Математическая модель инерционного расходомера с учётом фактического профиля скоростей жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ

Научная статья УДК 53.082.2+532.57

Математическая модель инерционного расходомера с учётом фактического профиля скоростей жидкости

Олег Валентинович Жиляев1 Владислав Николаевич Ковальногов

1 2Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск, Россия

1 ol egzh ilyaev@rambler. ru

[email protected]

Аннотация. Рассматривается эволюция математической модели (ММ) инерционного расходомера (ИР), обусловленная необходимостью улучшения адекватности ММ. Дано описание опытной установки для проведения натурных экспериментов, приведены результаты проведённых экспериментов. Показано, что первоначальная ММ ИР обладает значительной неточностью описания рабочего процесса ИР. Сделано предположение, что причиной неточности ММ является неоднородность поля скоростей жидкости в сечении трубопровода. Предложен способ, позволяющий учитывать неоднородность поля скоростей. Данный способ позволяет рассматривать течение жидкости как одномерное, а неоднородность поля скоростей учитывается за счёт новых понятий эффективной скорости, эффективной площади. Представлены формулы усовершенствованной ММ.

Ключевые слова: математическая модель, жидкость, плотность, массовый расход, трубопровод, измерение, профиль скоростей.

Благодарности: Исследования выполнены при поддержке грантом Президента РФ, проект НШ-28.2022.4.

INSTRUMENT ENGINEERING Scientific article

The mathematical model of inertia-based flowmeter considering actual velocity profile in liquid

Oleg V. Zhilyaev1

2Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russia). Vladislav N. Kovalnogov2

1 [email protected] [email protected]

Abstract. This paper considers the evolution of mathematical model (MM) of inertia-based flowmeter (IF) which is caused by the necessity of improvement of its relevance. The description of the pilot machine being used for conducting natural experiments is given as well as the results of the experiments conducted. It is shown that the preliminary MM has significant inaccuracy of the description of working process of IF. The assumption is made that the reason of the inaccuracy is unevenness of velocity field in the pipeline cross-section. A method is supposed which makes possible to consider the unevenness of velocity field. The method allows treating the flow through IF like one-dimensioned flow of liquid and the unevenness of the velocity field is considered with originally introduced concepts of effective velocity and effective cross-section area. The formulas of improved MM are introduced.

Keywords: mathematical model, liquid, density, mass flow rate, pipeline, measuring, velocity profile.

Acknowledgements: The research was carried out with the support of a grant from the President of the Russian Federation, project NSH-28.2022.4.

© Жиляев О. В., Ковальногов В. Н., 2022

Введение

Инерционный расходомер (ИР) предназначен для измерения массового расхода и плотности среды - жидкостей, газов. В предыдущих работах [1], [2], [3] была показана принципиальная возможность построения такого расходомера. Была разработана первоначальная математическая модель (ММ), описывающая в первом приближении функционирование расходомера.

Необходимость разработки ММ ИР обусловлена несколькими факторами. Во-первых, ММ необходима для описания и понимания принципа функционирования ИР, поскольку, как видно из работ [1-3], само объяснение принципа действия невозможно без применения ММ. Во-вторых, методология математического моделирования необходима для выявления точных зависимостей и получения алгоритмов обратного преобразования сигналов, с целью осуществления процесса измерения расходомером. В-третьих, разработанная ММ служит для обоснованного выбора конструктивных параметров расходомера при его проектировании.

Как указано в работе [4], «сама постановка вопроса о математическом моделировании какого-либо объекта порождает чёткий план действий. Его можно условно разбить на три этапа: модель - алгоритм - программа... Создав триаду «модель - алгоритм - программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах. После того как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту удостоверена, с моделью проводятся разнообразные и подробные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта». Следовательно, разработанная ММ должна удовлетворять критерию адекватности.

