Математическая модель краткосрочного прогнозирования динамики фьючерсных рынков Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 159.6

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРАТКОСРОЧНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ФЬЮЧЕРСНЫХ РЫНКОВ

В.П. Григорьев, А.В. Козловских, О.В. Ситникова

Томский политехнический университет.

E-mail: [email protected]

В работе представлена нелинейная динамическая модель краткосрочного прогнозирования цен на фьючерсном рынке, разработанная на основе методов нелинейной динамики. Приведены схемыы построения точечного и интервального прогнозов.

Экономическая постановка задачи

В данной работе объектом исследования является фондовый рынок. Динамика цены на фьючерсном рынке часто носит флуктуационный характер, поэтому для описания данных процессов используют стохастические вероятностные модели, в которых исследуемый процесс есть решение системы стохастических уравнений, содержащих источник случайности.

Наиболее перспективным является метод, основанный на теории детерминированного хаоса. Здесь возникновение флуктуаций объясняется как результат неслучайных взаимодействий связанных переменных в нелинейной динамической системе. Согласно данной теории введение в модель теоретически оправданных нелинейностей может описать экономические флуктуации более успешно, чем введение случайных переменных [1].

На первом этапе моделирования необходимо определить основные факторы движения рынка. Согласно теории технического анализа, которая широко применяется для прогнозирования поведения рыночных характеристик, динамика рынка включает три основных источника информации, а именно: цену контракта, объем торгов и "открытый интерес". Объем торгов и "открытый интерес" не первостепенные, но, тем не менее, чрезвычайно важные факторы, влияющие на формирование цены. "Открытый интерес" - это количество не закрытых позиций на конец торгового дня [2]. На основе данных факторов формируется ликвидность рынка и оборот торгов.

В результате модель прогнозирования цен на фьючерсном рынке должна описывать процесс изменения трех рыночных характеристик - цены

г м м

контракта, объема торгов и "открытого интереса".

Математическое обоснование и построение модели

Экспериментально поведение сложной системы определяется путем наблюдений в течение какого-то интервала времени над некоторым экономическим показателем Д/), в нашем случае - ценой. Анализ этой последовательности, на формирование которой оказывают влияние и другие переменные, позволяет определить число дифференциальных уравнений первого порядка И, необхо-

димых для моделирования динамики системы. Фрактальная размерность аттрактора й должна удовлетворять неравенству d<N. Округлив й до ближайшего целого сверху, получим величину N [3].

Для определения размерности аттрактора строим псевдофазовое пространство, используя значения временного ряда цены, взятые со сдвигом во времени. Например, фазовый портрет на плоскости может быть построен с использованием вектора: ДО), Д/+Т)}.

Идея заключается в том, что сигнал Д/+ Т) связан с производной сигнала Д/), и результат имеет те же свойства, что и при использовании истиной фазовой плоскости.

Далее для численной оценки корреляционной размерности используем корреляционную функцию, подсчитывающую число пар точек, расстояние между которыми меньше Ь [3].

(2 = 0, если Ь - jXi - Х] || > 0;

Q = 1, если Ь - Цх - Х;.|| < 0.

Сама корреляционная размерность оценивается из наклона зависимости 1п[С(Ь)] от 1п(Ь).

Проведенный анализ последовательности наблюдений изменения цены на различных фондовых рынках позволяет ограничиться тремя уравнениями для описания исследуемой динамической системы [3].

В качестве первой фазовой координаты выбираем Д(/) - цену контракта, в качестве второй и третьей - рыночные характеристики, которые оказывают наиболее сильное влияние на формирование цены - это Х2(/) - объем торгов и Д(/) - "открытый интерес".

Поскольку исследуемые динамические процессы, в общем случае, описываются дифференциальными уравнениями турбулентного типа, то модель должна включать систему трех нелинейных дифференциальных уравнений следующего вида:

dxx(t)

dt

dt

dt

ài(t) • Xj(t) + a2(t) • Xj(t) • X2(t) + as(t) • Xj(t) • Xs(t)

-- bj(t) • X2(t) • Xj(t) + b2(t) • X2(t) + bs(t) • X2(t) • Xs(t) (1)

= ci(t) • Xs(t) Xi(t) + 02(t) • Xs(t) • X2(t) + C3(t) • X3(t),

Существующая взаимосвязь между вышеописанными экономическими показателями отражена перекрестным произведением соответствующих фазовых переменных: X1(t)-X2(t) - оборот торгов. Отражает взаимосвязь между ценой контракта и объемом торгов и позволяет учитывать в модели внутренние силы, управляющие движением цены.

