Математическая модель колебаний ленты в стримерах, движущейся на вибрирующей поверхности и совершающей колебания в двух направлениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1+004.3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ЛЕНТЫ В СТРИМЕРАХ, ДВИЖУЩЕЙСЯ НА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ И СОВЕРШАЮЩЕЙ КОЛЕБАНИЯ В ДВУХ НАПРАВЛЕНИЯХ

© 2011 В. П. Тарануха, К. М. Рагульскис Ижевский государственный технический университет

Составлены дифференциальные уравнения колебаний ленты, движущейся на вибрирующей поверхности, которая совершает механические колебания в двух направлениях. Эти уравнения могут быть общим случаем для описания динамики магнитной ленты, движущейся в механизмах транспортирования ленты по вибрирующей поверхности магнитной головки. Они разрешают определить параметры для создания оптимального неконтакта с одновременной компенсацией нестабильности скорости передвижения ленты.

Колебания ленты, стримеры, механизм транспортирования ленты.

Рассмотрим динамическую модель кинематической пары, образуемой движущейся лентой и поверхностью, совершающей вынужденные механические колебания. На рис. 1 приведена динамическая модель вибрирующей поверхности 1, которая в плоскости xoz совершает вынужденные механические колебания.

По ней движется лента 2. Поверхность

1 возбуждается механическими колебаниями от двух элементов, например пьезоэлектрических преобразователей, колебания которых часто бывают гармоническими.

Поверхность 1 с пьезоэлектрическими преобразователями можно рассматривать как систему на подвижных опорах 3, 4. В данном случае нас интересует абсолютное передвижение поверхности 1, имеющей массу m.

Пьезоэлектрические преобразователи могут возбуждаться по гармоническому закону:

h01 = A1 sin ot, (1)

h02 = A2 sin (ot + <px). (2)

Суммируя силы, действующие на отдельные направления возбуждающих сил, и считая, что масса магнитной головки (МГ) сосредоточена в одной точке и углы

a1 = a2 = Д = Д2, получаем

m it?+C1 ~1к )+k1 (hn -h01)+Po cos^1 -F1 cosa1 = 0

m + C2 _lh0L ^+ k2 ( h21 _ h02 )+ P0COSД2 - F1c0s«2 = 0

где hl1, h21 - смещение массы по соответствующим направлениям возбуждения, m -масса вибрирующей поверхности, kx, k2 -

жёсткость соответствующих элементов, c1, c2 - коэффициенты демпфирования, Р0 -равнодействующая сила силы давления,

F - равнодействующая сила трения, а1,а2, Д, Д2 - углы между координатными осями xoz и направлениями возмущающих сил.

Проектируя на координатные оси x и z

все действующие на систему силы, получаем:

fdh dh ] dh дк,,

ml —^cosa,-^cosa, 1+С ——cosa, -c ——cosa +

^ dt2 1 dt2 2) 1 dt 12 dt 2

; , ; , dh01 dh02 +k1h 1 cos a - k2h21 cos a2 = c1 —01 cos a1 - c2 —02 cos a2 +

dt dt

+k1k01 cosa1 - k2h02 cosa2 - P0 cos Д cosa1 + P0 cos Д2 cosa2 + +F1 (cos2 a1 + cos2 a2), (3)

f dd’hx a d2h21 ^ dhll dh21

ml —11cos Д +---^cos Д 1+c —cos Д +c2 —-cos Д +

^ dt2 1 dt2 2) 1 dt 12 dt 2

+kjh1cos Д + k2h21 cos Д2 = c dh01 cos Д +c2 dh?2 cos Д2 +

+klh0l cos Д + k^ cos Д2 - P,(cos2 Д +cos2 Д) +

+F1 cosa1 cos Д - F1 cosa2 cos Д2. (4)

Уравнения (3, 4) описывают движение поверхности 1 при заданном законе возбуждения подвижных опор. В них равнодействующая сила давления выражается следующим образом:

Рис. 1. Динамическая модель кинематической пары, образованной движущейся лентой и поверхностью, совершающей вынужденные механические колебания

Р0 = Ь | (Р - Ра ) Сх'

(5)

F1 = цЫ —, 1 Сь

(7)

В данном случае уравнение (7) принимает вид:

где Ь - ширина контактной зоны ленты 2 с вибрирующей поверхностью 1; I - длина контактной зоны; р - давление ленты на

вибрирующую поверхность 1; ра - атмосферное давление.

Так как при работе механизма транспортирования ленты (МТЛ) между вибрирующей поверхностью 1 и лентой 2 создаётся постоянный неконтакт, сила трения ленты

2 на поверхности 1 будет равна силе внутреннего трения в окружающей среде [1]

(6)

Fl = (их2 - ил ) .

