CC BY
45
отсюда 15 = 10 - 2Ц - 2Ь2, где 10 - длина тракта.
При учете распределенности параметров вычисления масс и жесткостей КЭ [6]
"1/3
производились по формулам [M ] = m0a
1/6
1/6
1/3
1 -1
-1
1
(21)
где E - модуль упругости материала ленты; S - площадь поперечного сечения ленты; т0 - погонная масса ленты; a - длина КЭ.
По работе можно сделать следующие выводы:
1. Разработаны критерии синтеза по частотным спектрам для консервативных, диссипативных систем, обеспечивающие синтез систем с большим числом и позволяющие учитывать случайный разброс параметров при условии их нормального распределения и известной корреляции. Получен алгоритм синтеза по частотному спектру диссипативных систем с учетом случайного разброса параметров, использующий свойства годографа.
2. Разработанный пакет программ был использован для проектирования и выбора вариантов МТЛ регистраторов информации.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рагульскис К.М., Лялин В.Е., Варанаускас П.А. и др. Динамика прецизионных лентопротяжных механизмов. - Вильнюс: Мокслас, 1984. - 171с.
2. Nistyuk, A.I. Tape drive parameter optimization of synthesis using frequency spectra. Vibration Engineering; Copiright by Hemisphere Publishing Corporation, 2, 1988. - P.121-131.
3. Lialin, V. E., Kulev, M., Nistyuk, A.I. The synthesis of tape transports according to the frequencies spectra, considering the distribution three-element model of tape. Vibration Engineering; Copiright by Hemisphere Publishing Corporation, 4(61), 1990.- P.61-67.
4. Теория автоматического управления / Под ред. д.т.н. А.В. Нетушила. -М.: Высшая школа, 1976. - 400 с.
5. СобольИ.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. -М.: Наука, 1969. - 288 с.
6. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Перевод с англ. А.А. Шестакова. -М.: Мир, 1979. - 392 с.
В.В.Тютиков
ОГРАНИЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ С УПРУГОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЧАСТЬЮ
Введение
Повышение быстродействия современных электромеханических систем (ЭМС) приводит к необходимости учета упругих свойств их механической части [1, 2]. В то же время анализ комплектных электроприводов (ЭП) отечественного и зарубежного производства показывает, что они строятся на базе типовых ПИ-регуляторов тока и скорости и предназначены для приведения в движение меха -низмов с жесткими кинематическими передачами. Их использование в системах с упругостью ограничивается случаями, когда колебательными свойствами объекта можно пренебречь.
В то же время современная теория управления предоставляет проектировщику широкий выбор методов синтеза регуляторов [3], обеспечивающих высокие качественные показатели при управлении сложными динамическими объектами, к которым относятся и ЭМС с упругими кинематическими передачами.
Такими методами в линейной ТАУ являются, например, методы модального управления (МУ) или аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР). Регуляторы, синтезируемые в рамках этих методов, обладают достаточным числом степеней свободы для обеспечения высоких показателей качества. К тому же при реализации САУ возможен ряд структурных решений: управление на основе статических регуляторов с использованием информации о векторе состояния объекта (наблюдающего устройства) или на базе динамических регуляторов в контуре главной обратной связи.
Теоретические аспекты проектирования регуляторов в рамках этих методов хорошо изучены, однако для их практической реализации требуется дополнительная проработка вопросов ограничения переменных. Применительно к системам управления ЭП такой переменной является, в первую очередь, ток электродвигателя (ЭД) [4].
В научной литературе предложен ряд структур, позволяющих ограничивать координаты состояния в подобных системах управления.
Так, например, при модернизации уже работающих систем управления предлагается [1] сохранять структуры, имеющиеся в комплектных ЭП, возлагая на них функции ограничения координат, а дополнительные регуляторы, обеспечивающее требуемое качество процессов, делать внешними. Однако при создании новых систем такой подход, очевидно, нельзя считать рациональным.
Встречаются структуры, основанные на введении в контур управления нелинейных элементов типа «насыщение» [2, 5], аналогично структуре, приведенной на рис. 1, а. Однако такое решение проблемы, приемлемое для ЭМС с жесткой механической частью, противоречит условиям устойчивости нелинейных систем в том случае, если механическая часть содержит упругие элементы. ЭМС с упругой механической частью описывается дифференциальным уравнением, как минимум, четвертого порядка, поэтому согласно критерию абсолютной устойчивости гарантировать, что замкнутая система будет устойчивой при любом сочетании параметров регулятора и объекта, а также произвольном значении управляющего воздействия, нельзя. Кроме того, даже если САУ окажется устойчивой, то процессы в «большом» будут осуществляться без подавления резонансных частот, поскольку контур управления при работе в ограничении будет разомкнут.
