РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ИЗМЕНЕННОЙ ЦИКЛОГРАФИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.8 Е. В. ЛЮБЧИНОВ

DOI: 10.25206/1813-8225-2023-185-25-30

К. Л. ПАНЧУК Т. М. МЯСОЕДОВА

Омский государственный технический университет, г. Омск

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ИЗМЕНЕННОЙ

ЦИКЛОГРАФИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

В циклографическом моделировании линии трехмерного пространства известны прямая и обратная задачи. Решению этих задач в научной литературе посвящено достаточное количество публикаций. Авторами работы, на основе исследований известной классической циклографической модели, была получена ее модификация, названная измененной циклографической моделью. Необходимость в этой модели была вызвана решением ряда практических задач геометрического моделирования, в частности в области разработки поверхностных форм автомобильных дорог, где традиционно рассматривается только прямая задача геометрического моделирования, в которой требуется по пространственной оси дороги определить поверхностную форму последней. Авторами предложено решение обратной задачи моделирования для измененной циклографической проекции, позволяющее восстанавливать кривую линию пространства по ее циклографическому образу. В работе дано обоснование и приведено решение обратной задачи циклографического моделирования, реализованное на числовом примере. Результаты работы могут быть использованы в системах автоматизированного проектирования, специализирующихся на проектировании автомобильных дорог общего и специального назначения.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, циклография, измененная циклографическая проекция, обратная задача, проектирование поверхностных форм автомобильных дорог.

Введение. Благодаря появлению и развитию ин- Анализ исследований в области автоматизиро-

формационно-вычислительной техники, системам ванного проектирования поверхностных форм ав-

автоматизированного проектирования и компью- томобильных дорог позволяет сделать вывод, что

терной алгебры, метод циклографического моде- за последние годы на передний план выходит срав-

лирования геометрических объектов стал всё чаще нительно новый вид проектирования, основан-

применяться в решении совершенно разнородных ный на трехмерном представлении моделируемых

задач науки и производства [1—4]. объектов дорожного строительства. Уход от тра-

Одной из его отличительных особенностей яв- диционного двухпроекционного проектирования

ляется то обстоятельство, что образуемая при ци- позволяет во многом упростить и сократить вы-

клографическом отображении пространственной числительные операции при проектировании,

кривой триада линий на плоскости проекций име- а также визуализировать моделируемые объекты

ет взаимно однозначное параметрическое соответ- дорожного полотна на всех этапах проектирования.

ствие. Это позволяет решать как прямую, так и об- При этом появляются задачи, в которых требуется

ратную задачу циклографического моделирования по различным чертежам, планам или снимкам вос-

линии пространства. станавливать положение оси дороги в простран-

Развитие циклографической модели простран- стве. И если при проектировании поверхностных

ственной кривой позволило авторам работы полу- форм автомобильной дороги на основе классиче-

чить измененную циклографическую проекцию ской циклографической проекции такая задача

кривой, когда каждая из прямолинейных образу- считается решенной [1, 5], то в случае измененной

ющих линейчатых поверхностей, представляющих циклографической проекции, на которой основана

собой элементы аппарата циклографического мо- геометрическая модель формообразования поверх-

делирования линии пространства, всегда находится ностных форм автомобильных дорог общего назна-

в плоскости, перпендикулярной ортогональной про- чения, эта задача не исследовалась.

екции исходной линии [4]. В дальнейших исследова- Постановка задачи. В циклографическом ото-

ниях такая проекция была использована авторами бражении проекция точки А(х,у,Ё) пространства

для разработки геометрической модели формообра- Я3 на плоскости z = 0 представляет собой цикл (на-

зования поверхностных форм автомобильных дорог правленную окружность), центр которого соответ-