X1(t)-X3(t) - текущая ликвидность рынка. Позволяет отразить факт заинтересованности тем или иным контрактом с долгосрочной точки зрения; другими словами, определить, насколько серьезно участники рынка воспринимают текущий тренд. Отражает взаимосвязь между ценой контракта и "открытым интересом".

X2(t)-X3(t) - взаимосвязь между объемом торгов и

п н г\

"открытым интересом". О количественной характеристике взаимосвязи объема и "открытого интереса" известно мало, но качественную характеристику, опираясь на экспериментальные данные, можно сформулировать следующим образом: "Увеличение объема торгов должно подтверждаться достаточным открытым интересом" [2].

a(t), ait), ait), bit), b2(t), b(t), с 1(f), с(), с() -неизвестные коэффициенты системы, определяющие степень влияния соответствующих показателей рынка и их взаимосвязи на поведение системы. Данные коэффициенты являются переменными на некотором достаточно большом отрезке времени, но кусочно-постоянными на небольшом исследуемом интервале - шаге прогноза. Эти коэффициенты характеризуют:

a1(t) - изменение цены на один процент в единицу времени, 1/c.

a2(t) - изменение оборота торгов на один процент в единицу времени, 1/c.

a3(t) - изменение ликвидности рынка на один процент в единицу времени, 1/c.

b1(t) - влияние цены на изменение оборота торгов, 1/руб-с.

b2(t) - изменение объема торгов на один процент в единицу времени, 1/c.

b3(t) - влияние открытого интереса на измене/- М <-> м

ние взаимосвязи: объем - "открытый интерес", 1/шт-с.

с(^ - влияние цены на изменение ликвидности рынка, 1/руб-с.

с2(^ - отражает влияние объема торгов на изме-

Г tt м

нение взаимосвязи: объем - "открытый интерес", 1/шт-с.

с() - изменение открытого интереса на один процент в единицу времени, 1/с.

Вычисление коэффициентов производиться по всем параметрам модели в фиксированные моменты времени. В результате получается система алгебраических уравнений (2) относительно неопределенных коэффициентов. Первые производные в левых частях уравнений оцениваются при помощи кубического сплайна.

(

dxi(t, )

= aj ■ Xj(t) + a2 • Xj(t,) • X2(t) + аз • Xj(t,) • X3(t,)

dxi(t,)

= bj • X2(t) • Xj(t,) + b2 • X2(t) + Ьз • X2(t) • X3(t,)

_ Cj Xt) •Xj(ti) + C2 • X3(t,) • X2(t) + C3 • X3(ti)

aj■Xj(t,+j) + a-2■Xj(t,+j) ■X2(tl+j) + аз■Xj(tl+j) ■X3(tl+j)

dx3(t,) dt,

dxi(tl+i) _ dt,+i dx2 (ti+1 ) _ b dt,

X (

——tj+^_ Cj-X3(il+j) ■Xj(il+j) + C2'X3(ti+j) • X2(ti+j) + C3X3(tl+j)

dt,

dx3 ( t,+j ) _ dt,+j dxi (t,+2 )

bjX2(ti+j) Xj(ti+j) + b2X2(ti+j) + b3X2(ti+j) X3(t!+j) (2)

_ ajxj(ti+2) + a2■Xj(ti+2) x2(ti+2) + азXj(ti+2) x3(ti+2)

dt,+2

dX2(t,+2) _ bjX2(t,+2) •Xj(t,+2) + b2-X2(t,+2) + b3-X2(t,+2) •X3(t,+2)

dx3 (ti+2)

V dt,+2

_ Cj'X3(tl+2) ■Xj(tl+2) + C2'X3(t,+2) -X2(ti+2) + C3'X3(t+2)

Из решения данной системы находим искомые параметры, которые считаем постоянными на шаге прогноза. Подставляем a1, a2, a3, Ь1, Ь2, Ь3, с1, с2, с3 в систему уравнений (1) и, решая задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений при начальных условиях в точке (^+2), находим вектор прогностических значений Xp(x1, x2, x3). В результате получаем точечный прогноз на один шаг вперед.