В работе [6] предложен способ ограничения, основанный на использовании отдельных регуляторов основной координаты и тех координат, которые необходимо ограничивать. Эти регуляторы имеют или модальную, или оптимальную настройку. На вход силового преобразователя с помощью селектора минимума пода -ется напряжение, соответствующее минимальному значению на выходах регуляторов. Однако сами авторы отмечают, что система может потерять устойчивость в зависимости от уровня и формы внешних воздействий.
Таким образом, проблема ограничения переменных состояния ЭМС при использовании современных высокоэффективных методов управления на данный момент остается нерешенной.
Ограничение переменных состояния
ЭМС - устройства, работающие в двух основных режимах: отработки изменения управляющего воздействия, в виде напряжения якорной цепи ЭД, или возмущающего воздействия, в виде нагрузки на его валу. И в том, и в другом случае при значительном изменении воздействия требуется ограничение координат состояния, в первую очередь тока электродвигателя.
При проектировании силовых преобразователей (СП) используются два структурных решения [4]: системы с суммирующим усилителем и системы подчиненного регулирования координат (рис. 1, а, б соответственно). Второй способ
является более распространенным для быстродействующих ЭП. На рисунках приняты обозначения: РС, РТ - регуляторы скорости и тока соответственно; и3 иРс, иРТ, иотс - напряжения задания, на выходе регуляторов скорости и тока, отсечки; СП - силовой преобразователь, ДТ - датчик тока, ТГ - тахогенератор, ЭД - электродвигатель.
Использование указанных структур обусловлено двумя несомненными преимуществами: простотой настройки регуляторов и удобством ограничения координат. При этом их полоса пропускания (предельное быстродействие) ограничивается резонансными частотами механической части.
В рамках указанных структур используются два типовых решения для ограничения координат состояния [4]. В замкнутых контурах ограничение строится на основе использования нелинейностей типа «насыщение» и «отсечек» с нелинейностями типа «зона нечувствительности» в системах с суммирующим усилителем (например, СП типа БОТ, БУ3509) или с нелинейностями типа «насыщение» в системах подчиненного регулирования координат (например, СП типа), как это показано на рис. 1, а, б соответственно.
а
б
Рис. 1. Силовые преобразователи типа БОТ, БУ3509 и ТПЕ
В разомкнутых системах ограничение тока осуществляется с помощью за -датчиков интенсивности (ЗИ) (рис. 2), ограничивающих скорость изменения задающего воздействия.
Структуры систем управления, синтезируемых методами МУ или АКОР, можно отнести к структурам с суммирующим усилителем, так как даже при использовании структурных решений с регуляторами состояния, формирующими управляющее воздействие на основе информации о векторе состояния объекта, в САУ нет независимых контуров тока, скорости и т.д.
а
б
Рис. 2. Задатчики интенсивности, ограничивающие скорость изменения задающего воздействия
Для таких систем решение проблемы ограничения тока может быть найдено в комбинированном управлении с использованием при пуске с требуемым моментом, например номинальным, и отсечки по току, настроенной на ограничение максимального тока при достижении значений нагрузки выше допустимых (рис. 3).
Задатчик интенсивности, не входящий в контур управления, не влияет на выполнение условий его устойчивости и позволяет обеспечить изменение скорости ЭД в «большом» с максимально возможным темпом и заданным качеством, поскольку размыкания контура управления не происходит.
Обычно используют задатчики интенсивности [4] двух видов: первого (рис. 2, а) и второго порядка (рис. 2, б).
Рис. 3. Задатчик интенсивности, настроенный на максимально допустимое значение якорного тока
В задатчиках первого порядка значение уровня насыщения нелинейного элемента задает допустимый темп нарастания (уменьшения) задающего сигнала, определяющий соответствующее ускорение ЭД (максимальный ток) «в большом», а коэффициент усиления К - процесс в линейной зоне.
В быстродействующих электроприводах с упругой механической частью кроме ограничения ускорения необходимо ограничивать еще и рывок. Поэтому в них целесообразно использование ЗИ второго порядка, в которых значение уровня насыщения нелинейного элемента задает допустимый рывок, ограничение первого интегратора - допустимое ускорение, а совокупность коэффициентов усиления К и К2 - качество процессов в линейной зоне.
Ограничение тока при изменениях задающего сигнала, что характерно для процессов пуска и останова электропривода, является важной, но не единственной задачей ограничения переменных. Не менее важным является ограничение тока при изменении момента нагрузки.
Ограничение тока в условиях действия нагрузки в системах с суммирующим усилителем [4] обеспечивается контуром токовой отсечки, включающим нелинейный элемент типа «зона нечувствительности» (рис. 4, а).