общего назначения [4]. ствует координатам (х,у), а радиус — координате

z исходной точки A. В зависимости от положения точки относительно плоскости проекций (знака координаты z), цикл будет иметь то или иное направление [5 — 8]. При таком способе отображения образуется проецирующий конус с вершиной в точке A и основанием в плоскости z = 0, которым служит цикл (циклографическая проекция точки). Очевидно, циклографической проекцией пространственной кривой КЦ) я (тЦ),к(Ц),z(t)); К'(£) * 0;t е R : T0 < t < T будет являться огибающая однопараметрическо-го множества циклов, состоящая в общем случае из двух действительных ветвей. Совместное рассмотрение исходной пространственной кривой и ее циклографической проекции позволяет получить линейчатую поверхность, для которой данныекривые линии являются направляющими. В классической циклографической проекцииполуугол при вершине проецирующего конуса равен а = 45°, а уравнения циклографической а-проекции пространственной кривой были известны ранее [7].Авторамив предыдущих работах были получены уравнения циклографической в- и Р(£)-проекции пространственной кривой, когда полуугол может принимать не только постоянные значения в пределах 0°<в<90°, но и быть некоторой фуккцяяй (3 (i) от параметра исходной кривой [((. IB последнем случае получаем обобщенную циклографическую проекцию с урав-

р2 (О

нениями:

LP(1,2)

(i) = x(t) + z(t) X

X e(t)

x e(t)

-т'Мкт+к'УШц)- M-2(t) >)(t)

кmwV) = (X + z(i) X — т) (Ц[Ц())± т (t)Kh(t) -ц2(t) W)

где о(() = е(г) ■ + XП(се,С(2 +в-г(2; ее(())((](](г)).

Полученные обобщенные уравнения циклографической проекции пространств енной кривой по -служили основой для разработки геометрической модели формообразования поверхностных форм автомобильных дорог на основе циклографическогс отображения [4]. Однако в государственных нормах и правилах существуют определенные требования, предъявляемые к проектируемым объектам дорожного строительства [9]. Однип ин них является требование, при котором вое ертогрнальные проекции прямолинейных образующих поверхности п)сез-жей часои дигчкны находиться в плоскостях, перпендикулярных ортогональной проекции Юг) оси дороги Р(г) . .Для выполпееия данноио требования авторами было предложено преобразование классической циклографической проекцип в измененную циклографическую проекцию, основанное на «довороте» (рис. 1) ортогональных проекций прямолинейных обнеза(ющиx поверхнастей дорожного полотна до требуемого положения. Наиболее подробно это преоНразовансе рассмотрено в работе [4]. Полумнныа уравнения измененной циклографической проекции для пространственной кривой имеют вир:

xch{t) = x{t) +

У* (t) = y(t) ±

y(t)'-(z(t)-e(t)) 4{x{t)f+{y{t)!f'

x(t)/-(z(t )• e(t)) V( x(t)1)2 + (y(t)')2

(2)

Рис. 1. Схема полученияизмененной циклографической проекции Pc—iT(() [4]

Из теории биссекторов ) 10] извеатно, итто ортогональная проекция р([) кривой Р-) ее^['^[[,:гс:)т Пис-секторной линией для ксивых ]-) о- )г)( Кчк известно, биссекторной линией для двух геометрических объектов называется геометрическое место точек, равноудаленных от этих объектов, при этом расстояние ое биссикто]еной нмлии оп)осделянтги а нег^фж^язл^нн^, ортогонаметоп ототсос^ите^нс обоих объектов [е0, 11]. Очевично, что (то^иоая K(--по отношению к кривым РсЛ(1)(£) и РсЛ(2)(£), полученным по уричнениям измененной циклогсaфияecкoП п[эо-екции, ^рз^ссекто.эипн: линией н^ грс-сетсн ]]B ветствии со схемой логтрнаиия (но язляeвcc лини-иК криволинейной симннтрии, т.^к кан риссаояни; от лобчП точки но кривоН Р^г)) отложеииые по иор-мали к ней. ое л-иных НяЫ-) о НофЯ, .эавны(

Из теоeeзичeзкиx соабражнний везникает вопрос о сущостоооаних я возножоосеи п:ос;,[гг]онения кривой в пространстве по заданной ее измененной циклографической провкции. Етатт -ртся;] раесмо-о((еннпю [ваше задачу Н1-) ы Н((Ы), в качсствепрямой задачи, то очевидно, что задача Нн1-) ы ]5з^]оeí^] об-ратной. Решению этой задали пооояец онанастоящая оабота. Следует вометить, чтокрометеорттаческо-го интереса обратная задача имеет практическую полезность в случае восстановления оси дороги по различным проектным планам и чертежам, а также по реальным замерам каорлинат контрольных точек бровос порлжногл ;алотна [ 12—14[. Послер-нее наиболеи актуален о при рск-шсн^-кощи дорож-ното полотна( ]с]си котором, как правилО[ сравнивают текущее полюжение оси оеораг)и о проектным, таким о бриз ом оренивая объем рвмонтных работ [12]. Больш ое значение име ет трэе-ы рны! визуа-лнрация н-ое-отношо -ешения, при каторой ояони-ваются пространственная видимость -пассы, види-м-^с^!1 ога п-во]ноти)Х и примыкениях, а также ряд других специфических хара ксеристрс [15 — 18].

