CC BY
37
ФЬЮЧЕРСНЫЙ РЫНОК
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА К МОДЕЛИРОВАНИЮ ДИНАМИКИ ФЬЮЧЕРСНЫХ РЫНКОВ
В. П. ГРИГОРЬЕВ, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики
A.B. КОЗЛОВСКИХ,
кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики
О.В. СИТНИКОВА, кафедра прикладной математики Томский политехнический университет
В статье объектом моделирования является фьючерсный рынок. Исследования данной экономической системы проведены методами теории детерминированного хаоса. В результате представлена нелинейная модель динамики фьючерсного рынка.
Проблема прогнозирования динамики рыночных характеристик является одной из основных в экономике, эффективное решение которой позволяет правильно оценить сложившуюся ситуацию на рынке. Существующие фундаментальные теории прогнозирования экономических последовательностей обнаруживают ограничения в проблеме прогноза [II. Как правило, данные методы не учитывают взаимосвязь экономических характеристик исследуемой системы и требуют наличия тренда в анализируемом временном ряде.
Наиболее перспективный подход в моделировании экономических процессов основан на теории детерминированного хаоса. Методы данной теории позволяют учитывать взаимосвязь и степень влияния друг на друга экономических показателей исследуемой системы. Динамика цен на фьючерсном рынке выглядит очень сложно, поэтому, чтобы отличить от хаоса многопериодическое движение (которое, как и хаос, может выглядеть сложным) прибегают к исследованию спектра мощности и автокорреляционной функции. При этом критерии возникновения хаотичности формулируются следующем образом [2]:
1. Временная зависимость сигнала "выглядит случайно".
2. Автокорреляционная функция быстро спадает.
3. Спектр мощности сосредоточен в низкой полосе частот.
4. Наблюдается дробность размерности аттрактора.
Перед тем как прибегнуть к исследованию
спектра мощности и автокорреляционной функции, необходимо убедиться, что исследуемый процесс удовлетворяет свойствам стационарности, случайности и нормальности. На этом мы не будем останавливаться подробно, т.к. для доказательства данных свойств используются классические хорошо известные методы [3], а более детально рассмотрим критерии 2-4.
Будем считать, что исследуемая реализация цены контракта на фьючерсном рынке принадлежит эргодическому процессу. Тогда рассмотрим N значений последовательности {хп} - цена контракта, п = 1,2, ...И, взятых из преобразованной реализации х(г), обладающей свойством стационарности и имеющей среднее значение х = 0, оценка автокорреляционной функции при сдвиге гИ находится в виде:
Я = Ях(гИ) = ,г = 0,1,2, ...т,
" л
где г - шаг, т - максимальное число шагов, Яг -оценка истинного значения автокорреляционной функции Кг при шаге г, соответствующем сдвигу гк.
Для выборки из стационарной преобразованной реализации х(0 с х = 0 первичная оценка (/..(/) истинной спектральной плотности (?х(/) определяется для произвольных значений (диапазона 0 < [ < [с в виде
6Х(Л = 2Щ +2ХДсау(^) + Д11Сау(^)]> (])
г=\ л Л
л —2
Я = х
л
где к - интервал времени между отсчетами, Яг -оценка автокорреляционной функции при шаге
г, т - максимальное число шагов, /с = — - гра-
¿п
ничная частота.
Рекомендуется рассматривать значения функции 6Х(/) только для /и+1 дискретных частот
/ = = 1,2, ...,т. т
В результате будет получено т/2 независимых оценок спектральной плотности.
Ск = 0^) = 2А[Д, + 2]Г ЯгСо5(~) + (-1)41, т " т
где к - порядок гармоники, 0к - первичная оценка спектральной плотности для гармоники по-
/ г #
рядка к, т.е. на частоте / = —.
т
Окончательно сглаженную оценку можно найти сглаживанием спектральной плотности по частоте методом Ханна
(/0 = 0,5(/0 +0,5С,
<7Я = 0,25(7<_,+0,5^+0,25^,
¿,„=0,5(7^+0,56т, к = 1,2, ... т-1.
Сглаживание необходимо потому, что первичная оценка, определяемая формулой (1), представляет собой неэффективную оценку истинной спектральной плотности.
Результаты проведенных исследований спектра мощности и автокорреляционной функции представлены на рис.1 и 2.
Следующий этап работы - вычисление размерности Хаусдорфа - с! или оценивание ее путем вычисления корреляционной размерности - йс.
В результате торгов на фьючерсной бирже измеряется значение цены контракта, т.е. существует набор
а. = а(Ш), /=/,уУ.
Считаем, что ряд а. является одномерной проекцией фазовой траектории динамической системы. Предполагаем, что эта траектория принадлежит аттрактору системы, размерность которого равна й. В этом случае согласно теореме Такенса задать вектор состояния можно по методу [3]: х(Г)={а(0, а(г+т),...,а(!+(т-1)г)}={х1, х2,..., хт},
где г - задержка по времени, т - размерность пространства вложения, т > 2ё +1.
Далее вычисляется корреляционная размерность аттрактора
где
с1 = Нш Пш .
с 6"—>0 л/->* \%е
между точками х, хв /и-мерном фазовом пространстве, N - число т-мерных точек.
