CC BY
1
УДК 514.7 К. Л. ПАНЧУК
DOI: 10.25206/1813-8225-2024-192-14-21
EDN: PHLZOO Т. М. МЯСОЕДОВА
Е. В. ЛЮБЧИНОВ
Омский государственный технический университет, г. Омск
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ЦИКЛИЧЕСКОЙ И КАНАЛОВОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОГО ВРАЩЕНИЯ_
Настоящая статья является продолжением цикла работ авторов по вопросам формообразования поверхностей нелинейного вращения. Геометрическая схема формообразования поверхностей этого класса включает в себя: ось нелинейного вращения, представляющую собой гладкую, в общем случае пространственную кривую, и образующую линию, также гладкую пространственную кривую. При вращении образующей линии относительно криволинейной оси каждая точка образующей описывает окружностную траекторию в соответствующей нормальной плоскости оси вращения. В результате формируется поверхность нелинейного вращения, представляющая собой нормальную циклическую поверхность. В настоящей работе, с целью развития ранее полученных авторами результатов исследования в области формообразования поверхностей нелинейного вращения, рассмотрено решение обратной задачи формообразования и дано математическое обоснование возможности формообразования каналовой поверхности на основе решений прямой и обратной задач. В работе приведены числовые примеры формообразования рассматриваемых поверхностей, сопровождаемые математическими моделями поверхностей, их компьютерной реализацией. Результаты исследований могут быть полезными при разработке САПР, предусматривающих проектирование поверхностных форм изделий на основе циклических и каналовых поверхностей в машиностроении, строительстве, архитектуре и других практических областях.
Ключевые слова: нелинейное вращение, математическая модель, гладкость функции, формообразование, циклическая поверхность, обратная задача, ка-наловая поверхность.
Введение. В предыдущих работах авторов [1, вращении теряет свою прямолинейность, а расстоя-
2] были рассмотрены вопросы теории формообра- ние и угол не являются инвариантными параметра-
зования нормальных циклических поверхностей ми этого вращения.
на основе нелинейного вращения. Последнее мо- Авторам известно несколько работ, посвящен-
жет быть рассмотрено как обобщение линейного ных вопросам теории и практических приложений
вращения, известного в геометрии и кинематике нелинейного вращения. В работах [3, 4] выполнено
и характеризующегося наличием в пространстве построение обобщенных поверхностей вращения
прямолинейной оси вращения с окружностными на основе введения функции взаимосвязи геоме-
траекториями точек пространства, формируемыми трий линии центров вращения и линии радиусов.
в пучке плоскостей, перпендикулярных оси враще- В качестве траектории вращательного движения
ния. Прямая линия пространства в линейном вра- точек пространства используется кривая второго
щении остается прямой линией, а расстояние и угол порядка, представленная в виде кусочной рацио-
являются инвариантными параметрами этого вра- нальной кривой Безье. Авторами указанных работ
щения. В случае же нелинейного вращения осью оставлены нерассмотренными вопросы влияния
вращения служит гладкая кривая линия, при этом геометрии и взаимного расположения указанных
окружностные траектории точек пространства рас- линий на геометрию формируемой обобщенной по-
пределяются по нормальным плоскостям криволи- верхности вращения. В работах [5, 6] введено по-
нейной оси и образуют нелинейный пучок плоско- нятие «квазивращение», как обобщение понятия
стей, а центры вращений точек пространства — это «вращение». При этом в качестве оси вращения
точки пересечения криволинейной оси и ее нор- использованы кривые второго порядка. Результаты
мальных плоскостей. Прямая линия в нелинейном исследований были успешно приложены авторами
указанных работ к формообразованию алгебраических кривых и поверхностей высоких порядков и выполнено практическое применение исследований в параметрической архитектуре.
В настоящей работе для решения новых задач формообразования поверхностей нелинейного вращения (ПНВ) используется предложенная авторами ранее [1, 2] геометрическая схема формообразования этих поверхностей, базовыми элементами которой служат: криволинейная ось вращения и криволинейная образующая линия. В работе рассмотрены решения следующих задач формообразования:
1. Обратная задача, в которой требуется по заданной криволинейной оси вращения и заданному следу образующей линии ПНВ в нормальной плоскости этой оси, определить саму ПНВ.
2. Определение каналовой поверхности (КП) на основе геометрической схемы формообразования ПНВ.
Решение первой задачи позволяет раскрыть нюансы и особенности формообразования ПНВ, представляющей собой, по существу, нормальную циклическую поверхность (НЦП). Решение же второй задачи демонстрирует единство математических моделей формообразования НЦП и КП и универсальность предлагаемой геометрической схемы формообразования этих поверхностей, что позволяет утверждать существование единого подхода к формообразованию двух разнотипных классов поверхностей.