Теория. Рассмотрим решение обратной задачи гАе Рсы^-Рсыи^Рсыъ- Заметим, пара-

P P

разлик-

, (t) Т < t к T К = К (t ) T < t < T

Vt)!) * ch)1) (t1S) 110 — Ч — 111 ' ct)2) ch(2)\ 2/r 20 2 J22

метризации заданных кривых Нст

ны: ина С НсГ

В этой связи возникает задача установления с ооо-ветствия параметризаций заданных кривых Р^ц^) и РсЛ(2)(У. В классическом циклографическом моделировании подобная задача называется обр>аеной и ее решение известно [2, 9]. Суть этого решения заключаатая в саерующем. Пусть на плоскости проекций г = 0 даны две ветви циклографической проекции: Рр(1)(^ ( а РШ) С2). Не о бходимо восстановить в пространстве соответствующую кривую K(г) .Для этого кривым Ррщ^) и р2) ставятся в соответствие их пространственные циклографические образы —

линейчатые поверхности Фр(1) и П>р()!), которые имеют определенный угол наклона образующих к плоскости z=0. Например, при а-проекции этот угол будет равен 45°, при Р-проекции — (9И — Р)° [2]. Затем аналитически находится .линия пере сечения этих поверхностей, выраженная, например, через тарам етт t(. Антлитическое решение этой радечи, как показывает прэшгииа, может быть получено, если Лл^ ) л Hm(Э2 ) — кривые второао по-ядка ЛИбо обводы из ЭТИХ ТВрИЛЫХ. ТСКИМ обрвззот, КрИвая H(Эl) (рис. 2), как ортогональная проекция линии H(э): Фр(ч и Фр(2(, твляетсм яскомой и позволямт также привести )p™yK> Л^л(t2) к партметру К• В реаулета-те на поос^с:к:ости пптекций ера цтплографичтс^м отображении обтазуатсз триада взаимосзязанныт линий , те.1)(е1) я ^эв)(Ц] и во,», Ие ;_o. _

Очевидно, что для кривых тиний HcВД(Э]) и тв^ ((в), полученнI2IX по схемные обрааовиния измeнeнааH ца-клографической проакции, аналогичный с_отоб получения та11}и^о]В][ P(з) не годится. Такте очевидно, что без расположения линий р(() ]а2ентров циклоп, без значения угла поворота ф образующих (см. рис. 1(6)), невозможно однозначно определить положение линии Р(3) в ероаты_нктвы.

Постраюнио (((поверхностей с напртвппощими Hа(2)(T]) и HcГc1 Тв) пезвопиетт нцйии пр>остранственную кривую ■ ФЩ1) гл ФсЩ2) и ее ортогональную про-

екцию H(;к)(TI (рис. 3). Очевидао, что випия т)- ,0.) являетсябиссекторнойдля кривых H))адЭi) и Hcщ(tI), но при этом не явля ется линией криволиоейной симметрии, т.е. ортогональной проекцией искомой кривой (О-1). Нахождение

очередьпозволяят аналогичнымобразом привести исходные кривыо HлOH0 ie H)а,2i02) к озаимнз-одно-значному соответствию параметров, т.е. к общей параметризации Кпгда любойточке Си на кривой HcШ)0]) будет одноенаано соооаетствовать точка Bu кривой РсЩ2|(f2), тогда всегда можно отыскать середины отрезков Bu Си, которые и будут точками А. искомой кривой )>(/) (см. рис. 3). Поскольку радиус окружности основания проецирующего конуса равен расстоянию АВ (или АС ), то всегда возможно восстановить пространственную кривую P(t) для случая циклографической а-проекции.

Результаты экспериментов. Рассмотрим пример. На плоскости проекций z= О даны две кривые Pchm(tt) и Pch[2](f2) (рис. 4), имеющие следующие уравнения:

Оcадеl)оBяIв2/0;

Ущ^]) = 8Я; ое.е].

