Многофакторный регрессионный анализ в прикладной задаче управления городской водопроводной сетью Текст научной статьи по специальности «Математика»

р электронной журнал

ОБРАЗОВАНИЕ

Инженерное образование Ассоциация технических университетов

#12 декабрь 2007

Общие проблемы

инженерного

образования

Инженер в современной России

Наука в образовании: Электронное научное издание

CALS-технологии

Зарубежное образование

История технического прогресса

Учебные программы Будущий инженер Вне рубрик

English Library

Пресс-релизы

Библиотека

Конференции

Выставки

Форум

Доска объявлений

Архив

Переписка

Информация о проекте About project

Эл

30569

N ФС 77-

# Гос. регистрации 0420800025

ISSN 19940408

Ред. совет Специальности Рецензентам Авторам English Koi-8 Win

■

■

■

■

■

■

■

■

■

■

■

Найти!

Найти выделенное

Многофакторный регрессионный анализ в прикладной задаче управления городской водопроводной сетью.

#12 декабрь 2007

Боровик И.Г. Янов И.О.

Современное состояние и быстрый рост систем городских водопроводов, увеличение числа используемых одновременно источников водоснабжения, насосных станций и регулирующих емкостей требуют совершенствования методов расчета и управления системами передачи и распределения воды. Системы водоснабжения - это достаточно сложный комплекс взаимосвязанных по параметрам и режимам работы специальных сооружений, обеспечивающий с необходимой надежностью забор воды из источников водоснабжения, ее обработку, аккумулирование и хранение, подачу к месту потребления, а также распределение доставленной к объекту воды между ее потребителями. Они создаются в разнообразных природных условиях с использованием типовых проектов сооружений и серийно выпускаемого для них оборудования, труб и строительных конструкций. Обычно системы водоснабжения обслуживают достаточно широкий круг потребителей воды, рассредоточенных, как правило, на значительных территориях. В этих условиях выбор рациональных решений по отдельным вопросам водоснабжения затруднителен. Все чаще ставится задача решения этих вопросов при помощи ЭВМ. Одним из таких вопросов является задача экономного расходования всех видов ресурсов, прежде всего электроэнергии и воды в производственной деятельности водопроводных предприятий.

Экономное расходование ресурсов в работе предприятий водоснабжения достигается, кроме всего прочего, и путем рационального использования имеющихся производственных возможностей. Особенную актуальность приобретает эта задача в условиях больших систем водоснабжения - с несколькими насосными станциями, регулирующими резервуарами (башнями) и большим числом нефиксированных водопотребителей. В каждой точке сети напор воды должен поддерживаться на заданном уровне. Это обеспечивает качественное обслуживание потребителей воды. Напор в сети зависит от работы водопитателей, а также от потребления воды, носящего случайный характер. При большом числе насосных станций напор в различных точках зависит от их совместной работы. Таким образом, возникает задача определения влияния работы той или иной насосной станции на напор в данной точке сети.

Типичная городская водопроводная сеть, представленная на рис. 1, состоит, как правило из нескольких насосных станций НС, водонапорных баков ВБ и самой сети труб, соединяющих насосные станции, баки и потребителей воды ПВ. Сеть расположена на реальном ландшафте, поэтому точки разбора воды расположены на разных уровнях и следовательно давление воды в точках сети зависит не только от давления в насосных станциях, но и от местоположения точки на некотором уровне.

В рабочем режиме разбор воды (нефиксированный сток) может осуществляться в любой точке сети (д ), что приводит к некоторому локальному падению давления в окрестности этой точки. Существующие методы расчета и проектирования водоразборных сетей позволяют рассчитывать параметры сети в некотором статическом режиме, т.е. при заданной топологии сети и постоянных расходах в узлах сети можно определить необходимые давления и расходы на насосных станциях, и оптимальный диаметр труб.

Для оперативного управления сетью (включения дополнительных насосов при падении давления в сети, вследствие увеличения расходов д.) эти методы неприемлемы, поскольку, во-первых, никогда нет достоверной информации о расходах воды в узлах д и кроме

того сама сеть, состоящая из труб разного диаметра со временем меняет свои параметры в результате старения труб, уменьшается их пропускной способности и т.д. Поэтому в статье рассматривается возможность создания модели для управления работой водопроводной сети, состоящей из нескольких насосных станций, множества узлов потребления воды, трасс трубопроводов и нескольких контрольных точек, давления воды в которых измеряются датчиками. Контрольные точки расположены таким образом, что определенное значение давления воды в них обеспечивает необходимое давление во всей водопроводной сети. Давление в некоторой контрольной точке зависит от давлений во всех насосах сети, а также от уровня расходов воды, которые носят случайный характер. Влияние насосов на контрольные точки неодинаково, поэтому необходимо в каждый момент времени выявить наиболее «эффективный» с точки зрения энергосбережения насос и использовать его для регулирования давления в контрольной точке. Таким образом активное вмешательство оператора в работу сети заключается в том, что в момент падения давления в одной из контрольных точек (в результате случайных колебаний расходов) включить один из дополнительных насосов, выбрав его по минимуму расхода энергии.