Следует отметить обширное множество отечественных и зарубежных публикаций по вопросам геометрии формообразования КП [7—11]. Очевидно, теоретический интерес к этим поверхностям обусловлен, прежде всего, их разноплановой практической востребованностью:
1) в качестве сглаживающих поверхностей сложных поверхностных конструкций [12, 13];
2) в задачах телесной трассировки при проектировании авиационной техники [14—16];
3) в компьютерной графике (компьютерные игры и анимация) [17];
4) в CAGD (Computer Aided Geometric Design) [7, 12, 13, 18] и др. областях науки, техники и промышленности.
Математические модели поверхностей, образуемых на основе нелинейного вращения. Рассмотрим решения двух задач формообразования поверхностей, отмеченных во введении. В основу этих решений положены теоретические закономерности вращения геометрических объектов относительно пространственной криволинейной оси, рассмотренные в работах [1, 2].
1. Решение обратной задачи формообразования ПНВ. Постановка задачи: определить ПНВ по заданной ее пространственной криволинейной оси вращения и заданному следу образующей линии искомой поверхности в нормальной плоскости оси.
Уравнение оси вращения в неподвижной декартовой системе координат Oxyz имеет вид:
q : Q(f)={x(f),y(f),z(t)};
t e[t0,fn]<=R; QRt^^Uo.
dt
Уравнение следа у образующей линии искомой ПНВ в лока;л>ной системе ко ординат подвижного трехгранника (т, V, Р) оси q следующее:
Рис. 1. Исходные данные для решения обратной задачи формообразования ПНВ
йлл и
(и) у {ту0,Ул(е),ел(и)И ;
dr„
та [Ио)ТпСс к; V (тЫ = тУ-з°.
н-
В работе [2] (Тыл рас см отрен алгоритм формообразования ПНВ п о заданным Назовым элементам геометрической схемы формообразования — оси вращения 22(2) 12 обртзующей литии С(Т, совершающей вращение относительно ори. Было 02мечено, что в процессе формообртзованн2 ПНВ в текущей нормальной плоск ости (V, 2 ос и 22(2) о°разуется некоторая линия д^, прздзтавлрющая собой след обра-зуощей ленис ИрУ) 15 прнцолсе ее вращения. Образование этогу 2лрду пси задантей облазующей С(ее назовем прярия задзче й форуооёфр зооа н ия. Об ратной будет радеча оп-едсланее н°рззующей линии и самой ПНВ по редеяесо есп О () р паща нному слеДУ К к с (С( Ы( К ри с- з(-
Выпооняе переесе а>)а подпижнсй сеянртовоё ои-стемы координет Оку- к наподвижной Оз^х, пнлу-чим рледуюсцее у]эавтпнсе:
G((,и) у A-1):)-*")+ ""(}).
(1)
где приняты обоз—чения: A~n(t) — матриви перехода от подвижной длкартувой системы клординат к неподвижн ой:
xr xN
А-} Д у Дт До Дв
Одд n{_
Тв) = {хТ(Ут,0т~}у Д-—,
|у (tr
Q}t( у {х(д( , d)t( , гх '{ ( (
Ш) f и --О * <O{"(t)
Щ))у{Х{(ДДДгИу
IQ {) X Q (if)!
^(оернеатк.
нщ
МУ-еРп^е^П^еЯ- В:
Чтобы ураенрнин (1( описывало в неподвижном пространстве оТрпз Нд лисни л , к р и надлежащей нормальной плосднсди (д, Д), недбходима функци-ональн.я связь пнрамеоров р и Эта срдзь веобе-спечивается исхнднзши условиями рассматриваемой надачи. Пзэтому введем некоторую функцию /(2), устанавливающуо гомеоморфное соответствие числоеые дтреаков )т0,тп] и [((,,Уп] с р0у]. При этом на функцию /(2) должно быть наложено условие 3'(У) е — л 0, обеспечивающее ее гладкость.
НУ
Рис. 2. Исходные данные и результаты вычислений: образующая линия g и ПНВ на её основе
С введением такой функции уравнение (1) принимает вид:
Gg(f) = A '(i) • F (f(f)) + 0(f).
(2)
Sx • sin-i • тс) + SY • coo) • тс)
- ] C0S( + • тс) + • sin)! • 7))) +| 1) + 10|i6)
где
• = s)1
100 , Sv =
100(0f0 + 1)
S• = 10(0f - 1),
[0,1], y - [ 0Y].