В документе [5] приводится определение «адекватность математической модели - соответствие математической модели экспериментальным данным по выбранному критерию». Более подробный анализ понятия адекватности ММ приводится в работе [6]. Так, в работе [6] приведено определение: «под адекватностью модели понимают соответствие результатов, полученных на модели, поведению реального объекта». Основным методом проверки является выполнение численного эксперимента и сравнение его результатов с данными натурного эксперимента. Также в работе [6] приводятся основные критерии адекватности математической модели: «для адекватности ММ поведению оригинала достаточно убедиться в выполнении двух свойств: точности и непротиворечивости».

Результаты экспериментальной проверки адекватности ММ ИР приведены в работе [7]. Указывается, что «первоначальная математическая модель рабочего процесса инерционного расходомера непротиворечива и даёт верное качественное описание процесса». Вместе с тем в работе [7] указано и на обнаруженные несовершенства ММ: «первоначальная математическая модель рабочего процесса инерционного расходомера не даёт верного количественного описания рабочего процесса, то есть не обладает в достаточной мере свойством точности». Как следствие, приведён следующий вывод: «ММ ИР требует уточнения и совершенствования». Целью настоящей статьи является описание способа совершенствования ММ ИР.

Описание опытной установки для проведения натурных экспериментов

Для изучения инерционного способа измерения и проверки адекватности разработанной ММ в ООО НПО «НТЭС» был спроектирован и изготовлен экспериментальный (макетный) образец расходомера. Схема макетного образца представлена на рисунке 1.

Принцип действия экспериментальной установки соответствует описанию ИР. Поток, движущийся по основному трубопроводу 1, называется основным, поток, поступающий из дополнительного трубопровода 4 или отводящийся в него, называется дополнительным. Поршень 5, установленный с минимальным зазором в цилиндрической расточке дополнительного трубопровода, приводится в движение за счёт кривошипа 6, связанного с валом мотор-редуктора (на схеме не показан). На валу кривошипа 6 имеется устройство для создания метки углового положения привода, состоящее из диска опорного сигнала 7 с прорезью 9, оптического датчика 8 наличия прорези. При вращении вала кривошипа 6 с постоянной угловой скоростью ш поршень 5 совершает гармонические колебания с той же частотой ш и амплитудой A, равной плечу (эксцентриситету) кривошипа 6. Диск 7, жёстко связанный с валом кривошипа 6, также вращается с угловой скоростью ш. При вращении диска 7 прорезь 9 в определённых положениях вала кривошипа 6 становится напротив оптического датчика 8, генерирующего электрический импульс, сигнализирующий о наличии прорези - создаются временные отметки, фиксирующие определённое положение вала кривошипа 6 и границы кинематических циклов (тактов). Информационные сигналы Ap¡, Ap2, Ap3 измеряются на соответствующих участках при помощи датчиков перепада давления, имеющих аналоговый токовый выход 4 - 20 мА.

Рис. 1. Схема макетного образца инерционного расходомера. 1 - основной (прямой) участок трубопровода, 2, 3 - камеры массообмена, 4 - дополнительный трубопровод, 5 - поршень, 6 - привод (кривошип), 7 - диск опорного сигнала, 8 - оптический датчик наличия прорези, 9 - прорезь в диске, 10, 11, 12 - датчики разности давлений

Рис. 2. Внешний вид макетного образца инерционного расходомера

Таким образом, набор информационных сигналов состоит из 4 сигналов: перепады давления Ap1, Ap2, Ap3, и импульсы положения привода - назовём их imp. Кроме того, поскольку процессы регистрируются во времени, существует ещё пятый источник информации - время, регистрируемое на часах записывающего устройства.

Внешний вид макетного образца инерционного расходомера представлен на рис. 2. Описание проверяемой ММ

В работе [3] показано, что математическая модель ИР на рис. 1 выражается формулами

Др^) = + m0 ^ + (1)

1 2S S2 2S2

Др 2 if )= F pLxn, (2)

АРзСО = рЦг'" т (3)

где ¥п, S - соответственно, площадь поршня, площадь трубопровода, т0, р - массовый расход и плотность жидкости, ш - угловая частота колебаний поршня, I - время, хп, хп - скорость и ускорение поршня, соответственно.