I^(1C]2) )Т( ) о ^.в; ;

УщЯОоЗТо 0таТв_],5.

Требут]]сгся определить пространственную кри-ткю P))), поотношен]ию к которой эти кривые яв-изметеноей циклографичес^й проекцией.

По алгоритму решоноя обрсотной задачи циклографической проекции пространственной кри-оo]]í] птставим в соответствие зада]нным кривым их а-поверхности [2, В). /..rci э))l(Г2Гc) поспс/оитек пространственные )бразы эволотэтим кривых. Координаты р ) С и Me.оЯ.) эволют НаЙДем по ссзвестнымв диф-ференциольной мапмeтpии оормyаaм:

■ cL.,.)п

(мЭгЭ(Эе))в .

ШoЛ) ) )/ о

oo о.) оcг:I (Э1) В

Рис. 2. Визуализация примера решения обратной задачи при циклографическом моделировании кривой линии пространства

иетпе' ои7

_Рис. 3. Схеад определения точек ортогональной проекции /((и) исходной кривой Р(() в случае задания кривых линий, являющихся измененной _иклографической проекцией линии Р(()

Рch(2) (h)

Ptfi II) (h)

OWl))2

^rn )' Ш/Г]il (Э1 ) ш^[1]il.)' cкcг],i )

Рис. 4. Исхoдныe домньге поимера

Уец)_) 3 Тсч)_( б е2аееу^и",

Коордииесп^а z Е(!)(_) опредется так:

г'тЕи) 3

где г=1,2. Полученные урazнeния в статье приведены в сокращенном виде ввиду громоздкости их развернутых выражений.

Исходные кривые и прзстеенствеееые обраты их эволют при совместном рассмотр ении образуют линейчатые поверхности ФсЩ:_а и 2РсЛ(__2). Уравнения этих поверхностей имеют вид:

Xc1(1) (A , A ) - (C1) + X l1 1) - ХЕ(Ц ((1 (J (

1(1) (li, (111 = y B(1) -- ( + A ¡¡ад Y) - Ул(-(J (

Z/l^vh ^•-(Д-Х1-1:

0< ( < 1 0 < • < L

^tl-) (l2 2 A2 ( = -d-J:)2) )2 ( + A2 t" )—) ((2 ) — E—C2) Yl ) (2 c A2 ( = Увд (l2 ( + Y2 ^c,^:) ¡2 ( < УВД ((1 (J

1 c/2)

l))-) Z2 > • ( •Z£(2) (-2 X(

0 :(1 1, (2 (5; (<(, <-

Соссаоля) раотнстве: О = ХсК2){12, (Д

Р][]) Р<. Ы ) = С)к.{2} ((2 <0' Тощ ((11 ) = уЧ=о(У по/ротем систему из трех уравнений с чесырьмя несзлестны-си. Решение твктт сис=еув( о^(уг^с^1::,2:'в^ег(ся нахож-де си ем функцсеоналяных зависимостей п<а_)э=) метров этой сясетемЫ1 и ррссмитрчваемтм примере инача( ле получрм вырожтнив ^аызе^тмы/л'ыг'ы^в! /2=С2[[],^<г , 1] из вырсженря УЛрС{с],1]) = Т^« е2)(2): ЗатеМ) птдставля= полученное выраженене 1. = /цЯ^ .12, = ) в уралнение Р][<)•<,]<]( еР.вд •=. ЫТ 1 выразим велтину р = =<[Р1,^2). Даееу, подстатрясм пол^енныт ,сыуажения 1 и 12 с уравнтнит Ж.), (с<, Ы) = ЖсК2) ., -)(:!) и еыражаем пара-мет<р Сзр/ТС^1 Подставив сосучснн ые зависимости ]2 = М,.).0^ Ые) т ^р/ТРр!) и = = /(¡Г) в уравнения поверхности Фрр (О , получа=т параметрические уравнения проттрансятенией сриЕ)3 (=18):

Ир = СдО 3 сО =

Рея = РОЯ Ов] уР

На риС( С пртотостсвзент вис^тоизация получения кривой Рс°(^1)1 = се вычисления по определению функций налоной зависимости параметров, а также визуаоизация, представленная на последующих рисунках . пртизаодирися в с]И[стеме компьютерной алгебры MapHe]

