CC BY
34
УДК 534.1+004.3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЛЕНТЫ В СТРИМЕРАХ ПРИ НАЛИЧИИ ПЕРЕКОСА И НЕРАВНОМЕРНОСТИ СКОРОСТИ ЕЁ ТРАНСПОРТИРОВАНИЯ
© 2011 В. Е. Лялин, В. П. Тарануха
Ижевский государственный технический университет
Получено решение двумерной граничной задачи колебания магнитной ленты без учёта ее массы. В отличие от ранее используемых управлений учтены скорость протягивания магнитной ленты и ее проскальзывание при входе на свободный участок.
Перекос ленты, стримеры, механизм транспортирования ленты.
Увеличение продольной и поперечной плотности записи информации на магнитной ленте (МЛ) требует существенного улучшения динамических характеристик механизмов транспортирования ленты (МТЛ), применяемых в ленточных накопителях информации (стримерах). Многочисленными исследованиями установлены закономерности образования временных искажений информации по одной дорожке, когда МЛ рассматривается как упругая нить. Модель МЛ в виде двумерной среды позволяет описать другой вид искажений - динамические перекосы, т.е. временные рассогласования между различными дорожками, что особенно важно для стримеров с широкими МЛ (8 мм и более). Теоретическое исследование упругих деформаций, приводящих к перекосам, приведено в работах [1, 2], ряд работ посвящён экспериментальным исследованиям. Однако применение полученных в [1, 2] результатов на практике затруднено неадекватностью граничных условий, т.к. реально в точках контакта МЛ с ведущими валами задаются линейные скорости, а не напряжения, как указано в работах [1, 2]. В работе [3] представлено уточнение волновых свойств МЛ с учётом ее ширины, хотя поправки, получаемые с учётом инерциальных свойств МЛ, в целом незначительны и ими на практике пренебрегают. Поэтому в настоящей работе приводится решение задачи о плоском напряжённом состоянии МЛ, на двух краях которой заданы скорости перемещения, а два других свободны.
Как показано в работе [4], плоская задача движения МЛ между двумя вращающимися с заданной скоростью валами имеет вид
а 2и т5и
дхду
а Ч
дхду
+ Ь
- + а-
дх2
д 2и
■ + а-
д Ч дУ2
= 0,
дх2
х + Ь = 0,
ду2
(1)
Ух (Ч ^ 0 - К®(~1, у, 0 = К(^t) - t),
К (Ч y, t) = Уу (y, t),
Кх (1, У, t) = Кх (y, t),
V (1, y, t) = Ку(y, t \
°уу(x, у *) = 0 | при у = 0,
стху (x, У, *) = 0,| У = Н,
где их = их (X, У, *X иу = иу (X У, *) - перемещения, Ух, ¥у - абсолютные скорости, 0
- относительная объёмная деформация МЛ в неподвижной системе координат, ауу , аху -
напряжения, X, л - коэффициенты Ляме, У0
- скорость перемещения МЛ (номинальная), 21, Н - геометрические размеры отрезка
МЛ, ¥х, ¥х, Уу, Уу, 0 - заданные на границах абсолютные скорости и относительная объёмная деформация,
а = 4(Х + л)(3Х + 2л)-1,
Ь = (Х + 2л)(3Х + 2л)-1 (рис. 1).
Выражая напряжения, абсолютные скорости, относительную объёмную деформацию через перемещения
дг
дх
® = 2ц(Л+2ц)
V =____^ + У___^
’ у дг 0 дх '
ди1 зиу
—- +—-дх ду
дії ди а =2 (Л+м)^ + Л^, &
уу ду дх 4
, дх ду
+ 2-
дх4 дх2ду2 ду4
При х = -I :
= 0.
*1
'д(ди ди \
--------+а,—-
дх ді дх
'д_(ди ду
ди\ —+а—-
к ді дх у
(7)
(х+
+д/х +а / +а и +/+/ =-у т
+¥+а д+а1У+¥ +¥=-у ~т
ди ди _
____-+у_______-=у
дг 0 дх у ’
(8)
при х = I:
д(ди
*/
дх
ди \
у +у______-
дх
(у+а|
ду
ді
дх
(х+
дх ді ді
диу диу = у-+у, — = у,
ді
дх
(5)
и исключив из (1) одну из неизвестных функций, например их, получим
¡.ди .ди
их (х у,*)=-а1~ду^ас-Ь1~дХу^у-&(х?) -^у ^?) -^‘®,
(6)
где /х, /у, /{ - неизвестные функции - постоянные интегрирования.
Таким образом, краевая смешанная задача (1).. .(4) принимает вид
д4и„ д4и„ д4и„
при у = 0,
у = Н:
(а - гУ
ди„
(* -1)-
ду
ди„
- +
д 2и„
д/
(у + = 0,
дх 2 дх
дх
■ + а
г д и д/ч
[—у (х + = 0,
ду 2 ду
(9)
где ах = У0Х(Х + 2л) ', ос2 = 2У0л(Х + 2л) ',
у = (Х + 2л)Х- .