Знаки перед слагаемыми в формулах (1) - (3) соответствуют прямой полярности подключения датчиков перепада давления, когда по течению потока приёмник плюсовый подключается выше приёмника минусового.

Методика проведения экспериментов

В процессе проведения экспериментов макетный образец инерционного расходомера подключается к стенду для градуировки, поверки расходомеров, производится опытная проливка на воде и жидкости с повышенной вязкостью (глицерин), сбор исходных данных. Для инерционного расходомера исходные данные - сигналы перепада давления на датчиках перепада Ар^), Ар2(^, Ар3() Экспериментальные данные сопоставляем с моделированными значениями сигналов, полученными в результате вычислительных экспериментов по формулам (1) - (3). На данном этапе исследования нас интересует совпадение формы натурных и моделированных сигналов, а также совпадение величин сигналов перепада давления.

Параметры жидкостей, используемых при проведении натурных экспериментов:

1) вода, температура +20°С, плотность 998 кг/м3, кинематическая вязкость ~ 1 мм/с2;

2) раствор глицерина, температура +20°С, плотность 1230 кг/м3, кинематическая вязкость ~ 120

мм/с2.

Результаты проведённых натурных и численных экспериментов

Результаты экспериментов представлены в виде графиков натурных и моделированных сигналов: для экспериментов на воде на рис. 3, для экспериментов на глицерине на рис. 4.

Из графиков на рисунках 3, 4 видно качественное совпадение формы натурных и моделированных сигналов. Совпадают участки возрастания и убывания функций, периоды колебаний и моменты экстремумов. Следовательно, рассматриваемая ММ даёт качественно верное описание рабочего процесса ИР. Также при тестировании макетного образца расходомера было выявлено количественное несоответствие моделированных сигналов и реально возникающих при работе расходомера величин перепада давления. Наблюдаем отклонение величин перепадов давления при совпадении формы сигналов. Кроме того, видно, что величина отклонения моделированного сигнала от натурного сигнала в экспериментах на глицерине больше, чем в экспериментах на воде. Очевидно, что используемая в численных экспериментах первоначальная ММ неточно описывает рабочий процесс ИР, и степень отклонения от адекватности зависит от параметров измеряемой жидкости. Поэтому в данной работе делаем попытку разобраться в причинах этого количественного несоответствия и найти способ преодолеть его.

Сигналы при расходе 1.119 кг/с. вода

ч ч

20000

15000

10000

5000

-5000

-10000

dp2 ft 6 \ ,l.yv ipi Цл |л

С ¡10,5 гЦ и 2 2^3 j 3.5 N

/ dpi \

-dpi, Па

-dp2, Ра

-dp3, Ра

-imp_K

-dpljmodel

-dp2_model

— dp3_model

Рис. 3. Вид сигналов ИР при измерении на воде, расход 1,119 кг/с. Эксперименты проведены согласно схеме на рис. 1

Вид сигналов при измерении на глицерине: расход 1.155 кг/с

8000

—dpi

-dp3

-imp

— dp1_model

— dp3_model

Рис. 4. Вид сигналов ИР при измерении на глицерине, расход 1,155 кг/с

Гипотеза о причинах неточности ММ

Делаем предположение, что причина несовпадения количественных значений перепадов давления натурных и моделированных сигналов состоит в неравномерности поля скоростей в поперечном сечении трубопровода. Очевидно, что для маловязкой жидкости (вода) режим течения близок к турбулентному, а для вязкой (глицерин) - к ламинарному. Так, для ламинарного режима течения жидкости ([8], с. 144) имеем параболический закон распределения скорости (рис. 5), в то время как для турбулентного режима течения - профиль скоростей, близкий к равномерному (рис. 6).