0 = 0, если г - >0
0=1, если £■- < 0
Эту процедуру повторяем, увеличивая размерность пространства т до тех пор, пока зависимость с1с(т) не достигнет насыщения. Размерность Ас при насыщении определяет размерность аттрактора [4-5]. Проведенный анализ последовательности наблюдений изменения цены на различных фьючерсных рынках показал, что размерность аттрактора дробная и меньше трех.
Таким образом, анализируемый временной ряд - цены контрактов удовлетворяет критериям хаотического движения. Поэтому для моделирования исследуемой экономической системы целесообразно использовать нелинейно-динамические методы теории детерминированного хаоса. Данная теория объясняет экономические флуктуации как результат сложных нелинейных взаимодействий внутренних параметров системы.
На следующем этапе работы решается задача реконструкции оператора эволюции изучаемой системы. Приведенные в работах [4-5] алгоритмы позволяют скалярному временному ряду поставить в соответствие математическую модель. Но в то же время произвольный выбор нелинейное -тей без учета априорной информации или специального предварительного исследования объекта не всегда позволяет выбрать удачную реконструкцию. Поэтому на данном этапе моделирования авторы обратились к широко применяемой для прогнозирования рыночных характеристик теории технического анализа.
Согласно данной теории динамика рынка включает три основных источника информации, а именно: цену акции, объем торгов и "открытый интерес". Объем торгов и "открытый интерес" не первостепенные, но, тем не менее, чрезвычайно важные факторы, влияющие на формирование цены акции. "Открытый интерес" - это количество незакрытых позиций на конец торгового дня [6].
Таким образом, модель прогнозирования цен на фьючерсном рынке должна описывать процесс изменения трех рыночных характеристик - цены контракта, объема торгов и "открытого интереса".
с1Х- = АХ + Т, (2)
А=
С(е, -¿¡г.
корреляционный интеграл,
расстояние
Л
02 (0*) (0*2 (0 + «3 (0*1 (0*з (0
6, (/)*[ (/)Х2(0 + 63(0*2(0*3(0 с, (0*1 (0*3 (0 + с2(0*2(0*3(0 где Х,(0 - цена контракта, Х/{) - объем торгов, X/!) - "открытый интерес".
Существующая взаимосвязь между описанными выше экономическими показателями отражена
в|(/) 0 0 *|(0 •
0 />>(') 0 X— *2(0
0 0 С3(0 *3(0
ьоооо
70000 60000 50000 ГО 40000 30000 20000 юооо о
С г
Рис. 1. Графики исследования динамики цены иностранного рынка:
а - исследуемый процесс; Ь - автокорреляционная функция; с - спектральная плотность исследуемого процесса.
время, дни
1 5 I 0
L
— X
Рис. 2. Графики исследования динамики цены российского рынка:
о - исследуемый процесс; Ь - автокорреляционная функция; с - спектральная плотность исследуемого процесса.
перекрестным произведением соответствующих фазовых переменных:
• Х/0 • X2(t) - оборот торгов. Отражает взаимосвязь между ценой контракта и объемом торгов и позволяет учитывать в модели внутренние силы, управляющие движением цены;
• X/t) . X/t) - текущая ликвидность рынка, отражает взаимосвязь между ценой контракта и "открытым интересом". Позволяет отразить факт заинтересованности тем или иным контрактом с долгосрочной точки зрения, другими словами, определить, насколько серьезно участники рынка воспринимают текущий тренд;
• X/t) . X/t) - взаимосвязь между объемом торгов и "открытым интересом". О количественной характеристике взаимосвязи объема и "открытого интереса" известно мало, но качественную характеристику, опираясь на экспериментальные данные, можно сформулировать следующим образом: "Увеличение объема торгов должно подтверждаться достаточным открытым интересом" [6];
a/t), а/0, a/t), Ъ/0, Ь/0, Ь/0, c/t), c/t), с/0 -
неизвестные параметры, определяющие степень влияния соответствующих показателей рынка и их взаимосвязи на поведение системы. Данные параметры являются переменными на некотором достаточно большом отрезке времени, но кусоч-но-постоянные на небольшом исследуемом интервале - шаге прогноза.
По результатам проделанной работы, анализируя графики, представленные на рис. 1 и 2, можно отметить, что динамика цены контракта на фьючерсном рынке носит сложный характер и подчиняется критериям хаотического движения. Поэтому для моделирования подобных экономических систем наиболее целесообразно использовать нелинейно-динамические методы теории детерминированного хаоса.
Представленная модель, разработанная на основе теории детерминированного хаоса, показывает, что многие случайные экономические явления более предсказуемы, чем принято считать.
ЛИТЕРАТУРА
1. Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. В. В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 391 с.
2. Шустер /".Детерминированный хаос : Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. -240 с.
3. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М.: Мир, 1971. - 408 с.
4. Янсон Н.Б., Павлов А.Н., Баланов А.Г., Анищенко B.C. Задача реконструкции математической модели применительно к электрокардиограмме// Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, № 16. С. 57.
5. Аносов О.Л., Бутовский О.Я., Кравцов Ю.А. Восстановление динамической системы по хаотическим временным рядам// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8, № 1.С. 29.
6. Мэрфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. - М.: Сокол, 1996. - 588 с.
