Математическая модель одномерной сети водоснабжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Федеральный портал "Инженерное образование"

т электронный журнал

ОБРАЗОВАНИЕ

Инженерное образование Ассоциация технических университетов

#12 декабрь 2007

Общие проблемы

инженерного

образования

Инженер в современной России

Наука в образовании: Электронное научное издание

CALS-технологии

Зарубежное образование

История технического прогресса

Учебные программы Будущий инженер Вне рубрик

English Library

Пресс-релизы

Библиотека

Конференции

Выставки

Форум

Доска объявлений

Архив

Переписка

Информация о проекте About project

Найти!

Эл 30569

N ФС 77-

# Гос. регистрации 0420800025

ISSN 19940408

Ред. совет Специальности Рецензентам Авторам English Koi-8 Win Найти выделенное

Математическая модель одномерной сети водоснабжения #12 декабрь 2007

Боровик И.Г.

Янов И.О.

Современное состояние и быстрое изменение структуры систем городских водопроводов, увеличение числа используемых одновременно источников водоснабжения, насосных станций и регулирующих емкостей требуют совершенствования методов расчета систем подачи и распределения воды. Проблема также заключается и в старении труб, что влечет за собой изменение их сопротивления, не учтенное при начальном расчете системы водоснабжения. Возникает вопрос управления работой такой сети, который для начала сводится к получению математической модели сети водоснабжения.

Рассмотрим схему обычной городской водопроводной сети: имеется несколько насосных станций, питающих сеть, которая в свою очередь состоит из трубопроводов, соединяющихся в узловых точках. Некоторые из узловых точек являются контрольными. Они расположены таким образом, что определенное значение давления воды в них обеспечивает необходимое давление во всей водопроводной сети. Давление в отдельно взятой контрольной точке зависит от давлений во всех насосах сети, а также от уровня расходов воды, которые носят случайный характер.

Для построения математической модели такой сети водоснабжения необходимо найти математическую модель отдельно взятого участка сети, т.е. рассмотрим одномерную сеть с двумя насосами (точки А^ и А2) и несколькими датчиками давления в контрольных точках В^ (рис.1). Давление в насосах обозначим Р^ и Р2 ,а расходы в них Q^ и Q2 соответственно. Давление в контрольных точках обозначим Рj , а вдоль всей оси нашей сети расположим водозаборные краны с расходами qj или q1,q2, ... q^. Эти расходы неизвестны и постоянно меняются, что влечет за собой изменение влияния давлений в насосах на давления в контрольных точках, что и является главной зависимостью при построении модели сети.

Qi

4» ОТ

Рис. 1 Одномерная сеть

Rx)

Для вывода уравнений предположим, что давление в каждой точке сети есть функция р(х). При этом основное гидравлическое уравнение движения воды в стационарном режиме запишется как:

&р = -ЪГ Ляг (1)

Ар - изменение давления на трубе длиной Ах ; q - поток воды через трубу;

т - постоянная, зависящая от состояния труб (около 2);

БиГОР

База и Генератор Образовательных Ресурсов

к - коэффициент, зависящий от сечения трубы (коэффициент сопротивления трубы). Функция дт понимается в смысле

д" = |9в|л£п(9>

2

например для т=2 д . sign(q)

,17/9

(3)

для т=17/9 д , т.к. сигнатуру можно опустить. Кроме того будем использовать обратную функцию:

определенную как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента. Разделим уравнение (1) на Ах и устремим Ах к нулю:

(4)

Продифференцировав поток д(х), найдем плотность расходов от водоразборных кранов:

= ЯЗ, причем Дх) < 0 (5)

После проведенной предварительной подготовки необходимо, для начала, найти функцию сопротивления труб к(х). Для этого необходим массив измерений Рр Р2, Рр Р2, Рр Р2 — Рк для различных моментов времени. Данную задачу можно рассмотреть как задачу оптимизации функции к(х) при условии минимума максимума ^х) по х для всех моментов времени, т.е. сначала принимаем А(х) за постоянную величину, тогда уравнение (5) при граничных условиях д(0) = Рр ; д(1) = -Р2 имеет решение:

<>м (г „■>

й£

где

(6)

Из уравнения (4) находим :

ад

Я' (7)

Для того, чтобы знаменатель обращался в ноль вместе с числителем ( т.е. функция к(х) была всюду положительной), найдем функцию р(х) в виде

рЮ = (х-а)шЛиЮ+С, где (8)

и(х) - многочлен степени к.