1 1т
2 кв. 1 кв.
ивх = * ивх ® ¥ 1
— ¥ / Я(ивх ) “ 1 —1 3 кв. Ке 4 кв.
б
Рис. 4. Характеристики нелинейного элемента при изменении момента
нагрузки
Гармонически линеаризованная характеристика нелинейного элемента описывается уравнением
2у
q(Uвх) = к—
Р
X X
агсБіп--------+-------
и вх и вх
2
Л
1 -
ив
а соответствующая ей характеристика Р(И вх) = — 1/^(И вх) имеет вид, изображенный на рис. 4, б.
В системах с жесткой механической частью нелинейный контур токовой отсечки абсолютно устойчив, поскольку линейная часть описывается дифференциальным уравнением второго порядка вида
H(s) = М = ----,
u(s) D(s) s + ajs + a0
а ее амплитудно-фазовая частотная характеристика (годограф Найквиста) располагается в 1-м и 4-м квадрантах. Очевидно, что такой контур обладает значительным запасом устойчивости.
При наличии в кинематических передачах упругих элементов порядок уравнения возрастает. В общем случае передаточная функция (ПФ), соответствующая линейной части контура токоограничения для упругого двухмассового электромеханического объекта с учетом регулятора К (рис. 3), будет иметь вид
= 2(0 = воо = b3s3 + b2s2 + bis (1)
u(s) D(s) s + d3s + d2s + dis + dg где dj - коэффициенты заданного характеристического полинома ПФ основного
контура управления.
Синтез для такого объекта некомпенсационного динамического модального регулятора осложняется наличием нулей в ПФ, которые могут серьезно ограничивать допустимое с точки зрения обеспечения низкой параметрической чувствительности быстродействие [7]. В этом случае целесообразным является использование регулятора с ПФ
32
H (s) = Rs) = r3s + r2s + r1s + r0 р B(s) b3s3 + b2s2 + bis обеспечивающего линейному замкнутому контуру токовой отсечки с ПФ
32
H (s) = _I(s) = R(s) = r3s + r2s + r1s + r0
H то(s) ^ \ т-ч /- \ 4 3 2 ’
u(s) D1(s) s + d^s + d12s + dns + d10 где d1; - коэффициенты заданного характеристического полинома, низкую параметрическую чувствительность, даже в том случае, если при практической реализации регулятора полной компенсации нулей ПФ (1) не происходит.
Выбором величины среднегеометрического корня (СГК) Wo характеристического полинома является
D1 (s) = s + d13 Wgs + d12 Wgs + d12 Wgs + W4.
ПФ линейной части контура отсечки можно формировать любое заданное поведение годографа Найквиста. На рис. 5 приведен ряд годографов 1 - 2 - 3, получающихся при увеличении СГК. Очевидно, что наиболее предпочтительным
будет годограф, располагающийся, аналогично жестким системам, в 1 и 4 квадрантах, предполагающий наличие больших запасов устойчивости САУ.
Следует отметить, что при этом изменение качества ограничения тока в контуре отсечки можно варьировать введением дополнительного коэффициента усиления, что не повлияет на устойчивость контура.
Пример. Для двухмассовой ЭМС [5], изображенной на рис. 3,
Рис. 5. Годографы, получающиеся при увеличении СГК
при следующих значениях параметров: КСП = 22; Тш = 0,01 с; ЯЯ = 0,177 Ом; ТЯ = 0,02 с; С = 0,976 Вб; J1 = 0,11 кгм2; С12 = 14 Нм/рад; J2 = 0,56 кгм2, b = 0,22 Нм - синтезировать регулятор состояния, обеспечивающий быстродействие в линейной зоне не хуже 0,2 с. Номинальные значения напряжения и тока соответственно равны 220 В и 30 А.
Регулятор, использующий информацию о векторе состояния
xт = [I я Qj Дф W] и обеспечивающий требуемое быстродействие, имеет вид
K = [- 0,33 - 0,333 -11,33 - 9] при использовании в синтезе полинома Ньютона
D(s) = s4 + 240s3 + 21600s2 + 864000s +12960000 с СГК, равным 60 с-1.
Процесс пуска на номинальную скорость, осуществляемый без ограничения тока и напряжения, происходит с заданным качеством (монотонный процесс с временем установления 0,2 с). При этом значения тока значительно превосходят допустимые значения (/max = 35 кА).
Введение ограничения на напряжение преобразователя (± 220 В) позволяет несколько ограничить ток - Imax = 1,5 кА (рис. 6, а). Введение отсечки по току (коэффициент усиления в контуре отсечки КТ = 10) позволяет ограничить ток значением /отс = 2/н (рис. 6, б), но пуск осуществляется с колебаниями, вследствие того, что действие контура отсечки резко снижает коэффициент передачи от напряжения задания к току электродвигателя, не позволяя основному регулятору эффективно демпфировать колебания. При пуске на более низкую скорость (рис. 6, в) система с отсечкой по току становится неустойчивой.