Используя методы разложения неизвестных и заданных функций в ряды Фурье на отрезке у е [0, Н ] и удовлетворяя условиям (8), (9), ищем решение задачи в виде монохроматических колебаний с произвольной частотой о>о.
иу(х, у,і) = еа
+иу(х’ У)8(У) +иу(х у)5(у - Н
/х(х,і) = е'°°./х(х),
/,(у,0=еіщ (/у0 +'£/>к «“Лу
V к=1
/ (і) =
(10)
к=1
Рис. 1. Система координат и граничные условия
где \ = кпН-1, I = 7-й / 0, /ук, иук, иу, /, А - комплексные величины и функции,
подлежащие определению. Введение 8-функций Дирака в выражения (10) связано с
устранением разрывов функций Vy, Vy в угловых точках при разложении их в ряды Фурье по нечётным функциям. Уравнение (7) будет удовлетворено, если
иук (х) = с1к sh Хкх + с2к ch Хкх + с3кх sh Хкх + с4кх ch Хкх
(11)
где С к (7 = 1,...,4) - неизвестные постоянные. Подставляя выражения (10), (11) в (7).. .(9) и решая уравнения без учета слагаемых, содержащих 8 -функции, получим
_ “ ди. Л
/х (х) = X ЪХ- ~дьУ~ + (Г~ а)Лк !иук^х’
/уо = у^-Г, (I)+я
д/х (х)
дх
/ук = УАо>-\ А = 0.
Неизвестные постоянные С,
к , вх°дя
щие в выражение (11), определяем из системы линейных алгебраических уравнений:
( - к1(КХк/ + к2) (к1-к2(кХк/) (КхкХк/-к4) ( -к3 + к4(КХк/)
(к1-к1(КХк/) (-/ЛХ/ + к) (к5(КХк/ - /г,/) (-к5 + к1/(КХк/)
(// + к^/Х/) (/\thXl + к) (к6(КХк/ + //) (к6 + к1/(КХк/)
(к7(КХк/) (к8(КХк/ + к) (к^кХ+кц) (к12(кХк/ + //)
¥х-¥х + ¥0 0
С1 к оЬ Хке
С 2 к Гук оЬХке
С3 к уук °Ь-1 Хке
С 4 к Гх-Гх- у10
оЬ Хпе
(13)
где Я - радиус вала,
к = у0Хк; к2 = щ; кз = ® 0Хк 1(а +Ъ) + К1 Хк; к4 = 2Ъа1 + ю0Н ; к5 = ю0Н -У0; к6 = у0 + к2/;
к7 = (г-1)(у0+а)Х; К = 2(г-1)к2;
К = Х (г-1)(у0 -«1);
к10 = 2к2 (а + Ъ - у)Х-1 + к9/;
к11 = 2Ъ(У0 -а1) + К/,к2 = 2Ъ(У0 + ах).
Откуда находим с}к = (оГ1 Хк/) + (Ьм]к оГ1 Хк/)1,
где Ь°]к = Ь°]к (Ухк ,Ухк ,Уук ,Уук ,Ух 0, Ух 0);
тм = тм (V у у у у у )
7к 7'кУ хк’ хк ’ ук’ ук’ х 0У х 0 / •
Аналитические выражения коэффици-
ентов Ь^к, ЬМк не приводятся ввиду их громоздкости.
Функции
йу (х, у )8( у^ и у (х, у )8( у-Н)
для упрощения решения задачи определяются приближённо. Введем функцию
иу(х у)=Хиук(x)sln Хку
к
и, выбирая малое значение е > 0, определим касательные к Ц/ в точках у = 0 + е,
у
у = Н-е (рис. 2).
Значения касательных в точках у = 0, у = Н примем за приближённые значения функций и у (х, у )8( у) и и у (х, у )8( у-Н) соответственно. Тогда иу (х у)8(у) ~
~ Хиук (хУ1+д2е2 ™(Хе - ^ л^сух
(12) иу (х, у)8(у-Н) г
~ (х^1 + Дк2е2 япХ(Н-е) + aгоtgХtе)8(y-H),
к
их(x,у,() =Е{[[51* Я1П(®0( +%) +
к
+F2k (х)5яп(ю0( +% (x))]оosХkУ+
+^к(х)81п(®0( +?3*(х))]+ (х)Я1п(ю0( -^5*)},
иу(х,у,()=х( 81пХку^ 1+Хк!е2 [з1п(Хке -arоtgХkе)8(y) + к[
+81П (\(Н-е) + апО£Хе)8(у-Н)]]+
+F4k (х)5Яп(ю0( +% (х))}.
(14)
Входящие в (14) величины В1к, (р1к, F5k, (р5к и функции переменной величины х
^к, (р2к, F3k , (рзк, ^к, (р4к, выраженные через известные параметры задачи и постоянные С к , не приводятся ввиду громоздкости выражений.