Получаннео вривея -сса(°]) розволяер вы разать ррисую РсЩ2)(0) чеэрез пвраметр 0. Полученные ррав-незия сривой Рс).2 <(¡3 = /¡(С^ ") С выглядят еле дующим образам:

хс ску(1<) = -2 • RooЮf:4096 _ z5 -

- 5760 _ .г4 + (10241)( + 8192) _ .г3 -ь

+ (4810 -4 237600) _ .г2 + + (—1СЫ21:4 - 633601_ + 133=2) _ .г +

+ 3(1у — 48р3 3211284р1)20, >3сЛ(2) (1а) = 3 • Ко3ЮГ{с1096 Х,5 -

— 576С ^ .4 + (102402 + 8192) 33 +с

+ (4831°3 + 23760 Я1)_ .р2 + (—1922р4 - 63360 Я_ 13312) ) ++

0 < fj fi 1 . Функция RоotOf — это специальный операт^{з cиc:т^IVIЬt компьютерной Maple,

который означает, что система не можот ]еи^^р)а;^]ить реш^ие в Одн£ik;о ;)то ihе мешает ей да-

вать верные конечные результатам символьных и ч]ис^^ннызс {засчеттов.

Таким образом, теперь каждой точке на кривой Pct (Ь) однозначно соотве;тст^ует оеочка на кoньвой Рй(2о и(0)). 1пис. 21 сое/(ук^тг чпо иск(^1мыми точками А1г. являются кочки, являющиеся ^{^(^динами от-резков,пересекающих к^]эи:вь>ю Я-^^) и _РсЛ(2}(t2 о 0())) в точках с одинаковыми значениями параметров t1.

Рис. 5. Пространственная визуализация получениялинии -РсЛ(0)

В символьном ниде такинв- "уочки мнжна ^нр^еделита, устанотив линеькн^ю зависимость между соответ-с^|^^ннкк^и точсс^^^^ нк^ к:кривь^^ди Pch(1() и Рсй(2)(12 = У(1)):

X (fl) = XcA(l)(íl)(M о;5)ц (но =1^ )Мо(^1)=е;)сад(0)(1^ АО + УсодСмС

где 0 В ( е 1 , X = С1,00. Такам образам, уравнения ор-тчгоннн>ной пзио^нмсо!0[ 05 (í) искомой кравай 0(t), полученные в .м.^ашоа щеикк^рд, ичек^гг )^ад:

(tа = 1 о омн550н - в.ооама(доаб _ ас5 о о ^за^в tj ^ aZ4 с+м (шгд^2 с- емонэнг3 иъ +

+ ((eit1[3 ■сн[з,7(5([l1)_с.:и:г[ ч (-^0н(1(Д - ((([((ЗбССч 133М2) а0-^ +Н331!55 ^ (Hí^t,33 -(^н4зед t-)8, y (t-) = д° -н 1г5са1л1.н;)1_((40ннви'5 -- 5авн _а .о.1 -+3 (102Д.!2 ^1нмн) ^ а:3 +

-с (ден^ 1е оозеазс^^^1) ___ ^^ + (—иноэнн)),,4 -оГГ(3[31И0+2 lCГ[3[_1^)а_.Zч +33ii15 i-(git1:3 -+ ).

Из рисс. 1 (б) виднн1 бая точка Al(xl(tJrj^jl^j))

на кривой 0+t) Hc^^i^T^c) (з;pг((г^r'oнa^шной проекцией вершин ы проецирующего аонуса° Нег^р ^¡р1>1вно^ а вершин, очекидно. совпадает с искомой прчедранцтг^^а^^0l0 кри+оо 0)/). Таким образом,на-пример, в случае a-проекции, величина координаты z точек Aj будет равна расстоянию от точки Ae до любой из кривых fcñuiM и Pcíl(2|(f2)_no направлению н ормали, проведенной к линии 0¡(t). Такимоб-рссмом, ко ординату z^f ^можнонайти по уравнению

