляют нестабильность частоты биений ЛГ в виде некоррелированных, быстро изменяющихся величин, то технические флуктуации определяют большие по величине, но сравнительно медленные, хаотические уходы частоты [12, 13].
Источником технических флуктуаций в соответствии с [6, 7] являются нестабильности накачки (тока разряда), длины резонатора, случайные изменения температуры и градиента температур по периметру резонатора. Действия опосредованно связанных мультипликативных помех практически всех известных типов может быть сведено к возмущениям указанных параметров.
Следует отметить, что характер технических флуктуаций зависит от продолжительности интервала измерений, принимая за начало отсчета момент включения прибора. Формат статьи объективно не позволяет свести воедино результаты анализа процесса ухода на различных по продолжительности интервалах наблюдения, поэтому в данной статье рассматривается модель ошибок соответствующая ограниченному интервалу наблюдений (<3 часов).
В соответствии с результатами экспериментальных исследований [12-15], уровень PSD технических флуктуаций внутри временного интервала выхода на стабильный режим работы изменяется обратно пропорционально частоте наблюдения по закону близкому к зависимости (f ). В теории случайных процессов отсутствует строгое обоснование функционального соответствия между спектром f п процесса и его математическим представлением. Приближением к строгому решению указанной задачи может являться
подход, основанный на дробном интегрировании спектра WN [19,20]. В соответствии с данным подходом, "n" кратное интегрирование случайного процесса w(t) типа WN,
имеющего значение PSD равное —w , приводит к появлению случайного процесса v(t) с
—
PSD величиной Sv (с) = —w . В частности, если n=1, то v(t) следует рассматривать как
ю
случайный процесс на выходе интегрирующего звена с передаточной функцией H (p) = —
Р
, поэтому (= . Такой случайный процесс называется винеровским случайным
v ю
процессом (Wiener Random Progess (WRP)), или случайным блужданием (Random Walk(RW)). Свойства WRP задаются соотношениями [6]:
t
v(t) = J w{r)dr ; R (t, r) = Y min(t, r); Y min(t, r) = •
0
yt t ^r; y
; П v (ю) = -г,
Yt t< t. с
где - w(t) и v(t) соответственно случайные процессы типа WN и WRP, Rv(t,T) - корреляционная функция WRP, Пv (с) - значение PSD процесса v(t), порождаемого процессом
w(t) интенсивностью Y . Значения PSD процесса типа WRP убывают обратно пропорционально частоте наблюдения, а дисперсия процесса возрастает линейно во времени.
В соответствии с результатами экспериментальных исследований [12-15], низкочастотная область спектра флуктуаций разностной частоты аппроксимируется зависимостью —
Sv (ю) =—w , а характер изменения дисперсии флуктуаций определяется наличием прямо-
v с
линейного участка с положительным наклоном на кривой распределения Аллана (Allan Varians) [18], что позволяет обоснованно рассматривать технические флуктуации в качестве случайного процесса типа WRP.
Очевидно, что WRP пригоден для описания флуктуаций на ограниченном интервале наблюдения, так как беспредельное возрастание дисперсии флуктуаций противоречит реальным физическим законам.
Представление отдельных составляющих результирующей погрешности ЛГ статистическими моделями позволяет определить обобщенную стохастическую модель флук-туационных процессов.
С целью физически ясного и количественно адекватного представления обобщенной модели флуктуаций необходимо ввести в рассмотрение параметры ухода ЛГ, которые ранее не использовались в теории и практике лазерной гироскопии. К таким параметрам следует отнести - скорость изменения значений технических флуктуаций разностной частоты (rate of frequency changing (RFC)) и ускорение собственного ухода ЛГ. Под RFC следует понимать отношение приращения величины технических флуктуаций за расчетный период к длительности расчетного периода ([Гц/с]). Ускорение собственного ухода ЛГ ([град/с ]) необходимо рассматривать в качестве расчетного эквивалента RFC.
