МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ГОТОВНОСТИ ОБРАЗЦА РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-5-111-119

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ГОТОВНОСТИ ОБРАЗЦА РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ

К.П. Масюков, Д.Ю. Коновалов

Проанализированы этапы разработки опытных образцов радиоэлектронных средств (РЭС) и эксплуатации серийных образцов в различных сферах использования, варианты последовательности выполнения операций, уровни функциональной готовности РЭС, в зависимости от применения и назначения. Целью работы является проектирование рациональной и оптимальной технологичности профилактического воздействия функционально значимого образца РЭС. Кроме того, определить (назначить) такую последовательность проведения вида ПО, которая обеспечивает поддержание требуемого уровня его готовности к функциональному применению в произвольный момент времени на интервале проведения ПО при минимальных затратах при известных количестве и содержании операций (проверок) ПО, совокупности возможных средств ПО, при заданном уровне поддержания функциональной готовности, совокупности возможных по технологическим ограничениям вариантов проведения ПО и установленной максимально допустимой продолжительности ПО.

Ключевые слова: система обработки технической информации, радиоэлектронные средства, функциональная готовность, система обработки технической информации и функциональности.

Решая пошаговую задачу построения аппаратуры функциональной и прогнозируемой готовности РЭС, важнейшим является этап построения детерминированной или частично определенной системы и ее алгоритма функционирования [1]. Под детерминированной будем понимать такую систему обработки технической информации и функциональности (СОТИФ), которая, с одной стороны, полностью определяется заданным числом видов воздействий с установленным объем предупредительных операций и программой тактов обработки, определяющей очередность и время проведения каждого из видов воздействий. С другой стороны, предусматривает возможность изменения числа и объема операций в зависимости от функционального состояния (ФС) образца. Предполагается, что детерминированная СОТИФ остается неизменной на протяжении всего рассматриваемого периода целевого применения образца.

Построение алгоритма детерминированной системы функционально-технической готовности образца радиоэлектронных средств. В большинстве случаев, действующий в настоящее время для больших системных РЭС, комплекс обработки информации относится к классу планово-предупредительных [2, 3, 6]. Одной из задач, решение которой рассматривается ниже, является задача определения элементов такой системы, отвечающих требованиям максимальной средней удельной эффективности и функциональной готовности.

Кроме того, моделирование детерминированной системы обусловлено необходимостью сравнительной оценки эффективности с оптимальной СОТИФ. Введем обозначения: Ьто - число видов технических воздействий; Nto - число воздействий, выполняемых в течение одного цикла управления; рдтоЩ - массив, определяющий программу проведения воздействий в течение одного цикла; элемент рдтоЩ определяет номер вида воздействия, который выполняется j-м в цикле управлений (j = 1, ..., Nto); ТдтоЩ - интервал времени между (j - 1)-м и j-м тактами обработки в программе цикла;

Одто[1, у] - массив, определяющий состав операций, выполняемых при различных видах воздействий; если Одто > 0, то Одто[/, у] - это номер операции, которая должна выполняться при 1-м виде воздействия (/ = 1, ..., Ьто, г = 1, ..., п).

Итак, детерминированная система состоит из периодически повторяющихся циклов, в каждом из которых по жестокой программе Рдто^ через интервалы Тдто [/] выполняются Ыто воздействий Ьто видов [4, 5].

На рисунке приведена структурная схема алгоритма, осуществляющего моделирование детерминированной СОТИФ. Рассмотрим работу этого алгоритма.

Оператор 1 осуществляет ввод исходных данных: Ктах - заданное количество воздействий управления функциональностью, которое должно быть выполнено в процессе моделирования; п - число обрабатываемых элементов образца РТС; т - число интервалов, на которых осуществляется прогнозирование операционных воздействий; ^тах - интервал времени, ограничивающий максимальную периодичность между очередными воздействиями; А - интервал дискретности, определяющий точность определения моментов проведения предупредительных работ; д - интенсивность восстановления функциональности образца.

В данном алгоритме предлагается, что время восстановления функциональности подчинено экспоненциальному закону распределения и не зависит от номера отказавшего элемента. Такое допущение представляется несущественным для целей моделирования и введено лишь для сокращения максимального времени ¿тах. Кроме того, вводятся переменные Ьто, Ыто и массивы Рдто[/], Тдто[у] и Одто [/, г].