(8)

На взаимодействующий с вибрирующей поверхностью 1 малый элемент ленты 2 будут действовать силы, показанные на рис. 2.

Уравнение поступательного передвижения элемента ленты 2 в векторном виде можно выразить следующим образом [2]:

дV _ аё _

т----------=----------ь q,

дt дх„

(9)

где /и - вязкость окружающей среды, — -

сЬ

градиент скорости по координате ь .

Так как неконтакт между вибрирующей поверхностью 1 и лентой 2 небольшой, принимаем, что

и и 2 - и*)

Сь Ъ

где их 2 - скорость передвижения ленты 2 по

координате х; их1 - скорость передвижения

поверхности 1 по координате х; Ъ - расстояние между лентой 2 и вибрирующей поверхностью 1.

где т - масса единицы длины ленты, V -

скорость передвижения ленты; ё - равнодействующая сил натяжения и поперечных сил; q - сила давления на единицу длины

ленты; х0, у0, ь0 - координаты, жёстко связанные с элементом ленты.

Когда деформация ленты рассматривается только в плоскости х0, у0, ь0 (лента принимается плоской), в проекциях на оси, жёстко связанные с элементом ленты, получаются следующие уравнения [2]:

т0 IV - тКа>' ^ -1 ё, + «V (10)

то —г-тУау =~^+-О. -ч,, (11)

дх0 Р

-1/2

Рис. 2. Схема сил, действующих на элемент ленты, находящейся над вибрирующей поверхностью

где V = Vzo ] + УГ, ё = ё*о 7 + ёхг,

Ч = 4*0 7 + 4x0^

(Ок - угловая скорость вращения элемента ленты; <ау - угловая скорость вращения элемента в плоскости; г,7,Г - единичные векторы.

Анализируя элемент ленты (рис. 2), определяем скорость точки В относительно А, которая в проекциях на оси х0 и ь0 принимает вид [2]:

(12)

дУ 1 п

-------V = 0,

дх„

Р

дГг і

20 - + — V = т .

(13)

1 дм

м = ЕІ-, — = ^г

А

дхп

=-

Р

дхп

1 = дф

ді ’ р дх0 ’

(15)

и вводятся обозначения Q = Q' + АQ , Q = Q' + АQ

м = м'+АМ, — = — + А Р Ро

где Д - означает переменную составляющую определённой величины, М' - постоянную составляющую определенной величины.

Тогда уравнения (10, 11, 12, 13) выражаются с точностью до малых величин второго порядка:

дДф,

дх

ді

д2

"ді

2 w

д^хо , ± ^Ч'л,

0,и Ай„ І Я + Чх,

дх„

_1_

Ро

Ро

о ^0 ^0 ^0

и дА020 1 1 Л(0 дАф

2 = я.. +~бх0 +~А6х +“— Ях„ ~Чх

дх.

Р0

Р0

дх.

дх0 Р

При движении ленты 2 в МТЛ по поверхности магнитной головки угол обхвата обычно бывает малым - несколько градусов [3]. Тогда

V = ЁШ V =ди (14)

да *0 дt

где ^, и - смещения элемента ленты относительно положения равновесия. Учитывается, что [2]

дД^

(17)

(18) (19)

дґдх0 ' р0 дґ дґ ' (20)

Учитывая выражения (15), можно добавить уравнение, связывающее переменную составляющую поперечной силы с геометрией ленты и ее жесткостной характеристикой

И:

°' (21)

- -1 д-и = 0,

дідх0 р0 ді д2и + 1 _ дДф

Е1

йг;

^=-да.-

В решаемой задаче

б '*0 = 0, ё 'х0 = Т', 4x0 = 0, Р0 = Л, (22)

где Т - натяжение ленты, К - радиус кривизны ленты.

Проводим некоторые преобразования и учитываем (22):

д4и Я6

т0—2—2+Е—6 + 2 4

* да дх0 дх6 К2 дх

дбм 2ЕІ д4и ЕІ д2и

+ Л4 дх2 Тдх4

Т' д2и га0 д2и д2&

-+-

Л2 дх02 Л2 ді2 дх02

(23)

Когда вибрирующая поверхность кругообразная и имеет радиус К, в общем слу-

чае в фиксированной координате х из-за вибраций ордината точки поверхности выражается следующим образом:

"і h21

m = т ,ll = h "hi = H — = c — = c —L = K — = K

k1 k2

z = z. - Лz, где

Лz = R - R cos u = R

(24)

1 - cos1 arcsin — R

z1 = h11 cos Д1 + h21 cos Д2.

Значение Zj известно из уравнения (4).