Зада=и м некоторую функцию ц = f(t) так, что-бывым—лижось условие f '(f) Ф 0, например, ц = t2. По ура^]оосзнию (2) определим прмстранс+венную кривую g — образ следа0 (рис. 2)
1 : G ()) =
И)х • sc)6(f | тс) + Ии • 00s(f • тс) - Dx • cos(f • тс) + Иу • cin(f • тс) а0(тс(0е0 01 б) +- 101б+
гд е
б = -A0+ 000, иаа =
100(2f4 1-1)
с =10(2f0 -1),
0в[0,1].
Посеедрящ 1е формообразование ПНВосновано на вращении ^р>с^5сой линии д относительно криво-линейн ой ос а р л щыполняетсяна основе алгоритма, приведе н но го в рабо те [1]. Припомощи приведенных в роОоте [3] рровноний определяются коорди-натно-параметрические уравнения ПНВ:
W(t, A)п(х], A), y(t, A), z(t, А)), t е [ОД] A G [0,1] .
Развернутая форма этих уравнедий ввиду их большой громоздкости в работе не приводит ся. Визуализация результатов вычислений по полученс ым уравнениям приведена на рис.
2. Формообразование каналовой поверхности. В нелинейном вращении точка пространства описывает круговую тра ексддию, п ридтдлежсщую нормальной плоскости (v, Р) кртволинеУной оси вращения q, при этом центр траектории есть точка оси вращения, через копорую прот^од^т нормальная плоскость. Из этих условий следует уравнение
0'(f) • (G(l) - 0(f)) = 0
(3)
Уравнение (2) щпнсывает осистеме ноординат Oxyz пространственную кривую д — образ следа дд, принадлежащего нормальной плоскости (V, Р) линии д. Очевидно, рассматриваемая обратная задача имеет не един ственное решение. Очевидно также, что линия (2) служит образующей линией дло фор-моо°разщвания С1^]1033. Рассмотрим пример.
О) римец) 1. КриволинеИшля ось враще риз д и рлед сг заданно токтвеоосвеняо равнения-
ри: р=ев= {но пвз[К[)р1Рзт]й,)[ВРРе}: )в[ПН]
в реяояоижооо еищреее координал Отуе я 0р(й] щ Се щ 0,о = -2Пт 1- 2К,р = ООт2 и СО} , | в [0,1] в порвижнел =вке=ьной т]2С"1|<{[5[€( кон=дин2т Оо2С Тр ебуется построив ПН К.
Решете. Р^оск.ощкые даиные 2кзволяюс полосою на основании выраменля (1) уравнение поверхно-
сто ООНцТ
где G (1) — векторное уравнение образующей, описывающей в нелинейном вращении ПНВ, каждая точка которойописывает соответствующую круговую траекторию. Из уравнения (3) следует зависимость l = f(t), при этом, как показано в работе [2],
выполняется условие f '(f) = — р 0, обеспечивающее
гладкостьэтой функции в каждой точке числового отрезка [t0, tj.
Как известно, каналовой называется поверхность, огибающая однопараметрическое множество сфер. Это определение каналовой поверхности было дано в 1805 г. французским геометром, основателемначертательнойгеометрии Г. Монжем (1746 g 1818).
Сформируем сферурадиуса Щ^в неподвижной системе коорд=нат:
R(t) = f) - RR), —(О) = G=f(t)), Л) = М. 0 )
Пу8ть G — ра-иут-в—ктор прмизвольной точки м той cM ер ы .Запишем о дн оп=рмметрическое се пей-ство к—)«—8) Ф-) : (8°- QQf))2 - Л(()2 = 0 . Сфлт)о=руом огибающую однопараметрического семейства с M eо=
(D(f): (G - 0(f))2 - 0(0)2 = О,
Ф'ф : ((^â - Q (t) ( • Q'(f) + 00(f) • 0'(() = 0.
(5)
Система ^овсений (5) определяет хорактери-ст]иесскщо акрускоосм с(а кееье синлю плресеае ния плоскосси M']f) и 'стск^уа);]с])с сферы семейства ((f) . Следуя методокл )(()] о дадко веомотрическую интер-icpелацию ссстемс (5(. Л^тс этато сведем обозначение И? е (и е еИС • всегда, и11 итывая сюрое уравнение системы (5), запишем( Ф{Л • ^(Г) = |iO"(f): • |aB'(fC • cos а. В таком ((Фае оистемф °ои^восэниод ^i)) можоо п^д-ктга15 ить следующимобразом:
Ф)(()) f+(f^2 +Y(tf =^0,
Ф^) : 10(1)1 • |^')))| • cos ос - )0(() • 0'(() = 0.