Формализованное описание флуктуационных процессов ЛГ в форме обобщенной математической модели поясняет структурная схема модели, представленная на рис.1.
Рис.1. Структурная схема обобщенной модели флуктуаций разностной частоты
В структурной схеме обобщенной модели использованы следующие обозначения:
• X(t) и v(t) - некоррелированные шумовые процессы типа WN, причем v(t) следует рассматривать, как процесс характеризующий RFC ( [ [Гц/с]) ;
• ç(t) и Ç(t) - шумовые процессы типа WRP ([Гц с] и [Гц]) ;
• y(t ) - случайный процесс изменения разности фаз, порождаемый техническими флуктуациями (Ç(t) ([Гц с]);
• S и G - PSD соответственно процессов A(t) и v(t) ([(Гц)2/Гц] и [Гц/с2)]);
• а - частота наблюдения флуктуаций ([рад/с]).
Полученная обобщенная модель флуктуаций позволяет характеризовать количественно результирующую ошибку ЛГ, используя PSD отдельных составляющих G /а4 и S /а2, что является практически важным результатом.
Наряду с флуктуационными составляющими в результирующем уходе ЛГ присутствует случайная s{t ), но постоянная составляющая, которая меняет свое значение от включения к включению прибора и трактуется как сдвиг нуля в показаниях ЛГ от запуска к запуску прибора [2,3,5-7]. Сдвиг нуля может быть описан случайной величиной с нулевым
средним и дисперсией m2. Сдвиг нуля в показаниях датчика подчиняется очевидному
дифференциальному уравнению s{t ) = 0.
Обобщение результатов экспериментальных и теоретических исследований флуктуационных процессов в ЛГ позволяет сделать следующие выводы.
Нестабильность выходного сигнала ЛГ следует рассматривать в виде линейной комбинации нескольких случайных процессов - случайного постоянного смещения нуля, естественных и технических флуктуации разностной частоты.
Естественные флуктуации обладают постоянной интенсивностью и малым временем корреляции между отдельными измерениями. Технические флуктуации характеризуют большие (по сравнению с естественными) по величине, но сравнительно медленные уходы разностной частоты.
Спектр технических флуктуаций сосредоточен в области низких частотах наблюдения, быстро спадая по величине с ростом последних по закону - / 2.
В области высоких частот определяющими являются естественные флуктуации, которые вызывают линейное во времени нарастание дисперсии разности фаз встречных волн.
В силу различной физической природы дестабилизирующих факторов, порождающих естественные и технические флуктуации частоты, указанные процессы являются статически независимыми.
Процесс собственного ухода ЛГ в его интегральном проявлении нельзя задать явной математической зависимостью, поскольку каждое наблюдение этого процесса дает невоспроизводимый результат, что позволяет рассматривать дрейф ЛГ процессом случайным по своей физической сути.
Структурная схема и характеристики математической модели ошибок ЛГ
Задачей данного раздела является построение математической модели ошибок ЛГ, рассматриваемого в качестве инерциального датчика навигационных систем.
Построение математической модели ошибок ЛГ заключается в создании формализованного описания результирующей ошибки датчика в виде системы стохастических дифференциальных уравнений и установлении функциональных соотношений между отдельными компонентами модели.
Знание математической модели позволяет получать конечные (не содержащие операторов дифференцирования) уравнения для определения параметров модели, что является основной целью исследования погрешностей ЛГ.
Изложение материала раздела содержит две взаимосвязанные части: представление ухода ЛГ непрерывным процессом и в форме дискретного аналога.
Рассмотрим модель ошибок в виде совокупности непрерывных процессов пространства входных (выходных) сигналов и вектора состояния. Структурная схема модели изображена на рис. 2.
™ ( * )
и (г) Х2(г)
¥ и ¥
а
4 ' 2
а а
Рис. 2. Структурная схема математической модели ошибок.
