Математическая модель множественной коррупции в системе управления приемлемым развитием Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 519

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРУПЦИИ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРИЕМЛЕМЫМ РАЗВИТИЕМ

© 2007 г К.И. Денин

Two-level hierarchical mathematical model of resource's quota distribution including plural corruption under the limitations that provide sustainable development using the hierarchical control methods is described. The Client's reaction domains and optimal players incomes found are considered. The description of the applicability's limitation of the inducement method is given.

Введение

Коррупция - один из существенных социально-экономических факторов, препятствующих гармоничному развитию экономики. Традиционалисты считают, что она привносит только отрицательный эффект в экономические структуры. Однако ревизионисты придерживаются точки зрения, согласно которой коррупционное взаимодействие - реакция экономических структур на несовершенство законодательства (например, на завышенные налоговые ставки), устраняющая его зачастую опасными для экономики способами. Согласно Клитгаарду [1], явление коррупции можно описать следующим формальным уравнением: коррупция = монополия + свобода действий - подотчетность. Вместе с этим экономические последствия полного устранения коррупции могут нанести ущерб как лицу, берущему взятки, так и взяткодателю.

Описание модели: критерии, ограничения, механизм иерархического взаимодействия

В данной статье рассматривается двухуровневая теоретико-игровая модель, субъектами внутреннего взаимодействия которой являются Агент (субъект верхнего уровня) и Клиент (субъект нижнего уровня). Агент обладает правом распределения квот на некоторый возобновляемый ресурс и взимания с Клиента налогов на изъятие этого ресурса. Ставка налога считается заданной экзогенно, однако Агент может попытаться её изменить.

Клиент способен добывать ресурс, извлекая из этого выгоду. Кроме того, для обеспечения возможности дальнейшего функционирования описанного взаимодействия необходимо, чтобы система удовлетворяла условию приемлемого развития применительно к добыче ресурса. Если выполняется противное, Агент штрафуется на бесконечно большую сумму, что может быть формально представлено как его увольнение по причине служебного несоответствия.

В данной модели забота о выполнении условий приемлемого развития принадлежит только субъекту верхнего уровня (Агенту), в то время как субъект нижнего уровня (Клиент) может добывать столько ресурса,

сколько ему позволяет квота. Однако Агент способен увеличить квоту или снизить налоговую ставку за определённое вознаграждение со стороны Клиента. У Клиента есть возможность дать сразу несколько (до двух) взяток Агенту, каждая из которых будет являться вознаграждением за вышеуказанные «платные услуги». Взятки подаются одновременно. Кроме того, при воздействии на Клиента Агент может использовать различные методы иерархического управления для получения дополнительной прибыли, например, методы принуждения или побуждения. Внутримодельное иерархическое взаимодействие описывается принципом Гермейера [2], т.е. субъект верхнего уровня первым выбирает стратегию, опираясь на предварительный анализ оптимальной реакции субъекта нижнего уровня, одновременно с этим предполагая, что субъект нижнего уровня к нему благосклонен.

В целевую функцию Агента включаются итоговая налоговая ставка (задаваемая экзогенно, но, возможно, изменённая самим Агентом) и доля изъятого Клиентом ресурса относительно объёма всего ресурса. Для Агента выгодно как максимизировать налоговую ставку, так и стимулировать Клиента добывать максимально возможное количество ресурса, но не превышающее установленной квоты.

В целевую функцию Клиента включаются налоговая ставка, доля изъятого ресурса и величины взяток, отдаваемых Агенту. Таким образом, для Клиента также выгодно добывать больше ресурса, однако в отличие от Агента ему выгодно, используя подкуп, минимизировать налоговую ставку на изъятие.

Математическая модель выглядит следующим образом:

1. Задача Агента (для принципа побуждения-принуждения)

J = (c1 pßukl -Mp(U,u)) ^ max max min .(1)

v qQ pePU(q) ueR(p,q)

2. Задача Клиента

J^ = (c2(1 - pß)uk2(1 -ßp -ßq ) --Mp(U, u)) ^ max .

u,ßp ,ßq

3. Ограничения

qß = q-a-ßq + dq; u e [0,1 -qß\ U = [0,a]; p,q,pß,qß е[0Д]; Pß = p-r-ßp + dp;

dp e dq e

скольку коэффициенты жёсткости для каждого из подвидов коррупционного взаимодействия могут сильно различаться по величине. По этой причине в модели (1)-(3) подход к оценке жёсткости был усовершенствован, результатом чего явилось выделение параметра

[0,г1 (3)

м

а е [0,1]

2, ст > 0;

вр Л ^ 0;

М- >

Параметры модели можно описать следующим образом: и с Я - область приемлемого развития, т.е. множество долей изъятия, добыча ресурса в рамках которых не приведёт за конечное время к истощению его запасов; а - размер области приемлемого развития; и - доля изъятия ресурса Клиентом (является управлением Клиента); р - доля налоговых отчислений на изъятие ресурсов (является управлением Агента); q - дополняющая квота на ресурс, т.е. непосредственная квота определяется как 1 - q (является управлением

Агента); М - бесконечно большая штрафная константа; р - функция расстояния; у - эффективность р -

коррупции, т.е. величина, на которую Агент снизит налоговую ставку при условии, что Клиент отдаст ему весь возможный доход; ст - эффективность q -коррупции, т.е. величина, на которую Агент увеличит квоту (вплоть до размера области приемлемого развития) при условии, что Клиент отдаст ему весь возможный доход; dр - жёсткость р - коррупции, т.е.