(6)
Определим характеристич eicic^y^io ок]^0.ж-ность c(t) (рис. Т • выше излож енного ^е-
.т^р^етг, чти Яр) = (еЮ — 0(т)| кк В та к ем сл^ ае
из второго уравнкнии системы (6) следует, что |ТК(е)= Щ) ( cos ое р М= ( 0С). tB^обозначение R(t) •cosot —(t), ит рредыиущси^и равенства получаем:
p'Q
0(()_ О ')()
оО((0у
Рис. 3. К интерпретации
ог -(шющей одно^<1раметр ического седедотво сфер
р(2) определяет расстояние от центра О локальной системы координат Ов|Здо плискоитд О'')), содир-жащей характеристическую окружность с(2). Уравнение (6) позволдет опдаделить родауи характерт-стической окружно сти:
г,) и ф()) ( ^А^и
О'(В)2 о И')2
т')2
-8)
Очевидно, таражиние Т0£)2 о ф'))2 > е определя-ет необходимое и феситдочное усливиа формообразования дейстиавиль ной кинвловой поверхности, рассматрив оемоо как неорерывное однип араиестрв -ческое множество хоравтеристттвтских окружностей {с(2)} действительного рпдиуса г,')) > е .
Рассмотоим получеоие в<з-тд^(о):^но^1^араметриче-ского уравнения канатовох поверхности. Параметрические уравнения характеристической окружности с(2) в локавфной декареовой системе коорршат ОтгР для ) = 0О будут иметь следующий вид:
тс () о ) о ке'о оет ) о к
ф(УфФ^
TXх
Vс() о У о ^'Д,' ТДо(Н( 2^Ь рс(1 = 10) = г£0)- 81П(Х- 2к) , где t = е [¿о, tn], А, €=[0,1].
Непрерывное множество сфер, формирующих огибающую
Рис. 4. Визуализация каналовой поверхности (пример 2, прямая задача)
В общ ем виде уравнение окружности с (2 = у в вокальной системе координав О^б вмеет вед:
Ис (В ь ВрД) н Рь(Ь ьт (ва),у с В ь ВрДООс (В ь Вр, А)}. Нвав-
ненре врна;воЕ^оа ]по)в^]о,(]^ости в общьм ]видн можьо записать тав:
си и)ь л^вро-в ии) + вр (Ив
)9)
где — мттрица обра)ногсв прр)хода.
Пример 2 (пдямая задача). Задана кри-ротинетьая ось врвщения =в уравнением ^(¡12 = |й0[2 На (00, в (оов в 60, 40в2}, в е [0,(]. <св(5ьэа)(1ж^:^аь линия д задана уравнением С (1) = Д=б2 о 550, - ЮН2 - ^ м2 ]0,(]в Тр ебуется
гсoвидоийС( кмбвoвyю поверхность.
Решение. Уравнение каналовой поверхности определяется в соо2ветствии с алгор0тмом,прввв; денньш 1^1^10) йначале определим выражение для радиусов сфер в неподвижной системекоординат по уравнению(4):
т =
25в73476126 - 83335В 20 в5 +16)36)966 24 +117ь000 Г -о 99624ь22 + 79602Й 2 + 250000
127 2 + 250
при этомвведенафункциональная зависимобть параметров I = /(2)[2]:
л/йв((2Тв о 2й0) (4(в2 о 70)
Г (в) ь
(27Г о 2Й0
Затемпоуравнению (8) определяем радиус характеристической окружности:
=
25 А
2(127 (+ 250)
1
В■ А2(127В + 250)4
- 2176905836 183(5725 0 В12 +
+ 7645765462 63204 ■ ВВ10 - 9153206151 069Т3250 У11 + + 5153360952 612320 ■ ВС9 - 2324386815 44756975 ^ + + 1265363660 3256824 ■ ВВ8 - 2006356219 13274770 В9 + + 1536554825 6904000 ■ ВВ7 - 3235510212 204132025 + + 1606686507 1177924 ■ В- + 0(0110342101 957631250 В7 + 1824799404 5468000 ■ ВВ5 - 6335928337 902343750 В6 + + 8665303152 500000 ■ ВВ4 + 5644477210 132968750 В5 + + 3366!58750 000000 • ВВ3 - 4183207-43 671875000 14 + + 5866640К25 000000 ■ ВВ2 + 2413252382 812500000 В3 + + 1875000000 Н000б • В( - 1006987871 337890625 В2 + + 3906250000 000000 ■ В + 3287768554 68750000 В - 5493164062 5000000
2
где приняты обозначения:
A = V73476116 - 83312015 +163696614 -117200013 + 996241t2 - 4960001 + 250000,
= 41t + 25.