( вход

Ввод исходных данных

I- 2

м-

Г 3

к 0; tt:= 0; 1р :- 0;

х(1-и<1); •а-.о^иъ* о

ГТ 6

X

Блок генерирования (ввода) статистических данных Лэш, /пар

п 1

Блок формирования эмпирического компонента/*(У)

Формирования массива X[',./] с учетом проведения ТО 1-го вида в момент к

I_

7 = 1,...,Л/ + 1

17

- 10 1

Т.= ТДТО[1р+1]

■ 11

Вычисление \¥(Т) и КИТ)

12

Накапливание статистики

Формирование и вывод результатов

^ ВЫХОД ^

Алгоритм моделирования детерминированной системы обработки информации и функциональности

Оператор 2 определяет число М дискретных значений в интервале (0, ^тах), ДЛЯ которых вычисляются значения интенсивностей отказов Ь[/, у] (/ = 1, ..., п, у = 1, ..., М + 1).

Оператор 3 формирует начальные нулевые значения переменных: К - текущий номер моделируемого технического воздействия; tk - время выполнения К-го технического воздействия; 1р - порядковый номер такта обработки в цикле;

1то I]- время выполнения технической обработки /-го элемента (/ = 1, ..., п).

Оператор 4 формирует очередные значения переменных К, 1р, tk и Ь, где Ь - номер вида текущего технического воздействия.

Оператор 5 формирует текущее состояние множества 1то [']с учетом того, что в

текущий момент времени tk выполнены операции такта обработки: О/еОДто.

Операторы 6 и 7 осуществляют генерирование статистических данных 1отк и 1пар на интервале (0, tk) и вычисление эмпирической плотности ).

Оператор 8 формирует массив апостериорных интенсивностей отказов

Ь [/, 7].

Оператор 9 формирует массив Лз[/] суммарной апостериорной интенсивности отказов образца, который используется при вычислении показателей Ж(-) и Кг(-).

Оператор 10 определяет значение Т времени до следующего (К+1)-го такта обработки.

Оператор 11 вычисляет значение показателей Ж^) и Кг() на интервале времени (^К tk+Т). Вычисление производится в соответствии с математической моделью по формулам (1) - (5):

ж(т)=1 - Тв ^ С1 ТТО С2; (1)

'В Е=[1 - Ро (t)]• т, (2)

т)=и Рот, (3)

т о

где P0(t) - определяется решением дифференциального уравнения:

х Ро(*); (4)

dPо(t) = м-

ж

м +Х А (t / tk) . /=1 -

Чо е = е ТтО [ ]. (5)

1ОО"р

Оператор 12 накапливает статистику, необходимую для нахождения средних значений и среднеквадратических отклонений для показателей Ж(-) и Кг( ).

Оператор 13 проверяет условие окончания моделирования, если К < Ктах, то моделирование продолжается.

Оператор 14 формирует новое значение tk.

Операторы 15 и 16 формируют новое значение 1р. Если К = Ктах, оператор 17 формирует и выводит результаты моделирования.

Математическая адаптивная модель формирования апостериорных данных. Для формирования массива суммарной апостериорной интенсивности отказов образца применяются модели теории оптимальных статистических решений в адаптивном варианте решения [6]. В тех случаях, когда априорные статистические сведения значений случайного процесса и параметров неопределенности, т.е. распределение Р(йхйу), определяющие вид оптимальных преобразований и = у( у) по алгоритму минимального риска , не являются полностью известными, применяется адаптивная разновидность теории.

В этом случае априорная неопределенность полагается частичной, сконцентрированной в параметрах а. И вместо известного распределения P(dxdy) теперь мы будем использовать известную функциональную зависимость P(dxdy|а) распределения

от известного параметра или параметров а. Такое предположение, носит временный, пробный характер и в дальнейшем подвергается изменению.

Но на стартовом этапе моделирования эту введенную гипотезу полагаем выбранной и неизменной, т.е. семейство распределений P(dxdy |а) известным и фиксированным. А критерийные риски определяются функцией стоимости c(u, x).

