CC BY
36
РАЗРАБОТКА СХЕМЫ АДАПТАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ШЫОЧЕРСИЫХ РЫНКОВ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ФИНАНСОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Ш ГРИГОРЬЕВ,
доктор физико-математических наук, профессор, заоедушций кафедрой оршадоой математик А.В. КОЗЛОВСКИХ,
кандидат темшш каук. доцент кафедры прикладной математики Д.А. МАРЬЯСОВ
Темни! политехнический университет
Введен»
Долгое время вся передовая наука Европы во главе с Пьером-Саймоном Лапласом декларировала следующий принцип. Если нам известно исходное состояние вещей в любой выбранный промежуток времени, то мы можем сказать, каким будет наше будущее, т.е текущее состояние системы природы является следствием того, что было в предшествующий момент, и если нам удастся получить сведения обо всех взаимоотношениях объектов нашей системы координат, то возможно определить связи между состоянием объектов в прошлом, настоящем и, самое главное, в будущем. В этом состоит так называемый детерминистский подход. В XVIII в. такая концепция вполне сочеталась с классической механикой, но наука, как известно, не стоит на месте, и со временем в нашу жизнь плотно вошли такие понятия, как неравновесная термодинамика, квантовая физика и хаос. И красивая теория перестала достоверно описывать природу вещей.
Уже в начале XX в. возникла проблема, о которой упоминал математик Анри Пуанкаре: «Может случиться, что маленькие различия в исходных условиях произведут очень большие изменения в конечных явлениях. Маленькая ошибка в прошлом впоследствии приведет к огромной ошибке. Предсказание становится невозможным». Предсказание положения (состояния) объекта в будущем стало
носить более неопределенный характер. Спрогнозировать все еще можно было, но лишь с некоторой долей уверенности, с некоторой погрешностью, причем возможны были самые разнообразные ситуации, даже такие, в которых погрешность становилась равной бесконечности (система носит хаотический (случайный) характер).
Пусть поведение какого-либо параметра является недетерминированным в течение долгого периода времени, это в свою очередь не отменяет скрытого порядка, и наоборот, в любом детерминированном процессе может быть хорошо упрятан хаос. Вопрос о глобальных и локальных свойствах системы интенсивно разрабатывался в последнее время, и методы детерминированного хаоса стали использоваться во многих отраслях науки и техники, к таковым относится моделирование экономических процессов [1]. Одним из наиболее перспективных направлений применения этих методов являются исследования в области прогнозирования динамики рыночных характеристик. Поскольку было замечено, что невозможность предсказания в глобальном смысле не отменяет локального прогнозирования.
Авторами была предложена модель динамики фьючерсных рынков [1], одним из достоинств которой является получение прогностических реализаций экономических характеристик с учетом их взаимного влияния и ретроспективы. На
13В; 'ГУС^-у^х
, < V" • ' *Д V,' ч ^ * * >** •
основе этой модели можно получить количественные оценки рассматриваемой модели - близость прогнозируемых параметров к реальным данным, горизонт прогноза; способ уточнения прогноза.
Для развития этой модели и раскрытия ее потенциальных возможностей и преимуществ в описании и прогнозировании рыночных характеристик необходимо провесЫ математические исследования основной системы нелинейных дифференциальных уравнений модели, определить ее особенности и выявить их связь с закономерностями экономических характеристик. Это позволит определить структуру ошибки экономического прогноза, а также провести исследование в направлении поиска наиболее эффективных схем адаптации модели.
В данной работе на основе анализа решений системы дифференциальных уравнений модели и выделения трендовой и хаотической составляющих предлагается схема адаптации модели, улучшающая эффективность прогноза.