Использйвс тВщ2й выражтние (9), опрев2твем уравне)ие каналовой поверхности, которое ввиду громоздкости не приводится. Визуализация результатов вычвсленвй, 2ыполнежнывпо полуютному уравнению, приведена на рис. 4.
Пример 3 (обратная задача).
Криволинейная ось вращения д и след д заданы соответственно уравнения-
ми р(] ь{(0шс(к- в), (0 сее(к • в))(00 в}, в е [0,(] в неподвижной системе кзо2°инат Охуг и Тд(|7) ь {т ь =, V ь -207 О 20, О ь 2072 О (0} , 7 е [0,ь] в нормальной плоскости (V, Р). Требуется построить каналовую (оверхн7У1ь.
Решение. Уравнение каналовой поверхности определяется также в соответствии с алгоритмом, приведенным выше. Вобратной задаче построения поверхности ПВН задаётся ф}шкциональная зависимость ц = f(t). Наоснове выражения (4) получаем уравнение радиусов сфер в неподвижной системе координат
R(|) с 10j4|_i4 ж 8|е - 8| ж 5|.
По уравнению (8) определяем радиусхарактери-стичесеойокружности:
т. (t) =
л/я2
1
+ 100
( ( R (ц)
.6
.4
.3
2
Ац 2
(Вц6 - 32Вц4 + 16Вц3 - 16Вц2 + я2 + 16Вц - 4В + 100 Ац
2
2
А = 4ц4 + 8ц2 - 8ц+ 5, В = (400ц4 + 800ц2--800ц+ 500)2.
По общему выражению (9) определяем уравнение каналовой поверхности. Её развёрнутое уравнение ввиду его громоздкости также не приводится. Визуализация результатов вычислений по полученному уравнению приведена на рис. 5.
Заключение. В результате исследования закономерностей образования поверхностей нелинейного вращения построена общая математическая модель известных в геометрии и ее практических приложениях двух классов поверхностей: нормальных циклических и каналовых. В этой модели геометрическая схема формообразования каналовой поверхности представляет собой наиболее общую схему, основанную на классическом определении этой поверхности. В случае нормальной циклической поверхности выполнено решение обратной задачи формообразования, которое в совокупности с решением для этой поверхности прямой задачи, изложенным в предыдущих работах авторов, создает теоретический базис формообразования поверхностей класса нормальных циклических. Представленные числовые примеры формообразования поверхностей обоих классов подтверждают работоспособность и универсальность предложенной математической модели.
Ось каналовой поверхности
Непрерывное множество сфер st формирующих огибающую
Рис. 5. Визуализация каналовой поверхности (пример 3, обратная задача)
Математическая модель и соответствующие ей алгоритмы формообразования могут быть использованы при разработке специализированных САПР, предусматривающих разработку поверхностных конструкций на основе циклических и каналовых поверхностей в различных областях науки, техники и промышленности.
Библиографический список
1. Панчук К. Л., Мясоедова Т. М., Любчинов Е. В. Циклические поверхности, сопровождающие нелинейчатые квадрики вращения // Омский научный вестник. 2023. № 3 (187). С. 23-29. DOI: 10.25206/1813-8225-2023-187-23-29. EDN: BAKBPA.
2. Панчук К. Л., Мясоедова Т. М. Поверхность нелинейного вращения // Омский научный вестник. 2023. № 4 (188). С. 5-12. DOI: 10.25206/1813-8225-2023-188-5-12. EDN: VFCPSL.
3. Григорьев М. И. Построение обобщенных поверхностей вращения // Семинар «DNA&CAGD». Избранные доклады. 2007. С. 1-7.
4. Григорьев М. И., Малозёмов В. Н. Составные кривые и поверхности Безье. Аналитический подход. Lambert Academic Publishing, 2010. 132 с. ISBN 978-3-8433-0323-1.
5. Беглов И. А., Рустамян В. В. Метод вращения геометрических объектов вокруг криволинейной оси // Геометрия и графика. 2017. № 3. С. 45-50. DOI: 10.12737/article_59bfa4eb 0bf488.99866490.
6. Beglov I. A. Computer geometric modeling of quasirotation surfaces // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1901. P. 16-17. DOI: 10.1088/1742-6596/1901/1/012057.