В структурной схеме модели введены следующие обозначения:
• и (V) и w(t) - случайные, некоррелированные случайные процессы типа WN;
• и ^ - интенсивности процессов и(V) и w(t) соответственно;
• х (V) - угол ухода, х2 (V) - случайное блуждание угловой скорости, обусловленное ускорением дрейфа - и (V);
• х3 (V) - систематическая погрешность смещения нуля;
• С - частота наблюдения.
В соответствии со структурной схемой, результирующий уход можно представить линейной динамической системой, заданной векторным дифференциальным уравнением первого порядка вида
Х(? ) = АХ (V) + BW(t). (1)
Здесь X () = [х ()х2 ()х3 ()] - вектор состояния, Wг (V) =
w(t) u(t) 0
- случайный
вектор шумов , А - постоянная матрица системы А =
0 1 1 0 0 0 0 0 0
, В - единичная матрица.
Компонентами вектора состояния х(/) являются: х (V) - угол собственного ухода ЛГ; х2 (?) - процесс типа WRP; х3 (V) - случайная, но постоянная величина, характеризующая смещение нуля от запуска к запуску в показаниях прибора. Значение смещения нуля меняется по величине и знаку от включения к включению прибора с распределением близком к нормальному [6,7]. Уравнение этой ошибки имеет очевидное представление х3 (V ) = 0, М X (/)}= т2, где т2 — среднеквадратичное значение случайной величины смещения нуля.
Процесс w(t) содержит в качестве составляющих некоррелированные белые гауссовы шумы w(t) и и(г), так что М) и()| = 0.
Вектор математического ожидания случайного векторного процесса w(t) имеет нулевое среднее значение
М ^(г)} = 0 и корреляционную матрицу
М ^ (г)}= Чд^ — г)
где Ч - неотрицательно определенная матрица интенсивности, £*(•) - дельта - функция Дирака.
Матрица интенсивности Т имеет вид:
Т
0 0 0 ¥ 0 0 0 0
Элементами матрицы Т служат интенсивности и ¥и шумовых процессов )
()
и Щ1) соответственно.
Определим первый и второй моменты для процессов скорости х 1 (/) и угла х1 (г) ухода ЛГ. Выражения для вектора математического ожидания м |х(/)} случайного процесса х(/), заданного стохастическим дифференциальным уравнением (1) в непрерывном варианте имеет вид [4, 5]
Ш
м {х(г)} = ам {х(г)}+вм )}.
(2)
Учитывая, что случайный вектор шума w(t) имеет нулевое среднее м{w(í)}= 0, дифференциальное уравнение (2) распадается на систему скалярных уравнений:
Шм {х1 (г )}=м {х2 (г)}+м {хз (г)}; ш
йм {Х2 (г )}= 0; ш
Шм {хз (г )}= 0.
ш
(3)
Ранее было отмечено, что смещение нуля х3 (?) в исходной реализации (при данном включении датчика) следует рассматривать, как случайную, постоянную величину с законом распределения близком к нормальному [4-6], поэтому осреднение по совокупности реализаций дает м {хз (г)} = 0.
Перейдем к определению среднеквадратических значений скорости м -|х 12 (г)| и угла м {х12 (г)} ухода ЛГ. Уравнение для определения матрицы среднеквадратических значений Vx = м {х(г)хт (г)} векторного случайного процесса х(г) имеет вид [4, 5]
V х (г) = аух (г)+V (г)Ат + вт(г )вт. (4)
Запись уравнения (4) в поэлементной форме приводит к системе дифференциальных уравнений:
dt
dM {x
dt
dM {x
dt
d_ dt
d dt
d dt
dM {x-dt x
dM {x2 dt x
dM (t )}= о
)}= 2[m(xi (t)}x2(t)}+M(xi (t)}хз(t)}]+ ¥wS(t); MX}= Щч3 + m2t2 +
)Ж (t )}=M X2 (t)}+M X (t )Ж (t)};
)Ж (t )}=M {x2 (t)}+M {хз (t )Ж (t)}; )fe (t)}= 0 ;
)}= wus(t);
Ш
M fe(t )X2 (t )}=y- t2; M {x (t)x3 (t)}= m2t ; M {x2 (t )x3 (t )}= 0 ;
MK2(t)}=Ш/ ;
M fe (t)}
=m
Процессы х2 (г) и х3 (г) статистически независимы так, что М {х2 (г )х3 (г)}= 0 .