Z) (t)) = J(Xc,)) (í)) - X) О) ))н + (Ус((1) (Ф)) - У) (.)))н :

zl (р) = (1 - ОД2502 + RootOf(4096 _ Z5 -

- 576е _ iH4 + (1032-4 + + 819^) _ + + (48íj3 ■+ 237601 ) __ 29 2 + (-193+04 -

- 63О6О02 +13318) _ Z 7 - -l^íj33 -

- 3408-2fj)2)2 (-líj - 1,5RooíC4_4096 _ .8)5 -

-1 __ Z4 (1024C2 +- ^1'Э2) __ +

-4- +48 03 + 23!33,'3¡re_(0 92 _Z2 + + (-_92)+ - + -331 2) _ Z +

+ 31) - 1j3 -2Т3_4)))2))/21

Пс^лучен]за,^ п;ро с^занственная кривая

P(f) = (х1(1), y1(f), z1(f)) являетсяискомой.Она также по-

+ [t.5 - де.3 - н^едt

Рис. 6. Визуализация итогового результата получения кривой P(t) (нарисунке показанаееортогональная проекция P1(t))

зволяет полулитв кллссическую циклографическую пр оекцию по уравнениям (1). На рис. 6 пред ставлен конечный рббультат решеаия ббссматриваемогу поимер в с ojcToroeTevKHO й пр о екций p(i) кривой P(-). Дополнотвоенн ,дло ботьшей еаглядности, на рисунке пькееаны рнккографиккегии ббЦьсхекц^и Рц^Я) и Pa>2)ч) > п о луч енные длч полуугла при вер шине проецирующего конуса, равного 45°. Также визуа-ризированы ортогональные проекции образующих линейчатых поверхностей, для которых кйРвые РоедЯ) и ^цЮ и п олученная кривая P(t) являются направляющими.

Обтуждение результатов. Результатгл воечиелен-ного эксперимента подтвердили теоретические вы-роды о том, что совершение перехода от кривых титий -PcBi)Ti) и Pch(2) ( t 2), полученных по схеме образования измененной циклографической проекции, к исходнвй пространственной кривой P(Н) возможно. Не исключается получение аналитического ре-ш^шеея, если исходные кривые Pchm(t1) и Рс2(2)(ф) будут заданы кривыми второго порядка или обводами ио них. В остальных же случаях, когда исходные оривыо представляют собой сплайн-кривые третьей или более цысоких степеней, пространственную кривою -Р^Со) можно получить как дискретный ряд точек, каждая из кеторых определявтея аналитически. В дальнейшем для формирования сам ойлинии Рев) можетбыть использовани инйерполцция этозо ряда точек.

Заключение. Полученные -зезультаты показыви-ют, что измененная циклографическая проекция, так же как и класзицесзеаэ, звряется обиоермой. Предложенный алгоритм определения исходной пространственной куивой по ейдзнным йривыр линиям, полученным по схеме образования измененной циклографической проекции, основан на алгоритме решения обратнцй зод(чи классиче-ской цикограс))иче(кой цроекции пространственной кривой. Он позволяет однозначно опрцделять линию Pj(i) (ортогональную проекцию искомой кривой), по которой восстанавливается искомая пространственная кривая P(t). Результаты работы могут быть использованы в областиразработки систем автоматизированного проектирования автомобильных дорог как общего, так и специального назначения.

Библиографический список

1. Lyubchinov E. V., Panchuk K. L. Geometric modeling of solutions of the direct and inverse tasks of geometricoptics on a plane // Journal of Physics: Conference Series.2019.Vol. 1210 (1). P. 012087.001:10.1088/1742-6596/1210/1/012087.

2. Мясоедова Т. M., Панчук К. Л. Формообразование семейства контурно-параллельных траекторий обрабатывающе-гоинструментана осннвез цинлиграфического етображения // Ученые Омска — региону: материалы IV Р(гиональной науч.-техн. конф., Омск, 04-05 июня МО 1 9 и У ОмГТУ. Омск, 2019. С. 142-146.

3. Панчук К. Л., Любчинов Е. В. Циклографическая интерпретация и компьютерное фешение одной системы алгебраических уравнений /ф Генметрия и графика. 2019. Т. 7, № 3. С. 3-14.D0I:10.12737/article_5dceHe028e4301.77886978.

4. Panchuk K. L., Niteyskiy A. S., Lyubchinov E. V. Cyclographic Modelinф of SuНее Forms of Highways // IOP Conference Series: Materials Ocience and Engineering. 2017. Vol. 262. P. 012108. DOI: 10.1088/1757-899X/262/1/012108.

5. Панчук К. Л., Кайгородцева Н. В. Циклографическая начертательная геомет.ия: моногц. Омск: Озд-во ОоГТУ, 2017. 232 с.ISBN 978-5-8149Ф578-7.