Профиль скоростей на рисунке 5 (характерный для глицерина) заметно отличается от однородного, в то время как профиль скоростей на рис. 6 (характерный для воды) в меньшей степени отличается от однородного. Мы имеем в данном случае зависимость локальной скорости жидкости на линии тока от положения линии тока, то есть её расстояния от центра трубопровода. Первоначальная ММ ИР, выражаемая формулами (1) - (3), разработана в предположении об однородном поле скоростей в сечении трубопровода. Следовательно, первоначальная ММ, рассматривающая одномерное течение, может описывать рабочий процесс ИР с большими погрешностями именно по причине отклонения профиля скоростей от однородного.

Рис. 5. Профиль скоростей при ламинарном течении жидкости в круглой трубе. Изображение взято в [8, с. 144]

Рис. 6. Профиль скоростей при турбулентном течении жидкости в круглой трубе. Изображение взято в [8, с. 144]

Рис. 7. Изменение равномерного профиля скоростей при взаимодействии основного и дополнительного

потоков. 1 - периферийный кольцевой слой, ограниченный цилиндрическими поверхностями радиусами г и г+ёг, 2 - ядро течения, то есть слой, окружающий ось трубы, и имеющий малый радиус г0

Далее, перед нами встаёт следующий вопрос. Если при экспериментах на воде имеем турбулентный режим течения и профиль скоростей в сечении близок к равномерному (рис. 6), то почему и в этом случае имеем значительные отклонения моделированных и натурных сигналов (рис. 3)? Делаем следующее предположение, что профиль скоростей основного потока при взаимодействии с дополнительным потоком изменяется, даже если изначально он был равномерным. Рассмотрим следующие рассуждения (рис. 7).

Для слоя 1 радиальные скорости дополнительного потока на входе в слой и на выходе из него примерно равны: увх1 ~ увых1. Для слоя 2 на входе в слой имеем уех2, а выхода из слоя 2 нет: увых2 = 0. Следовательно, в центре потока имеем сток радиальной скорости дополнительного потока. Поскольку стока вещества в данном случае нет, то вследствие условия неразрывности дополнительный поток преобразуется в рост осевой скорости жидкости преимущественно в центральной части сечения.

Таким образом, приходим к выводу, что профиль скоростей потока обладает неравномерностью в той или иной степени, что осложняет рассмотрение задачи в одномерной постановке. Поясним данное положение примером. Сравним количество движения, рассчитанное по средней и по фактической скоростям для потока с ламинарным режимом течения, профиль которого показан на рис. 5. В работе [8] для такого потока приведена зависимость локальной скорости на линии тока от расстояния линии тока от оси трубы:

'i - 4А

R2

U(r ) = U mx

V ^ J

где r - расстояние линии тока от оси трубопровода; R - радиус сечения трубопровода;

umax - максимальная скорость на линии тока, проходящей через ось трубопровода; u(r) - локальное значение скорости. Найдём значение средней скорости

(4)

u„„ = — J u(r)dS .

* Ss

Подставляя выражения (4) и ds=2nr dr, S=nR , получаем после преобразований

u = — u . (5)

ср 2 max v '

Определим количество движения (импульс) потока по фактической и по средней скоростям, сравним их.

Импульс по фактической скорости равен

R f „2 Л

Рф =jpu2(r)ds = p$uL 1 --zr •24 r •dr = тpu2axr2. (6)

5 0 V R ) 3

Импульс по средней скорости равен, с учётом выражения (5):

Рр =К S = Р^2 Umax ] •^R2 = f PU^ R2. (7)

Соотношение между величинами импульсов, взятыми по средней и фактической скоростям, рав-

но:

% uLR2 3

^ = 4-= - = 0,75 * 1. (8)

Рф 4p u 2 R2 4

3 И *~max

Как видим из выражения (8), количество движения ламинарного потока, вычисленное по значению средней скорости, заметно меньше фактического количества движения этого потока. Как следствие, значения перепадов давления, вычисленные по первоначальной ММ, меньше фактических значений, полученных в результате натурных экспериментов.

Способ получения расчётной схемы потока

Предлагается способ схематизации потока, подходящий для любого профиля скоростей (рис. 8).