7. Peternell M., Pottmann H. Computing Rational Parametrizations of Canal Surfaces // Journal Symbolic Comput. 1997. Vol. 23, Issue 2-3. P. 255-266. DOI: 10.1006/jsco.1996.0087.
8. Xu Z., Feng R., Sun J. G. Analytic and Algebraic Properties of Canal Surfaces // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2006. Vol. 195, Issues 1-2. P. 220-228. DOI: 10.1016/j.cam.2005.08.002.
9. Ozturk G., Bulca B., Bayram B. K. [et al.]. On Canal Surfaces in E3 // Sel^uk Journal of Applied Mathematics. 2010. Vol. 11, № 2. P. 103-108.
10. Kim Y. H., Liu H., Qian J. Some characterizations of canal surfaces // Bull. Korean Math. Soc. 2016. Vol. 53 (2). P. 461-477. DOI: 10.4134/BKMS.2016.53.2.461.
11. Кривошапко С. Н., Иванов В. Н. Энциклопедия аналитических поверхностей (более 500 поверхностей, 38 классов: математикам, инженерам, архитекторам). Москва: URSS, 2010. 556 с. ISBN 978-5-397-00985-0.
12. Farouki R. A., Sverrissor R. Approximation of Rolling-ball Blends for Freeform Parametric Surfaces // Computer-Aided Design. 1996. Vol. 28 (11). P. 871-878. EDN: AKQVYD.
13. Hartman E. Geometry and Algorithms for Computer Aided Design. Department of Mathematics Darmstadt University of Technology. Darmstadt, Germany, 2003. 160 p.
14. Ньи Н. Х., Чжо Т., Маркин Л. В. Исследование алгоритмов использования рецепторных геометрических моделей в задачах телесной трассировки авиационной техники // Труды МАИ. 2013. № 69. С. 1-25. URL: www.mai.ru/upload/iblock /62aZ62ad38934954abb6876b2d621d39098f.pdf (дата обращения: 12.03.2024).
15. Маркин Л. В. Геометрические модели автоматизированной компоновки летательных аппаратов // Вестник МАИ. 2015. Т. 22, № 1. С. 47-56. EDN: TNWXMF.
16. Ньи Н. Х., Маркин Л. В., Соседко А. А. Применение рецепторных геометрических моделей в задачах автоматизированной компоновки авиационной техники // Труды МАИ. 2014. № 72. С. 1-26. URL: http://www.mai.ru/upload/iblock/ f17/f178d8a078b6927a66bd134f8a37e7ad.pdf (дата обращения: 12.03.2024).
17. Ma Y., Tu C., Wang W. Computing the Distance between Canal Surfaces // Advances in Geometric Modeling and Processing. GMP 2010. Lecture Notes in Computer Science. 2010. Vol. 6130 / Eds. B. Mourrain, S. Schaefer, G. Xu. Springer, Berlin, Heidelberg. DOI: 10.1007/978-3-642-13411-1_7.
18. Nunez-Valdes J., Ocana Almagro I. Canal surfaces and its application to the CAGD // American Journal of Engineering Research (AJER). 2021. Vol. 10, Issue 03. P. 19-31.
ПАНЧУК Константин Леонидович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Инженерная геометрия и САПР» Омского государственного технического университета (ОмГТУ), г. Омск.
SPIN-код: 5623-0008 AuthorlD (РИНЦ): 501163 ORCID: 0000-0001-9302-8560 AuthorID (SCOPUS): 55857766100 ResearcherID: S-2788-2017 Адрес для переписки: [email protected] МЯСОЕДОВА Татьяна Михайловна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Инженерная геометрия и САПР» ОмГТУ, г. Омск. SPIN-код: 6056-6455 AuthorID (РИНЦ): 686836 ORCID: 0000-0002-9641-9417 AuthorID (SCOPUS): 57201776004 ResearcherID: E-7505-2014 Адрес для переписки: [email protected] ЛЮБЧИНОВ Евгений Владимирович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Инженерная геометрия и САПР» ОмГТУ, г. Омск. SPIN-код: 8144-6370 AuthorID (РИНЦ): 917932 ORCID: 0000-0003-2499-4866 AuthorID (SCOPUS): 57199399265 ResearcherID: D-1882-2019
Адрес для переписки: [email protected] Для цитирования
Панчук К. Л., Мясоедова Т. М., Любчинов Е. В. Математическая модель формообразования циклической и каналовой поверхностей на основе нелинейного вращения // Омский научный вестник. 2024. № 4 (192). С. 14-21. DOI: 10.25206/18138225-2024-192-14-21.
