CC BY
7
УДК 66.011
В. И. Елизаров, Р. Р. Шавалеев, Е. С. Титова, А. Р. Сафаров
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАССОПЕРЕНОСА В НАСАДОЧНЫХ КОЛОННАХ
Ключевые слова: абсорбция, массообмен, колонна насадочного типа.
Рассматривается метод решения уравнений нестационарного массопереноса в насадочных аппаратах без продольного перемешивания фаз.
Keywords: absorption, mass transfer, packed column.
The method for solving the equations of unsteady mass transfer in packed devices without any longitudinal mixing phases.
При построении систем управления насадочными массообменными аппаратами математические модели нестационарных процессов массопереноса в зависимости от гидродинамических режимов в слое насадки можно рассматривать без продольного перемешивания и с учетом продольного перемешивания.
В работе рассматривается решение задачи нестационарного массопереноса в слое насадки без учета продольного перемешивания, в режиме полного вытеснения по жидкости и газу.
Пренебрегая изменением расходов газа и жидкости по высоте слоя насадки (С = С0, L = )
уравнения нестационарного массопереноса принимают вид [1,2]:
Sx Sx , / . \ — + u— =-kxa(x -xI.
st S4 ^ '
St Sy
Sy
(1) (2)
с начальными и граничными условиями: х = х(4), У = У(£) при 1 = 0, х = ХоЮ при 4 = 1 ,
У = Уо(1) при 4 = 0 . (3)
где х(4Д), У(4,1) - распределения компонента в жидкой и газовой фазах; и , V - средние значения скорости жидкости и газа в аппарате; кха, кУа -
объемные коэффициенты массопередачи, выраженные в концентрациях жидкой и газовой
фаз[3,4]; х* = У(4Д)/т0 - концентрация жидкой фазы, равновесная с концентрацией компонента в газовой фазе; х0 (1), У0 (1) - концентрация жидкости и газа на входе; 4 = 0 , 4 = 1 - координаты входа газа и жидкости в слой насадки при противотоке фаз; 1 - время.
Решение системы уравнений в частных производных (1) - (3) при начальных и граничных условиях возможно численными методами, однако, они, как известно, трудоемки, требуют больших затрат оперативной памяти и машинного времени. Они не дают возможности провести анализ в общем виде, что часто необходимо.
Представим решение уравнений (1), (2) удовлетворяя граничным условиям (3), в виде ряда:
k —
x(4,t) = x0(t) + Х xK (t) • cos——-4,
k=1
» I
y(41) = yo(t) + X Ук (t) • sin-
(4)
(5)
кл,
Т
кя\
к=1 2 -где хк (1), Ук (1) - неизвестные функции времени 1; к = 1,3,5....
Подставим решение (4) в уравнение (1),
тл „ . „ ..
умножим его на 00Э—4 (т = 1,3,5...) и
проинтегрируем по 4 от нуля до единицы.
тж „, „ гА dxk к^ „ тж
dx0 р m— ¡-^ dxk к— m— —- cos—4d4+ > —Lcos—4 cos—4d4-dH 2 JfT dt 2 ь 2
0 ok=1
dt
m—
u ¡-A k— . k— .....
H 4cos^ 4d4 =
H 0 k=1 2 2 2
kxa
m0
i i Jy0 cosm2— 4d4 + jy,
. k— m—, „ sin—4 cos—4d4 2 2
+kxa
i
m— ~2
f m— f Jx0 cos— 4d4 + Jxk
_ 0 2 0
(k = 1,3,5,...; m = 1,3,5,...).
При k = m получим:
k— m— cos—4cos—4d4 2 2
dx0 2
. m— 1 dxm
-sin-+--2
dt m— 2 2 dt
.M
mn
2y0 . m— yk m— 2 m—
u m— 1 m— 2x,
dx„
dt
m —
-l H + kxa
xm + 2-
H 2
+ kxa
ka
Xm =
0 ■ m — xm
m—
^m =
kxa
dx.
л
--^0 + kxa • x0 -—f
m
dt
sm-
m—
Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно хт(1) в виде:
dxm ...
- 01хт + ^Ут = е1 (),
dt
где
m—
k„a
в1 (t ) =- kxax0(t) — y0 (t) -
m0
dx^Ct) dt
sm-
m —
- возмущение на входе аппарата; x0 (t), y0 (t) -наблюдаемые (измеренные) значения x0 (t), y0 (t)
при £ = 0, £ = 1; с1 =--кха ; =
2кха
коэффициент распределения.