Рис. 8. Получение расчётной схемы потока для любого профиля скоростей: • а) профиль скоростей ламинарного режима потока; б) гипотетический профиль скоростей,

• наблюдаемый в камере с подачей дополнительного потока в центральную часть сечения с радиальной

скоростью, направленной от оси трубопровода; в) расчётная схема потока для любого профиля

Весь поток, движущийся по сечению условно делится на две части. Считаем, что одна часть сечения занята покоящейся жидкостью, имеющей нулевую скорость, а другая часть сечения занята жидкостью, движущейся со скоростью и:

т , ч

и =-, (9)

р- кО

где т - массовый расход жидкости; р - плотность жидкости;

5 - площадь поперечного сечения трубопровода; к - коэффициент эффективной площади, к < 1. В соответствии с этим коэффициент эффективной площади обозначает ту часть площади, по которой, в соответствии с принятой расчётной схемой, движется жидкость.

Назовём полученную скорость и эффективной скоростью жидкости в сечении, в отличие от средней скорости:

1 г , % т

иср =-| и(г^ = — . (10)

о о р

где и(г) - местная скорость на линии тока, находящейся на расстоянии г от оси трубы.

Понятие средней скорости непригодно для проведения анализа, связанного с неоднородностью профиля скоростей, поскольку никаким образом не отражает степень неоднородности скорости по сечению.

Поэтому для учёта неравномерности профиля скоростей мы будем пользоваться именно эффективной скоростью, полученной в соответствии с формулой (9). Из выражений (9) и (10) видно, что коэффициент эффективной площади к равен соотношению между средней и эффективной скоростями:

™ иср /ил

и ф =—г^ = -г, (11)

р- кЬ к

где иэф - эффективная скорость.

Значение коэффициента эффективной площади к выбираем исходя из того, каким условиям должна удовлетворять получающаяся в результате схематизации эффективная скорость. Так, если для некоторой задачи важна сама величина скорости, то целесообразно приравнять эффективную скорость к средней скорости потока, при этом получаем к =1.

В случае же рассмотрения задачи об ИР для корректного описания рабочего процесса важна не величина скорости, а величины перепадов давления Ар1, Ар2, Ар3, возникающие на тех или иных участках, поскольку именно эти величины перепадов давления несут измерительную информацию. Для того чтобы значение перепада давления Ар, возникающего при том или ином динамическом воздействии на жидкость, для модели (или расчётной схемы) совпадало с реальным процессом, необходимо обеспечить совпадение количества движения (импульса) реального потока и его расчётной схемы, поскольку именно количество движения и его изменение являются количественной мерой силового воздействия - разности давлений.

Обратимся опять к примеру на рис. 5. Строим для него расчётную схему потока по описанной выше методике. Определим коэффициент эффективной площади при условии эквивалентности количества движения потока.

Задаём Зэф = кЗ, где коэффициент эффективной площади к - пока неизвестная величина.

Эффективная скорость

ир и

и эф = — = — . (12)

эф к 2к

Находим импульс потока по эффективной скорости:

рэф =р и1фs эф =^p ul r 2. (13)

'2 О _

° ' = 4к

Приравнивая рф=рэф (формулы (6) и (13)), находим искомый коэффициент к для ламинарного режима течения:

к =

4

Приведённый пример показывает, что для течения с любым распределением скоростей в сечении трубопровода можно подобрать значение коэффициента к такое, чтобы импульс расчётной схемы потока совпадал с фактической величиной импульса потока.

Вывод формул ММ с учётом коэффициента эффективной площади

Будем считать вначале коэффициент к зависящим от времени, поскольку естественно предположить, что при изменении дополнительного потока Qдоп = коэффициент к также будет меняться. Проведём вывод уравнений с учётом функции к(0. При выводе уравнений используем следующие допущения:

- после схематизации поля скоростей в соответствии с приведённой методикой рассматривается одномерная схема течения жидкости;

- жидкость считается идеальной, невязкой и несжимаемой;

- для получения уравнения движения жидкой частицы используется уравнение Эйлера:

1 др ди ди ---— = — + и—, (14)