к+1 коэффициент многочлена и постоянную С найдем из к+2 уравнений: р(0) = Р1

р(1) = Р2

р(хр = Р] , j = 1,2,— к.

Фактически задача свелась к решению системы уравнений. Но необходимо отметить, что все давления, используемые в уравнениях, измеряются относительно одной и той же высотной отметки, т.е. учитывается географическая высота места, где установлен манометр.

Подставляя выражения (6) и (8) в (7) получаем:

(й+еъ)

Таким образом, получили функцию сопротивления труб к(х) в виде многочлена степени к (для одного момента времени). Для нескольких моментов времени предлагается найти к(х) аналогично, а затем усреднить полученные многочлены к-й степени путем усреднения коэффициентов при одинаковых степенях. Полученная таким образом к(х) обеспечит минимальную вероятность того, что при нахождении функции ^х), потока д(х) в трубах и плотности расхода ^х), для известного к(х) по одному измерению РрР2, Рр Р2, Рр Р2, — Рк и нахождении расхода на участке (х1,х2), путем вычисления разности (д^) - д^)), плотность расхода будет положительной.

Так как функция сопротивления труб к(х) мало меняется во времени, то находить ее можно достаточно редко, например, для проверки засорения труб.

Таким образом используя выражение (4) и результаты одного измерения определим р(х). По типовому виду функции р(х),

представленной на рис.3, видим, что она имеет минимум в некоторой точке х = а. Следовательно, производная в этой точке равна нулю.

Если корень производной простой (однократный), то это приведет к разрыву ^х). Действительно, для однократного корня производную

Р'(х) можно представить в виде:

= (х аЖх) . где

Ф (х) - положительная функция.

Подставим ее в уравнение (4):

или

«л

Из уравнения (5) тогда видим:

Таким образом, Д(х) имеет разрыв в точке х = а. Графики этих функций показаны на рис.4 (заштрихован полный расход Ql + Q2). Т.о. кратность корня р'(х) должна быть равна т. Если это так, то будет разрыв Д(х), а если больше, то в точке х = а Д(х)=0. Необходимую кратность корня обеспечивает вид (8), где степень понимается в смысле (2). С учетом сигнатуры уравнение (8) можно переписать в виде: РЮ^-Я^ВД+С (9)

для некоторых т, например т=17/9, модуль можно опустить.

Для определения неизвестных коэффициентов, входящих в (9), имеем к+4 условий, соответствующих результатам одного измерения. Запишем эти условия, используя уравнение (4)

(10)

Неизвестными являются а, С и коэффициенты многочлена и(х). Всего неизвестных к+4, следовательно, и(х) должен иметь степень к+4. Благодаря параметру а, система условий (10) приводит к нелинейной системе уравнений, поэтому необходимо указать способ решения этой системы.

Из уравнения (9) получим:

где

Запишем последние два условия (10) с учетом (11)

(11)

(12)

и поделив

находим а :

(13)

а

1.дЛ - 4(0) ■ <*/.)

а .^корш+а^а-жо)

Перепишем (10) более полно:

(14)

Для известного а система (14) представляет собой линейную систему к+3алгебраических уравнений с к+3 неизвестными. Предлагается следующий алгоритм решения системы (14) и (13): приняв <Р(0) и <рС0 • находим по формуле (13) а в первом приближении:

а =--

а)

b) Полученное значение подставляем в систему (14) и решаем ее как линейную систему.

c) Получив коэффициенты многочлена и(х), находим по формуле (12) и подставляем в (13) и находим уточненное

значение а .

ё) Повторяем несколько раз пункты Ь) и с).

Получив значение параметров а, С и коэффициентов многочлена и(х), по формуле (9) можно найти значение функции р(х) в любой точке системы.