Дннмнческ» модель фьючерсных ринков
В модели фьючерсных рынков биржевая информация рассматривается в виде детерминированного хаоса, т.е. хаотическое изменение параметров является нерегулярным (хаотическим), порождаемым нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию на выбранном временном интервале Д/(Д//Л<< 1, А/ — соответствующая торговая сессия, /? — длина исследуемого временного ряда) при известной предыстории [2]. Основные уравнения модели фьючерсных рынков [1]:
Х=АХ+¥;
(1)
\(0 0 0 "
А = 0 ь2(0 0 , Х = х2(о
0 0 с2(() хъ(1)_
а2 (г)Хх (ОХ 2 (0 + я3 (г)Хх (0Х3 (0' ь{(0Х{(0Х2(0+ь3(0Х2(0Х3(0 с, (0Хх (ох, (0+с2 (0Х2 0)х3 (О
где в качестве параметров системы выступают цена (X/), объем торгов (Х2) и «открытый интерес» (Х3). Взаимосвязь параметров отражена в перекрестных произведениях [3], которые имеют ярко выраженный экономический смысл (оборот торгов, текущая ликвидность и т.п.). Коэффициенты а., Ь., с. (/ = 1,3) определяют степень влияния составляющих модели.
Качественное исследование системы (3) подтвердило, что финансовые рынки носят неустойчивый характер, т.е. они подвержены внешним случайным воздействиям, следовательно, долго-
срочные прогнозы являются менее надежными и значительные преимущества имеют краткосрочные прогнозы. Имеет смысл найти новые инструменты, технологии для улучшения качества прогнозируемых результатов. Для этой цели имеет смысл исследовать характер движения параметров более подробно, определить особенности временных рядов и выделить составные части.
Выделение трендовых и хаотических составшцих
Из физики известно, что если на систему не воздействуют внешние силы, то она колеблется со своей частотой, определяемой характеристиками системы. Похожая ситуация складывается и на финансовых рынках. Если на формирование параметров не влияют какие-либо внешние факторы, то параметры начинают колебаться с некоторой частотой, определяемой внутренними законами рынка, не включающими человеческого фактора в явном виде. Иногда такая частота обусловлена насыщением потребностей к концу месяца, а иногда сезонные колебания определяют масштабы изменения. В любом случае внешние недостаточно сильные воздействия приводят лишь к некоторому колебанию параметров X около стабильной составляющей.
Реальную информацию (X) можно представить в виде суммы двух составляющих: трендовой (Т) и хаотической (Я):
X = Т +#, к = О, (2)
К К К* ' ' у 7
где к - номер фазовой координаты. Формой трендовой составляющей будет некоторая сглаженная кривая, не учитывающая резких хаотических (случайных) выбросов. Для ее определения были выбраны метод скользящих средних и полиномиальная аппроксимация.
При полиномиальной аппроксимации использовались полиномом порядка т (т > 4), коэффициенты которого рассчитывались по методу наименьших квадратов (МНК).
Хаотичность НК подтвердилась экспериментально, так как полученные данные:
• выглядят «случайно»;
• автокорреляционная функция быстро спадает;
• спектр мощности представляется сплошной
широкой полосой на низких частотах,
что отвечает критерию хаотичности [2,4], следовательно, полученный полином является трендом. Для объема торгов и «открытого интереса», если необходимо, можно выделить периодическую составляющую.
Несущие частоты могут быть определены как резкие всплески на спектральной кривой. На рис. 1 представлены полученные графики и реальные кривые. Данные нормированы.
ддНхестшавсы
9.5 7,5 | 5,5 | 3,5 « 1,5 -0.5
со
I 5
I з
«
Цена
21 41 61 81 Время, дни
101
- Реальные значения
- Трендовая составляющая
- Хаотическая составляющая
Объем торгов
- Реальные значения
- Трендовая составляющая
- Хаотическая составляющая
"Открытый интерес"
я У \
V-' V \
уУ V Ч,
21
41
61
Время, дни
81
101
- Реальные значения -Трендовая составляющая -Хаотическая составляющая
и хаотическую (Я), перейдем от одной системы дифференциальных уравнений (1) к совокупности двух систем дифференциальных уравнений, форма которых останется неизменной. Параметрами первой системы будут трендовые составляющие цены, объема торгов и «открытого интереса», а второй — соответствующие хаотические составляющие.