р дх д1 дх

где р - плотность жидкости, р - давление, и - скорость, I - время, х - координата вдоль линии тока. В результате вывода приходим к следующим формулам для перепадов давления:

Api(t) =

k ( m0 Lx pFXn Lx ^ pFXn Lx

S

■ +

2S

+ ■

+ m

Fx„

+ P

(Fxn )2

2kS 0 (kS)2 2(kS)

^P2(t ) = -~r

k (m0L2 pFXnL

S

+ -

S

+p

APs(t ) = -~T

k ( m0 L3

, PFXn L3 V PFXnL

S

+

2S

+

FXn L2

kS Fx.

... pFl

2kS 0 (kS)2 P 2(kS)2

- m

(15)

(16) (17)

где к - значение коэффициента эффективной площади,

к = — - производная функции к(0 по времени,

3 - площадь поперечного сечения трубопровода, Е - площадь поршня,

Ь1, Ь2, Ь3 - длины участков согласно рис. 1, р - плотность жидкости,

т0 - массовый расход основного потока жидкости, хп - скорость поршня, хп - ускорение поршня.

Таким образом, получены формулы усовершенствованной ММ ИР, учитывающие неоднородность поля скоростей в сечении трубопровода за счёт применения коэффициента эффективной площади к. Значения коэффициента к или функции к(0 будем подбирать таким образом, чтобы величины моделированных сигналов Лр(0 совпадали с соответствующим сигналами, полученными из натурных экспериментов.

Выводы

1. Первоначальная математическая модель инерционного расходомера, основанная на предположении об однородном поле скоростей в сечении трубопровода, даёт верное качественное описание рабочего процесса, но не даёт удовлетворительного количественного описания.

2. Сделано предположение о причине неудовлетворительного количественного описания первоначальной математической модели. Предполагается, что причина заключается в неоднородности поля скоростей жидкости в поперечном сечении трубопровода.

3. Предложен способ, позволяющий рассматривать в одномерной постановке течение с неоднородным полем скоростей в трубопроводе, с учётом степени неоднородности. Введены понятия эффективной скорости и коэффициента эффективной площади.

4. Получены расчётные формулы усовершенствованной математической модели с учётом коэффициента эффективной площади.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Майоров Е. В., Онищук В. А. Об инерционном способе одновременного измерения массового расхода жидкости и её плотности // Прикладная физика. 2005. №6. С. 18-23.

2. Жиляев О. В., Ковальногов В. Н. Анализ нового способа силового измерения массового расхода и плотности жидкости // Автоматизация процессов управления. 2020. №3(61). С. 21-30.

3. Жиляев О. В. Инерционный способ измерения расхода и плотности среды // Вестник Ульяновского государственного технического университета, 2019. №1 (85). С. 22-31.

4. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

5. ГОСТ 24026-80. Государственный стандарт Союза ССР. Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. Research tests. Experiment planning. Terms and definitions. М.: Издательство стандартов, 1991.

6. Кубланов, М. С. Проверка адекватности математических моделей // Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. 2015. №211(1). С. 29-36.

7. Жиляев О. В., Ковальногов В. Н. Экспериментальная проверка адекватности математической модели инерционного расходомера // Автоматизация процессов управления. 2022. №1(67). С. 68-79.

8. Савельев И. В. Курс физики: Учебник: В 3 ч т. Т. 1: Механика. Молекулярная физика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 352 с.

Информация об авторах

О. В. Жиляев - аспирант кафедры «Тепловая и топливная энергетика» Ульяновского государственного технического университета. Младший научный сотрудник лаборатории междисциплинарных проблем энергетики Департамента научных исследований и инноваций Ульяновского государственного технического университета. Окончил факультет «Специальное машиностроение» Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана. Имеет статьи и изобретения в области измерения и учёта жидкости;

В. Н. Ковальногов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Тепловая и топливная энергетика» УлГТУ. Окончил Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина. Имеет статьи, монографии, изобретения и научные работы в области математического моделирования, исследования и оптимизации тепловых и гидрогазодинамических процессов в приложениях к проблемам создания энергетического оборудования и теплотехники, транспортной энергетики и энергомашиностроения.