а б в
Рис. 6. Графики колебаний при ограничении тока
Таким образом, ограничение тока на основе структур, подобных приведенной на рис.1, а, не только не позволяет эффективно демпфировать колебания, но и может приводить к неустойчивости САУ.
Проиллюстрируем возможности предложенного решения.
Использование для ограничения координат состояния ЗИ первого порядка позволяет ограничить значение тока электродвигателя в процессах «в большом» (рис. 7, а), однако начальный бросок тока (рывок) оказывается очень значительным. Избежать этого можно на основе использования ЗИ второго порядка (рис. 7, б). Изменение скорости при этом происходит без колебаний, поскольку контур модального управления замкнут. Процесс в линейной зоне соответствует заданию (рис.7, в).
а б в
Рис. 7. Графики колебаний при ограничении тока с использование ЗИ
Здесь следует отметить, что выходной сигнал ЗИ, являющегося нелинейным элементом, меняет свою форму в зависимости от величины задающего воздействия. Поэтому для сохранения качества процессов в большом диапазоне изменения входного сигнала необходима корректировка коэффициента усиления К2.
Для ограничения тока при изменении момента нагрузки будем использовать токовую отсечку. Регулятор в контуре токовой отсечки может быть синтезирован методами модального управления.
Передаточная функция от входа к току с учетом регулятора К имеет вид
Н(є) = ± = в® и Б(е)
6215(є3 + 2,4є2 +152,38)
є4 + 240є3 + 21600є2 + 8640008 +12960000
(2)
Наличие нулей в ПФ (2) приводит к тому, что при синтезе некомпенсационного полиномиального регулятора требуемый темп процессов в контуре отсечки может быть обеспечен, только если регулятор представляет собой неминимальнофазовое или неустойчивое звено. Очевидно, что введение в контур управления такого звена приведет к высокой параметрической чувствительности.
Избежать этого ограничения можно назначением полюсов ПФ САУ, совпадающих с нулями ПФ ОУ. В этом случае результатом синтеза при заданном поли-
3 2 4
номе Б^) = (8 + 2,48 +152,38)(8 +100) будет регулятор
н р (8) =
ад
С(8)
0,056є3 + 9,22є2 + 642є +16080 є3 + 2,4є2 + 152,3є
(3)
обеспечивающий время переходного процесса в контуре ограничения тока, равное 70 мс.
Г одограф Найквиста контура отсечки с регулятором приведен на рис. 8.
Рис. 8. Годограф Найквиста контура отсечки с регулятором
Очевидно, что при наличии регулятора (3) коэффициент усиления в контуре отсечки может быть значительно увеличен без потери устойчивости, что позволит обеспечивать поддержание значения тока с большей точностью.
Процессы разгона ЭД с номинальным моментом на валу и последующим увеличением момента до трехкратного для систем с ЗИ второго порядка и контуром отсечки с расчетным регулятором и при введении добавочного коэффициента усиления, равного 10, приведены на рис. 9, а, б соответственно.
/ 1
I
/ \
а б
Рис. 9. Процессы разгона ЭД
Таким образом, предложенный подход позволяет обеспечить ограничение тока в системах управления по состоянию или с полиномиальными регуляторами в контуре главной обратной связи для объектов высокого порядка при гарантии ус -тойчивости замкнутой системы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Борцов Ю. А., Поляхов Н. Д., Путов В. В. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением. - Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1984. -216 с.
2. Борцов Ю. А., Соколовский Г. Г. Автоматизированный электропривод с упругими связями. - СПб.: Энергоатомиздат, 1992. - 288 с.
3. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в
3-х т. Т.2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
4. ЧиликинМ. Г., Ключев В. И., Сандлер А. С. Теория автоматизированного электропривода: Учеб. пособие для вузов. - М.: Энергия, 1979. - 616 с.
5. Акимов Л. В., Колотило В. И. Синтез статической СПР скорости двухмассового неус-
тойчивого, под влиянием отрицательного вязкого трения, объектом методом полиномиальных уравнений // Электротехника. 2000. № 5.
6. Кузнецов Б.И., Чаусов А.А., Кузнецова Т.Б. Ограничение переменных состояния при оптимальном управлении электромеханическими системами // Электричество. 2003. № 3.
7. Тарарыкин С. В., Тютиков В. В. Робастное модальное управление динамическими системами // Изв. РАН. Автоматика и телемеханика. 2002. №5.