Следует отметить, что все процессы, характеризующиеся наличием хаоса, гиперчувствительны к точности задания параметров и начальных условий [1]. Поэтому краткосрочное прогнозирование наиболее качественно осуществляется с помощью адаптивных непрерывно подстраиваемых моделей. Это означает, что при прогнозировании с помощью модели (1) на каждом шаге осуществляется обновление коэффициентов a1, a2, a3, Ь1, Ь2, Ь3, с1, с2, с3 и начальных условий с учетом развития событий.

Построение интервального прогноза

Предсказание вектора Xp одним значением называется точечным прогнозом. Для построения интервального прогноза (предсказания того, что событие осуществиться в заданном интервале значений с указанной вероятностью) необходимо, в первую очередь, проанализировать относительную ошибку прогноза, которая представляется последовательностью - (е, t = 1, ... п). - должны быть

случайными величинами и удовлетворять нормальному закону распределения.

Анализируя временной ряд е,, доказываем случайность колебаний уровней е, пользуясь критерием пиков. Критерием случайности ряда е с 5 %

dx3 (t)

dt

dt

уровнем значимости является выполнение следующего неравенства [4]:

2

Р > [3 (п - 2) - 1,96

16п - 29

90

(3)

где P - число поворотных точек ряда е. Квадратные скобки означают, что берется только целая часть полученного значения.

При выполнении данного критерия гипотеза о случайности колебаний е принимается.

Далее предполагаем, что е имеет нормальное распределение, и рассматриваем вопрос о согласованности статистического и теоретического распределений, используя критерий Пирсона [5].

Величина Р характеризует вероятность согласованности теоретического и статистического распределений. При Р>0,1 нормальный закон достаточно удовлетворительно воспроизводит заданное статистическое распределение. Р определяется из справочных таблиц по значениям %2 и г [5].

г = /- 3,

х- = ь± (^±

1=1

(4)

где wi - относительные частоты, заданные статистической таблицей; Pi - вероятности, полученные по некоторому теоретическому закону распределения, в нашем случае нормальному; / - число разрядов статистической таблицы.

В результате интервальный прогноз строится по следующей схеме:

ир - Хр ±

ОрПа

число иа находят по справочным таблицам значений функции Лапласа [5] из условия

Ф(Па)

1 - а 2

Хр - X

пт(п + т - 2)

(п - 1)Охр + (т -1)Бх

п+т

(5)

где хр - предсказанные значения; х - реальные данные; Бхр - дисперсия предсказанных значений цены, Д - дисперсия реальных данных; п, т - соответствующие относительные частоты, заданные статистической таблицей [5].

Сравниваем Тп с критическим значением Т„ взятым из справочной таблицы [5]. Если неравенство Т>Тп выполняется, то гипотеза об адекватности модели принимается с заданным уровнем значимости.

Таблица. Результаты прогноза цены контракта

Истинное значение цены, $ Прогностическое значение цены,$ Относительная ошибка прогноза,% Доверительный интервал для прогностической цены

171,50 170,159 0,781 [170,137; 170,181]

170,00 169,460 0,317 [169,438; 169,482]

168,80 168,328 0,279 [168,306; 168,350]

166,00 165,458 0,326 [165,436; 165,480]

163,70 163,951 0,153 [163,929; 163,973]

166,50 164,671 1,098 [164,649; 164,693]

158,40 163,351 3,215 [163,329; 163,373]

158,25 160,714 1,557 [160,692; 160,736]

155,35 160,514 3,324 [160,492; 160,536]

155,10 157,156 1,325 [157,134; 157,178]

158,20 156,237 1,240 [156,215; 156,259]

155,05 155,542 0,317 [155,520; 155,564]

Для проведения тестовых расчетов использовались исходные данные - итоги торгов с Чикагской товарно-сырьевой биржи по продажам кофе за несколько лет [6]. Результаты проведенного исследования сведены в таблице и представлены на рисунке.

где (1-а) - доверительная вероятность; Хр - предсказанное значение; Бр - дисперсия прогноза, которая определяется по временному ряду е.

Проверка на адекватность и тестирование модели

В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели свойствам реального объекта или явления, для описания которых она строиться.

В данной работе оценка адекватности модели проводилась по средним значениям откликов модели и системы, то есть предсказанных значений показателей и реальных. При этом проверялась гипотеза о близости среднего значения наблюдаемых переменных среднему значению реальных данных.