Меры, которые нужно прикладывать, чтобы преодолеть априорную неопределенность, например оценить параметры а распределения P(dxdy |а), мы называем самонастраиванием и приспособлением.

Для расширения априорных сведений используется наблюдение (кроме основных у) вспомогательных параметров, которые обозначаются у. Совокупность (у, %)

можно обозначить одной буквой п. Оценка величины требуемого параметра u тогда будет записана так:

u = Y( У,~у) = Y(n). (6)

В этом случае должна быть известна не только функциональная зависимость P(dxdy а), но и зависимость P(dxdydy |а), т.е. условная вероятность распределения составляющих случайного процесса потока информационных величин. В этом случае , если задаться некоторым распространенным распределением P(du) для неизвестных

параметров а, то адаптивная задача сведется к первоначальной неадаптивной байесо-вой задаче теории оптимальных статистических решений, но сопровождающейся увеличением числа компонент.

Действительно, вместо у рассматривается п = (У, ~), вместо распределения

P(dxdy) берется

P(dxdydy) = J P(dxdydy | а) P(d^, (7)

где интегрирование ведется по параметрам а .

Получается адаптивный вариант не в абсолютном смысле, а в относительном -по отношению к первоначальному неадаптивному варианту. Хотя, безусловно и существует зависимость результата от произвольного выбора закона распределения P(dа),

но в целом она асимптотически слабая. Весьма более важным является наличие большого параметра N - число независимых наблюдений, который должен быть таким, что при предельном переходе N^ го указанная зависимость от произвола в выборе P(da)

исчезает [7].

С другой стороны, возможны и некоторые варианты решения адаптивной задачи, при которых априорное распределение P(da) вообще не вводится. А решение принимается на основании принципа наибольшего правдоподобия.

Алгоритм обработки полагается оптимальным алгоритмом (6), если он минимизирует средние риски.

R(. |а) = J c(y(n), x) P(dxdx\o), (8)

где а - истинное значение параметра. Поскольку оно неизвестно, нельзя искать (6) непосредственно при помощи минимизации

J c(u, x) P(dx\п, а) = min R(- |а) (9)

u

Чтобы преодолеть эту трудность, будем вместе с оценкой (6) искать оценку неизвестного параметра а :

а = у(п) (io)

114

Если расхождение, между истинным и оценочным а: Da = а - а, то (9) принимает вид:

Т c(u, х) P(dxa + Da)=min. (11)

Предполагая параметр (или параметры) а непрерывным (непрерывными), а распределение P(dxdn|a) - дифференцируемым по нему, произведем в (11) разделение в оценочной точке

т c(u, х) P(dxа) + S = min (12)

где

S =fc(u,х)SP(dXП'а+еАа) Да (13)

5а

О<0<1.

Выбирая оценку а = у(п) так, чтобы средне модульная добавка (13) была минимальна,

можно минимизацию (11), (12) заменить на более простую:

т c(u, х) P(dx|п, а) = min (14)

которая в отличие от (9) является уже выполнимой.

Для обеспечения малости S в смысле среднего модуля из (13) имеем:

dP(dx\п, а + ©Да)

M|S| < M<

J c(u, x)-

|Да| \. (15)

Эа

Знак неравенства соответствует случаю векторного параметра а, т.е. многомерному случаю. Используя известное неравенство Коши-Буяновского:

(М^2)1/2(М^)1/2, (16)

из (15) имеем

-1/2

M|S| <

M

Jc(u, х)

2

5P(dr|п, а +©Да) ^

5а у

[M (Да)2]1/2. (17)

Таким образом, добавка £ мала, если мал средний квадрат отклонения М^а)2. Понимая под М в (15) усреднение с весом Р(—п|а), получим:

М (Да)2 = {[у(г|Г|- а]2 Р(—п|а). (18)

Оценку а = у(п) поэтому целесообразно выбирать такой, чтобы она минимизировала выражение (18) по возможности одновременно для различных значений а. Таковыми оценками являются оценки максимального правдоподобия, находимые из уравнения максимизации Р(—П а)= тах, т.е. из уравнения:

' а

—1п Р(—Па) = 0 (19)

—а

Итак, сначала при помощи уравнения (19) оцениваются неизвестные параметры а. Затем эти оценки подставляются в формулу (14), для дальнейших вычислений минимального риска.