величина, на которую возрастёт налоговая ставка независимо от размера взятки; dq - жёсткость q -

коррупции, т.е. величина, на которую уменьшится квота независимо от размера взятки; вр - доля взятки от

возможных доходов Клиента, направленная на «теневое» снижение налогов (является управлением Клиента); в^ - величина взятки для завышения квот на

добычу ресурсов (является управлением Клиента).

В модели одновременно присутствуют два подвида коррупционного взаимодействия: р-коррупция -снижение налоговой ставки на добычу ресурса; q -коррупция - повышение квоты на добычу ресурса.

Модели, в которых присутствует только один из этих подвидов, подробно рассмотрены в [3, 4].

Суммарная относительная жёсткость коррупции

Чёткая классификация видов коррупции по степени жёсткости для случая, когда Клиент может распоряжаться ровно одним видом взяток, была проведена Е.А. Рыбасовым в [3]. Однако такая классификация является неприемлемой в том случае, когда в распоряжении у субъекта нижнего уровня имеется возможность предоставления нескольких видов взяток, по-

d p d q

Ipq = 1 - — -— e [-1,1],

Y

а

(4)

который был назван индикатором суммарной относительной жёсткости (ИСОЖ).

С помощью ИСОЖ в модели (1)-(3) можно выделить следующие подвиды коррупции: мягкая <=> Iр^ = 1; полумягкая <=> е (0,1); умеренная

<=> Iр^ = 0 ; полужёсткая <=> Iр^ е (-1,0); жёсткая <=> Ipq =-1.

Как показал анализ модели, жёсткость коррупции оказывает существенное влияние на размеры областей реакции Клиента.

Области реакции Клиента: количество, структура, оптимальные стратегии

Согласно проведённому анализу модели, выделены 5 подобластей области стратегий Агента, существенно отличающихся друг от друга по видам реакций Клиента. Кроме того, получены выражения оптимальных взяток с точки зрения выгоды, получаемой Клиентом, а также доказана часть условий существо -вания таких областей, в частности, что одновременно из пяти областей могут существовать не более четырёх.

Данные области описываются неравенствами:

I = {(р,q) е [0,1] х [1 - а;1]: ЯСЕ(р,q) < 0}; (5)

к 2 + 2'

II

(p, q) e [0;1] х [1 - а;1]:

0 < RCF(p, q) < -

RCF(p, q) >

Y

(k 2 + 2)a

ak 2

' < ak 2

; (6)

III = {(p, q) e [0;1] х [1 - a;1]: (k 2 + 2)a

0 < RCF (p, q) <

ak2

RCF(p, q) > Y • a > ak2

k 2 + 2

(7)

IV = {(p, q) e [0;1] х [1 - a;1]:

RCF(p, q) > 0

(k 2 + 2) а

RCF(p, q) < -

RCF(p, q) < -

ak2 k2 + 2

Y

7

V =

(p, q) е[0;1] х[1 - a;1];

RCF(p, q) >

RCF(p, q) >

k 2 + 2

Y

(k 2 + 2)

ok 2

; (9)

где RCF (p, q) = I

pq

1 - p 1 - q +-— +--.

параллельными прямыми RCF (p, q) = 1 0

Y

(k2 + 2)a

ok 2

представлен на рис. 1.

Оптимальное управление

Рис. 1

Для каждой из областей определены оптимальные стратегии субъектов взаимодействия. Величины оптимальных стратегий-взяток (над соответствующими областями) выглядят следующим образом:

1.

в* Л

Ppi

*

ßql

( dp + p -1 ^ Y

dq + q -1 V o

при (p, q) e I.

Y o

При анализе модели установлено, что в случае жёсткой коррупции в области управлений преобладает область I (5) (имеет большую площадь в области управлений), причём её размеры тем больше (при равных эффективностях), чем меньше ИСОЖ.

Более того, аналогичная тенденция наблюдается при анализе мягкой коррупции. В этом случае преобладает область V (8), размеры которой тем больше, чем выше ИСОЖ.

Поскольку условия существования областей II (6) и III (7) являются противоречивыми, условие одновременной непустоты этих множеств является невыполнимым, а при выполнении равенства (9) обе области будут пустыми ya = ok2 .