Это равенство вполне обосновано, поскольку случайное смещение и процесс типа ЖЕР порождаются физически разнородными источниками погрешностей [6, 7].
Относительно начальных значений переменных, входящих в систему уравнений (5) физически обоснованными являются соотношения:
М {х2 (0)} = М {х2 (0)хз (0)} = М {х (0)хз (0)} = М {х (о)х2 (о)} = 0.
Допущение М{х2(0)}= 0 вытекает из свойств процесса типа ЖЕР [4], а допущение М {х2 (0)х (0)} = 0 обусловлено статистической независимостью процессов х2 (г) и х3 (г). Предположения м {х (0)х3 (0)}= 0 и м {х: (0)х2 (0)}= 0 диктуются нулевыми начальными условиями по углу ухода х (0), при наблюдении процесса ухода от момента включения прибора.
Учитывая, что xi (t) = x2 (t) + x3 (t) + w(t)
уравнения для определения среднеквадратич-
ных значений угловой скорости и угла ухода ЛГ соответственно принимают вид:
M \
xi
(t)
= ¥ut + ¥wS(t)+m2, M {xi (t )} = Ши t3 + m2t2 + Wwt.
(6)
Важность полученных результатов с практической точки зрения состоит в возможности получения количественной оценки результирующей погрешности ЛГ через значения PSD отдельных компонент математической модели.
2. Математическая модель ошибок ЛГ в дискретной форме
Цифровая форма выходного сигнала ЛГ диктует необходимость представления полученных ранее уравнений в дискретной форме. Непрерывной форме представления динамической системы (1) соответствует векторное разностное уравнение первого порядка
[4]
x[(k + l)T] = ФX(kT)+:rW(kr) .
(7)
2
»
Матрицы Ф и Г , выражаются через матрицу коэффициентов А, единичную матрицу Е размером (з х з) и интервал квантования Т уравнениями вида Ф = Е + ТА и
Г = ТЕ [5, 6]. Следует отметить, что интервал квантования Т , отделяющий (к +1) и (к)
такты проделанных измерений, определяется как величина кратная периоду колебаний частотной подставки ЛГ [6].
Дискретный аналог непрерывного векторного дифференциального уравнения (3) записывается следующим образом [1-3]
V [(к + 1)Т] = Ф^ [кТ]ФТ + ГО[кТ]ГТ . (8)
Здесь В[кТ] - неотрицательно-определенная матрица интенсивности дискретного шумового процесса w[xт ], имеющая вид
^Д., 0 0"
м |>Т]} = ъ[кг\дк [(* - } Т ]; в[кТ]=
0 д
0
и 0 0 0
где и Ди - интенсивности гауссовых <<белых>> последовательностей w(kT) и
и(кТ) соответственно. Функция Кронекера бк [(I — j)Т] имеет общепринятое обозначе-
ние
Ъ [О — j )Т ] =
11 при I = } [0 при I ф ]
Запись уравнения (8) в поэлементной форме приводит к системе рекуррентных уравнений:
м ^х12 [(к + 1)Т ]}=м к2 [кТ]}+ 2Т
м {х [кТ х [кТ ]}+м {х [кТ]х3 [кТ]}
+
2Т2м\ х2 [кТ]х3 [кТ]}+ Т2
+ Т2 Д.,
(9)
значений
м {х2 2 [кТ]}+ м {с,2 [кТ]}
м {х [(к + 1)т х [(к + 1)т ]}=м {х [кТ [кТ ]}+ ТЫ {х2 2 [кТ ]}+ ТЫ {х3 [кТ^2 [кТ]}; м х [(к + 1)Т Зх, [(к + 1)Т ]} = м ^ [кТ ]х, [кТ ]}+ ТИ {х3 2 [кТ]}+ ТИ {х3 [кТ ]^2 [кТ]}; м{х22 [(к + 1)Т]}= м{х22 [кТ]}+ Т2Д ;
м х2 [(к + 1)Т ]} = м {^з2 [кТ ]}. Рассмотрим последовательно каждое из уравнений системы. В силу неизменности " последовательности х3 [кТ], выражение для м{х-2 [кТ]} будет иметь тот же вид,