Конкретизируем решение, применительно к рассматриваемому адаптивному варианту детерминированной задачи. Какую же оптимальную оценку для ХТ нужно

брать в адаптивном случае, когда истинное значение параметра в является неизвестным? Согласно введенной терминологии рассматриваемая адаптивная задача относится к типу задач с безнадзорным обучением [8-10]. Параметр в исчерпывает в данном слу-

чае все неопределенные параметры а, рассмотренные выше. В более общем случае к числу параметров а можно отнести также параметры диффузного коэффициента Б и числа независимых наблюдений Ы, если они неизвестны, а также и другие параметры.

Рассматривая оба способа «преодоления априорной неопределенности». Первый способ заключается в фиксации некоторого априорного распределения Р(^а) = , например экспоненциального распределения

р(Р)= — е- р/а°,Р > 0.

(20)

Тогда оптимальная среднеквадратичная оценка ут (у), являющаяся апостериорным средним, имеет вид:

Ут (у0т )= М (Хт|у0т). (21)

Для дальнейших формулировок обратимся к соотношениям определения последних значений диффузного случайного процесса, включающие последнее значение параметра:

кт = М (кт

у° ,Р) =

Б

N (V + р) {()

т- V(T ^')

а также апостериорное распределение вероятностей:

т I 1 р(к0 /р) = ехР1^Яр1п

1

2жЫ

(1 - В)

у1• М,

1 ут (1 - В)у!

2 N

где

В = —(А + —)-1= (ЫА + 1)- \ N N

Последнее после вычисления следа матрицы Яр 1П

2жN

(1 - В)

(22)

(23)

(24)

приобретает

вид:

с весом

м(кт|у°т)= т м(кт ут,р)р(р|ут)¿Р

р(Р) р(¥° |Р) ¿Р

р(кт0 /р)«ехр|Кт + 1т(в -V)-2-+ 'у^й'!. (25)

I 2 2Ы 2vN )

где К - расходящаяся константа, без физического значения.

Не сложно получить условное среднее (21) из соотношения (22) последнего значения диффузного случайного процесса, путем дополнительного усреднения

■ " ■ (26)

(27)

(28)

(29)

(30)

р(Р| ут) ¿в

р(Лут°)

где

Р(^уТ )= тр р(Р)Р(^уст |РМР.

Используя (20), (25), вычисление распределения (27) дает:

р(Р

у1) = С-1 ехр^Р - V) - ± + 0 V|' ,

где

С =£° ехр<!-2(Р - V) - ^ + 0 " Vl' ' Ц.

Подставляя (29), (30) в (26) получаем решение рассматриваемой адаптивной задачи первым способом.

0

1

При решении задачи способом наибольшего правдоподобия, не требуется задания априорного распределения типа (20). При этом способе не производится усреднение по в алгоритма (22), а производится подстановка в него в качестве в = в оценочного значения в(у). Следовательно, алгоритм уТ(y^) имеет вид:

YT(УТ)=-т Tei(T-')ytdt, v2 = в2 + D. (31)

Т 0 ^(V+в) 0 N

Оценка в = в( У) - оценка максимального правдоподобия, получается при помощи распределения (25), т.е. максимизацией:

\ G D} D ТТ -Jв2+D/Nit-t'l (32)

в -Л в +77 + 2 I 2 i0 Jo е ' Wt'dtdt =max (32)

ч V N) N^в2 + D/N в

Действительно же, вместо максимизации по @ здесь, можно проводить максимизацию по v . Приравнивая к нулю производную по v, уравнение максимального правдоподобия можно записать в таком виде:

T2rr f ^

i(T ioVV|f1(1 + v|t - t\ytyt'didt^ = NT

V

-1

v2 + D / N

2

V

(33)

Корень v = V этого уравнения затем окончательно подставляется в (31).

Заключение. Таким образом, разработан алгоритм и математическая модель оптимальной СОТИФ, которая позволяет:

проводить исследование показателей качества и эффективности процесса адаптивного повышения надёжности образца радиоэлектронных средств;

определять параметры оптимальной СОТИФ в случаях, когда известна только априорная информация о безотказности элементов образца и когда дополнительно имеется апостериорная информация (/отк, /пар) о безотказности элементов, получаемая в процессе целевого применения образца радиоэлектронных средств.