Если считать, что в определённый момент времени лента 2 находится на расстоянии h0 от вибрирующей поверхности, то через некоторое время данное расстояние изме-

нится:

h

— и — z

(25)

Учитывая уравнение (25), преобразуем уравнения (2З и 19):

d4" ^Td% 2EI d4" EI d2" ^,d4h T'd2"

-mo —z—z— EI —-----------------------— +T —— +—-----— +

0 dt2dx02 dx£ R2 dx04 R4 dx02 dx04 R2 dx02

m0 d2h m0 d2z d2gz ----0-------1---0-------1-------0

R2 dt2 R2 dt2

dx2

d2w 1 d" 1 dz

- +--------+----------= 0.

dh2

dt

(29)

(30)

TT dhn 2.

Ux =—cos a1-------—cosa2

x dt 1

Ux = Ux +—,

X2 x dt

где Ux - средняя величина скорости передвижения ленты.

Таким образом видно, что дифференциальные уравнения (3, 4, 26, 27, 28) характеризуют динамику кинематической пары, образуемой лентой и вибрирующей поверхностью.

Введём новые безразмерные величины:

к к

(26)

. . .. (27)

дГдх0 К дГ К дГ

Дифференциальное уравнение Рейнольдса для смазочного слоя можно записать в виде [1, 4, 5]:

4ръ &"|+^ГpH д 1=12^3^ +6,,!р,и щ),

дс^ дхJ сУч дУу дГ дх ^ х х'

(28)

где и , и - скорости пер едв ижения по координате х вибрирующей поверхности и ленты соответственно; х, у - координаты; р

- давление;

^ = я ік = н02, р = Рь, ^, ті = т, А = 4, А = Л,

/ і) 0 Р, Р. 4> 1ь А, ^ь

Т' _Т Л Е І т0 х0 _

Т Ть, и Ль, 17 Еь, т Іь, ть, г х0ь, г 2ь,

Т0 Л Е0 І0 т, Ь ь Ь

Ч0 = Ч w = w * = я Р=р х = х У = „

----Ч2ь, 7 = 4, 7 = я,--------------------р, 7 = хь, 7 = 9,

Ч0 Ь 5 Ра Ь Ь

— = и1, — = и2, —=ъь, - = 1ь, и 1 и 2 ь0 ь Ь ь

х х 0

где т^ - характерная вибрирующая масса, /

- характерное смещение вибрирующей массы, с0 - характерный коэффициент смещения, ^ - характерная жёсткость, Р, - характерная сила давления, т - круговая частота колебаний, т - безразмерное время, А0 - характерная амплитуда колебаний, Т0 - характерное натяжение ленты, Л0 - характерный радиус кривизны ленты, Е0 - характерный модуль упругости ленты, т, - характерная масса ленты, Ь - характерная длина контакта, Ч0 - характерное давление на единицу длины ленты, Ъ0 - характерная ширина контактной зоны ленты, 5 - характерный зазор между лентой и вибрирующей поверхностью, их - характерная скорость, ра - атмосферное давление.

Записываем уравнения (1, 2, 3, 4, 26, 27, 28) в безразмерном виде:

я 01 = АА ^, (31)

H02 = ЛЛ sin (т+^і ) ,

(З2)

d 2H10 d 2H 20 1 . dH10

---r^cosa,-----------cosa l + 4c -----------— cosa,

dr2 1 dr2 2J 2 1b dr 1

dH

- 4c2b — 20 cos a2 + 4KіH jo cos a. - 4K2H 20 cos a2

dr

dH

-cos a - 4c

dH

— c, --------cos a, /4 c і

2 ib dr b dr

-4K2H02 cos a - Pb cos В, cos a, + 4P cos В2 cos a2 +

-44F, (cos2 a. + cos2 a2),

(33)

d 2Hl0 „ d 2H 20 „ 1 „ dH l0

--- cos В, +--------cos В2 l + 42c, ------- cos В, +

dr2 1 dr2 2J 2 ib dr 1

dH

+42c2 ----—cos В2 + 43K.Hi0 cos В. + 43K2H20 cos В2 =

b dr

dH dH

= 42c. ---—cosВ. + 42c2 --------°^cosВ2 + 43K.H0i cosВ. +

b dr b dr

+4K2H02 cos В2 - 44Pb (cos2 В. + cos2 В2) +

+44F cosa.cosВ, -44F, cosa2cosP2, (34)

m

g

... d4H d6H . 2EbIb d4H . Eblb d2H +

Ч Я 2Я 2-------Wbh^T,-----А ^2---71----А D2 я 2 +

dr & dx„b ^ & Kb dx0

E^d^+ (35)

d4H

Th d2 H

mh d H

mh d Zb

+АТ &<+ А K2 &<+А0 к2 ir+А Kf ^+А2 + аЛЩ.+Л4 _L dZb=0,

drdx0 Kb dr Kb dr

d2 g

&zb

dx2

(36)

d Г , dP 1 d f„r,, dP 1 „ dPH „ dPH , , , (37)

dxb [ dxb J+d^ d?7 J = А <3r + Аб dxb ^ 1 + 2)'

Из уравнений (5, 8, 24, 29, 30) видно,

что

Zb = Ат (H10 cos Д1 + H20 cos Д2 ) -

A9 (H10 cos a1 - H20 cos a2)

-A8Rb -! 1 - cos arcsin

F = А0 hjL- (U - U),

Kb

U = А1

H

'H

dr

cosa -

H

dr

cosa

2

u2=1+a2 ^,

dr

P = Аэ^ + 1,

Pb = A24bb j (P - 1) dxt.