у м {хз2 [кТ ]}= т2
что и в непрерывном варианте записи, поэтом
Путем несложных преобразований определяются явные формулы для обобщенного члена последовательностей
м {х22 [(к + 1)Т ]}, м Ы(к + 1)Т ]х2 [(к + 1)Т ]}, м {х! [(к + 1)Т [(к + 1)Т ]}, м{х2 [(к + 1)Т х [(к + 1)Т]},
а именно:
МК2 [(к + 1)т]}= (к + 1)т2Би; М{х[(к + 1)т]к [(к + 1)т]}= ^ т3Д,;
М{к [(к + 1)тК [(к + 1)т]}= (к + 1)Тт2 ; М{х2 [(к + 1)тК [(к + 1)т]}= 0.
Подставляя полученные соотношения в первое уравнение системы (9) окончательное выражение для определения угла ухода ЛГ в дискретной форме примет вид
М{к2 [(к + 1)т]} = (к +1) Т2Б* + (1 + 22 + ••• к2 ) Т4Би + 2 к(1 + 2 — к) Т2т2 =
= (к +1) Т2Б* + к (к + 1)(2к +1 Т4Ои + к (к +1) Т2 т2. (10)
6
Полученное уравнение позволяет сформировать расчетную процедуру оценки параметров модели ошибок на основании результатов выходных измерений ЛГ.
Нетрудно убедиться в корректности выполненных преобразований путем сопоставления непрерывной (6) и дискретной (10) форм записи уравнения ошибки.
Учитывая, что связь между дискретными и непрерывными процессами устанавливается предельным переходом, когда выборки берутся достаточно часто к ^ , Т ^ 0, кТ ^ t можно записать:
Ь1М к (к + 1)(2к +1) т 4В = = ¥/ . к-^мо 6 "33'
Ы .М. к (к + 1)т2 т2 = t2 т2' Ы .М. (к + 1)т2 О = = Ж. (11)
Объединяя уравнения (11) получаем
Ы М. М К [(к + 1)Т ]}=^ + т2t2 + ¥ t.
При выводе соотношений учитывалась связь между интенсивностями непрерывных и дискретных шумовых процессов типа ШЫ через период дискретизации, а именно
¥ = ТБ ¥ = ТБ
* ^ и и ■
Сходимость в предельном случае дискретного и непрерывного вариантов записи уравнений модели ошибок ЛГ указывает на корректность с математической точки зрения процедуры выполненного анализа.
Заключение
В результате проведенного анализа флуктуационных процессов в ЛГ и декомпозиции совокупности дестабилизирующих факторов предложена обобщенная модель флук-туаций разностной частоты, основанная на стохастическом описании отдельных составляющих модели.
На основе обобщенной модели флуктуаций, предложена физически обоснованная математическая модель ошибок ЛГ, как инерциального датчика, в форме линейной комбинации нескольких случайных процессов.
Введены в рассмотрение параметры погрешностей измерений, которые ранее не использовались в теории и практике лазерной гироскопии, что позволяет оценивать количественно результирующую ошибку измерений, используя спектральные характеристики отдельных составляющих ошибки.
Выполнен корреляционный анализ характеристик математической модели. Получены уравнения для определения среднеквадратических значений параметров ухода ЛГ в непрерывной и дискретной форме, показана сходимость уравнений при соблюдении условии предельного перехода.
Введена система параметров, позволяющая количественно нормировать результирующую ошибку ЛГ.