Полученные результаты моделирования адаптивной СОТИФ показывают, что алгоритм оптимизации всегда приводит к установившемуся циклическому процессу профилактик, который является близким к оптимальному. Определяемые в процессе адаптации значения оптимальных параметров системы обработки повторяются в каждом цикле управлений. Таким образом, оптимальные СОТИФ РЭС принадлежат к классу планово-предупредительных стратегий, которые являются удобными на практике. Число видов воздействий в цикле существенно зависит от показателей безотказности образца, от распределения значений показателей безотказности между элементами, от затрат времени на выполнение операций профилактик.

Список литературы

1. Зубарев Ю.М. Основы надежности машин и сложных систем: учебник 2-е изд., стер. Санкт-Петербург: Лань, 2020. 180 с.

2. Аттетков А.В., Зарубин В.С., Канатников А.Н. Методы оптимизации: учебное пособие. М.: Риор, 2016. 48 с.

3. Шубин Р.А. Надёжность технических систем и техногенный риск: учебное пособие. Тамбов: Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2012. 80 с.

4. Зайцев М.Г. Методы оптимизации управления для менеджеров: компьютерно-ориентированный подход. М.: Дело АНХ, 2016. 312 с.

5. Схиртладзе А.Г., Уколов М.С., Сквордцов А.В. Надежность и диагностика технологических систем: учебник. М.: Новое знание, 2008. 518 с.

117

6. Ниворожкина Л.И., Арженовский С.В., Рудяга А.А. Статистические методы анализа данных: учебник. М.: Риор, 2018. 320 с.

7. Дудалев Г.В., Катюха Р.В., Куликов С.В., Пивкин И.Г., Демьянов А.В. Комбинированные методы синтеза автоматизированных интеллектуальных систем управления сложными техническими объектами // Наукоемкие технологии. 2018. № 10. С. 57-62.

8. Михеев Д.В., Масюков К.П., Коновалов Д.Ю. Характеристики качества оценивания координат техногенных космических объектов // Радиотехника. 2019. № 11(17). С. 59-65.

9. Масюков К.П., Коновалов Д.Ю., Куликов С.В. Особенности формирования алгоритма системы обработки информации на основе эмпирических данных // Опто-электроника и акустоэлектроника. 2020. Том 25, № 3. С. 65-71.

10. Масюков К.П., Коновалов Д.Ю. Математическая модель функциональной безотказности радиоэлектронных средств, учитывающая их прогнозируемое техническое состояние // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2021. № 4. С. 38-46.

Масюков Константин Павлович, канд. техн. наук, доцент, [email protected], Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского,

Коновалов Дмитрий Юрьевич, канд. техн. наук, доцент, duk2103@,ramhler.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского

MATHEMATICAL MODEL AND ALGORITHM FOR MODELING A DETERMINISTIC SYSTEM OF FUNCTIONAL AND TECHNICAL READINESS OF A SAMPLE OF

ELECTRONIC MEANS

K.P. Masyukov, D.Y. Konovalov

The stages of development of prototypes of radio-electronic means (RES) and operation of serial samples in various fields of use, options for the sequence of operations, levels of functional readiness of RES, depending on the application and purpose, are analyzed. The aim of the work is to design a rational and optimal manufacturahility of the preventive effect of a functionally significant sample of RES. In addition, to determine (assign) such a sequence of carrying out the software type that ensures the maintenance of the required level of its readiness for functional use at an arbitrary point in time during the software implementation interval at minimal cost with a known numher and content of software operations (checks), a set of possible software tools, at a given level of maintenance offunctional readiness, a set of options for conducting a software program that are possihle due to technological limitations, and a set maximum allowable duration of a software program.

Key words: technical information processing system, electronic means, functional readiness, technical information and functionality processing system.

Masyukov Konstantin Pavlovich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, St. Petersburg, Military space Academy named after A.F. Mozhaisky,

Konovalov Dmitry Yurievich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, St. Petersburg, Military space Academy named after A.F. Mozhaisky