Теперь подставим решение (5) в (2).
с!у0 ^ dyk . кя V А кя £кя
+ > -^эт—£ + — >уксоэ—£--=
А к=1 dt 2 Нк=1 2 2
= куато
кя хксоэ^" £
к=1 2
- куа
Xя . кя Укэ'п—£
к=1 2
Умножим уравнение на Б1пт2Я£ (т=1,3,5...) и проинтегрируем по £ от 0 до 1 (т = 1,3,5...).
гАу0 . тя 1гАук . кя ■ тя .....
V г^кяук кя ■ тя,., +— > —— соэ—£эт-£А£ =
Н^^ 2 2 2 п 0 к=1 ^ ^ ^
= -куа
' 1 1
г . тя ¡- . кя ■ тя,., ^0эт— £А£ + ^ Б1п—£эт—£А£
0 2 0 2 2
+куат0
г . тя г^-! кя ■ тя „1 г ]х0 Э1п—£А£ + ]>Хк соэ— £эт— £А£
кя ■ тя
Ау0 2 тя ,
-соэ-£
dt тя 2
0 к=1
1 + 1 ^т + ^Ут 0 2 dt Н 2
= -куа
2 тя , -у0—С05 — £ тя 2
1 + Ут 0 2т
+куат0
2 тя ,
-х0-соэ-£
0 тя 2
1 + ^ 0 тя
2 ^0. + 1АУт + V =
тя dt 2 dt 2Н
киа куа куат0 , ч
= - тя^ 2 ут + ^ (2Х0 + Хт ) тя 2 тя
Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно ут ф.
Аут Г V . I 2куат0
+ \ — + куа dt IН у
\уа| I ¡0
■ + \ + куа I ут--у-Хт =
4куат0 Г
тя
т,
тя 4 Ау0
'0
тя dt
В результате проведенных преобразований получим систему уравнений относительно хт(Ц, ут« (т = 1,3,5...). Ах„
dt
^Ут dt
с1Хт + Ч^т = е1 0) ■ + с2уГ - Ч2Хт = е2 (t),
(6) (7)
где е1 =
тя
кха
Ах,
-"^0 + кха • х0
V т0
. тя
эт-,
2
и I 2кха л п г
с1 = —+ кха;а1 =—х—,т = 1,3,5,..., 1 Н х 1 т0тя
е2=^ Г Х0 - ъ. V—
я V т) тя dt
V 2куа
с2 = —+ куа;а2 =——;т = 1,3,5,..
2 Н у я
Для решения уравнений (6), (7) необходимо задать начальные условия: хт (t), ут (t) при t = 0.
Начальные условия к уравнениям (6), (7) следуют из уравнений стационарного массопереноса.
Неизвестные функции х(£), у(£) - начальные условия для уравнений (6), (7) при t = 0, определим из стационарных уравнений массопереноса. При полном вытеснении жидкости и газа из слоя насадки уравнения материального баланса по жидкой и газовой фазам при постоянстве расходов фаз (— = Ь0, С = С0) запишутся в виде:
иАх=_к*а х)
^=_куа (у - у>)
при £ = 0 : у(0) = у0; £ = 1: х(1) = Х0.
£ = £/Н;и = —;V = С: Б Б
(8) (9)
(- х)
Ах = кХаН с1£~ и
Ау -куаН, Л
=— (у - у )
Обозначим:
кхаН
куаН
= а;
= Ь.
и V
Перепишем уравнение (8), (9) в новых обозначениях
а , Ах у =--у2 + ау1, у^ = тт
т 2 1 1
у2 = -Ьу2 + ьгм, у2 =
Продифференциируем уравнени (10) по £ .
Ау. = -^^ + аАут
(10) (11)
(12)
А£2 Г0 А£ А£ Подставим в уравнение (12) значение производной из (11), получим:
= а^у!- —(-Ьу2 + Ьт0у1) (13) Значение у2 найдем из уравнения (10):
т0 Г Ау1
у2 = —-\ —- - ау1
2 а VА£ 1
и подставим его в уравнение (13):
(14)
А2у1 = аАу1 - _а
Г
-Ь
V V
А£2 А£ т0 А2у1 = „ Ау1 а Г Ьт0 Ау1
- Г Г ^ - ау1
а V А£ У1
= а-
А£2 А£ т0 V а А£
+ Ьт0у1
- Ьт0у1 + Ьт0у1 I,
; т0 -
^ + (ь - а= 0 ,
d42 1 ^4 '
к2 +(Ь - а)к = 0 , к1 = 0 , к2 = а - Ь .