Дальнейшие исследования должны быть направлены на получение модели ошибок ЛГ на неограниченном по продолжительности интервале наблюдения, разработку методики оценки параметров модели ошибок, а также синтез алгоритмов и методов оптимизации точностных характеристик измерительных систем, построенных на базе ЛГ.
Список литературы
1. Лукьянов Д., Филатов Ю., Голяев Ю., Курятов В., Виноградов В., Шрайбер К.-У., Перлмуттер М. 50 лет лазерному гироскопу // Фотоника. 2014. № 1(43). С. 42-61.
2. Матвеев В.В., Распопов В.Я. Основы построения бесплатформенных инерциальных навигационных систем: учеб. пособие / Под общ. ред. В.Я. Распопова. СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ Электроприбор», 2009. 278 с.
3. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: пер. с англ. / Под. ред. И.Н.Коваленко. М.: Мир, 1989. 540 с. [Bendat J.S., Piersol A.G. Random data: analysis and measurement procedures. 2nd ed. N.Y.: Wiley, 1986. 566 p.].
4. Salychev O.S. Applied inertial navigation: Problems and solutions. Moscow: BMSTU Press, 2004. 302 p.
5. Salychev O.S. MEMS-based inertial navigation: Expectations and reality. Moscow: BMSTU Press, 2012. 208 p.
6. Jazwinski A.H. Stochastic processes and filtering theory. N.Y.: Academic Press, 1970. 376 p.
7. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А. Методы моделирования и цифровая обработка сигналов в гироскопии. М.: Физматлит, 2008. 248 с.
8. Применения лазеров: пер. с англ. / Под ред. В.П. Тычинского. М.: Мир, 1974. 445 с. [Laser applications / M. Ross, F. Aronowitz, B.J. Thompson, J.C. Owens a.o. N.Y.; L.: Academic Press, 1971].
9. Aranda J., De la Cruz J.M., Ruiperez H., Dormido S. Calibration and stochastic modeling of a laser-gyro for laboratory testing // Mathematical and Computer Modelling. 1990. Vol. 14. Pp. 231-236. DOI: 10.1016/0895-7177(90)90181-L
10. Mark J., Brown A., Matthews T. Quantization reduction for evaluating laser gyro performance using a moving average filter // Intern. conf. on acoustics, speech and signal processing: ICASSP 1984 (San Diego, CA, USA, March 19-21, 1984): Proc. 1984.
Pp. 614-617. DOI: 10.1109/ICASSP.1984.1172629
11. Coccoli J.D., Helfant S. RLG evaluation: Complementary modeling and testing // Proc. of the NAECON. 1979. Vol. 1. Pp. 14-21.
12. Chow W.W., Gea-Banacloche J., Pedrotti L.M., Sanders V.E., Schleich W., Scully M.O. The ring laser gyro // Reviews of Modern Physics. 1985. Vol. 57. Iss.1. Pp. 61-104. DOI: 10.1103/RevModPhys.57.61
13. Giardina C.R. Effect on navigation performance by noise present in RLG // Guidance and control conf. (San-Diego, CA, USA, August 16-18, 1976): Proc. N.Y.: AIAA, 1976.
Pp. 169-179.
14. Baum R.A., Slabinski R.J., Sturner B.A. A low-noise, high-bandwidth precision gyro for space pointing // Guidance and control 1980: Annual Rocky Mountain conf. (Keystone, Colo., USA, February 17-21, 1980): Proc. San Diego, 1980. Pp. 501-550.
15. Hummel S.G., Tesch E.L. Laser gyros in precision spacecraft attitude determination systems // Guidance and control conf. (Boulder, Colo., USA, August 6-8, 1979): Collection of technical papers. N.Y.: AIAA, 1979. Pp. 143-154. DOI: 10.2514/6.1979-1716
16. Oravetz A.S., Sandberg H.J. Stationary and nonstationary characteristics of gyro drift rate. AIAA J. 1970. Vol. 8. No. 10. Pp. 1766-1772. DOI: 10.2514/3.5988
17. Sudhakar M. Paniit, Wwibang Zhang. Modeling random gyro drift rate by data dependent systems // IEEE Trans. on Aerospace and Electronics Systems. 1986. Vol. 22. No. 4.