REFERENCES

1. Mayorov E. V., Onishchuk V. A. Ob inercionnom sposobe odnovremennogo izmereniya massovogo raskhoda zhidkosti i eyo plotnosti [On the inertial method of simultaneous measurement of the mass flow rate of a liquid and its density]. Prikladnayafizika [Applied Physics]. 2005, No. 6, pp. 18-23.

2. Zhilyaev O. V., Kovalnogov V. N. Analiz novogo sposoba silovogo izmereniya massovogo raskhoda i plotnosti zhidkosti [Analysis of a new method of force measurement of mass flow and density of liquid]. Avtomatizaciyaprocessov upravleniya [Automation of management processes]. 2020, No. 3(61), pp. 21-30.

3. Zhilyaev O. V. Inercionnyj sposob izmereniya raskhoda i plotnosti sredy [Inertial method of measuring the flow rate and density of the medium]. Vestnik Ul'yanovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Bulletin of Ulyanovsk State Technical University], 2019, No. 1 (85), pp. 22-31.

4. Samarskiy A. A., Mikhailov A. P. Matematicheskoe modelirovanie: Idei. Metody. Primery [Mathematical modeling: Ideas. Methods. Examples]. 2nd ed., ispr. M., Fizmatlit, 2001, 320 p.

5. GOST 24026-80. Gosudarstvennyj standart Soyuza SSR. Issledovatel'skie ispytaniya. Planirovanie eksperimenta. Terminy i opredeleniya. Research tests. Experiment planning. Terms and definitions. [The state standard of the USSR. Research tests. Experiment planning. Terms and definitions. Research tests. Experiment planning. Terms and definitions]. Moscow, Izdatel'stvo standartov [Publishing House of Standards], 1991.

6. Kublanov M. S. Proverka adekvatnosti matematicheskih modelej [Verification of the adequacy of mathematical models]. Nauchnyj vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta grazhdanskoj aviacii. [Scientific Bulletin of the Moscow State Technical University of Civil Aviation]. 2015, No. 211(1), pp. 29-36.

7. Zhilyaev O. V., Kovalnogov V. N. Eksperimental'nayaproverka adekvatnosti matematicheskoj modeli inercionnogo raskhodomera [Experimental verification of the adequacy of the mathematical model of an inertial flowmeter]. Avtomatizaciya processov upravleniya [Automation of control processes]. 2022, No. 1(67), pp. 68-79.

8. Savelyev I. V. Kurs fiziki: Uchebnik [Course of physics: Textbook]: In 3 hours T. T. 1: Mekhanika. Molekulyarnayafizika [Mechanics. Molecular physics]. Moscow, [Nauka. Gl. ed. phys.-mat. lit.], 1989. 352 p.

Information about the authors

O. V. Zhilyaev - Postgraduate Student at the Department of Heat and Fuel Energetic of the Ulyanovsk State Technical University. Graduated from the Faculty of Special Machine Building of the Bauman Moscow State Technical University. Junior researcher in the laboratory of interdisciplinary problems of energetic of the

Department of scientific researches and innovations of the Ulyanovsk State Technical University. An author of articles and inventions in the field of liquid's measuring;

V. N. Kovalnogov - Doctor of Sciences in Engineering, professor, the head of Department of Heat and Fuel Energetic of Energetic Faculty of the Ulyanovsk State Technical University. Graduated from the Ulyanov-Lenin Kazan State University. An author of articles, monographs, inventions in the field of mathematical modeling, research and optimization of heat, gas and hydrodynamic processes in applications to the problems of creation energy equipment, heat equipment, transport energetic and energy machines.

Статья поступила в редакцию 20.04.2022; одобрена после рецензирования 30.04.2022; принята к публикации 20.05.2022.

The article was submitted 20.04.2022; approved after reviewing 30.04.2022; accepted for publication 20.05.2022.