А теперь нам остается для известного к(х) и р(х) найти зависимость

ёрл=¥фРх+¥ъ Щ (15)

Для этого находим зависимость Ар (х) при условии Лр(0) = АР1

Ар (Ь) = 0 затем при условии Ар(0) = 0 Ар (Ь) = ЛР2

Итак, найдем зависимость (15) изменения давления в критических точках при изменении давления в насосах. Функцию р(х), полученную выше, можно рассматривать как решение системы дифференциальных уравнений (4) и (5):

*' = /(*) ] (16) при граничных условиях:

(17)

(функции к(х) и f(x) считаем известными), т.е. как решение краевой задачи.

3

Пусть давление получило приращение А Р2 , а Рр к(х) и f(x) не изменились (т.к. мы решаем задачу для данного момента времени, то ^х) считается неизменной).

Тогда переменные Ь и д получат приращения Ар(х) и Ад(х) соответственно. Запишем новую краевую задачу:

Ср+4РЮУ=-к(хХя+<гСФ"

(д + ЛдОО)' = ЯЗ (18)

Ар{Ц = Щ (19)

Лианиризуем уравнения и вычитаем из (18) (16):

= 0-> Д?(г) = «ни* = Ад

(20)

(21)

Используя граничные условия (19) найдем неизвестное

и подставим в выражение (21), тогда:

(22)

Типичный вид этой зависимости показан на рис.4.

Рис. 3

Р'(хи

Рис. 4

Аналогично получаем решение уравнений (20) для краевых условий: Лр(0) = ЛР1

Лр(Ь) = 0 , тогда

(23)

Преобразуем подынтегральную функцию через функцию _|(х), которая выражается через и(х) по формуле (12). Из уравнения (16)

и (11):

Обозначим:

(24)

где

=(тВДх) + (х*)гУ'(х)

а коэффициенты многочлена и(х) были определены ранее.

С учетом обозначения (24), искомая зависимость изменения давлений в _)-ой контрольной точке от изменения давления в насосах ЛР1 и ЛР2 будет иметь вид:

(25)

Интегралы чрс1^) и (с© вычисляются численным методом по формуле (24), которая для наиболее распространенного случая принимает вид:

Из выражения (25) видно, что если АРрАР2=Ар , то и Арр Ар. Т.е. график зависимости р(х) смещается вверх на постоянную величину Ар , что согласуется с физическими соображениями. Коэффициенты искомой зависимости (15):

F, =1

и

На рис.5 показаны графики, где сплошной линией обозначено VI, а пунктиром У2. Можно заметить, что в точке х = Ь графики пересекаются, что соответствует одинаковому влиянию насосов на давление в это точке. Если интересующая нас точка, например х^ находится правее точки Ь, то решающее значение для нее имеет давление во втором насосе. И соответственно наоборот для точек левее точки Ь.

b а

Рис. 5

Таким образом зная давление в насосах Р1 и Р2 и в ходе проведенного измерения получив массив измерений Ql , Р2, р1.....р^ ,

по выше приведенным формулам определяем функцию сопротивления труб к(х) и значения параметров а, С и коэффициентов многочлена и(х). Определив данные значения всего один раз, в дальнейшем можно пользоваться математической зависимостью(25) изменения давления в произвольной точке от изменений давлений в насосах.

maiL.ru

Публикации с ключевыми словами: водоснабжение - управление - сеть городского водоснабжения - насосные станции - потребление воды

Публикации со словами: водоснабжение - управление - сеть городского водоснабжения - насосные станции - потребление воды См. также:

■ Многофакторный регрессионный анализ в прикладной задаче управления городской водопроводной сетью.

■ Сравнительный анализ вариантов инвестиционного проекта. Методические указания по курсовому проектированию.

■ Составление план-графика и контроль хода работ по проекту с помощью компьютерной автоматизированной системы планирования. Методические указания по выполнению лабораторной работы.

■ Linear and Nonlinear Iterative Learning Control (Lecture Notes in Control and In-formation Sciences).

■ Радиоэлектронные системы: основы построения и теория. Справочник

■ Теория автоматического управления техническими системами.

■ Микропроцессорные системы энергосберегающего управления Все публикации на ту же тему>>

Написать комментарий >>

Журнал | Портал | Раздел Copyright © 2003 «Наука и образование. Инженерное образование» E-mail: [email protected] | тел.: +7 (495) 263-68-67

Вход для редакторов