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

Коэффициенты ^ являются также безразмерными. Их определяем из уравнений (1, 2, 3, 4, 5, 8, 24, 26, 27, 28), введя безраз-

мерные величины:

С k„

А = Ао

А = Т h

Аб = -

А =

E0I0

А. =-

А =

E0I0

mA-L о L2

А =

Ац =

Я„5

E0I0

А12 =-

T

А5 = 12^® —-2

PaS

Л

R0’

А20 =

А16 = 6^LU. иЛ L

% nvSw2 1

PaS

oh

SP,

А1 = ~

^ Ux

mvLl®‘

А13 = —,

K А = h , А = у ®L А = Ux

А =

K^^mva

L

А14 =-

А18 =-

-1 _ 4.Q

А23 = 7----------------,

b0 Pa

_PbL

" P, '

Таким образом, уравнения (33)...(37), являющиеся динамическими уравнениями кинематической пары, образуемой движущейся лентой и поверхностью, совершающей вынужденные механические колебания, представлены в безразмерном виде.

Из уравнений видно, что, подбирая фазовый угол , амплитуду возмущения Д , , можно между вибрирующей поверхностью и движущейся на ней лентой создать оптимальный неконтакт с одновременной компенсацией нестабильности скорости передвижения ленты. При возрастании амплитуды относительной скорости ленты на вибрирующей поверхности возрастает величина неконтакта.

Библиографический список

1. Галиуллин, А. С. Аналитическая динамика: Учеб. пособие [Текст] / А. С. Галиуллин. - М.: Высшая школа, 1989. - 264 с.

2. Светлицкий, В. А. Сборник задач по теории колебаний [Текст] / В. А. Светлицкий, И. В. Стасенко. - М.: Высшая школа, 1973.

3. Алекна, А. А. Методы и приборы для измерения колебаний магнитных лент [Текст] / А. А. Алекна, К. М. Рагульскис. - Каунасский политехн. ин-т, Каунас, 1980. - 135с. Деп. в ЛитНИИНТИ 16 апреля 1980, № 54380.

4. Сергеев, С. И. Основы динамики вибрирующих опор. Динамика гибких роторов [Текст] / С. И. Сергеев. - М.: Наука, 1972.

5. Норенков, И. П. Телекоммуникационные технологии и сети [Текст] / И. П. Но-ренков, В. А. Трудоношин. - М.: Изд-во МГТУ им Н. Э. Баумана, 2000. - 248 с.

MATHEMATICAL MODEL OF FLUCTUATIONS OF THE TAPE IN STREAMERS, MOVING ON THE VIBRATING SURFACE AND MAKING TO-LEBANIJA IN TWO DIRECTIONS

0

x

24

m® L

mg®

g

T

K^mva

L

© 2011 V. P. Taranuha, K. M. Ragulskis Izhevsk state technical university

Differential equation of oscillations of the tape, wich moves on a vibrating surface, which makes the mechanical vibrations in two directions. These equations can be the general case to describe the dynamics of magnetic tape, which moves in the mechanisms of transport of tape on the vibrating surface of a magnetic head. They are allowed to define the parameters for an optimal non-contact with simultaneous compensation of instability of strip movement speed.

Tape fluctuations, streamers, the mechanism oftape transportation.

Информация об авторах

Тарануха Владимир Прокофьевич, заведующий кафедрой конструирования радиоэлектронной аппаратуры, к.т.н., доцент, Ижевский государственный технический университет. E-mail: velyalin@mail.ru. Область научных интересов: системы и устройства хранения данных.

Рагульскис Казимерас Микалович, профессор кафедры мехатронных систем, член-корр. РАН, д.т.н., профессор, Ижевский государственный технический университет. E-mail: velyalin@mail.ru. Область научных интересов: машиностроение и вибрационная техника.

Taranukha Vladimir Prokofevich, chair design of electronic equipment Ph.D., associate professor, Izhevsk state technical university. E-mail: velyalin@mail.ru. Research interests: systems and storage devices.

Ragulskis Kazimieras Mikalovich, professor of mechatronic systems department, the corresponding member academy of sciences, professor, Izhevsk state technical university. E-mail: velyalin @mail.ru. Research interests: Engineering and Vibration Engineering.