В математическом смысле это можно свести к типичной задаче многофакторного управления.

Итак, есть объект управления (сеть) рис.1, на который воздействуют факторы X . (насосы).

БиГОР

База и Г енератор Образовательных ресурсов

Фаморы

Объект

Уотшке

гК

(сеть)

расходы в насоса*

(давление в точне)

гК

сл учат ые нвнупрмя (стоки)

Рисунок 1

Есть отклик У (давление в контрольной точке) и есть случайные возмущения (стоки), воздействующие на объект. Напомним, что классический многофакторный регрессионный анализ опирается на некоторую систему постулатов в основном статистического характера. Эти постулаты гласят, что регрессия представляет собой линейную комбинацию некоторых линейно независимых базисных функций от факторов с неизвестными коэффициентами (параметрами). Факторы являются детерминированными. Тоже справедливо и для параметров. Что же касается откликов (измеряемых зависимых переменных), то считается, что это равноточные (с одинаковой дисперсией) случайные величины. Кроме того, предполагается, что это нормально распределенные случайные величины. Такая основа позволяет благополучно довести до числа процесс получения оценок регрессионных коэффициентов и осуществить проверки основных статистических гипотез об уравнении регрессии, его коэффициентах и прогнозируемых значениях отклика.

В рамках этой гипотезы можно предположить, что давление в контрольной точке (отклик), связано с давлениями и расходами в насосах (факторы) следующим соотношением:

Уравнение (1) - это модель, которая для начала нам кажется правильной. Это мнение может измениться, если мы на более поздней стадии исследований обнаружим, что факты против него. Величины Ьд...Ьп называются параметрами модели. Когда мы

говорим, что модель линейна или не линейна, имеем в виду линейность или нелинейность по параметрам.

Теперь упомянем о методе анализа, называемым методом наименьших квадратов. Его можно применять в обработке данных эксперимента для получения информации о свойствах выбранного уравнения. В общем случае можно сказать, что метод наименьших квадратов это вычислительный прием, обеспечивающий минимизацию некоторой заданной квадратичной формы при фиксированном множестве данных. Регрессионный анализ - это статистический анализ регрессионной модели, т.е. такой модели, в которой зависимая переменная (отклик) является случайной величиной, а независимые переменные - детерминированными величинами.

По существу это означает, что одному и тому же набору независимых переменных с полным правом могут соответствовать разные значения отклика. Такая вариация может иметь место из-за ошибок измерения, но, прежде всего это, конечно, следствие разброса условий эксперимента. Поэтому не приходится ожидать никакого единственно однозначного уравнения связи между независимыми переменными и откликом. Однако мы можем обнаружить, что средний наблюденный отклик при заданных значениях независимых переменных будет достаточно устойчив.

Таким образом (поскольку точность определения среднего значения выборки растет с ростом объема выборки) точность определения коэффициентов регрессионной модели растет с увеличением числа экспериментов, которое не может быть меньше чем число коэффициентов требующих определения.

Теперь уравнение (1) можно записать для произвольного отклика в виде:

из которого следует, что для любого набора значений х соответствующее значение У состоит из величины Ьд+Ь1Х1...Ьпхп+Е плюс добавка е, при учете которой любой индивидуальный У получает возможность не попасть на поверхность регрессии, олицетворяющей собой набор средних значений У.

Задачу по построению первого приближения многофакторной регрессионной модели можно считать законченной, если по результатам экспериментов определить оценки коэффициентов уравнения (2) Ьд...Ьп.

В литературе по регрессионному анализу достаточно подробно описан матричный подход для нахождения оценок коэффициентов регрессионной модели. Напомним, что любая матрица, содержащая один столбец, называется вектор - столбцом, а матрицу с одной строкой именуют вектор - строкой.

Введем следующие определения:

У - вектор наблюдений, размерностью шх1 X - матрица независимых наблюдений, размерностью шхп В - вектор параметров, подлежащих оцениванию, размерностью пх1 Е - вектор ошибок, размерностью шх1

(1)

(2)

т - число экспериментов

п - число коэффициентов, подлежащих оцениванию.