Pp. 455-460. DOI: 10.1109/TAES.1986.310781
18. Bilger H.R. Low frequency noise in ring laser gyros // Proc. of the Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE). 1984. Vol. 487. DOI: 10.1117/12.943248
19. Lawrence C.Ng, Darryll J. Pines. Characterization of ring laser gyro performance using the Allan variance method // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1997. Vol. 20. No. 1. Pp. 211-214. DOI: 10.2514/2.4026
20. Алалуев Р.В., Иванов Ю.В., Матвеев В.В., Орлов В.А., Распопов В.Я. Измерительный модуль микросистемной бесплатформенной инерциальной навигационной системы // Нано- и микросистемная техника. 2007. № 9. С. 61-64.
21. Букингем М. Шумы в электронных приборах и системах: пер. с англ. М.: Мир, 1986. 398 с. [Buckingham M.J. Noise in electronic devices and systems. Chichester; N.Y.: Halsted press, 1983. 372 p.].
Science ¿Education
of the Baurnan MSTU
Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 07, pp. 189-205.
DOI: 10.7463/0717.0001271
Received: 13.06.2017
Revised: 27.06.2017
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Mathematical Model of the Laser Gyro Errors
V.V. Novikov1, V.N. Enin1'*, "enm^hmstuju
P.V. Novikov2
1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia 2Moscow Polytechnic University, Moscow, Russia
Keywords: laser gyro, random drift, systematic drift, natural and technical fluctuations, mathematical
error model, white noise, random walk
The paper presents the analysed and systemised results of the experimental study of laser gyro (LG) errors. Determines a structure of the resulting LG error, as a linear combination of the random processes, characterizing natural and technical fluctuations of difference frequency of the counter-propagating waves, with a random constant zero shift available in the sensor readings. Formulates the requirements for the structure and form of the analytic description of the error model. Shows a generalized model of the LG fluctuation processes, on the basis of which a mathematical model of LG errors was developed as an inertial sensor.
The model is represented by a system of the stochastic differential equations and functional relationships to characterize a resulting error of the sensor. The paper provides a correlation analysis of the model equations and final equations obtained for the mean-square values of the particular components, which allow us to identify the resulting error parameters. The model parameters are presented through the values of the power spectral density of the particular components. The discrete form of the model is considered, the convergence of continuous and difference equations is shown in fulfilling conditions of the limiting transition. Further research activities are defined.
References
1. Luk'ianov D.P., Filatov Yu.V., Goliaev Yu.D., Kuriatov V.N., Vinogradov V.I., Schreiber K.-U., Perlmutter M. Laser gyroscope is 50 years old. Fotonika [Photonics], 2014, no. 1(43), pp. 42-61 (in Russian).
2. Matveev V.V., Raspopov V.Ia. Osnovy postroeniia besplatformennykh inertsial'nykh navigatsionnykh system [Basis of strapdown inertial navigation systems buildings]: a text-
book / Ed. by V.Ia. Raspopov. S.-Petersburg: OAO "Konzern "TSNII Elektropribor" Publ., 2009. 278 p. (in Russian).
3. Bendat J.S., Piersol A.G. Random data: analysis and measurement procedures. 2nd ed. N.Y.: Wiley, 1986. (Russ. ed.: Bendat J.S., Piersol A.G. Prikladnoj analiz sluchajnykh dannykh. Moscow: Mir Publ., 1989. 540 p.).
4. Salychev O.S. Applied inertial navigation: Problems and solutions. Moscow: BMSTU Press, 2004. 302 p.
5. Salychev O.S. MEMS-based inertial navigation: Expectations and reality. Moscow: BMSTU Press, 2012. 208 p.
6. Jazwinski A.H. Stochastic processes and filtering theory. N.Y.: Academic Press, 1970. 376 p.
7. Basarab M.A., Kravchenko V.F., Matveev V.A. Metody modelirovaniia i tsifrovaia obrabotka signalov v giroskopii [Methods for modeling and digital signal processing in gyroscopy]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2008. 248 p. (in Russian).