На втором шаге найдем прогностические значения по разработанной схеме адаптации [1] для каждой системы отдельно. На рис. 2 представлены
Рис. 1. Реальные значения, трендовая и хаотическая составляющие (характер системы носит хаотический (случайный) характер).
Сима адаиаци мадш
Попробуем провести модернизацию первоначальной схемы адаптации (1] в целях улучшения прогностические реализаций. Для этого разобьем процесс адаптации на несколько шагов.
На первом шаге произведем разделение реальных данных на две составляющие: трендовую (Г)
Цена
120
115
3 110
X
9
т X 105
о
100
95
21
41 61 81 Время, дни
101
В
450 000 400 000 350 000 300 000 250 000 200 000 150 000 100 000 50 000 0
Объем торгов
450 000 400 000 350 000 « 300 000 | 250 000 1 200 000
"Открытый интерес"
41 61 Время, дни
В
Рис. 2. Результаты прогнозирования трендовой составляющей (А- аппроксимирующий полином, В - прогностические значения аппроксимирующего полинома)
120 105
ф
| 90 £
Й 75 60
1 21 41 61 81 101
_Время, дни_
-Новая схема адаптации
-Старая схема адаптации
-Реальные данные
Объем продаж
600 ООО
ф
I 400 000 ф т я X
" 200 000 0
1 21 41 61 81 101 Время, дни
-Новая схема адаптации
-Старая схема адаптации
-Реальные данные
ф 400 000 х
X ф
5
5 200 000 о
Рис. 3. Результаты прогнозирования рыночных характеристик
спрогнозированные трендовые и реальные трен-довые составляющие. Тренд получен при помощи полиномиальной аппроксимации. Относительная усредненная погрешность полученных прогностических результатов составляет 0,01% для цены, 3,9% - для объема торгов, 2,7% — для «открытого
интереса». Большое увеличение относительной усредненной погрешности для объема торгов и «открытого интереса» объясняется заметным вкладом для малых (близких к 0) значений фазовых координат. Для больших значений погрешность -0.45%.
На третьем шаге применим формулу (2), т.е. сложим две прогностические составляющие (прогностическую трендовую и прогностическую хаотическую), получим итоговое суммарное прогностическое значение параметров. Результаты сумм представлены на рис. 3. Новая схема адаптации, учитывающая старую схему адаптации, обеспечивает повышение качества прогноза, так, относительная погрешность ниже.
Выюды
Проведенное исследование показывает, что на основе динамической модели фьючерсных рынков можно спрогнозировать как трендовую, так и хаотическую составляющие экономических показателей. Схема адаптации позволяет прогнозировать реальные значения параметров через суммирование спрогнозированных составляющих.
Что касается прогноза трендовой составляющей, то независимо от вида сглаживающей кривой прогностические значения и реальные значения находятся очень близко, относительная усредненная ошибка прогноза не превышает 0,03, 3,9 и 2,9% для цены, для объема торгов и для «открытого интереса», соответственно.
Предложенная схема адаптации позволяет улучшить качество прогноза. Перспективность использования этой схемы адаптации связана с возможностью предсказания в виде интервального прогноза, определяемого через разброс хаотической составляющей.
Таким образом, появились новые возможности предсказания тенденций изменения характеристик рынка, улучшающие качество прогноза.
Литература
1. Григорьев В., Козловских А., Ситникова О. Динамическая модель фьючерсного рынка // Финансы и кредит. - 2003г.- №24(138).- С. 43-45.
2. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. Пер. с англ. - М.: Мир, 1998.
3. МерфиДж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. — М.: Сокол, 1996.
4. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. Пер. с франц. — М.: Мир, 1991.
5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. Учеб. для вузов. - 3-е изд. — М.: Наука. Физматлит, 1998.
Цена
....... ...¿г*0*
I
"Открытый интерес"
1 21 41 61 81 101 Время, дни
-Новая схема адаптации
-Старая схема адаптации
-Реальные данные