Из анализа структуры областей реакции можно заключить, что они получаются в результате рассечения прямоугольника [0,1] х [1 - a,1] (в осях po1 - q)

k2 + 2

2.

3.

^ ßpii ^ ß\n

(' ßpiii ^ p

ßqiii

((y + C- (k2 +1)A

k2 + 2

q - (1 - a) + dq

p + dp

Y

С , A

k2 - 2— + k2 —

o y

при (p, q) e II.

при (p, q) e III. (10)

k 2 + 2

((y + C- (k2 +1)A

4.

Пример такого рассечения при a = 0,9 5.

(ßhv Л

ßqiV

(ßpV ^

*

ßpV

o

Y

k 2 + 2

2C k 2 A

k 2--+

oY

k 2 + 2

( p + dp ^

Y

q - (1 - a) + da

при (p, q) e IV .

при (p, q) e V ,

где А = 1 - р - ; С = 1 - q - .

Оптимальные доходы субъектов игры

Оптимальные значения соответствующих целевых функций при выборе Агентом стратегий из соответствующих областей 1-У равны:

1) ^= 0; ^и= 0 при (р, q) е I.

При таком управлении Агента оба субъекта получают нулевой доход, поскольку жёсткость коррупции настолько велика, что Клиенту невыгодно добывать ресурс. Одновременно с этим, если он по каким-либо причинам примет решение добывать ресурс (отойдёт от оптимальной стратегии), ему придётся выплачивать 100%-й налог на изъятие, что автоматически делает его доход равным нулю.

2) j;= c

1—

Y

k 2 + 2

т* _ Ju = c2

Y

-RCF(p, q)

RCF (p, q) ' k1 +1

k + 2 RCF(p, q) — k1 + 2 o

к 2 + 2

при (р, q) е II.

Выбор Агентом стратегии из данной области приводит к тому, что Клиенту становится выгодно максимизировать свой доход в большей степени за счёт покупки дополнительной части квоты (и расширения её до максимально возможной величины а), чем при помощи снижения налоговой ставки.

а

Y

o

k

a

k

2

a

3) Jv = 0; при (p, q) е III

JU = c2 [ - q - dq ]

1—

' + dp Л

Y

При выборе Агентом стратегии из области III Клиент приобретает нулевую налоговую ставку, не покупая при этом дополнительную часть квоты.

(

4) Jv*= ci

ok-k

1ft2

\ki (

(k- + 1)Y

f k

1

, v k- +1

при (p, q) е IV

\k2 +2

Ги = С 2 (стк2)к2 у к 1)

(к1 + 1)Г/

Выбор стратегии из данного множества управлений даёт Агенту глобальный максимум целевой функции при выполнении ограничений (3), однако область IV не всегда существует. Например, при следующем наборе параметров: у = 14,2; dp = у;

ст = 1,42; dq = 0,5ст; а = 0,6 , единственной областью,

пересекающейся с областью управлений Агента, является I (рис. 2).

Оптимальное управление Рис. 2

5) Jv = 0 при (p, q) е V ; Ju = С21

21 pq

В том случае, если Агент выбирает управление из множества V, Клиент покупает нулевую налоговую ставку и квоту, расширенную до максимально возможной величины а. Данный вариант управления является наиболее благоприятным для Клиента, однако Агент будет придерживаться такого рода стратегии только в том случае, если подобласти II и IV в его области управлений будут пустыми.

Основные результаты

Помимо анализа областей реакции, была проведена оценка применимости используемых методов иерархического управления. В рассмотренной модели был обнаружен класс существенных структурных ограничений на метод побуждения, которые являются следствием взаимозависимости стратегий-взяток и параметров-критериев модели.

Данный факт можно описать следующим образом. В модели механизмы побуждения (в их классическом представлении) являются неприменимыми, поскольку при использовании Клиентом оптимальных

стратегий реакции (10), u * = u *(fl*q)u *(fi*q(p)) = u *(p),

в результате чего образуется «порочный круг»: Агент не может установить систему поощрений и наказаний p = p(u) применительно к налогообложению, поскольку не может чётко определить множество оптимальных (для Клиента) долей изъятия, которое в свою очередь зависит от налоговой ставки, но её же должен назначить сам Агент.

Данные ограничения можно отнести к классу неустранимых для классического представления метода побуждения [2].

Литература

1. Klitgaard R., Zeckhauser R.J. Strategy and Choice. Cam-

brige, 1991.

2. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интереса-

ми. М., 1976.

3. Рыбасов Е.А. Имитационное моделирование иерархиче-

ского управления экономическими системами с учётом коррупции: Дис. ... маг. мат. Ростов н/Д, 2001.

4. Рыбасов Е.А., Угольницкий Г.А. // Компьютерное моде-

лирование. Экология. 2004. Вып. 2. С. 46-65.

Ростовский государственный университет

10 октября 2006 г

k

2