Решение уравнения (15) имеет вид:
У1 = 01 + 02в(а-Ь )4. Из граничного условия при 4 = 1 получим:
У10 = о1 + 02е(а-Ь'. Отсюда о1 = У10 - 02е(а-Ь). Решение (16) перепишем в виде:
(е(а-Ь)4 - е(а-Ь)).
В исходных обозначениях имеем:
, (е(а-Ь)4 - е(а-Ь)).
dy1
Из уравнения (17) получим —4:
(15)
(16)
(17)
(18)
di
= с2е( a)i (a - b)
(19)
Уравнение (14) с учетом (19) и (17) примет вид:
У2 = то ( Ую + С2 (
(e(a-b)i- e(a-b)
))-(a-b)i (a-b)),
У2 = mobc2e(a-b)i + тоУю - moC2e
a
(a-b)
У2 = тоУю + C2
m0b
При i = 0, У2 = У20 :
У20 = тоУю + C21 — - moe(a-b'
,c2 =■
(20)
У20 - moУ1l
m0 (b/a - e(a-b >)'
Подставим значение c2 в решение (20), получим:
У1 = У1
У20 - moУ1l
Ja-b)i - e(a-b)
m
0 ((a - e(a-b))
В исходных обозначениях имеем: У20 - moУ1o
(b/a - e(a-b >)
be(a-b)i - e(a-b) a
(21)
(22)
Распределение концентрации компонента в жидкой и газовых фазах стационарных условиях имеет вид:
x (i) = xo +-
У (i) = moXo +
У0 - mpXp ,0 (b/a - e(a-b)
У0 - moXo (b/a - e(a-b))
,(a-b)i - e(a-b)
be(a-b)i - e(a-b) a
(23)
(24)
высоте слоя насадки от расхода абсорбента (рис.1 и рис.2) на примере процесса абсорбции С02 водой в насадочной колонне с параметрами: диаметр колонны - d = 3,5 м; высота насадки - Н = 5 м; состав газа (в объемн.%) СО2 = 30,2, СО = 4, Н2 = 48, N =17,8; расход газа (на входе) С! = 905 кмоль/ч; давление Р = 1,6 МПа; коэффициенты массопередачи - кха = 0.10675 с-1, кУа = 0.0524 с-1;
объем аппарата - V = 40 м распределения - m0 = 170 [5].
коэффициент
Рис. 1 - Распределение CO2 в воде по высоте слоя насадки: 1 - при расходе воды L = 91 200 кмоль/ч, 2 - L = 95 000 кмоль/ч, 3 - L = 122 000 кмоль/ч
Рис. 2 - Распределение С02 в газе по высоте слоя
насадки: 1 - при расходе воды V = 91 200 кмоль/ч,
2 - V = 95 000 кмоль/ч, 3 - V = 122 000 кмоль/ч
Литература
1. Кафаров В.В. Основы массопередачи. 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Высшая школа, 1972. - 496 с.
2. Девятов Б.Н., Демиденко Н.Д., Охорзин В.А., Динамика распределенных процессов в технологических аппаратах, распределенный контроль и управление. Красноярское книжное издательство, Красноярск, 1976. 310 с.
3. Елизаров Д.В., Елизаров В.И., Мерзляков С.А., Вестник Казан. технол. ун-та, 16. 12. 206-210 (2013).
4. Елизаров Д.В., Елизаров В.В., Мерзляков С.А., Вестник Казан. технол. ун-та, 17. 24. 187-189 (2014).
5. Рамм В. М. Абсорбция газов. М.: Химия, 1976. — 656 с.
где x0, У0 - заданные значения концентрации на входе аппарата.
На основе полученных уравнений рассмотрена зависимость концентраций диоксида углерода по
© В. И. Елизаров - д. т. н., проф. каф. АТПП НХТИ КНИТУ; Р. Р. Шавалеев - асп. той же кафедры, [email protected]; Е. С. Титова - студ.а НХТИ КНИТУ, А. Р. Сафаров - студ. НХТИ КНИТУ.
© V. I. Elizarov - doctor technical sciences, Professor of the Department of automation of technological processes and productions KNRTU; R. R. Shavaleev - graduate student of the same department, [email protected]; E. S. Titova - student of KNRTU; A. R. Safarov - student of KNRTU.