Статья поступила в редакцию 11.06.2024 г. © К. Л. Панчук, Т. М. Мясоедова, Е. В. Любчинов
UDC 514.7
DOI: 10.25206/1813-8225-2024-192-14-21 EDN: PHLZOO
K. L. PANCHUK T. M. MYASOEDOVA E. V. LYUBCHINOV
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
MATHEMATICAL MODEL OF THE FORMATION OF CYCLIC AND CHANNEL SURFACES BASED ON NONLINEAR ROTATION
This work is a continuation of the series of works by the authors devoted to the issues of shaping surfaces of nonlinear rotation. The geometric scheme for the formation of surfaces of this class includes: an axis of nonlinear rotation, which is a smooth, generally spatial curve, and a forming line, also a smooth spatial curve. When the generating line rotates relative to the curvilinear axis, each point of the generating line describes a circumferential trajectory in the corresponding normal plane of the rotation axis. As a result, a surface of nonlinear rotation is formed, which is a normal cyclic surface. In this work, in order to develop the research results previously obtained by the authors in the field of shaping surfaces of nonlinear rotation, the solution to the inverse problem of shaping is considered and a mathematical justification is given for the possibility of shaping a channel surface based on solutions to the direct and inverse problems. The work provides numerical examples of the formation of the surfaces under consideration, accompanied by mathematical models of surfaces, their computer implementation and visualization. The research results can be useful in the development of CAD systems that involve the design of surface forms of products based on cyclic and channel surfaces in mechanical engineering, construction, architecture and other practical fields.
Keywords: nonlinear rotation, mathematical model, smoothness of function, shaping, cyclic surface, inverse problem, channel surface.
References
1. Panchuk K. L., Myasoyedova T. M., Lyubchinov E. V. Tsiklicheskiye poverkhnosti, soprovozhdayushchiye nelineychatyye kvadriki vrashcheniya [Cyclic surfaces accompanying non-ruled quadrics of rotation] // Omskiy nauchnyy vestnik. Omsk Scientific Bulletin. 2023. No. 3 (187). P. 23-29. DOI: 10.25206/1813-82252023-187-23-29. EDN: BAKBPA. (In Russ.).
2. Panchuk K. L., Myasoyedova T. M. Poverkhnost' nelineynogo vrashcheniya [The surface of non-linear rotation] // Omskiy nauchnyy vestnik. Omsk Scientific Bulletin. 2023. No. 4 (188). P. 5-12. DOI: 10.25206/1813-8225-2023-188-5-12. EDN: VFCPSL. (In Russ.).
3. Grigor'yev M. I. Postroyeniye obobshchennykh poverkhnostey vrashcheniya [Construction of generalised rotation surfaces] // Seminar «DNA&CAGD». Izbrannyye doklady. Seminar «DNA&CAGD». Izbrannyye Doklady. 2007. P. 1-7. (In Russ.).
4. Grigor'yev M. I., Malozemov V. N. Sostavnyye krivyye i poverkhnosti Bez'ye. Analiticheskiy podkhod [Compound curves and Bézier surfaces. Analytical approach]. Lambert Academic Publishing, 2010. 132 p. ISBN 978-3-8433-0323-1. (In Russ.).
5. Beglov I. A., Rustamyan V. V. Metod vrashcheniya geometricheskikh ob"yektov vokrug krivolineynoy osi [Method of rotation of geometrical objects around the curvilinear axis] // Geometriya i grafika. Geometry and Graphics. 2017. No. 3. P. 4550. DOI: 10.12737/article_59bfa4eb0bf488.99866490. (In Russ.).
6. Beglov I. A. Computer geometric modeling of quasirotation surfaces // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1901. P. 16-17. DOI: 10.1088/1742-6596/1901/1/012057. (In Engl.).
7. Peternell M., Pottmann H. Computing Rational Parametrizations of Canal Surfaces // Journal Symbolic Comput. 1997. Vol. 23, Issue 2-3. P. 255-266. DOI: 10.1006/jsco.1996.0087. (In Engl.).
8. Xu Z., Feng R., Sun J. G. Analytic and Algebraic Properties of Canal Surfaces // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2006. Vol. 195, Issues 1-2. P. 220-228. DOI: 10.1016/j.cam.2005.08.002. (In Engl.).
9. Ozturk G., Bulca B., Bayram B. K. [et al.]. On Canal Surfaces in E3 // Sel^uk Journal of Applied Mathematics. 2010. Vol. 11, no. 2. P. 103-108. (In Engl.).
10. Kim Y. H., Liu H., Qian J. Some characterizations of canal surfaces // Bull. Korean Math. Soc. 2016. Vol. 53 (2). P. 461-477. DOI: 10.4134/BKMS.2016.53.2.461. (In Engl.).