6. Pottmann H., Wallner J. Computational Line Geometry. Berlin. Heidelberg: SprmgerVerlag, (^001.565 ° ISBN 978-3-64204018-4.

7. Choi H. I., Han C. Y., Moon H. P. [et al.] Medial axis transform and offset curves by Minkowski Pythagorean hodograph curves // Comput. Aided Design. 1999. Vol. 31. P. 59-72.

8. Dr. Emil Muller. Vorlesunge^ber Darstellende Geometrie. II. Band: Die Zyklographie. Edited from the manuscript by Dr. Josef Leopold Krames. Leipzig and Vienna: Franz Deuticke, 1929. 476 p.

9. СНиП 2.05.02-85. Автомобильные дороги: нормативно-технический материал. Введ. 1987-01-01. Москва: Госстрой России, ФГУП ЦПП, 1987. 106 с.

10. Peternell M. Geometric Properties of Bisector Surfaces // Graphical Models. 2000. Vol. 62. P. 202-236. DOI: 10.1006/ gmod.1999.0521.

11. Farouki R. T., Johnstone J. K. Computing point/curve and curve/curve bisectors // The Mathematics of Surfaces V (R. B. Fisher, Ed.). London: Oxford Univ. Press. P. 327-354.

12. Бойков В. Н., Петренко Д. А., Люст С. Р. [и др.]. Система автоматизированного проектирования автомобильных дорог INDORCAD/ROAD // Вестник Томского государственного университета. 2003. С. 350-353.

13. Кореневский В. В., Мордик Е. А. Оценка геометрических параметров дороги с использованием передвижной дорожной лаборатории // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2019. № 4 (77). С. 48-55.

14. Бойков В. Н. САПР автодорог — перспективы развития // САПР и ГИС автомобильных дорог. 2013. № 1 (1). С. 6-9.

15. Елугачёв П. А. Опытное трассирование автомобильной дороги с использованием пространственных кривых Безье // Исследовано в России. 2006. С. 915-922.

16. Абдуллин М. М., Глазычев А. О., Муфтеев В. Г. [и др.]. Особенности моделирования трассы автомобильной дороги

с использованием единой пространственной «B-сплайновой» кривой высокой степени // Труды Международной конференции по компьютерной графике и зрению «Графикон-2019». 2019. С. 169-171.

17. Сальков Н. А. Моделирование геометрических форм автомобильных дорог: моногр. Москва: ИНФРА-М, 2019. 162 с. ISBN 978-5-16-014029-2.

18. Кузьмин В. И., Левтеров А. И. Автоматизированное конструирование виражей безопасных конструкций на закруглениях автомобильных дорог // Вестник Харьковского национального автомобиледорожного университета. 2009. Вып. 47. С. 29-33.

ЛЮБЧИНОВ Евгений Владимирович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Инженерная геометрия и САПР» Омского государственного технического университета (ОмГТУ), г. Омск. SPIN-код: 8144-6370 AuthorID (РИНЦ): 917932 ORCID: 0000-0003-2499-4866 AuthorID (SCOPUS): 57199399265 ResearcherID: D-1882-2019

Адрес для переписки: [email protected] ПАНЧУК Константин Леонидович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Инженерная геометрия и САПР» ОмГТУ, г. Омск.

SPIN-код: 5623-0008 AuthorID (РИНЦ): 501163 ORCID: 0000-0001-9302-8560 AuthorID (SCOPUS): 55857766100 ResearcherID: S-2788-2017 Адрес для переписки: [email protected] МЯСОЕДОВА Татьяна Михайловна, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Инженерная геометрия и САПР» ОмГТУ, г. Омск. SPIN-код: 6056-6455 AuthorID (РИНЦ): 686836 ORCID: 0000-0002-9641-9417 AuthorID (SCOPUS): 57201776004 ResearcherID: E-7505-2014 Адрес для переписки: [email protected]

Для цитирования

Любчинов Е. В., Панчук К. Л., Мясоедова Т. М. Решение обратной задачи измененной циклографической модели // Омский научный вестник. 2023. № 1 (185). С. 25-30. DOI: 10.25206/1813-8225-2023-185-25-30.

Статья поступила в редакцию 11.01.2023 г. © Е. В. Любчинов, К. Л. Панчук, Т. М. Мясоедова