8. Laser applications / M. Ross, F. Aronowitz, B.J. Thompson, J.C. Owens a.o. N.Y.; L.: Academic Press, 1971. (Russ. ed.: Primeneniia lazerov. Moscow: Mir Publ., 1974. 445 p.).
9. Aranda J., De la Cruz J.M., Ruiperez H., Dormido S. Calibration and stochastic modeling of a laser-gyro for laboratory testing. Mathematical and Computer Modelling, 1990, vol. 14, pp. 231-236. DOI: 10.1016/0895-7177(90)90181-L
10. Mark J., Brown A., Matthews T. Quantization reduction for evaluating laser gyro performance using a moving average filter. Intern. conf. on acoustics, speech and signal processing: ICASSP 1984 (San Diego, CA, USA, March 19-21, 1984): Proc. 1984. Pp. 614-617. DOI: 10.1109/ICASSP.1984.1172629
11. Coccoli J.D., Helfant S. RLG evaluation: Complementary modeling and testing. Proc. of the NAECON, 1979, vol. 1, pp. 14-21.
12. Chow W.W., Gea-Banacloche J., Pedrotti L.M., Sanders V.E., Schleich W., Scully M.O. The ring laser gyro. Reviews of Modern Physics, 1985, vol. 57, iss.1, pp. 61-104.
DOI: 10.1103/RevModPhys.57.61
13. Giardina C.R. Effect on navigation performance by noise present in RLG. Guidance and control conf (San-Diego, CA, USA, August 16-18, 1976): Proc. N.Y.: AIAA, 1976.
Pp. 169-179.
14. Baum R.A., Slabinski R.J., Sturner B.A. A low-noise, high-bandwidth precision gyro for space pointing. Guidance and control 1980: Annual Rocky Mountain conf. (Keystone, Colo., USA, February 17-21, 1980): Proc. San Diego, 1980. Pp. 501-550.
15. Hummel S.G., Tesch E.L. Laser gyros in precision spacecraft attitude determination systems. Guidance and control conf. (Boulder, Colo., USA, August 6-8, 1979): Collection of technical papers. N.Y.: AIAA, 1979. Pp. 143-154. DOI: 10.2514/6.1979-1716
16. Oravetz A.S., Sandberg H.J. Stationary and nonstationary characteristics of gyro drift rate. AIAA J.., 1970, vol. 8, no. 10, pp. 1766-1772. DOI: 10.2514/3.5988
17. Sudhakar M. Paniit, Wwibang Zhang. Modeling random gyro drift rate by data dependent systems. IEEE Trans. on Aerospace and Electronics Systems, 1986, vol. 22, no. 4,
pp. 455-460. DOI: 10.1109/TAES.1986.310781
18. Bilger H.R. Low frequency noise in ring laser gyros. Proc. of the Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE), 1984, vol. 487. DOI: 10.1117/12.943248
19. Lawrence C. Ng, Darryll J. Pines. Characterization of ring laser gyro performance using the Allan variance method. J. of Guidance, Control, and Dynamics, 1997, vol. 20, no. 1,
pp. 211-214. DOI: 10.2514/2.4026
20. Alaluev R.V., Ivanov Yu.V., Matveev V.V., Orlov V.A., Raspopov V.Ia. Measuring module of micro system platformless inertial navigation system. Nano - i mikrosistemnaia tekhnika [Nano- and Microsystems Technology], 2007, no. 9, pp. 61-64 (in Russian).
21. Buckingham M.J. Noise in electronic devices and systems. Chichester; N.Y.: Halsted press, 1983. (Russ. ed.: Buckingham M.J. Shumy v electronnykh priborakh i systemakh. Moscow: Mir Publ., 1986. 398 p.).