11. Krivoshapko S. N., Ivanov V. N. Entsiklopediya analiticheskikh poverkhnostey (boleye 500 poverkhnostey, 38 klassov: matematikam, inzheneram, arkhitektoram) [Encyclopaedia of Analytical Surfaces (over 500 surfaces, 38 classes: for mathematicians, engineers, architects)]. Moscow, 2010. 556 p. ISBN 978-5-397-00985-0. (In Russ.).
12. Farouki R. A., Sverrissor R. Approximation of Rolling-ball Blends for Freeform Parametric Surfaces // Computer-Aided Design. 1996. Vol. 28 (11). P. 871-878. EDN: AKQVYD. (In Engl.).
13. Hartman E. Geometry and Algorithms for Computer Aided Design. Department of Mathematics Darmstadt University of Technology. Darmstadt, Germany, 2003. 160 p. (In Engl.).
14. Nyi N. H., Kyaw H., Markin L. V. Issledovaniye algoritmov ispol'zovaniya retseptornykh geometricheskikh modeley v zadachakh telesnoy trassirovki aviatsionnoy tekhniki [The study
of algorithms using receptor geometric model in the problems of physical route tracing in aviation technology] // Trudy MAI. Trudy MAI. 2013. No. 69. P. 1-25. URL: www.mai.ru/upload/ iblock/62a/62ad38934954abb6876b2d621d39098f.pdf (accessed: 12.03.2024). (In Russ.).
15. Markin L. V. Geometricheskiye modeli avtomatizirovannoy komponovki letatel'nykh apparatov [Geometric Models of Automated Layout Aircrafts] // Vestnik MAI. Aerospace MAI Jornal. 2015. Vol. 22, no. 1. P. 47-56. EDN: TNWXMF. (In Russ.).
16. Nyi N. H., Markin L. V., Sosedko A. A. Primeneniye retseptornykh geometricheskikh modeley v zadachakh avtomatizirovannoy komponovki aviatsionnoy tekhniki [Implementation of receptor geometric models in the problems of automated layout design in aviation technology] // Trudy MAI. Trudy MAI. 2014. No. 72. P. 1-26. URL: http://www.mai. ru/upload/iblock/f17/f178d8a078b6927a66bd134f8a37e7ad.pdf (accessed: 12.03.2024). (In Russ.).
17. Ma Y., Tu C., Wang W. Computing the Distance between Canal Surfaces // Advances in Geometric Modeling and Processing. GMP 2010. Lecture Notes in Computer Science. 2010. Vol. 6130 / Eds. B. Mourrain, S. Schaefer, G. Xu. Springer, Berlin, Heidelberg. DOI: 10.1007/978-3-642-13411-1_7. (In Engl.).
18. Nunez-Valdes J., Ocana Almagro I. Canal surfaces and its application to the CAGD // American Journal of Engineering Research (AJER). 2021. Vol. 10, Issue 03. P. 19-31. (In Engl.).
PANCHUK Konstantin Leonidovich, Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Professor of Engineering Geometry and CAD Department, Omsk State Technical University (OmSTU), Omsk. SPIN-code: 5623-0008 AuthorlD (RSCI): 501163
ORCID: 0000-0001-9302-8560 AuthorlD (SCOPUS): 55857766100 ResearcherlD: S-2788-2017
Correspondence address: [email protected] MYASOEDOVA Tatyana Mikhaylovna, Candidate of Technical Sciences, Senior Lecturer of Engineering Geometry and CAD Department, OmSTU, Omsk. SPIN-code: 6056-6455 AuthorID (RSCI): 686836 ORCID: 0000-0002-9641-9417 AuthorID (SCOPUS): 57201776004 ResearcherID: E-7505-2014
Correspondence address: [email protected] LYUBCHINOV Evgeniy Vladimirovich, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Engineering Geometry and CAD Department, OmSTU, Omsk. SPIN-code: 8144-6370 AuthorID (RSCI): 917932 ORCID: 0000-0003-2499-4866 AuthorID (SCOPUS): 57199399265 ResearcherID: D-1882-2019
Correspondence address: [email protected] For citations
Panchuk K. L., Myasoedova T. M., Lyubchinov E. V. Mathematical model of the formation of cyclic and channel surfaces based on nonlinear rotation // Omsk Scientific Bulletin. 2024. No. 4 (192). P. 14-21. DOI: 10.25206/1813-8225-2024-19214-21.
Received June 11, 2024.
© K. L. Panchuk, T. M. Myasoedova, E. V. Lyubchinov