Из [1] выпишем резюме: если мы выразим линейную модель подлежащую оцениванию на основе экспериментальных данных в

форме:

У = ХВ+Е

(3)

а это запись уравнения (2) в матричной форме, то оценки параметров Ь^Ь^...^, т.е. оценки вектора

выражаются

формулой

где X' ' трансформированная матрица независимых переменных

обратная матрица от произведения транспонированной матрицы независимых переменных на саму матрицу независимых переменных

У - вектор наблюдений

Таким образом, имея результаты многократного эксперимента (т>п) и решая систему линейных уравнений, записанную в матричной форме (3) можно определить коэффициенты регрессионного уравнения (1).

Величина коэффициентов указывает степень влияния того или иного фактора на отклик, иными словами на зависимость давления в контрольной точке от давлений или расходов на насосных станциях. Для решения уравнения (3) использовался алгоритм, разработанный польским математиком Банашевичем.

В качестве экспериментальных данных служила математическая модель, разработанная Боровик И.Г. и Яновым О.И. и представленная в статье «Математическая модель одномерной сети водоснабжения».

В статье, для достаточно простой одномерной водопроводной сети, состоящей из одной длинной водопроводной трубы с двумя насосами на концах и множеством нефиксированных стоков по всей длине трубы, найдены математические зависимости, связывающие величину давления в контрольной точке с текущими параметрами состояния сети, т.е. давлениями и расходами в насосах и стоками в водоразборных точках.

Условная схема такой сети представлена на рисунке 2

Рисунок 2

Сеть имитационного моделирования содержит два насоса с давлениями Р^ и Р2 и расходами ^ и ^ соответственно, 21 точку

водоразбора (стока) и одну контрольную точку с координатой х =14 (т.е. точка наименьшего давления находится в 14-ом стоке). Материалы вышеуказанной статьи позволяют для заданных стоков давлений Р^ и Р2 , и расходов ^ и ^ посчитать давление в

контрольной точке.

Таким образом имитационное моделирование для определения коэффициентов регрессионного уравнения (2) и для оценки их точности проводится следующим образом. Для многократных измерений (в данном случае 35) при изменяемых в некоторых пределах Р1 , Р2 , Ql и Q2 по математической модели определяются 35 значений давления в точке х=14, т.е. формируется материал для статистической оценки коэффициентов регрессионного уравнения.

Получив коэффициенты регрессионного уравнения, т.е. математическую зависимость давления в контрольной точке от величины давлений и расходов в насосах, можно использовать их для оценки воздействия того или иного насоса на давление в контрольной точке без учета расходов (стоков) в сети.

Совершенно очевидно, что точность оценки давления в контрольной точке по коэффициентам регрессионного уравнения и значениям независимых (измеряемых) переменных будет существенно зависеть от величины стоков в сети дг-, значения которых всегда

неизвестны. Однако, приняв изменения значений стоков в точках сети в виде некоторого случайного отклонения от среднего, путем статистического анализа можно оценить точность коэффициентов регрессионной модели, сравнивая значения давления в контрольной точке, полученные с математической модели (точные значения, учитывающие расходы д{) и давления, полученные из решения

регрессионного уравнения.

Для статистических оценок точности коэффициентов регрессионного уравнения использовались 15 реализаций, по которым вычислялись их дисперсия и среднеквадратические отклонения.

Некоторым обобщенным критерием оценки точности регрессионного уравнения могут служить статистические характеристики отклика (среднее, среднеквадратическое отклонение и относительная точность измерения, вычисленная в процентах).

Достаточно большой объем имитационного моделирования показал, что колебания расходов qi в точках стока в пределах до 40% дает ошибку в оценке давления в контрольной точке менее 10%.

Таким образом, система управления водопроводной сетью вполне может быть построена на основе применения для этих целей многофакторного регрессионного анализа.

Публикации с ключевыми словами: водоснабжение - управление - сеть городского водоснабжения - насосные станции - потребление воды

Публикации со словами: водоснабжение - управление - сеть городского водоснабжения - насосные станции - потребление воды См. также:

■ Математическая модель одномерной сети водоснабжения

■ Сравнительный анализ вариантов инвестиционного проекта. Методические указания по курсовому проектированию.

■ Составление план-графика и контроль хода работ по проекту с помощью компьютерной автоматизированной системы планирования. Методические указания по выполнению лабораторной работы.

■ Linear and Nonlinear Iterative Learning Control (Lecture Notes in Control and In-formation Sciences).

■ Радиоэлектронные системы: основы построения и теория. Справочник

■ Теория автоматического управления техническими системами.

■ Микропроцессорные системы энергосберегающего управления

Все публикации на ту же тему>> Написать комментарий >>

Журнал | Портал | Раздел Copyright © 2003 «Наука и образование. Инженерное образование» E-mail: [email protected] | тел.: +7 (495) 263-68-67

Вход для редакторов