Так как оси вращения валов не совпадают с их геометрическими осями центров, законы изменения линейных скоростей на границах МЛ имеют вид: ух ( у, () = у<)[1 + е} (у) Я 1 оо8(ю0( + ^ (у))],
уу (У, () = Я^^л/а~(а~+Н2уТ оos(Юot), (15)
где 7 = 1,2 - номер вала;
х=/
X
aj = *% + *jk - 2sjHsjk COS y]k :
* (У)
Результаты расчётов, выполненных на
( ч компьютере, при значениях
ф: (y) - изменение эксцентриситета и угла ^ ^
его поворота вдоль оси y; sjH , sjk, cpjk -
начальное и конечное значения эксцентриситета и угла поворота. Считая, что изменение относительной деформации в зоне проскальзывания первого вала целиком зависит от относительного удлинения МЛ в направлении оси y , прием
0(y, t) = 2л(1 + 2л)4 * (y)(2/)-1 sin^t + ф (y)).
(16)
В дальнейшем, для примера, не учитывая движения МЛ вдоль оси и принимая
*2(y) = *2H -(*2H -*2k )H y , *1(y) = *0,
получим граничные условия (2)-(3) в виде
К(~Ьу> 0~vo®(-t’ у, 0 -
= F01^1+1 eos (a>0t+ q\ (y))
(Л+2¡I)X sin (Щ+q\ (y)),
Uy(-l,y,i)=0,
—^(^2н — C^2H—cosf^í+^Cv))
^.ay,o=o.
ф(y) = ny(2H)- , ф2(У) = ny(3H)-R = R2 = 13 • 10- 3м, V0 = 0,76м • с-1,
*0 *2H 10 м :
Н = 25-10 м, / = 0,25м е2к = 5 -10- 6м , Х = 2596,153 - 10-6Нм-2,
Л = 1730,769-10 6Нм 2
приведены на рис. 3, 4, 5. Найденные значения их в зависимости от у фактически дают значения амплитуд и фаз перекосов, выраженных в линейных единицах. Нормируя их
средней скоростью у0 , легко перейти к временным единицам, более привычным в инженерных расчётах.
Анализ результатов расчётов позволяет сделать следующие выводы:
1. При значениях параметров, близких к реальным, разложения решений в ряды Фурье сходятся достаточно быстро.
2. Зависимость распределения амплитуд перекосов по ширине МЛ мало отличается от линейной при отсутствии смещений по оси у .
3. Влияние граничных условий на входе и выходе рассматриваемого участка МЛ не
2,9
88,9
Рис. 5. Изменение амплитуды перемещений V (max | Au |= 3,8 -10 4 м)
одинаково и совпадает при равной нулю номинальной скорости протягивания МЛ.
4. Полученные результаты дают основание для применения к данному типу задач приближённых методов, основанных на разложениях по системам ортогональных функций (проекционные методы).
Библиографический список
1. Варнаускас, П. А. Методы и средства экспериментальных исследований динамики прецизионных лентопротяжных механизмов [Текст] / П. А. Варнаускас, А. И. Кур-тинайтис, К. М. Рагульскис. - Вильнюс: Мос-калас, 1982. - 104 с.
2. Рагульскис, К. М.. Динамика прецизионных лентопротяжных механизмов [Текст] / К. М. Рагульскис, Е. В. Лялин, П. А. Варнаускас и др. - Вильнюс: Мокслас, 1984.171 с.
3. Норенков, И. П. Телекоммуникационные технологии и сети [Текст] / И. П. Но-ренков, В. А. Трудоношин. - М.: Изд-во МГТУ им Н. Э. Баумана, 2000. - 248 с.
4. Захаров, В. Г. Уточненная динамическая модель пространственных колебаний магнитных лент [Текст] / В. Г. Захаров, С. П. Севенко. - Техника средств связи. Серия «Общетехническая», 1982.- № 2 (14). - С. 3943.
MATHEMATICAL MODEL OF MOVEMENT OF THE TAPE IN STREAMERS IN THE PRESENCE OF THE WARP AND NON-UNIFORMITY OF SPEED OF ITS TRANSPORTATION
© 2011 V. E. Ljalin, V. P. Taranuha Izhevsk state technical university
Obtained a solution for two-dimensional boundary task of magnetic tape oscillations without considering its mass. In contrast to the previously used controls, the speed of tape pulling and its slip at the entrance to a free area are taken into account.
А tape warp, streamers, the mechanism of tape transportation.
Информация об авторах
Лялин Вадим Евгеньевич, заведующий кафедрой, д.т.н., д.э.н., профессор, интеллектуальные информационные технологии, Ижевский государственный технический университет. E-mail: velyalin@mail.ru. Область научных интересов: информационно-телекоммуникациион-ные системы.
Тарануха Владимир Прокофьевич, заведующий кафедрой, к.т.н., доцент, конструирование радиоэлектронной аппаратуры, Ижевский государственный технический университет. E-mail: velyalin@mail.ru. Область научных интересов: системы и устройства хранения данных.
Lyalin Vadim Evgenievich, head of department, professor, PhD, intelligent information technology, Izhevsk State Technical University. E-mail: velyalin@mail.ru. Research interests: information and telecommunications systems.
Taranukha Vladimir Prokofevich, head of departmen, Ph.D., associate professor, design of electronic equipment, Izhevsk State Technical University. E-mail: velyalin@mail.ru. Research interests: systems and storage devices.