По результатам испытаний вычисляем значение следующей величины [5]:

шаг прогноза

Рисунок. Сравнительная диаграмма реальных и прогнозируемых

Временной ряд е1 для нашего прогноза удовлетворяет приведенным выше критериям (3), (4) и имеет дисперсию Д=1,2829, поэтому нетрудно определить с вероятностью Р=0,95, что относительная ошибка прогноза не превысит двух процентов.

Р (е< 0,02) = 0,95

Для проверки адекватности модели по формуле (5) определяем величину Тп. Отмечаем, что неравенство Тс>Тп выполняется, а это указывает на то, что модель адекватна описываемой системе с

вероятностью Р=0,95. Кроме этого, адекватность модели наглядно просматривается из поведения экспериментальных и теоретических кривых на рисунке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шустер Г Детерминированный хаос / Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 240 с.

2. Кузнецов М.В. Технический анализ рынка ценных бумаг. — Киев: Наукова думка, 1990. — 248 с.

3. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров / Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 312 с.

4. Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 2001. — 391 с.

5. Мельник М. Основы прикладной статистики. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 373 с.

6. http://www.chicagostockex.com/

УДК 37

О РЕГИОНАЛЬНОМ АСПЕКТЕ РАЗВИТИЯ ОТЕЧЕСТВЕННОГО БИЗНЕС-ОБРАЗОВАНИЯ (1990-1998 гг.) (НА МАТЕРИАЛАХ ЗАПАДНОЙ СИБИРИ)

О.А. Никифоров Юргинский филиал Томского политехнического университета. г. Юрга

Проанализированы в кратком виде процессы формирования бизнес-образования в России и Западной Сибири в 1990-е годы XX века. Показана актуальность проблемы, обусловленная переходом страны от одной экономической модели к другой и принципиальным изменением условий хозяйствования. Свои рассуждения и выводы автор подкрепляет данными социологических опросов, проводившихся в это время в России. Кроме того, приводятся и данные авторского социологического исследования, позволяющие сравнить общероссийские показатели с аналогичными в одном из малых городов региона. В статье использованы данные периодической печати для освещения регионального аспекта проблемы.

Переход российского общества от командно-административной к рыночной модели экономического развития не мог пройти безболезненно. Ошибки, допущенные в ходе планирования и осуществления реформ, привели страну к глубокому социальноэкономическому кризису. Общая численность занятого населения в стране уменьшилась с 1990 по 1998 гг. почти на 12 млн чел. [24. С. 54]. Спад производства, падение инвестиционной активности, высокий уровень инфляции стимулировали рост безработицы и ухудшали социально-экономическое положение значительной части населения. Безработица имела прогрессивную динамику, как минимум до 1997 г. и в стране, и в регионе Западной Сибири [26. С. 116—117; 29]. При этом цифры не отражали полностью картины сложившейся на рынке труда. Во-первых, это объяснялось разными методиками подсчета незанятого населения, во-вторых наличием проблемы скрытой безработицы [3. С. 43; 4. С. 22; 13; 15. С. 4; 17; 25. С. 33; 27. С. 70; 29].

Вывод страны из кризиса на дорогу динамичного развития связан в современных условиях со становлением рыночного механизма хозяйствования, с предпринимательством. Россия должна пройти путь, совершенный индустриально развитыми странами мира в более короткие ограниченные

сроки, опираясь на достижения современной теории и практики рынка. Это невозможно без наличия широкого слоя квалифицированных кадров, способных работать в условиях рыночной экономики. Необходима стройная и эффективная система бизнес-образования. Советская экономическая школа, базировавшаяся на основе планово-распределительной модели хозяйственного механизма неспособна удовлетворить насущные потребности современного этапа развития.

Актуальность проблемы признавалась как государственными структурами управления, так и сообществом предпринимателей. Данные Госкомстата России, а также результаты исследований, проведенных Институтом стратегического анализа по заказу Госкомитета РФ, по поддержке и развитию малого предпринимательства и Всемирного банка показали, что низкая квалификация большинства предпринимателей и работающего персонала в их фирмах — одна из основных проблем, сдерживавших рыночные преобразования в стране [12. С. 13]. Это подтвердил и опрос предпринимателей г. Юр-ги, проведенный автором в 1998 г. Свыше трети респондентов (36 %) отметили среди свойств, необходимых для успешного ведения коммерческой деятельности, наличие более глубоких основных